云南省2020年7月普通高中学业水平考试数学试卷及答案

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云南省丽江市2020年高二下数学期末学业水平测试试题含解析

云南省丽江市2020年高二下数学期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（）． A ．4 B．C ．2D【答案】B 【解析】【分析】设直线方程y mx t =+并与抛物线方程联立,根据OA OB ⊥,借助韦达定理化简得4t =.根据AB ,OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,即可求得00k y x =,根据基本不等式即可求得k 最小值. 【详解】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --= 由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄②OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=,可得:12120x x y y +=┄③()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x +=,结合②可得:4t =AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+= 221632484m m +==+，故2004824k y m m x m m+===+，根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)0m <时,222m m+≤-.(当且仅当2m =-) 所以22k ≥. 故选:B. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解. 2．正ABC ∆边长为2，点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足32BP =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最小值是（） A ．12B ．5 C ．2D ．23【答案】A 【解析】分析：建立直角坐标系后求出各点坐标，用坐标表示λμ+详解：如图：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴则(3A ，，()00B ，，()20C ，设()P x y ，，32BP =则P 点轨迹为2234x y +=由AP AB AC λμ=+可得：1333x y λμλμ-=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩故313y λμ+=-+ 当3y =时，()12min λμ+=故选A点睛：本题主要考查的是平面向量的基本定理．设不共线的两个向量为基底，求参量和的最值，本题的解法较多，可以通过建立空间直角坐标系，求交点坐标建立数量关系，也可以用等和线来解． 3．函数的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】可分类讨论，按，，分类研究函数的性质，确定图象．【详解】时，是增函数，只有A 、B 符合，排除C 、D ，时，＜0，只有A 符合，排除B ．故选A ．【点睛】本题考查由函数解析式选取图象，解题时可通过研究函数的性质排除一些选项，如通过函数的定义域，单调性、奇偶性、函数值的符号、函数的特殊值等排除错误的选项．4．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3-【答案】C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.5．函数，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到，计算的最小值得到答案.【详解】不妨设，，可得：.令，则在单调递减，所以在上恒成立，，当时，，当时，，则，所以在单调递减，是，所以.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数是解题的关键.6．函数2cos 3y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．32πB ．6π C ．23 D ．13【答案】B 【解析】【分析】函数()2cos 3,0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性．【详解】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x π=．∴函数()f x 在0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减． ∴6x π=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.7．王老师在用几何画板同时画出指数函数x y a =（1a >）与其反函数log ay x =的图象，当改变a 的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，a 的值为（） ABC ．2eD【答案】B 【解析】【分析】当指数函数与对数函数只有一个公共点00(,)x y 时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于0,a x 的方程. 【详解】设切点为00(,)x y ，则000000,log ,1ln ln x a x y a y x a a x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⋅⎪⎩，解得：00,,x e y e a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等. 8．定义在R 上的函数1()()12x mf x -=-为偶函数，记0.52(log 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则（） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c << D ．c b a <<【答案】C 【解析】分析：根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=1()12x-，这样便知道f （x ）在[0，+∞）上单调递减，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：0.5(|log 2|)a f =，()2log 1.5b f =，()0c f =，然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．详解：∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）.∴11()1()122x mx m----=-，∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|，∴（﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2， ∴mx=0， ∴m=0. ∴f （x ）=1()12x-∴f （x ）在[0，+∞）上单调递减，并且0.5(|log 2|)a f ==2(log 2)(1)f f =,()2log 1.5b f = ,c=f （0）,∵0＜log 21.5＜1 ∴a b c <<,故答案为C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f （x ）=1()12x-的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，u x =是增函数，1()2u v =是减函数，1t v =-是增函数，所以函数1()()12xf x =-是(0,)+∞上的减函数.9．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A ．2B C ．2-D ．【答案】A 【解析】【分析】【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ．10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为（） A ．727B ．49C ．1627 D ．2027【答案】D 【解析】【分析】根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解. 【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则甲获胜有以下三种情况：第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为224339⨯=；第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为212433327⨯⨯=；第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为122433327⨯⨯=；综上可知甲获胜概率为444209272727++=，故选：D. 【点睛】本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题.11．()f x 是单调函数,对任意x ∈R 都有(()2)11x f f x -=，则(2019)f '的值为（） A ．20192ln 2 B ．20192ln 2019 C ．201912ln 2+ D ．201912ln 2019+【答案】A 【解析】【分析】令()()2xg x f x =-，根据对任意x ∈R 都有(()2)11x f f x -=，对其求导，结合()f x 是单调函数，即可求得()f x '的解析式，从而可得答案. 【详解】令()()2x g x f x =-，则()()2ln 2x g x f x -''=，(()2)(())11xf f x fg x -==. ∴(()2)()()()[()2ln 2]0xxf f x f xg x f x f x '''-=⋅⋅-''== ∵()f x 是单调函数 ∴()0f x '≠∴()2ln 20xf x '-=，即()2ln 2xf x ='. ∴2019(2019)2ln 2f ='故选A. 【点睛】本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中解答的关键是求出抽象函数解析式，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．12．已知()()62f x ax =+，()'f x 是()f x 的导数，若()'f x 的展开式中x 的系数小于()f x 的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是（） A ．()2,0,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()5,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由()f x 展开式中x 的系数是556562192C a a -⋅=，又()56(2)f x a ax '=+，所以()f x '的展开式中x 的系数是44562aC a ⋅，得到2480192a a <，继而解得结果．【详解】由题意，函数()f x 展开式中x 的系数是556562192C a a -⋅=，又()556(2)(2)6(2)f x ax ax a ax '=++=+，所以()f x '的展开式中x 的系数是44542562480aC aa -⋅=，依题意得2480192a a <，解得205a <<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式和二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题：本题共4小题13．若5(2)a x x+的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________. 【答案】3160x - 【解析】分析：根据题意，先求出a 的值，再利用展开式的通项公式求出对应项.详解：52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为0,∴令1x =，则()520a +=，解得2a =-.522x x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的展开式中通项公式为()()55521552212rr r r r r r T C x C x x --+-⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1r =时，展开式中含3x 的项为()15133512160C x x -⋅⋅⋅=-.故答案为：3160x -.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．14．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，2019a 的标准差为1σ，数据11S ，22S ，33S ，⋅⋅⋅，20192019S 的标准差为2σ，则12σσ=________ 【答案】2 【解析】【分析】根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果. 【详解】因为数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，所以111=+222n n n a a aa n S +=，因此2112σσ=，即122σσ=故答案为：2 【点睛】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题. 15． “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.【答案】2037【解析】【分析】根据“杨辉三角”的特点可知n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n+行，从而得到第1n+行去掉所有为1的项的各项之和为：22n-；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第11行结束，数列共有45项，则第46项为11111C=，从而加和可得结果.【详解】由题意可知，n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n+行则“杨辉三角”第1n+行各项之和为：2n∴第1n+行去掉所有为1的项的各项之和为：22n-从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,⋅⋅⋅则：12345678945++++++++=，即至第11行结束，数列共有45项∴第46项为第12行第1个不为1的数，即为：11111C=∴前46项的和为：1231022222222112037-+-+-+⋅⋅⋅+-+=本题正确结果：2037【点睛】本题考查数列求和的知识，关键是能够根据“杨辉三角”的特征，结合二项式定理、等差等比数列求和的方法来进行转化求解，对于学生分析问题和总结归纳的能力有一定的要求，属于较难题.16．甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离为________.【答案】3Rπ【解析】【分析】根据两地的经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定理求出球心角，利用弧长公式求解.【详解】由已知得45,90POA BPA ∠=∠= ，所以22AP BP R ==，所以AB R =，所以在AOB ∆中，OA OB AB R ===，所以3AOB π∠=，所以甲、乙两地的球面距离为3R π. 故得解.【点睛】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年云师大七-理数

到
A
台的距离差所确定的双曲线为x2来自225−y2 64
=
1(x
>
15)，联立
(x − 27)2
36 x2 − 225
y2 64
− =
y2 = 1(x < 21)， 64 1(x > 15)，
解得
P
135，± 7
32 7
2
，故选
B．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
的单调性即可． f ′(x) = 2x − sin x − x cos x =x − sin x + x(1 − cos x)，当 x ∈ (0，+ ∞) 时，易证
x > sin x ，而 x(1 − cos x) ≥ 0 显然成立，故 f ′(x) > 0 ，故 f (x) 在 x ∈ (0，+ ∞) 上单调递
得 1 AC AD sin ∠CAD + 1 AB AD sin= ∠BAD 1 AB AC sin ∠BAC，
2
2
2
两边同时除以 1 AB AC AD，得 sin ∠CAD + sin ∠BAD = sin ∠BAC （张角定理），
2
AB
AC
AD
13 即 1 + 2 = 2 ， 2 + 1 = 3 ．
12．设由船
P
到B
台和到
A 台的距离差确定的双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
= 1(x ≥ a) ，因为船
P
上
接到 A 台发射的电磁波比 B 台电磁波早 185.2μs ，则船 P 到 B 台和到 A 台的距离差为

云南省2020年普通高中数学学业水平考试试卷

云南省2020年普通高中数学学业水平考试试卷[考生注意]：考试用时100分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.球的表面积公式：24S R π=,体积公式：343V R π=,其中R 表示球的体积. 柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.选择题（共51分）一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂。

1.已知集合S=｛1，2｝集合T=｛1，2，3｝则M ∩N= ( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}2.一个空间几何体的正视图与侧视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)、俯视图是一个半径为3的圆，那么这个几何体的体积为 ( ) A .π36 B . π27 C .π18 D . π93.在四边形ABCD 中，AB -AC 等于( ) A.BC B. BD C.DB D.CB4.52542log log +的值为( )A . 12 B . 2 C .2910 D . 10295.要得到函数)6sin(π+=x y 的图象，只需要将函数sin y x =的图象（）A. 向左平平移6π B. 向右平移6π C. 向左平移3πD. 向右平移3π6.一盒中装有除颜色外大小相同的红球5个和黑球4个，从中任意取出一个球，那么取出的球是红球的概率是（） A .91 B .95 C . 94 D .547..若运行图1所示的程序，则输出n 的值是（）A .61B . 51C . 41D . 31 8.=-000026sin 56cos 26cos 56sin （） A .21 B .23 C .21-D .23-9.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且2a =,3=c ,B cos =41,则b 等于（）A . 10 B .10C . 13D . 410.已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则P 到点N M 、的距离都大于2的概率为（） A . 12 B . 31 C .32 D .4311.过点)2,1(P ，且与直线032=+-y x 平行的直线的方程为（） A .02=-y xB . 012=+-y xC . 012=--y xD .02=+y x12.下列函数是偶函数的是( ) A .x y 2= B .x y ln = C .xy 3log = D .xy 4log =13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ,则y x Z 2+=的最大值是( )A . 6B .5C .4D . 2 14.等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若53=a ,则5s 的值为( ) A . 15 B .20 C .25 D .3015.某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况,现采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取200人的样本,则该样本中高三学生的人数为( )A . 60B .50C .40D .30 16.过点)3,3(p ,且与圆1)2()3(:22=-+-y x C 相切的直线方程为( ) A .0343=+-y x B .021-43=+y x C .3=x D .3=y 17.设21,x x 是常数,2017))(()(21---=x x x x x f ,43,x x 是)(x f 的零点.若4321x x x x <<，,则下列不等式,正确的是( )A .4231x x x x <<<B . 4321x x x x <<<C .4213x x x x <<<D .2431x x x x <<<非选择题（共49分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

2020年云南省昆明市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析

2020年云南省昆明市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A 【解析】【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.2．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（）A ．()0,1 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞D ．(]0,1【答案】D 【解析】分析：欲求函数y=1*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y=1*2x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=1*2x =2x∴f （x ）=1020x x x ≥⎧⎨⎩，，＜由图知，函数y=1*2x 的值域为：（0，1]．故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质． 3．已知x 与y 之间的一组数据： 0 1 2 31357则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+必过 A ．()2,2 B ．()1.5,4C ．()1,2D ．()1.5,0【答案】B 【解析】【分析】先求出x 的平均值 x ，y 的平均值 y ，回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），代入可得答案．【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），01231.54x +++==135744y +++== ，∴样本中心点是（1.5，4），则y 与x 的线性回归方程y ＝bx+a 必过点（1.5，4），故选B ．【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ）． 4．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（） A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】A 【解析】【分析】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得()12313944432P AB C =⋅⋅⋅=，对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，()2392743232P A ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.5．已知α，β是相异两个平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中正确的是（） A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β【答案】B 【解析】【分析】在A 中，根据线面平行的判定判断正误；在B 中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在C 中，举反例即可判断判断；在D 中，据线面平行的判定判断正误；【详解】对于A ，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故A 错；对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B 正确；对于C ，不妨令α∥β，m 在β内的射影为m′，则当m′⊥n 时，有m ⊥n ，但α，β不垂直，故C 错误；对于D ，若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故D 错．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．已知曲线31y x x =-+在点P 处的切线平行于直线2y x =，那么点P 的坐标为（） A ．(1,0)或(1,1)- B ．(1,1)或(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)【答案】B 【解析】分析：设P 的坐标为(),m n ，则31n m m =-+，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得m 的方程，求得m 的值从而可得结果. 详解：设P 的坐标为(),m n ，则31n m m =-+，()21f x x x =-+的导数为()2'31f x x =-，在点P 处的切线斜率为231m -，由切线平行于直线2y x =，可得2312m -=，解得1m =±，即有()1,1P 或()1,1-，故选B.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题.7．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－ D ．11a ≤≤－【答案】B 【解析】【分析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求a 的范围．【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题． 8．直线340x y ++=的斜率为（） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】A 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率．【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选A ．【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=；（2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-. 9．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：则有（）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++A ．97.5%B ．99%C ．99.5%D ．99.9%【答案】C 【解析】【分析】根据2×2列联表，求出k 的观测值2K ，结合题中表格数据即可得出结论. 【详解】由题意，可得：222()50(2015105)258.3337.879()()()()302025253n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响. 故选C. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.10，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．D ．6π【答案】A 【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长22443R πππ=⨯=，故选A.考点：球内接多面体11．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（） A ．②①③ B ．②③①C ．①②③D ．③①②【答案】D【解析】【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 12．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是（）A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππD ．2,2,4ππ【答案】C 【解析】【分析】利用2πT ω=求得周期，直接得出振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相. 【详解】依题意，2π4π12T ==，函数的振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相为π4.故选C.【点睛】本小题主要考查()sin A x ωϕ+中,,A ωϕ所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中A 表示的是振幅，ω是用来求周期的，即2πT ω=，要注意分母是含有绝对值的.x ωϕ+称为相位，其中ϕ称为初相.还需要知道的量是频率1f T=，也即是频率是周期的倒数. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()()211f x f x x '=++，则()1f x dx =⎰_____【答案】76【解析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根据定积分法则计算即可．详解：∵f （x ）=f'（1）x 2+x+1，∴f′（x ）=2f'（1）x+1， ∴f′（1）=2f'（1）+1， ∴f′（1）=﹣1， ∴f （x ）=﹣x 2+x+1， ∴()1f x dx ⎰=（﹣13x 3+12x 2+x ）10|=76. 故答案为76. 点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.14．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为1m （，），则实数m =____________. 【答案】12【解析】【分析】由不等式2x 2﹣3x+a ＜0的解集为（ m ，1）可知：x ＝m ，x ＝1是方程2x 2﹣3x+a ＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m 和a 的值．【详解】由题意得：1为2230x x a -+=的根，所以1a =，从而2112310122x x x m -+<⇒<<⇒= 故答案为12【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．15．某保险公司新开设了一项保险业务.规定该份保单任一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为保证公司收益不低于a 的110，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为____________元. 【答案】1()10p a + 【解析】【分析】用X 表示收益额，设顾客缴纳保险费为x 元，则X 的取值为x 和x a -，由题意可计算出X 的期望．【详解】设顾客缴纳的保险金为x 元，用X 表示收益额，设顾客缴纳保险费为x 元，则X 的取值为x 和x a -，()()(1)E X p x a p x x pa=-+-=-，则110 x pa a -≥，1()10x p a≥+，x的最小值为1()10p a+．故答案为：1()10p a+．【点睛】本题考查利用离散型随机变量的期望解决实际问题，解题关键是正确理解题意与期望的意义．属于基础题．16．设函数()213,022,0xxf xx x⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，若()()2f m f>-，则实数m的取值范围是______.【答案】()(),23,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由题意画出图形，结合()()231f f-==可得满足()()2f m f>-的实数m的取值范围．【详解】作出函数()f x21()3,022,0x xx x⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩的图象如图，由图可知，满足()()2f m f>-的实数m的取值范围是()),23,-∞-⋃+∞．故答案为：()),23,-∞-⋃+∞．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()()22lnf x a x x ax a R=-+∈.（1）求()f x的单调区间；（2）求使()21e f x e-≤≤对[]1,x e∈恒成立的a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）{}e 【解析】【分析】(1)求导后得()f x '()()2x a x a x-+=-,再对a 分三种情况讨论可得;(2)先由(1)11f a e =-≥-,解得a e ≥,从而由(1)可得()f x 在[1,]e 上为增函数,再将恒成立转化为2(1)1,()f e f e e ≥-≤可解得.【详解】（1）因为()22ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以()()()222x a x a a f x x a x x-+'=-+=-. 所以，0a >时，所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞；0a =时，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+；0a <时，所以()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）由题意得()111f a e =-≥-，即a e ≥.由（1）知()f x 在[]1,e 内单调递增，要使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立.只要()()222111,,f a e f e a e ae e ⎧=-≥-⎪⎨=-+≤⎪⎩解得a e =.故a 的取值范围是{}e . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间,用导数研究不等式恒成立问题,属中档题. 18．在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【答案】 (1)35(2）310(3）12【解析】本题考查了有条件的概率的求法，做题时要认真分析，找到正确方法．（1）因为有5件是次品，第一次抽到理科试题，有3中可能，试题共有5件，（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到理科题有5种可能，第二次抽到理科题有4种可能，第一次和第二次都抽到理科题有6种可能，总情况是先从5件中任抽一件，再从剩下的4件中任抽一件，所以有20种可能，再令两者相除即可．（3）因为在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（1）；……….5分（2）；………5分（3）．……….5分19．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是25.几何题代数题合计男同学22 8 30 女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：20()P k k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k 2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】（1）见解析；（2）有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【解析】【分析】（1）女生中选几何题的有22085⨯=人，由此补全列联表即可（2）计算2k 的值，对照临界值表下结论即可【详解】（1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有22085⨯=（人），故表格补全如下：（2）由列联表知2250(221288)50 5.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【点睛】本题考查独立性检验，考查能力，是基础题20．选修4—5：不等式选讲设函数()1,f x x a x a R =++-∈. （1）若1a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】 (1)33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；(2)(][),31,-∞-+∞U . 【解析】分析：(1) 对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式()3f x ≥的解集；（2）因为11x x a a -++≥+，所以()min 1f x a =+，可得12a -≥，从而可得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =-++.由()3f x ≥，得113x x -++≥.①当1x ≤-时，不等式化为113x x ---≥，即32x ≤-.所以，原不等式的解为32x ≤-. ②当11x -<<时，不等式化为113x x -++≥，即23≥.所以，原不等式无解.③当1x ≥时，不等式化为113x x -+++≥，即32x ≥.所以，原不等式的解为32x ≥. 综上，原不等式的解为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）因为11x x a a -++≥+，所以()min 1f x a =+，所以12a -≥，解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(][),31,-∞-⋃+∞. 点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21．已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为.的参数方程为（为参数）. （1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围.【答案】（Ⅰ）的直角坐标方程：，的普通方程：；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．试题解析：（I ）的直角坐标方程：，的普通方程：． 5分（II ）由（I ）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，==2PA AB ， E 是AB 的中点，G 是PD 的中点.(1)求此四棱锥的体积；(2)求证：//AG 平面PEC ；(3)求证：平面PCD ⊥平面PEC ．【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】(1) 由题意，根据棱锥的体积，即求解该四棱锥的体积；(2)在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ，证得//EF AG ，利用线面平行的判定定理，即可求解.(3)∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，得到CD ⊥平面PAD ，进而得CD AG ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得EF ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PEC ⊥平面PCD ．【详解】(1) 四棱锥的体积118222333P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯⨯=. (2)证明：在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ，则易得//AE FG ，且12AE CD FG ==，且故四边形AEFG 为平行四边形，故//EF AG ，又EF ⊂面PEC ，AG ⊄面PEC故//AG 面PEC .(3) 证明：∵CD AD ⊥，CD PA ⊥ ，又PA AD A ⋂=，∴CD ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，∴CD AG ⊥，又PD AG ⊥，PD CD D ⋂=∴AG ⊥平面PCD ．∴EF ⊥平面PCD ．又EF ⊂面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．。

2020年云南省普通高中学业水平考试数学试卷(解析版)

2021年云南省普通高中学业水平测试数学试卷、选择题〔共19小题〕.1 .集合 S={0, 1, 2}, T={2, 3},那么 SUT=( )2 .在等差数列｛an ｝中,a1=2,公差d=3,那么a3=〔〕据的平均数为10,那么x+y 的值为〔/B ： /C=1： 2： 3,那么三边长之比 a ： b ： cA. 10B. 16C. 15D. 209.在^ ABC 中,/ A 、/ B 、/ C 所对的边分别为a 、b 、c,三个内角度数之比/A：A. {0, 1, 2}B. {0, 2}C. {0, 1, 2, 3}D. {2}A. 6B.C. 7D. 9 3.两同心圆的半径之比为1： 3,假设在大圆内任取一点 M ,那么点 M 在小圆内的概率为B.1 C.一 84.向量？?= ( 1, 2) , ??= ( - 2,0〕,那么？????勺值等于〔B. - 3C. - 2D.正视图侧视图俯视图B. 2兀C. 3兀D.6.如果直线 x+my -1 = 0与直线2x+y+1 = 0垂直,那么 m 的值为A. - 2B.C.7. sin79 ° cos34° - cos79° sin34°的值为〔 A. 1B.C.V2 28.某人在5次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x, V, 10, 11, 9.这组数5. 一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积是〔A.(一巴 1]B. [2, 4]C.??> ??10.假设实数x, y 满足约束条件｛??> ??,那么z= 3x+y 的最大值为〔 ??+ ??< ??12.函数f 〔x 〕 = lnx+2x-6的零点所在的区间为〔16.函数f 〔x 〕 = log 2x 在区间［2, 8］上的值域为〔A. 0B. 1C.D.11.某程序框图如下图,运行后输出S 的值为〔A. 10B. 11C. 14D. 16A. (1,2)B. (2, 3)C.(3, 4)D.(4, 5)14 .?????=?4,且.为第四象限的角,那么 tan .的值等于〔53 A.一5B. D.15 .从1,2, 3,4这4个数中,依次不放回地任意取两个数, 两个数都为偶数的概率是〔〕1A.一6B. C.1 D.一 2D.2A. 一3d 513.在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中,直线 A I C 与平面ABCD 所成角的正弦值等于〔17.函数f (x) = sinx+cosx 在区间［0,兀］上的单调递增区间是(B. xo< 0 或 xo> 8C. 0<xo<8D. xo<0 或 0vxov819 .假设a>0, b>0,点P 〔3, 2〕在直线l ： ax+by=4上,那么2 + 的最小值为〔〕?? ??A. 9B. ??+ ??/??C. ??+ V??D. 6、填空题：本大题共4个小题,每题4分,共16分请把答案写在做题卡相应的位置上 20 .昆明市某公司有高层治理人员、中层治理人员、一般员工共1000名,现用分层抽样的方法从公司的员工中抽取 80人进行收入状况调查.假设该公司有中层治理人员 100名,那么从中层治理人员中应抽取的人数为 . 一. 121 . ????翼+ ????????值为.22 .把二进制数1001⑵化成十进制数为 .23 .假设函数f (x)为奇函数,当 x>0时,f (x) = 10x ,那么f (T)的值是 .三、解做题：本大题共 4个小题,第24题5分,第25题6分,第26题7分,第27题9 分,共27分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.24,圆 C: x 2+y 2—2x+4y —4=0和直线l: 3x —4y+9=0,点P 是圆C 上的动点.(1)求圆C 的圆心坐标及半径； (2)求点P 到直线l 的距离的最小值.(1)求函数f (x)的最小正周期; (2)求不等式f (x) >0的解集26 .如图,点P 为菱形ABCD 所在平面外一点,PAL 平面ABCD ,点E 为PA 的中点.(1)求证：PC //平面BDE ; (2)求证：BD ,平面PAC .??A. [?? 2]?? 一B. [2,??] C -[?? 4? D. [J ??18.函数f (x)???+???w ?? ={ — 右 f 〔x .〕???????? ??>3,那么xo 的取值范围是( 25. 函数??(??=1??????????•????27 .在数列｛a n ｝中,c 是常数,a i=1,2a n 2+ (3-a n+i) a n +c- a n+i=0.(1)假设 c=0,求 a 2, a 3的值； (2)假设c=1,求｛a n ｝的前n 项和Sn.A. - 4B. - 3C. - 2D. 1、选择题：本大题共19个小题,每题3分,共57分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的,请在做题卡相应的位置上填涂. 1.集合 S={0, 1, 2}, T={2, 3},那么 SUT=()A. {0, 1, 2}B. {0, 2}C. {0, 1, 2, 3}D. {2}【分析】进行并集的运算即可. 解：S={0, 1, 2}, T={2, 3}, ••.SUT={0, 1, 2, 3}. 应选：C.【点评】此题考查了列举法的定义, 并集的定义及运算, 考查了计算水平,属于根底题. 2 .在等差数列{an}中,a1=2,公差d=3,那么a3=()A. 6B. 8C, 7D, 9【分析】由结合等差数列的通项公式即可直接求解. 解：: a1 = 2,公差 d=3, 贝U a3= a 〔+2d= 8 应选：B.【点评】此题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用,属于根底试题. 3 .两同心圆的半径之比为1: 3,假设在大圆内任取一点M,那么点M 在小圆内的概率为【分析】利用几何概率的概率公式即可解题. - ,一,,, ,一,,, 一,？？1 解：设小圆半径为r,大圆半径为 R,那么—= ??3【点评】此题主要考查了几何概率的概率公式,是根底题.4 .向量？?= (1, 2) , ??= (-2, 0),贝U ?????勺值等于()B.C. D.由几何概率的概率公式可得：点M 在小圆内的概率鬻二赍二(1)??=9,【分析】根据平面向量数量积运算性质代入计算即可. 解：?????= (1, 2) ? (― 2, 0) =— 2, 应选：C.【点评】此题考查平面向量数量积的运算性质,属于根底题. 5 . 一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积是〔【分析】三视图复原的几何体是圆柱,依据三视图的数据,即可求出几何体的体积.所以这个几何体的体积是 TT X 12x3=3 7t;应选：C.【点评】此题考查了由三视图判断几何体,考查三视图的视图水平,计算水平,空间想象水平,此题是根底题,常考题型.6 .如果直线 x+my -1 = 0与直线2x+y+1 = 0垂直,那么 m 的值为〔 A. - 2解：直线 x+my-1 = 0与直线2x+y+1 = 0垂直, 那么 1 X2+mX 1 = 0, 解得m= - 2.此题考查了两直线垂直的应用问题,是根底题.cos34° - cos79° sin34° 的值为(1 D.- 2然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值.解：由于 sin79 ° cos34° — cos79° sin34 ° = sin (79° —34° ) = sin45° 应选：C.【点评】此题主要考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值正视图侧视图俯视图B. 2兀C. 3兀D. 4兀解：三视图复原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3,C. 2 【分析】根据两直线垂直的条件列方程求出m 的值.7. sin79 ° A. 1化简求值,是一道根底题.8 .某人在5次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x, y, 10, 11, 9.这组数据的平均数为10,那么x+y的值为〔〕A. 10B. 16C. 15D. 20【分析】利用平均数的概念列出关于x、y的方程即可求解结论.解：由于x, y, 10, 11, 9这组数据的平均数为10,__ 1所以：_〔x+y+10+11+9〕 =10?x+y=20; 5应选：D.【点评】此题考查统计的根本知识,样本平均数的概念,比拟简单.9 .在△ ABC中,/ A、/B、/C所对的边分别为a、b、c,三个内角度数之比/ A: /B: /C=1: 2： 3,那么三边长之比a： b: c等于〔〕A. 1: V?? 2B.1:2:3C.2：v?? 1D.3:2: 1【分析】由三个内角度数之比,求得三角形的内角,再利用正弦定理,即可求得结论.解：.「三个内角度数之比/ A： / B： / C= 1： 2： 3,• . Z A = 30 , / B = 60 , / C= 901. a ： b： c=sin30° : sin60° : sin90° = 1 ： v?? 2应选：A.【点评】此题考查正弦定理,考查学生的计算水平,属于根底题.??> ??10.假设实数x, y满足约束条件｛??n ??,那么z= 3x+y的最大值为〔〕??+ ??< ??A. 0B. 1C. 2D. 3??> ??【分析】先作出约束条件｛??R?? 满足的可行域,再求z=3x+y的最大值.??+ ??< ????> ??解：作出约束条件｛??R ?? 满足的可行域：??+ ??< ??• •zo=3X 0+0 = 0, ZA= 3X 1+0 = 3, Z B=3X0+1=1,Z= 3x+y的最大值为3.应选：D.【点评】此题考查简单的线性规划的应用,是根底题.解题时要认真审题,仔细解答.11 .某程序框图如下图,运行后输出S的值为〔〕/ Ifi 出$ /A. 10B. 11C. 14D. 16【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序运行后输出的S值.解：模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的是S=1 + 1+2+3+4+5 =16.应选：D.【点评】此题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的答案,属于根底题.12.函数f (x) = lnx+2x-6的零点所在的区间为( )A. (1,2)B. ( 2, 3)C. ( 3, 4)D. (4, 5)【分析】据函数零点的判定定理,判断 f (1) , f (2) , f (3) , f (4)的符号, 得结论. 解：f (1) = 2 - 6<0, f (2) =4+ln2-6v0, f (3) = 6+ln3-6>0, f (4) = 8+ln4-6>0, .•.f (2) f (3) v 0, • .m 的所在区间为(2,3).应选：B.【点评】考查函数的零点的判定定理,以及学生的计算水平.解答关键是熟悉函数的零点存在性定理,此题是根底题.解：连结AC,那么AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影,那么/A 〔CA 即为直线 A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值, 设正方体的棱长为1 , 那么 AC= V?? A 〔C= V?? 那么 sin/A 〔CA= ????= 1— = 23.???? V 3 3即可求13.在正方体 ABCD - A B C D 中,直线 A C 与平面ABCD 所成角的正弦值等于(【分析】根据直线和平面所成角的定义即可得到结故从1, 2, 3, 4这4个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率P= 122 = 6【点评】此题主要考查直线和平面所成角的求解,根据条件求出线面角是解决此题的关键.14.？？？？？=？4,且9为第四象限的角,那么 tan 9的值等于〔B- -3【分析】由利用同角三角函数根本关系式结合角的范围即可求解. 解：; ？？？？？=?£,且.为第四象限的角, 5 ••tan 也-』？-？？=--？？=- 3【点评】此题主要考查了同角三角函数根本关系式在三角函数化简求值中的应用,属于根底题.15 .从1,2, 3,4这4个数中,依次不放回地任意取两个数, 两个数都为偶数的概率是〔〕_1 D. 一2【分析】根据中从 1, 2, 3, 4这4个数中,不放回地任意取两个数,我们列出所有及满足条件两个数都是偶数的根本领件个数, 代入古典概型概率公式,即可得到答案.Bl的根本领件个数, 解：从 1, 2, 3, 4这4个数中,不放回地任意取两个数,共有 (1,2), ( 1,3) , (1,4), ( 2, 1) , (2, 3) , (2, 4)(3, 1) , (3,2) , (3,4), ( 4, 1) , (4,2) , ( 4, 3)共 12 种其中满足条件两个数都是偶数的有〔2, 4〕 , 〔4,2〕两种情况B【点评】此题主要考查两角和与差的正弦函数,属于根底题. ?3?+???w ??1& 函数 f (X )={?????????夕 f (X .) >3,那么X O 的取值范围是( A. xo>8 B. xo< 0 或 xo>8 C. 0<xo< 8D . xo< 0 或 0V xo< 8【分析】通过对函数f (x)在不同范围内的解析式,得关于 x .的不等式,从而可解得 xo的取值范围.解：①当 xw 0 时,f (xo) = ??豺??>3, x o +1 > 1 ,应选：A.【点评】此题考查的知识点是古典概型公式,古典概型问题的处理方法是：计算出根本事件总数N,那么满足条件 A 的根本领件总数 A (N),代入P=A (N) +N 求了答案. 16 .函数f (x) = log 2x 在区间[2, 8]上的值域为( )A. (-OO,1] B. [2, 4]C. [1, 3]D. [1, +8)【分析】由结合对数函数的性质即可求解. 解：••• 2<x<8, ••1<log 2x<3,故函数的值域[1, 3], 应选：C.【点评】此题主要考查了利用对数函数的单调性求解函数的值域,属于根底试题. 17.函数f (x) = sinx+cosx 在区间[0,兀]上的单调递增区间是(【分析】将函数f (x) = sinx+cosx 化为两角和与差的正弦函数, 一个单调递增区间.解：「函数 y= sinx+cosx= v??(-^sinx + 12cosx) = v?Sin (x+ 2 2, ?? . ?? . ??,,一、由-2 + 2k 兀w x+ 4 w 2 k TT + 2 ( k CZ), 解得-竽衣mxw 4?+2k 兀,.??k=0 时,OwxW ]；应选：C.??A. [?? 2]?? 一B. [2,??]八一 ?? C . [?? 4]D.?? ?? 7引即可求解函数 f (x)的xo> 0这与XW0相矛盾, ••.x €?.D 当 x>0 时,f (X0)= lOg2X0>3, xo>8 综上：Xo > 8 应选：A.【点评】此题主要考查对数函数的单调性,及分段函数,在解不等式时注意分类讨论, 是个根底题. 19 .假设a>0, b>0,点P (3, 2)在直线l: ax+by=4上,那么2+2的最小值为( ?? ??A .9B . ??+ ?〞？C. ??+ V?? D . 62【分析】利用“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出. ?? 9??一一当且仅当一=—且3a+2b=4即b= 1, a=??4??【点评】此题考查了 “乘 1法〞与根本不等式的性质,属于根底题.二、填空题：本大题共4个小题,每题4分,共16分请把答案写在做题卡相应的位置上 .20 .昆明市某公司有高层治理人员、中层治理人员、一般员工共1000名,现用分层抽样的方法从公司的员工中抽取 80人进行收入状况调查.假设该公司有中层治理人员 100名,那么从中层治理人员中应抽取的人数为8 .,................. ........... ....................... 1.. .一 .一 ..【分析】首先算出中层治理人员在样本中的比例—,然后利用比例,即可求出答案.10100 1 斛：由题息可得 ----- =一,100010 ___ __ _.1 所以中层治理员人数为 —x ???= 8人, 10故答案为：8.【点评】此题考查了分层抽样的知识,需要掌握分层抽样的特点以及抽取比的求法,属于根底题. 一. 121 . ??????+ ????第非值为 1.解：由题意可得,3a+2b=4 即望+ -?= ?? 4 2 ,那么 2+ 3= (2 + ?? ???? 33?? ?? on?? 7?)=3+??+ 9?? cc CG 22P2 «4??> ??+ ??/???4??= 6, 3时取等号,【分析】进行对数的运算即可.解：原式=?????(i x ????= ???r???= ??故答案为：1.【点评】此题考查了对数的运算性质,考查了计算水平,属于根底题.22 .把二进制数1001(2)化成十进制数为9 .【分析】根据二进制转化为十进制的法那么,二进制一次乘以2的n次方,(n从0到最高位)最后求和即可.解：1001(2)= 1 X 23+0X 22+0X 21+1 x 20=9故答案为：9.【点评】此题考查算法的概念,以及进位制,需要对进位制熟练掌握并运算准确.属于根底题. 23 .假设函数f (x)为奇函数,当x>0时,f (x) = 10x,那么f (T)的值是 _- 10_.【分析】结合奇函数的定义及函数解析式即可求解.解：由题意可得,f( - 1)= - f(1)= - 10 1= - 10.故答案为：-10【点评】此题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,属于根底试题.三、解做题：本大题共4个小题,第24题5分,第25题6分,第26题7分,第27题9 分,共27分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.24,圆C：x2+y2—2x+4y—4= 0和直线l： 3x—4y+9=0,点P是圆C上的动点.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求点P到直线l的距离的最小值.【分析】(1)化圆的一般方程为标准方程,即可求得圆心坐标与半径；(2)求出圆心到直线的距离,减去半径得答案.解：(1)由圆x2+y2- 2x+4y- 4=0,得(x—1) 2+ (y+2) 2=9,・•・圆C的圆心坐标为(1, - 2),半径为3;|3+8+9|(2)二.圆心到直线3x —4y+9= 0的距离为d= 丁2(韦二=??•••点P到直线l的距离的最小值为4-r=4-3=1.【点评】此题考查直线与圆位置关系的应用, 考查点到直线距离公式的应用, 是根底题.25.函数？？(？？= 1 ????????????????????(1)求函数f (x)的最小正周期;(2)求不等式f (x) >0的解集.【分析】(1)先整理解析式,即可求出其周期;(2)直接根据正弦函数的性质即可求解.解：(1)由于函数??(??= 2?????????? ??????=??? (2x+3?；故其周期为：T= 2??=兀;(2) ••• f (x) > 0? sin (2x+?? > 0? 2k 2x+ ??< 2k 兀+兀？k 兀-??W xw k??+?? k2;3 3 6 3・•.不等式f (x) >0 的解集为：{x|kk ??<x<k??+ ?? kCZ}. 6 3【点评】此题考查两角和与差的三角函数以及正弦函数性质的应用,考查计算水平.26.如图,点P为菱形ABCD所在平面外一点,PA,平面ABCD,点E为PA的中点.(1)求证：PC //平面BDE ;(2)求证：BD,平面PAC .【分析】(1)连接AC, BD,设ACA BD=O,那么.为AC的中点,可得OE为三角形PAC的中位线,得OE//PC,由线面平行的判定可得PC//平面BED;(2)由PA,平面ABCD ,得PA ± BD,再由ABCD为菱形,得BD XAC,由线面垂直的判定可得BDL平面PAC.【解答】证实：(1)如图,连接AC, BD,设ACABD = O,那么.为AC的中点, 连接OE,又E为PA 的中点,,OE // PC,. OE?平面BED , PC?平面BED ,PC // 平面BED ；(2) 「PA,平面ABCD ,而BD?平面ABCD ,・•• PAX BD,又ABCD为菱形,那么BDXAC ,・•• PAn AC = A,・•・ BD,平面PAC .【点评】此题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象水平和思维水平,考查了数形结合思想,是中档题.27.在数列｛a n｝中,c是常数,a i=1, 2a n2+ (3-a n+i) a n+c- a n+i=0.(1)假设c=0,求a2, a3的值；(2)假设c=1,求｛a n｝的前n项和S n.【分析】(1) c=0 时,a i=1, 2a n2+ (3—a n+i) a n+c—a n+i = 0.可得2a n2+ (3—a n+i) a n - a n+i = o, n=i 时,？？？?+ (3-a2)a i-a2=0,把a i = 1 代入即可解得a2.同理解得a3.(2) c=时,2a n2+ (3— a n+i) a n + 1— a n+i = 0.化为：2a n2+3a n + 1 —a n+i a n — a n+1 =0.可得(a n + 1 ) ( 2a n + 1 — a n+1 ) =0,解得：a n = _ 1 ,或2a n + 1 — a n+1 = 0,化为：2 ( a n+1 )=a n+i+1,进而得出数列的前n项和.解：(1) c=.时,a i = 1, 2a n2+ (3—a n+i) a n+c- a n+i = 0.-2a n2+ (3— a n+1) a n —a n+i = 0 .n= 1 时,？？？?+ (3 —a2)ai —a2=0,5• - 2+3 - a2 - a2 = 0,解得a2= 2, ??n=2时,2????+ (3—a3)a2—a3=0, • •2x(|)??+ (3-a3)x2-a3 = 0, 解得：a3= 40.(2) c=时,2a n2+ (3— a n+1)a n + 1— a n+1 = 0.化为：2a n2+3a n + 1 - a n+1 a n - a n+1 = 0.因式分解为：(a n +1) ( 2a n +1 - a n+1)= 0, a n + 1 = 0 ,或 2a n +1 — a n+1 = 0 ,① a n + 1 = 0,解得：a n= - 1, 此时：｛a n ｝的前n 项和S n= - n. ② 2a n +1 — a n+1 = 0,化为：2 (a n +1) = a n+1+1 ,_1数列｛a n +1｝为等比数列,首项 a I +1=2,公比为-- .•.a n +1 = 2x (；)??-??, 解得 a n = (1)??-??- 1.・••｛a n ｝的前n 项和S n =【点评】此题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、转化方法,考查了推理水平与计算水平,属于中档题.1 2??-2。

2020年云南省昆明市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2020年云南省昆明市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中真命题的个数是（）①若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为64； ②“平面向量a ，b 夹角为锐角，则0a b ⋅>”的逆命题为真命题；③命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”；④若p ：1x ≤，q ：11x<，则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对于①，由方差的性质得：则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为2221664s =⨯=，故正确；对于②，逆命题为平面向量a ，b 满足0a b ⋅>，则向量a ，b 夹角为锐角，是假命题，故错误；对于③，命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”，正确；对于④，:1p x ⌝>，:10q x x ><或，∴p ⌝是q 的充分不必要条件，故正确. 故选C.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大. 2．已知函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[]22ln 2,e 2--B ．(]22ln 2,e 2--C ．122ln 2,2e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．122ln 2,2e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】本题可转化为函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，然后对e 2xy x =-求导并判断单调性，可确定e 2xy x =-的图象特征，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，可知e 20x x a --=在[]1,1-恰有两个解，即函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，令()e 2xg x x =-，则()e 2xg x '=-，当()0g x '=可得ln 2x =，故1ln 2x -<<时，()0g x '<；ln 21x <<时，()0g x '>. 即()e 2xg x x =-在[]1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()112eg -=+，()1e 2g =-，()ln 222ln 2g =-，因为()()11g g ->，所以当22ln 2e 2a -<≤-时，函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，即22ln 2e 2a -<≤-时，函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点.故选B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 3．已知()()31303f x x xf '=+，则()1f '的值为（） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】根据导函数求得()0f '，从而得到()2f x x '=，代入1x =得到结果.【详解】由题意：()()230f x x f ''=+，则()()0030f f ''=+解得：()00f '= ()2f x x '∴=()11f '∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过导函数求得()0f '，从而确定导函数的解析式.4．已知A ＝B ＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤ (4)(5)f f ≤≤；②f 的象有且只有2个，求适合条件的映射f 的个数为 ( ) A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】分析：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列，然后按照A 元素在B 中的象有且只有两个进行讨论. 详解：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列，因恰有两个象，将A 元素分成两组，从小到大排列，有()(1),2,3,4,5一组；()(1,2),3,4,5一组； ()(1,2,3),4,5一组； ()(1,2,3,4),5一组，B 中选两个元素作象，共有25C 种选法，A 中每组第一个对应集合B 中的较小者，适合条件的映射共有25440C ⨯=个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（1）分清象与原象的概念；（2）明确对应关系.5．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由上表知，，所以，当时，，所以男生体重约为，故选B ．考点：线性回归方程．6．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750 B ．0.3000C ．0.2500D ．0.2000【答案】C1x y a a =+-图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()()()1010.3000,120.3000,210.60000.20002P a P a P a <<=∴<<=∴>=-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为0.20.250010.2=-，故选C.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足0AF BF ⋅=，且6ABF π∠=，则双曲线的离心率e 的值是( )A ．13+ B ．13+C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】设'F 是双曲线的左焦点，由题可得'AF F ∆是一个直角三角形，由'6ABF AF F π∠==∠，可用c 表示出'3AF c =，AF c =，利用双曲线定义列方程即可求解．【详解】依据题意作图，如下：其中'F 是双曲线的左焦点，因为0AF BF ⋅=，所以AF BF ⊥，由双曲线的对称性可得：四边形'AFBF 是一个矩形，且'6ABF AF F π∠==∠，在'Rt AF F ∆中，'2F F c =，AF c =,'3AF c =,由双曲线定义得：'2AF AF a -=32c c a -=，整理得：3131c e a ===-，故选B 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及双曲线定义，考查计算能力，属于基础题．8．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得. 详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是.故选：C.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.9．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高D．乙的众数是21【答案】B【解析】【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224232+=故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C 对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D 对故选B ．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况． 10．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.11．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米A ．243π-B ．36363π-C ．36243π-D ．48363π-【答案】D 【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.343ππ⨯⨯-⨯-平方米，又由圆柱形的罐子的高h=9米，故水的体积V=Sh=48 3π- 故选D ．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档． 12．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（） A ．１ B 2C ．２D ．22【答案】B 【解析】1'21y x x=-=，则1x =，即()1,1P ，所以22d ==B ．二、填空题：本题共4小题13．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________．【答案】()()1,,1+∞-∞-【解析】【分析】令()22()2g x x f x x =-，对函数求导，根据条件可得()g x 单调递增，且()22()2g x x f x x =-单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．【详解】21()2f x x>-的解集为22()21x f x x -->的解集，令()22()2g x x f x x =-，则()22()()4g x xf x x f x x ''=+-，因为2()()4f x xf x '+>，所以当0x >时有22()()40xf x x f x x '+->，所以()22()()40g x xf x x f x x ''=+->，即当0x >时，()22()2g x x f x x =-单调递增，又因为(1)1f =，所以()1(1)21g f =-=-，所以22()21x f x x -->的解集为()()1g x g >的解集，由单调性可知，1x >又因为()f x 为偶函数，所以解集为()()1,,1+∞-∞-【点睛】本题解题的关键是构造新函数()22()2g x x f x x =-，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．14．()53x x +的展开式中含3x 项的系数为_________．【答案】270. 【解析】【分析】计算出二项展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，再将参数的值代入二项展开式通项可得出3x 项的系数. 【详解】()53x x +的展开式通项为565533k k k k k kxC x C x --⋅⋅=⋅⋅，令63k -=，得3k =，因此，()53x x +的展开式中含3x 项的系数为3353270C ⋅=，故答案为：270.【点睛】本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是利用二项展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为．【答案】013=--y x 【解析】试题分析：因为323y x x =-+，所以x x y 632'+-=，则在)2,1(点处的切线斜率为3=k ，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即013=--y x ；故填013=--y x ．考点：导数的几何意义．16．对于自然数方幂和()12k kk k S n n =+++（n *∈N ，k *∈N ），1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =+++，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1， 33﹣23＝3×22＋3×2＋1， ……(n ＋1)3﹣n 3＝3n 2＋3n ＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n ＋1)3﹣13＝23()S n ＋13()S n ＋n ，解得2()S n ＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，类比以上过程可以求得54324()A B C D E F S n n n n n n =+++++，A ，B ，C ，D ，E ，F ∈R 且与n 无关，则A＋F 的值为_______．【答案】15. 【解析】分析：先根据推导过程确定A,F 取法，即得A ＋F 的值. 详解：因为4432(1)4641n n n n n +-=+++,55432(1)5101051n n n n n n +-=++++，所以4321(1)14()6()4()n S n S n S n n +-=+++,54321(1)15()10()10()5()n S n S n S n S n n +-=++++所以43231231()4S n n a n a n a n =+++, 543241()5S n n Bn Cn Dn En =++++,所以11,055A F A F ==+=，.点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

昆明市2020年7月高一数学下学期期末质量检测卷附答案详析

20.（1）解： f (x)
3
sin
2x
cos
2x
2 sin
2x
6
，
当
x
0,
2
时，
6
2x
6
7 6
，所以
1
2 sin
2x
6
2
，
所以当
x
2
时，
f
x
在区间
0,
2
的最小值为-1.
（2）由题意知 g(x)
f
x
6
，
所以
g(x)
2 sin
2
x
6
6
2 sin
2x
2
15.已知 f x 是偶函数，对 x R 满足 f (x 2) f (x) ，当 x [0,1] 时， f (x) 2x 1.则 f 3 _________；
若关于 x 的方程 f (x) k (x 1)(k 0) 恰有四个不相等的实数根，则 k _________.（本题第一空 2 分，第二
2.函数 f (x) lg(2x 1) 的定义域为（）
A. (, )
B.
,
1 2
C. (0, )
D.
1 2
,
3.已知公差为 2 的等差数列 an 满足 a1 a4 0 ，则 a7 （）
A.5 B.7 C.9 D.11
4.已知向量 a (0,1) ， b (1, 3) ，则 a 与 b 的夹角为（）
（2）若 c 2 ， a 5 ， D 是 AC 边上异于 A 的点，且 BD 2 ，求△BCD 的面积.
18.（12 分）
已知数列an 满足
a5
4

云南省2020年高中数学学业水平考试模拟考试题(一)文

2020年云南省高中学业水平考试模拟考（一）文科数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分分卷I一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A．B．C．D．2.某化工厂单位要在600名员工中抽取60名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工300名，中年员工200名，老年员工100名，下列说法错误的是( )A．老年人应作为重点调查对象，故老年人应该抽超过30名B．每个人被抽到的概率相同且为C．应使用分层抽样抽取样本调查D．抽出的样本能在一定程度上反应总体的健康状况3.下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )A．正方体的棱长和体积B．单位圆中角的度数和所对弧长C．单产为常数时，土地面积和总产量D．日照时间与水稻的亩产量4.已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下图所示．则成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数分别为( )A． 2,3B． 2,4C． 3,2D． 4,25.一个完整的程序框图至少包含( )A．起、止框和输入、输出框B．起、止框和处理框C．起、止框和判断框D．起、止框、处理框和输入、输出框6.如图是某高中举办的2020年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为( )A． 84,85B． 84,84C． 85,84D． 85,857.下列框图属于当型循环结构的是( )A．答案AB．答案BC．答案CD．答案D8.如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )A． 83B． 84C． 85D． 869.下列事件是必然事件的是( )A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大C．如果a＞b，那么b＜aD．某人购买福利彩票中奖10.某校从参加高二年级数学测试的学生中抽出了100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则成绩在[80,100]之间的人数为( )A． 70B． 60C． 35D． 3011.如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数x1＋，x2＋，…，＋的平均数和方差分别是( )xnA．，s2B．＋，s2C．＋，3s2D．＋，3s2＋2s＋212.在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为( )A．B．C．D．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.将十进制数524转化为八进制数为________．14.数据9.30,9.05,9.10,9.40,9.20,9.10的众数是________；中位数是________．15.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取到2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________.16.程序：若输入的是3，则运行结果是________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.给出30个数：1,2,4,7,11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依次类推，要计算这30个数的和，现在已知该问题的算法的程序框图如图所示．(1)请在图中判断框和处理框内填上合适的语句，使之能实现该题的算法功能；(2)根据程序框图写出程序．18.函数y＝，写出给定自变量x，求函数值的算法.19.以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来．画出程序框图．20.设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为5 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.21.假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．22.某校随机抽取100名学生高中学业水平考试的X科成绩，并将成绩分成5组，得到频率分布表(部分)如下．(1)直接写出频率分布表中①②③的值；(2)如果每组学生的平均分都是分组端点的平均值(例如，第1组5个学生的平均分是＝55)，估计该校学生本次学业水平测试X科的平均分.答案解析1.【答案】D【解析】由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A的是阴影部分区域μA，故由几何概型的概率公式得，P(A)＝＝.2.【答案】A【解析】据样本特点，为了抽样的公平性，则应使用分层抽样，故A错误．3.【答案】D【解析】A项，由正方体的棱长和体积的公式知，V＝a3(a＞0)，故A不对；B项，单位圆中角的度数n和所对弧长l的关系为l＝，故B不对；C项，单产为常数k时，土地面积S和总产量L的关系为：L＝k·S，故C不对；D项，日照时间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间有相关关系，故D对．4.【答案】A【解析】根据频率分布直方图，得，(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝0.005；∴成绩落在[50,60)内的频率为2a×10＝0.1，所求的学生人数为20×0.1＝2；成绩落在[60,70)内的频率为3a×10＝0.15，所求的学生人数为20×0.15＝3.5.【答案】A【解析】一个完整的程序框图至少需包括起、止框和输入、输出框.6.【答案】A【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据是84,85,86,84,87，在这组数据中出现次数最多的是84，∴众数是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，∴中位数是85.7.【答案】A【解析】当满足条件的时候执行循环体，故选A.8.【答案】C【解析】由茎叶图可知评委打出的最低分为73，最高分为90，去掉最高分和最低分，其余得分为83,82,87,85,88，故平均分为＝85.9.【答案】C【解析】选项A为随机事件，选项B为不可能事件，选项C为必然事件，选项D为随机事件，故选C.10.【答案】D【解析】成绩在[80,100]之间的频率为(0.005＋0.025)×10＝0.3，所以成绩在[80,100]之间的人数为0.3×100＝30，故选D.11.【答案】C【解析】∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，∴x1＋，x2＋，…，xn＋的平均数为＋，x1＋，x2＋，…，xn＋的方差为3s2.12.【答案】A【解析】在区间(0,1)内任取的两个实数设为x，y，则对应的区域可表示为如图所示，两实数满足的区域为正方形区域OABC，两个实数的和大于满足的区域为五边形ABCDE，所以P 两实数和大于＝＝＝.13.【答案】1 014(8)【解析】524÷8＝65…4，65÷8＝8…1，8÷8＝1…0，∴化成八进制数是1 014(8)．14.【答案】9.10 9.15【解析】出现次数最多的是9.10，故众数是9.10.将这些数按大小顺序排列，中间两个数为9.10,9.20，其平均数为＝9.15，则中位数为9.15，故答案为9.10,9.15.15.【答案】【解析】事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料”是对立事件，根据对立事件的概率公式得P＝1－＝＝.16.【答案】12,3,18,54【解析】对M，N进行赋值运算，第一句输入3时，将3赋给了M；第二句，将3赋给N；第三句，将12赋给M；第四句，将18赋给P；第五句，将54赋给Q；第六句，输出M，N，P，Q的值．17.【答案】(1)该算法使用了当型循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i的，故应为i≤30.算法中的变量p实质是表示参与求和的数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故处理框内应为p＝p＋i.故①处应填i≤30？；②处应填p＝p＋i.(2)根据程序框图，可设计如下程序：【解析】18.【答案】算法如下：第一步，输入x.第二步，若x>0，则令y＝－x＋1后执行第五步，否则执行第三步.第三步，若x＝0，则令y＝0后执行第五步，否则执行第四步.第四步，令y＝x＋1.第五步，输出y的值.【解析】19.【答案】用条件结构来判断成绩是否高于80分，用循环结构控制输入的次数，同时引进两个累加变量S、m，分别计算高于80分的成绩的总和S和人数m.程序框图如图所示：【解析】20.【答案】记“硬币落下后与格线有公共点”为基本事件A，设共有n2(n∈N*)个边长为5 cm 的正方形.如图所示，当硬币的圆心落在正方形A1B1C1D1与ABCD之间的带形区域内部时，事件A发生.因为AB＝5 cm，硬币半径为1 cm，所以A1B1＝3 cm.因为共有n2个正方形，所以区域D＝n2×52＝25n2(cm2)，区域d＝n2×(52－32)＝16n2(cm2)，所以P(A)＝＝＝.故硬币落下后与格线有公共点的概率为.【解析】21.【答案】解甲＝(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1，＝(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)乙＝10.5，＝[5×(10－10.1)2＋2×(9－10.1)2＋3×(11－10.1)2]＝0.49，＝[3×(10－10.5)2＋2×(8－10.5)2＋(7－10.5)2＋(11－10.5)2＋(12－10.5)2＋(14－10.5)2＋(15－10.5)2]＝6.05，＜．所以甲供货商交货时间短一些，且交货时间具有一致性与可靠性．【解析】22.【答案】解(1)从上至下，三个空依次是0.35×100＝35，＝0.30,1.00.(2)第2、3、4、5组学生的平均分依次是＝65；＝75，＝85，＝95，该校学生X科的平均分为＝74.5.【解析】。

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云南省2014年7月普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

1. 已知全集{
}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,4=M ，则=M C U （）
袈
A. {}5
B. {}5,4
C. {
}3,2,1 D. {}5,4,3,2,1
2. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是全等的等腰三角
形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（）
A.正方体
B.圆锥
C.圆柱
D.半球
3. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，则=+CM AB （）
A.
MB B. BM
C.
DB D. BD
4. 已知0>ab ，则b
a
a b +的最小值为（）
A.1
B.2
C.2
D. 22
为了得到函数x y 3
1
sin =的图像，只需把函数x y sin =图像上所有的点的( )
A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩小到原来的
3
1
倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
D. 纵坐标伸长到原来的
3
1
倍，横坐标不变
6. 已知一个算法的流程图如图所示，则输出的结果是（）
A.2
B.5
C.25
D.26
7. 直线l 过点()2,3且斜率为4-，则直线l 的方程为( )
8.
则
A.
3 B. 0 C. 3
D. 1
12. 直线0=-y x 被圆12
2
=+y x 截得的弦长为( )
A.
2 B. 1 C. 4 D. 2
13. 若3tan =θ，则=θ2cos ( )
A.
54 B. 53 C. 5
4- D. 53
-
14. 偶函数)(x f 在区间[]1,2--上单调递减，则函数)(x f 在区间[]2,1上( )
A. 单调递增，且有最小值)1(f
B. 单调递增，且有最大值)1(f
C. 单调递减，且有最小值)2(f
D. 单调递减，且有最大值)2(f
15. 在ABC ∆中，ac c a b 32
22=--，则B ∠的大小( )
A. 30
B. 60
C. 120
D.
150
16. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是( )
A.27.5
B. 28.5
C. 27
D. 28
17. 函数)3(log )(5.0-=x x f 的定义域是( )
A.[)+∞,4
B. (]4,∞-
C.()+∞,3
D. (]4,3
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

18. 某校有老师200名，男生1200名，女生1000名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从男生中抽取的人数为；
19. 直线l ：1=x 与圆022
2=-+y y x 的位置关系是；
20.两个非负实数x ,y 满足33≥+y x ，则y x z +=的最小值为；
21. 一个口袋中装有大小相同、质地均匀的两个红球和两个白球，从中任意取出两个，则这两个球颜色相同的概率是；
22. 已知扇形的圆心角为
6π，弧长为3
2π，则该扇形的面积为 .
三、解答题：本大题共4小题，共34分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.已知)1,1(=→a ，)cos ,(sin x x b =→
，2
,
0(π
∈x .
（1）若→
→b a //，求x 的值；
（2）求)(x f =→
→⋅b a ，当x 为何值时，)(x f 取得最大值，并求出这个最大值.
24. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点。

(1)求证:1BD AC ⊥;（2）AE //平面1BFD .
25. 在直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，且4=AB ，2==CD BC ，点M 为线段AB
上的一动点，过点M 作直线AB a ⊥，令x AM =，记梯形位于直线a 左侧部分的面积)(x f S =.
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）作出函数)(x f 的图象.
（
云南省2014年7月普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案
一、选择题
1～5 CBACA 6～10 DBCBB 11～15 DDCAD 16、17 AD
二、填空题
18. 120 19. 相切 20. 1 21.
31 22. 3
4π
三、解答题
23.解：（1）若b a
//，则cos x -sin x =0，即tan x =1
∵),(20πx ∈ ∴4
π
x =
（2）∵)sin(cos sin )(42πx x x b a x f +=
+=⋅= ，)2
,0(π
∈x
∴当4
2414π
x ππx πx ==+=+，，即)sin(时，)(x f 取得最大值，的)(x f 最大值为2.
24. 证明：(1) 连结BD ，由正方体1111D C B A ABCD -得，D 1D ⊥平面ABCD ，
又AC
平面ABCD ，∴ AC ⊥D 1D
又四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，
而D 1D ∩BD =D ，
∴ AC ⊥平面BDD 1，又BD 1平面BDD 1，
∴ AC ⊥BD 1
（2）连结EF ，由E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点得，EF //AB 且EF =AB
∴ 四边形ABFE 是平行四边形，∴ AE //BF
又1BFD AE 平面⊄，1BFD BF 平面⊂
∴AE //平面1BFD
25.
26.。