二元函数连续性

x + y ( x, y)→(1,0)
2
2
解：显然，
点(1,0)是初等函数f (x, y) = ln(x + e y ) 的连续点。
x2 + y2
因此， lim ln(x + e y ) = f (1,0) = ln 2.
x + y ( x, y)→(1,0)
2
2
xy + 1 − 1
例 6 求 lim
= ρ (sin3 θ + cos3 θ ) < 2ρ
∀ ε > 0,
∃δ = ε ,
2
当 0<
f ( x, y) − f (0,0) < 2ρ < ε
x2 + y2 < δ 时
lim f ( x, y) = f (0,0),
( x, y )→(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
例2、函数f
(x,
1、两个连续函数的和、差、积、 商（分母不为零）仍是连续函数；
2、两个连续函数的复合函数也是连续函数；
多元初等函数是指可以用一个式子表示的多元函数，
它是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数
经过有限次四则运算和复合运算得到的。
如 = f ( x, y)
lnsin( xy) +
x x2
− +
y y2
0,
x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性．
解：取 y = kx
lim
x→0 y→0
xy x2 + y2
=
lim
x→0 y = kx
x2
kx 2 + k2x2
=
1
k +k
2
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
所以函数在(0,0)处不连续．
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0 (x0 , y0)的全增量 ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0),则
说明：性质2告诉我们， 设f在有界闭区域D上连续，记m, M为f在D上的 最小值和最大值，则对于任意满足不等式
m<C < M
的实数C,必存在点P0 ∈ D,使得 f (P0 ) = C.
1、连续性的定义（两种形式）。 2、多元初等函数的连续性。 3、有界闭区域上多元连续函数 的性质。
.
x→0
xy
y→0
lim 解：x→0
y→0
xy + 1 xy
−1
=
lim
x→0
y→0
xy + 1 − 1 xy( xy + 1 +
1)
1
1
= lim
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
解：函数f (x, y) = (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2是二元初等函数， 定义域是R2 ,并且它在点（0,0）(∈ R2 )处连续,
所以 lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2 ( x, y)→(0,0) = f (0,0) =1
例５ 求极限 lim ln(x + ey )
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求 极限可用“代入法”。
lim
P→ P0
f (P) =
f ( P0 )
（ P 0 ∈定义区域）
例４ 求极限
lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2
( x, y)→(0,0)
限不等于f (P0 ).则f (P)在点P0处不连续，是 间断的。
例1
讨论函数
f
( x,
y)
=
x3 x2
+ +
y3 y2
,
( x, y) ≠ (0,0)
0,
( x, y) = (0,0)
在(0,0)处的连续性．
解：取 x = ρ cosθ , y = ρ sinθ
f ( x, y) − f (0,0)
y)
=
sin
x2
+
1 y2
−1
, 定义域为
D = {(x, y) x2 + y2 ≠ 1},圆周C = {(x, y) x2 + y2 = 1}
上的点都是D的聚点，而f在C上没有定义，所以 f在C上不连续，故C上的点都是函数f的间断点。
例3 讨论函数
f
(
x,
y)
=
x
2
xy +
y2
,
x2 + y2 ≠ 0
1、若f (P)在D上任何点都连续， 则称f (P)是D上的连续函数。 2、二元函数连续性概念，可类似地 推广到n元函数f (P)上去。 3、二元函数函数f (x, y)在点P0连续 必须满足三个条件：1）在P0点有定义； 2）在P0点极限存在；3）极限值和函数 值相等。
4、若f (P)在点P0处1）没有定义；2）有定义， 但极限不存在；3）有定义，极限存在，但极
f
(x,
y)在P0 (x0 ,
y 0 )连续
⇔
lim
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
∆z
=
0
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 戴明清
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
wenku.baidu.com
设二元函数f (x, y)的定义域为D ⊂ R2 ,
P0 (x0 , y0 )是D的聚点，且P0 ∈ D.如果
lim
( x, y)→( x0 , y0 )
f (x, y) =
f (x0 , y0 )
则称函数f (x, y)在P0 (x0 , y0 )连续。否则， 称f (x, y)在P0 (x0 , y0 )间断，P0 (x0 , y0 )为 f (x, y)的间断点。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得 对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
性质2 （介值定理） 有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得 介于最大值和最小值之间的任何值。