二元函数的连续性

设P0 (x0 , y0 )、 P(x, y) D, x x x0 , y y y0
则称 z f (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
为函数f在P0的 全增量。
即当 lim z 0 (x,y )(0,0)
由上述定义：若 P0是D的孤立点，则 P0必定是f关于D的连续点；
若P0是D的聚点，则f关于D在P0连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
如果P0是D的聚点，而（2）式不成立，则称 P0是f的 不连续点。
特别当(2)式 左边极限存在但不的等 于f (P0 )时，P0是f的
可去间断点。
k
f
(Pnk
)
f
(Qnk
)
f (P0 ) f (Q0 ) 0
这与 f (Pnk ) f (Qnk ) 0 0相矛盾。所以f在D上一致连续。
定理4 （介值性定理） 设函数f在区域D R2上连续，若 P1，P2为D中
任意两点，且 f (P1) f (P2 )，则对任何满足不等式 f (P1) f (P2 )
综合起来，当x x0 , y y0 时，有 g(x, y) g(x0 , y0 ) f (u,v) f (u0 ,v0 )
所以说复合函数 f ((x, y), (x, y))在点P0 (x0 , y0 )连续。
有界闭域上连续函数的 性质
定理2 （有界性与最大、最小值定理）若函数f在有界闭域 D R2上连续，
则f在D上 一致连续。即对任何 0，总存在只依赖于的正数，
使得对一切点 P、Q， 只要(P,Q) ，就有 f (P) f (Q)
证明 假设f在D上连续而不一致连续， 则存在某 0 0，对于
任意小的
0，
例如
1 n
，n
1,2,
，总有相应的Pn、Qn
D，
虽然(Pn ,Qn )
1 ，但是
n
f
(Pn )
xy 0
z
因此在原点处 f对x和对y分别都连续。
O
y
x
定理1（复合函数的连续性）设函数u (x, y)和v (x, y)在xy平面上
点P0 (x0 , y0 )的某邻域内有定义，并 在点P0连续；函数 f (u, v)在uv平面上点 Q0 (u0 , v0 )
的某邻域内有定义，并 在点Q0连续，其中 u0 (x0 , y0 )，v0 (x0 , y0 ) 则复合函数 g(x, y) f [(x, y), (x, y)]在点P0也连续。
证明 由f在点Q0连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 使得当u u0 , v v0 时，有 f (u,v) f (u0 ,v0 ) 又由、在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当x x0 ,
y y0 时，都有 u u0 (x, y) (x0 , y0 ) v v0 (x, y) (x0 , y0 )
时，f在点P0连续。
( x, y )D
如果在全增量中取 x 0或y 0，则相应的函数增量为偏增量，
记作 x f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
y f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。
即f (P0 )
的实数，必存在点 P0 D，使得f (P0 )
y
证明 作辅助函数 F(P) f (P) ， P D
易见F仍在D上连续，且由不等式知道
F(P1) 0, F(P2 ) 0. 假设P1，P2是D的内点，
P1
下面证明必存在 P0 D，使F (P0 ) 0.
O
D
P2
x
由于D为区域，用有限段都在D中的折线 连接P1和P2。 若有某一个连接点所对应的函数值为0，则定理已证。否则
当函数f (x, y)在其定义域的内点 (x0 , y0 )连续时， f (x, y0 )在x0和f (x0 , y)在y0
都连续；但是，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性。
1, 例如二元函数 f (x, y) 0,
f (0, y) f (x,0) 0，
xy 0
在原点处显然不连续，但由于
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
0 (Pnk , Qnk )
1 nk
0， k
得到
而有lim k
Qnk
lim
k
Pnk
P0，最后，由f在P0连续，
lim
考察D上的连续正值函数 F (P) 1 M f (P)
由已知，F在D上有界，又因 f不能在D上达到上确界 M，所以存在
收敛点列Pn D
使 lim n
f
(P)
M。于是有lim n
F(Pn )
，与F在D上
有界的结论相矛盾。所以f在D上能取得最大值。
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定理3 （一致连续性定理） 若函数f在有界闭域 D R2上连续，
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
由于
lim f (x, y) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
1 m2
ymx
因此f在原点沿着直线 y mx是连续的。
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
可证必有一点 Q D，使f (Q) M。否则对任意 P D，都有M f (P) 0
则f在D上有界，且能取得最大 值与最小值。
证明 先证明f在D上有界。否则对每个正 整数n，必存在点 Pn D，
使得 f (Pn ) n, n 1,2,
于是得到一个有界点列 Pn D，且总能使 Pn 中有无穷多个不同的点 。
由聚点定理的推论， Pn存在收敛子列Pnk
，设
lim
k
Pnk
P0，且D是闭域，
从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F在它两端的
函数值异号，设连结 P1(x1, y1)，P2 (x2, y2 ) 的直线段含于D，
其方程为
x
y
x1 y1
t(x2 t( y2
x1 ) y1 )
0t 1
在此直线段上，F表示为关于t的复合函数
G(t) F(x1 t(x2 x1), y1 t( y2 y1))， 0 t 1
§3 二元函数的连续性
二元函数的连续性概念
定义 设f为定义在点集 D R2上的二元函数， P0 D。对于任给
的正数 ，总存在相应的正数 ，只要P U (P0 ; ) D，就有 f (P) f (P0 )
则称f关于集合 D在点P0 连续， 也称f在点P0连续。 若f在D上任何点都关于集合 D连续，则称 f为D上的连续函数。
它是[0,1]上的一元连续函数，且 F(P1) G(0) 0 G(1) F(P2 )
由一元函数根的存在性定理，在(0,1)内存在一点 t0，使得G(t0 ) 0.
记
x0 x1 t0 (x2 x1 )
y0 y1 t0 ( y2 y1 )
则有P0 (x0 , y0 ) D，使得 F (P0 ) G(t0 ) 0