3 二元函数的连续性

证明 由 f 在点Q 0 连续可知: 0 ; 0,当
u u0 ， v v 0 时，有
f u, v f u0, v 0 .
, 0, 当 x x 0 , 又 , 在点 P 0 连续可知：
y y 0 时，都有
PP 0 PD
PP 0 PD
特别 lim f P 存在但不等于 f P 0 时 , P 0 是 f 的可
PP 0 P D
去间断点.
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续， 则称
f 为 D 上的连续函数.

二元函数 f (P) 在 P0 连续必须满足三个条件：
在 P0 有定义, 在 P0 的极限存在, 且极限值等于 函数值两者相等
2、连续的几种等价形式
(1) f 在 P0 的全增量
z f x0 , y0 f x , y f x0 , y0 f x0 x , y0 y f x0 , y0

x ,y 0,0
f 在点 P 连续
lim
z 0
k k



lim f Pnk f Qnk f P 0 f P 0 0.
k


这与 f Pnk f Qnk 0 0 相矛盾 . 所以 f 在
D 上一致连续.


定理16.10 （介值性定理）
设函数 f 在区域 D R 2 上连续，若 P 1, P 2 为 D 中任 意两点,且 f P 1 f P 2 , 则对任何满足不等式
f Pn n ， n 1,2,
(1)
于是得到有界点列 Pn D, 且总能使 Pn 中有无 穷多个不同的点. 则可知 Pn 存在收敛子列 Pnk ， 设 lim Pnk = P0 ,从而 P0 D .因此有
k

lim f Pnk f P0 .
x 的一元函数在 x 0连续
易证 f x , y 在点 x0 , y0 连续
f x , y0 在 x0 和 f x0 , y 在 y0 都连续.
反之不成立
1, xy 0 例：二元函数 f x , y 在原点处不 0, xy 0
连续，但 f 对 x 和 y 分别连续.
续 ， 其 中 u0 x0 , y0 , v0 x0 , y0 , 则 复 合 函 数
g x, y f x , y , x , y 在点 P 0 也连续.
f u, v 点 Q0 u0 , v0 的某邻域内有定义，并在点 Q0 连
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
3. 连续函数的局部性质
若 f x , y 在某点连续，则可证明它在这一点近旁
具有局部有界性、局部保号性.
两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０） 都是连续函数；
4. 二元连续函数的几何意义:
定义在区域 D 上的二元连续函数
z f P f x, y
表示了在 D 上的一片没有"空洞",没有"裂缝"的连 续曲面.
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
Leabharlann Baidu (sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2

x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 2
( x , y )( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) f (0,0),
故函数在(0,0)处连续.
例4 讨论函数
xy 2 2 , x y 0 x2 y2 f ( x, y) 2 2 0, x y 0
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx 2 xy k kx lim 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y 2 x 0 x k x 1 k y0 y kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．
则称 f 关于集合 D 在点 P 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
由于 D 为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk Pn , 并设
lim Pnk P0 D.
k

为记号方便，在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子
1 列 Qnk ，因 0 Pnk , Qnk 0, k ， nk 有 lim Qnk lim Pnk P 0. 由 f 在 P 0 连续，得到
若不然，对任意 P D,都有 M f P 0.
1 考察 D 上的连续正值函数 F P , M f P 由前面的证明可知, F P 在 D 上有界.
又因 f 不能在 D 上达到上确界 M ,所以存 在点列 Pn D, 使 lim f Pn M .
f P f Q .
证明 假设 f 在 D 上连续而不一致连续，则存在某
1 0 , 对任意小的 0, 如 , n 1,2, n 1 应的 Pn , Qn D, 虽然 Pn, Qn , 但 n f Pn f Qn 0 . , 总有相
k

这与 1 矛盾.所以 f 是 D 上的有界函数.
再证在 D 取得最大、最小值
设 m inf f D , M sup f D . 可 证 必 有 一 点 Q D , 使 f Q M ( 同 理 可 证 存 在 Q ' D, 使
f Q ' m ).
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
设 f 为定义在点集 D R 2 上的二元函数，
P 0 D . 对于任给的正数 , 总存在相应的正数
只要 P U P 0;
D , 就有
f P f P0
（ P 0 定义区域）
y
x y 例 5 求极限 lim . x1 xy y 2
o
x
解 定义域: D {( x , y ) | x 0, y 0}. （不连通）
点(1,2) D1 {( x , y ) | x 0, y 0} D
于是
x y 1 2 3 . lim x 1 1 2 2 xy y2
z
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
二. 有界闭域上连续函数性质
定理16.8 （有界性与最大、最小值定理）
若函数 f 在有界闭区域 D R 2 上连续,则 f 在 D 上有界,且能取得最大值与最小值.
证 f 在 D 上有界. 即
M 0, P D, 有 | f ( X ) | M .
否则,对正整数 n,存在点 P 0 D ,使得
这里条件 " D 是一区域 "是必要的 . 若 D 不是区域 ,
z f P 可能不是通常意义下的连续曲面.
5.复合函数的连续性
定理 16.7 (复合函数的连续性)
P0 x0 , y0 的某邻域内有定义 , 并在点 P0 连续；函数
设函数 u x , y 和 v x , y 在 xy 平面上点
(2) f 在 P0 的偏增量
x f x0 , y0 f x0 x , y0 f x0 , y0
yf x0 , y0 f x0 , y0 y f x0 , y0
函数的全增量不等于相应的两个偏增量之和.
x 0
lim x f x0 , y0 0 表示固定 y y0 时,作为
u u0 x , y x 0 , y 0 v v 0 x , y x 0, y 0
0 ， 0，当 u u0 , v v 0 时，有
所以复合函数 f x , y , x , y 在点 P0 x0 , y0 连续. 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则 运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的 多元函数叫多元初等函数 x y 如 f ( x , y ) lnsin( xy ) 2 x y2 xyz f ( x, y, z ) 3tg(e sin xy ) xz
f P1 f P 2 (4)
的实数 ，必然存在点 P 0 D, 使得
f P0 .
证明
作辅助函数 F P f P , P D . 易见 F
g x, y g x0 , y0 f u, v f u0, v 0 .
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域． 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
P P0
lim f ( P ) f ( P0 )
lim
m f x, y f 0,0 2 1 m
例2
1 , f ( x, y) 0 ,
0 y x 2 , x , 其他 .
证明：函数 f x , y 在点 0,0 不连续.
x3 y3 , ( x , y ) (0,0) 2 2 例3 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0,0)
n
于是有 lim F Pn ,这导致与 F 在 D 上有
n
界的结论相矛盾.从而 f 在 D 上能取得最大值.
定理16.9 （一致连续性定理）
若函数 f 在有界闭区域 D R 2 上连续,则 f 在 D 上一致连续.
即 0, 0, 使对一切点 P、 Q , 只要 P , Q , 就有
xy 2 2 , x y 0 , 2 2 x y 例1 f ( x , y ) m , x2 y2 0 . 1 m2
证 函数 f x , y 在点 0,0 沿方向 y mx 连续.
分析 由于
x , y 0,0
y mx