西南交大现代信号处理作业

现代信号处理作业

1.(5″)证明下面定理：任何一个无偏估计子方差的下界叫作Cramer-Rao 下界 定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若ˆθ是θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ∂∂存在，则

22

1

ˆˆvar()()[ln (|)]E E f x θ

θθθθ

=-≥∂

∂

式中ˆln (|)()()f x K θθθθθ

∂=-∂。其中()K θ是θ的某个不包含x 的正函数。

2.(10″)Wiener 滤波是信号处理中最常用和基础的波形估计工具之一，对其在自己研究领域的应用情况进行一个简单综述。

3.(5″)二阶滑动平均过程由

2()()1(1)2(2),

{()~(0,)}x n w n b w n b w n w n N σ=+-+-

定义，式中2(0,)N σ表示正态分布，其均值为零、方差为2σ。求x(n)的功率谱。

4.(20″)信号的函数表达式为：

()sin(2100)sin(2300)()sin(2200)()()x t t t A t t dn t n t πππ=++++，其中，A(t)为一随时间

变化的随机过程，dn(t)为经过390-410Hz 带通滤波器后的高斯白噪声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz ，采样时间为2.048s 。 (1) 利用现代信号处理知识进行信号的谱估计； (2) 利用现代信号处理知识进行信号的频率提取； (3) 分别利用Wiener 滤波和Kalman 滤波进行去噪； (4) 利用Wigner-Ville 分布分析信号的时频特征。

5.(10″)附件中表sheet1 为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负荷数据，采样时间间隔为1小时，利用ARMA 方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给出预测误差（5月5日的实际负荷数据如表sheet2）。

1、

定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若参数估计ˆθ是真实参数θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ∂∂、22(|)/f x θθ∂∂存在，则ˆθ的均方误差所能达到的下界（称为Cramer-Rao 下界）等于Fisher 信息的导数，即：

22

1

ˆˆvar()()[ln (|)]E E f x θ

θθθθ

=-≥∂

∂ （1-1）

不等式中等号成立的充分必要条件是：

ˆln (|)()()f x K θθθθθ

∂=-∂ （1-2） 其中()K θ是θ的某个正函数，与样本1(,,)N x x x =无关。 证明：由假设条件知，ˆ{}E θθ=或ˆ{}0E θθ-=，因此有

1

ˆˆ{}()()0N E f x dx dx θθθθθ∞∞

-∞

-∞

-=-=⎰

⎰

（1-3）

对上式两边求关于θ的偏导，得

ˆˆˆ

{}()()[()()]0E f x dx f x dx θ

θθθθθθθθθ

θ

∞

∞

-∞

-∞∂∂∂-=-=-=∂∂∂⎰

⎰

即有

ˆ()()()0f x dx f x dx θθθθθ

∞∞-∞

-∞∂-+-=∂⎰

⎰ （1-4） 另一方面，由复合函数的求导法，又有

()[ln ()]()f x f x f x θθθθθ

∂∂

=∂∂ （1-5） 由于()f x θ是x 的条件概率密度，故

()1f x dx θ∞

-∞

=⎰

（1-6）

将式（1-5）和式（1-6）带入式（1-4），得

ˆ[

ln ()]()()1f x f x dx θθθ

θθ

∞

-∞

∂-=∂⎰

或改写作

ˆ[

ln (1f x dx θθθθ

∞

-∞

∂-=∂⎰

（1-7） 由Cauchy-Schwartz 不等式知，对于任意两个复函数()f x 和()g x ，恒有不定式：

2

2

2

()()()()f x g x dx f x dx g x ∞

∞

∞

-∞

-∞

-∞

≤⎰

⎰

⎰

成立，并且当且仅当()()f x cg x *=，等号成立，将Cauchy-Schwartz 不等式应用于

式（1-7），则有

2

2

ˆ[ln ()]()()()1f x f x dx f x dx θθθθθθ∞

∞-∞-∞∂-≥∂⎰⎰ 或等价为

22

1

ˆ()()[ln ()]()f x dx f x f x dx

θ

θθθθθ∞

∞

-∞

-∞-≥∂∂⎰

⎰ （1-8）

由Cauchy-Schwartz 不等式等号成立的条件知：当且仅

当

ˆln (()(f x K θθθ

θθ

∂=-∂1-2）成立时，不等式（1-8）才取等号。

注意到ˆ{}E θθ=，故有

22ˆˆˆvar(){()}()()E f x dx θθθθθθ∞-∞

=-=-⎰ （1-9）

另由公式{()}()()E g x g x f x dx θ∞

-∞=⎰知

2

2

{ln ()}ln ()()E f x f x f x dx θθθθθ∞-∞∂∂⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦

⎰ （1-10） 将式（1-9）和式（1-10）代入式（1-8），直接得到不等式（1-1）。根据前面的分析，不等式等号成立的充分必要条件是式（1-2）成立