第3讲 函数的连续性

3-7 由 f (x) = f (2x) ， 得 f (x) = f (1 x) = f ( 1 x) = " = f ( 1 x) ， 两 边 对 n → ∞ 求 极 限 ， 得
2
22
2n
f (x) = lim n→∞
f (x) = lim n→∞
f
(
1 2n
x) =
f
(lim n→∞
1 2n
x) =
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点；其余的间断点都称为第二类间断点. 一般来说，可疑间断点包括不在定义域内的点和分段函数的分界点. 3．闭区间上连续函数的性质
定 理 1 （ 有 界 性 定 理 ） 设 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 连 续 ， 则 f (x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 有 界 . 即
设
f
(x)
=
⎧x ⎨⎩0
x∈Q ，则此函数仅在 x = 0 处连续.
x∈R\Q
问：能否改造此函数，使得函数仅在两个点、三个点……连续呢？（留给读者） 2. 有关连续性的证明
例 3-4（根的存在性定理的推广形式）设函数 f (x) 在 (a,+∞) 上连续，lim f (x) = A ，lim f (x) = B ，
x)
=
⎧b, ⎨⎩− x
+ 1,
x ≤ 0 ，求 a,b 使ϕ(x) = f (x) + g(x) 在 (−∞,+∞) 上连 x>0
续.
⎧
⎪ ⎪
ln(1 +
ax3 )
,
3-6 设函数 f (x) = ⎪⎪⎨6x,− arcsin x
⎪ ⎪
eax
+
x2
−
ax
−1
,
⎪ ⎪⎩
x sin x 4
x<0 x = 0 ，问 a 为何值时， f (x) 在 x = 0 处连续；a 为何值时，x = 0 x>0
（3） f (a + 0) = f (a − 0) = f (a) ；
（其中 f (a + 0) = lim f (x) ， f (a − 0) = lim f (x) .）
x→a+
x→a−
若上述三条件之一不成立，则称 f (x) 在 a 点不连续（间断），并称 a 是函数 f (x) 的不连续点（或间断点）.
（2）当 f (1 − l) = 0 时， F (1 − l) = 0 .取 x0 = 1 − l ，就有 f (x0 ) = f (x0 + l) .
（3）当 f (l) 和 f (1 − l) 均不为零时，则由根的存在性定理可知， ∃x0 ∈ (0,1 − l) ，使得 F (x0 ) = 0 .即
=0
的
实
数
，
证
明
：
a0 + a1x + a2 x 2 + " + an x n = 0 在[0,1] 上至少有一个实根.
3-15 设
f (x) 在[a,b] 上连续，
f (a) =
f
(b) ，证明：至少存在 x0 ∈[a, b] ，使得
f
(x0 ) =
f (x0
+Байду номын сангаасb−a). 2
3-16 设函数 f (x) 在 (0,1) 上有定义，且函数 ex f (x) 与函数 e−x f (x) 在 (0,1) 上都是单调递增的，求证：f (x)
f 2 (x0 ) > 0 .于是 2
b
x0 −δ
x0 +δ
b
∫ ∫ ∫ ∫ f 2 (x)dx = f 2 (x)dx + f 2 (x)dx + f 2 (x)dx > 0 ，这和条件矛盾！
∃M > 0,∀x ∈[a,b], f (x) ≤ M .
定理 2（最大值最小值定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，则 f (x) 在闭区间[a,b] 上有最小值 m 和
最大值 M .即 ∃x1, x2 ∈[a, b] ，使得 f (x1 ) = m, f (x2 ) = M . 定理 3（根的存在性定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，且 f (a) f (b) < 0 ，则在开区间 (a, b) 内至
x→a+
x→+∞
且 A ⋅ B < 0 ，证明： ∃ξ ∈ (a,+∞) ，使得 f (ξ ) = 0 .
例 3-5（有界性定理的推广形式）设函数 f (x) 在 (a,+∞) 上连续， lim f (x) = A ， lim f (x) = B ，
x→a+
x→+∞
证明： f (x) 在 (a,+∞) 上有界.
⎝ t −1⎠
t→x
类型.
3-3 设 f (x) = x ，求 f (x) 的间断点，并判别类型. tan x
3-4
设
f
(x)
=
⎡1 ⎢⎢⎣1 +
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
，其中 [t]表示不超过 t
的最大整数，求函数
f
(x)
的间断点，并说明所属类型.
3-5
设
f
(x)
=
⎧2x, ⎨⎩a,
x x
< ≥
1 1
，g
(
例 3-6 试证：（1）奇次多项式 p(x) = a0 x 2n+1 + a1x 2n + " + a2n+1 (a0 ≠ 0) 至少存在一个实根，其中 ai ,i = 0,1, 2,", 2n +1 都是实数. （ 2 ） 方 程 a0 x2n + a1x2n−1 +" + a2n−1x + a2n = 0 (a0 ≠ 0) ， a2n < 0 至 少 有 两 个 实 根 ， 其 中 ai ,i = 0,1, 2,", 2n +1 都是实数.
少存在一点 c ，使得 f (c) = 0 .
定理 4（介值性定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， m 和 M 分别是函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上的
最小值和最大值，ξ 是 m 和 M 之间的任意一个数（ m ≤ ξ ≤ M ），则 ∃c ∈[a,b]，使得 f (c) = ξ .
∫ ∫ 例 3-9 设 f (x) 是周期为T (T > 0) 的连续函数，证明： lim 1 x f (t)dt = 1 T f (t)dt .
x x→+∞ 0
T0
∫ ∫ 注：特别地，如求 lim 1 x sin t dt = 1 π sin t dt = 2 .
x x→+∞ 0
π 0
π
例 3-10 设 fn (x) = x + x2 + " + x n (n = 2,3,") ，证明：
第 3 讲 函数的连续性
函数的连续性是高等数学研究对象的一个基本特征，它往往是讨论函数问题的一个先决条件，连续函 数性质经常是解决数学问题的有力工具.
3.1 基本概念、内容、定理、公式
1 ． 定 义 1 设 f (x) 在 a 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ， 若 对 ∀ε > 0, ∃δ > 0 ， 只 要 x − a < δ ， 就 有
lim
n→∞
1
+
(2
x)2
n
的所有间断点，并指出这些间断点的类型
例 3-3 试证狄利克莱(Dirichlet)函数 D(x) = limlimcosn (πm!x) 对 ∀x ∈ R 都不连续. m→∞ n→∞
注：狄利克莱(Dirichlet)函数因它的性质太“坏”经常作为反例出现.例如有这样一个问题：已知函数在一 点处连续能否推出此函数在这点的一个邻域内都连续呢？回答是否定的，即函数在一点处连续与函数在此 点附近是否连续没有任何直接关系.请看下面例子：
x0 ∈ (0,1) ，使得 f (x0 ) = f (x0 + l) .
b
∫ 3-9 设 f (x) 在[a,b] 上连续，证明： f 2 (x)dx = 0 ⇔ f (x) = 0,∀x ∈[a,b]. a
3-10 若 f (x) 在[ A, B] 上连续，证明：
∫ lim 1
x
[f
(t
+ h) −
f (x) − f (a) < ε .则称函数 f (x) 在 a 点连续.即
lim f (x) = f (a) = f (lim x) .
x→a
x→a
2．定义 2 函数 f (x) 在 a 点连续必须满足三个条件：
（1）点 a 属于函数定义域内； （2） f (a + 0) 与 f (a − 0) 都存在；
2 则至少存在一点ξ ∈[a,b] ，使得 f (ξ ) = 0 .
53
例设 f (x) 在[−a, a] (a > 0) 具有二阶连续导数， f (0) = 0 ，
（1）写出 f (x) 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
a
∫ （2）在[−a, a] 上至少存在一点η ，使得 a3 f ′′(η) = 3 f (x)dx 。 −a
（1）方程
fn (x)
=
1在[0,+∞) 内有唯一的实根
xn
；（2）求 lim n→∞
xn
.
3.3 练习题
3-1 设 f (x) = 1 + 1 − 1 , x ∈[1 ,1) ，试补充定义 f (1) 使得 f (x) 在[1 ,1] 上连续.