第3讲 函数的连续性

在 (0,1) 上连续.
3.4 答案与提示
3-1 f (1) = lim f (x) = 1 .
x→1−
π
x
3-2 f (x) = e x−1 ， x = 1是第二类间断点.
3-3 x = 0 是可去间断点属第一类间断点； x = nπ (n = ±1,±2") 第二类间断点.
55
3-4
注意到当 x ≠ 0 时，0 < 1 1+ x
∫ ∫ 例 3-9 设 f (x) 是周期为T (T > 0) 的连续函数，证明： lim 1 x f (t)dt = 1 T f (t)dt .
x x→+∞ 0
T0
∫ ∫ 注：特别地，如求 lim 1 x sin t dt = 1 π sin t dt = 2 .
x x→+∞ 0
π 0
π
例 3-10 设 fn (x) = x + x2 + " + x n (n = 2,3,") ，证明：
第 3 讲 函数的连续性
函数的连续性是高等数学研究对象的一个基本特征，它往往是讨论函数问题的一个先决条件，连续函 数性质经常是解决数学问题的有力工具.
3.1 基本概念、内容、定理、公式
1 ． 定 义 1 设 f (x) 在 a 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ， 若 对 ∀ε > 0, ∃δ > 0 ， 只 要 x − a < δ ， 就 有
x0 ∈ (0,1) ，使得 f (x0 ) = f (x0 + l) .
b
∫ 3-9 设 f (x) 在[a,b] 上连续，证明： f 2 (x)dx = 0 ⇔ f (x) = 0,∀x ∈[a,b]. a
3-10 若 f (x) 在[ A, B] 上连续，证明：
∫ lim 1
x
[f
(t
+ h) −
x)
=
⎧b, ⎨⎩− x
+ 1,
x ≤ 0 ，求 a,b 使ϕ(x) = f (x) + g(x) 在 (−∞,+∞) 上连 x>0
续.
⎧
⎪ ⎪
ln(1 +
ax3 )
,
3-6 设函数 f (x) = ⎪⎪⎨6x,− arcsin x
⎪ ⎪
eax
+
x2
−
ax
−1
,
⎪ ⎪⎩
x sin x 4
x<0 x = 0 ，问 a 为何值时， f (x) 在 x = 0 处连续；a 为何值时，x = 0 x>0
f (x0 ) = f (x0 + l) .
3-9 必要性显然可得.下证充分性：
反 证 法 ： 假 设 ∃x0 ∈[a, b] ， 使 得 f (x0 ) ≠ 0 ， 即 f 2 (x0 ) > 0 . 由 f (x) 的 连 续 性 ， 则
∃δ
> 0,∀x ∈ (x0 − δ , x0
+ δ ), f 2 (x) >
少存在一点 c ，使得 f (c) = 0 .
定理 4（介值性定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， m 和 M 分别是函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上的
最小值和最大值，ξ 是 m 和 M 之间的任意一个数（ m ≤ ξ ≤ M ），则 ∃c ∈[a,b]，使得 f (c) = ξ .
3.2 例题选讲
1. 求间断点类型
52
例
3-1
设
f
(x)
=
⎪⎧cos ⎨
π 2
x
⎪⎩ x −1
x ≤1 ，求 f (x) 的间断点，并判别间断点的类型.
x >1
例 3-2
设
f (x) = lim n→∞
x
2n+1 + ax 2 + x2n +1
bx
为连续函数，试确定
a,
b
的值.
例求函数
f
(x)
=
sin π x
2 则至少存在一点ξ ∈[a,b] ，使得 f (ξ ) = 0 .
53
例设 f (x) 在[−a, a] (a > 0) 具有二阶连续导数， f (0) = 0 ，
（1）写出 f (x) 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
a
∫ （2）在[−a, a] 上至少存在一点η ，使得 a3 f ′′(η) = 3 f (x)dx 。 −a
⎝ t −1⎠
t→x
类型.
3-3 设 f (x) = x ，求 f (x) 的间断点，并判别类型. tan x
3-4
设
f
(x)
=
⎡1 ⎢⎢⎣1 +
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
，其中 [t]表示不超过 t
的最大整数，求函数
f
(x)
的间断点，并说明所属类型.
3-5
设
f
(x)
=
⎧2x, ⎨⎩a,
x x
< ≥
1 1
，g
(
x x→+∞ n
x x→−∞ n
试证：（1）若 n 是奇数，则 ∃ξ ，使得ξ n + ϕ (ξ ) = 0 ；
（2）若 n 是偶数，则 ∃η ，使得η n + ϕ (η) ≤ x n + ϕ (x) .
3-14
若
a0 , a1, a2 ,"an
为
满
足
方
程
a0
+
a1 2
+
a2 3
+" an n +1
3-7 由 f (x) = f (2x) ， 得 f (x) = f (1 x) = f ( 1 x) = " = f ( 1 x) ， 两 边 对 n → ∞ 求 极 限 ， 得
2
22
2n
f (x) = lim n→∞
f (x) = lim n→∞
f
(
1 2n
x) =
f
(lim n→∞
1 2n
x) =
f 2 (x0 ) > 0 .于是 2
b
x0 −δ
x0 +δ
b
∫ ∫ ∫ ∫ f 2 (x)dx = f 2 (x)dx + f 2 (x)dx + f 2 (x)dx > 0 ，这和条件矛盾！
54
是 f (x) 的可去间断点？
3-7 若对 ∀x ∈ R ， f (x) = f (2x) ，又 f (x) 在 x = 0 处连续，则 f (x) 是常数.
3-8 设函数 f (x) 在 [0,1] 上非负连续，且 f (0) = f (1) = 0 ，试证：对任意实数 l(0 < l < 1) ，必存在一点
（2）当 f (1 − l) = 0 时， F (1 − l) = 0 .取 x0 = 1 − l ，就有 f (x0 ) = f (x0 + l) .
（3）当 f (l) 和 f (1 − l) 均不为零时，则由根的存在性定理可知， ∃x0 ∈ (0,1 − l) ，使得 F (x0 ) = 0 .即
（1）方程
fn (x)
=
1在[0,+∞) 内有唯一的实根
xn
；（2）求 lim n→∞
xn
.
3.3 练习题
3-1 设 f (x) = 1 + 1 − 1 , x ∈[1 ,1) ，试补充定义 f (1) 使得 f (x) 在[1 ,1] 上连续.
π x sinπ x π (1− x) 2
2
1
3-2 设 F (x, t) = ⎜⎛ x −1⎟⎞ x−t ， (x −1)(t −1) > 0, x ≠ t ， f (x) = lim F (x,t) ，试求出 f (x) 的间断点并判别
f (t)]dt
=
f (x) −
f (a) ，其中 A <
a
<
x
<
B.
h h→0 a
3-11 设函数 f (x) 在整个实数轴上连续，且 f [ f (x)] = x ，试证： ∃x0 ，使得 f (x0 ) = x0 .
3-12 证明：连续函数在有理点处为 0，则此函数恒为 0.
3-13 已知函数ϕ(x) 在 (−∞,+∞) 上连续，且有 lim ϕ (x) = lim ϕ (x) = 0 ，
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点；其余的间断点都称为第二类间断点. 一般来说，可疑间断点包括不在定义域内的点和分段函数的分界点. 3．闭区间上连续函数的性质
定 理 1 （ 有 界 性 定 理 ） 设 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 连 续 ， 则 f (x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 有 界 . 即
x→a+
x→+∞
且 A ⋅ B < 0 ，证明： ∃ξ ∈ (a,+∞) ，使得 f (ξ ) = 0 .
例 3-5（有界性定理的推广形式）设函数 f (x) 在 (a,+∞) 上连续， lim f (x) = A ， lim f (x) = B ，
x→a+
x→+∞
证明： f (x) 在 (a,+∞) 上有界.
lim
n→∞
1
+
(2
x)2
n
的所有间断点，并指出这些间断点的类型
例 3-3 试证狄利克莱(Dirichlet)函数 D(x) = limlimcosn (πm!x) 对 ∀x ∈ R 都不连续. m→∞ n→∞
注：狄利克莱(Dirichlet)函数因它的性质太“坏”经常作为反例出现.例如有这样一个问题：已知函数在一 点处连续能否推出此函数在这点的一个邻域内都连续呢？回答是否定的，即函数在一点处连续与函数在此 点附近是否连续没有任何直接关系.请看下面例子：
∃M > 0,∀x ∈[a,b], f (x) ≤ M .
定理 2（最大值最小值定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，则 f (x) 在闭区间[a,b] 上有最小值 m 和
最大值 M .即 ∃x1, x2 ∈[a, b] ，使得 f (x1 ) = m, f (x2 ) = M . 定理 3（根的存在性定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，且 f (a) f (b) < 0 ，则在开区间 (a, b) 内至
< 1，故
f (x) = 0 ；当 x = 0 时，f (x) = 1.即
f
(
x)
=
⎧0 ⎩⎨1
x≠0 .故 x = 0
x=0
为第一类间断点.
⎧2x + b
x≤0
3-5 ϕ (x) = ⎪⎨x + 1
0 < x < 1，故 a = 2,b = 1.
⎪⎩− x + a + 1 x ≥ 1
3-6 当 a = −1 时， f (x) 在 x = 0 处连续；当 a = −2 时， x = 0 是 f (x) 的可去间断点.
例 3-6 试证：（1）奇次多项式 p(x) = a0 x 2n+1 + a1x 2n + " + a2n+1 (a0 ≠ 0) 至少存在一个实根，其中 ai ,i = 0,1, 2,", 2n +1 都是实数. （ 2 ） 方 程 a0 x2n + a1x2n−1 +" + a2n−1x + a2n = 0 (a0 ≠ 0) ， a2n < 0 至 少 有 两 个 实 根 ， 其 中 ai ,i = 0,1, 2,", 2n +1 都是实数.
=0
的
实
数
，
证
明
：
a0 + a1x + a2 x 2 + " + an x n = 0 在[0,1] 上至少有一个实根.
3-15 设
f (x) 在[a,b] 上连续，
f (a) =
f
(b) ，证明：至少存在 x0 ∈[a, b] ，使得
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f
(x0 ) =
f (x0
+ b−a). 2
3-16 设函数 f (x) 在 (0,1) 上有定义，且函数 ex f (x) 与函数 e−x f (x) 在 (0,1) 上都是单调递增的，求证：f (x)
（3） f (a + 0) = f (a − 0) = f (a) ；
（其中 f (a + 0) = lim f (x) ， f (a − 0) = lim f (x) .）
x→a+
x→a−
若上述三条件之一不成立，则称 f (x) 在 a 点不连续（间断），并称 a 是函数 f (x) 的不连续点（或间断点）.
设
f
(x)
=
⎧x ⎨⎩0
x∈Q ，则此函数仅在 x = 0 处连续.
x∈R\Q
问：能否改造此函数，使得函数仅在两个点、三个点……连续呢？（留给读者） 2. 有关连续性的证明
例 3-4（根的存在性定理的推广形式）设函数 f (x) 在 (a,+∞) 上连续，lim f (x) = A ，lim f (x) = B ，
f (x) − f (a) < ε .则称函数 f (x) 在 a 点连续.即
lim f (x) = f (a) = f (lim x) .
x→a
x→a
2．定义 2 函数 f (x) 在 a 点连续必须满足三个条件：
（1）点 a 属于函数定义域内； （2） f (a + 0) 与 f (a − 0) 都存在；
f (0) .
3-8 令 F (x) = f (x) − f (x + l) ，则 F (x) 在[0,1 − l] 上连续，且 F (0)F (1 − l) = − f (l) f (1 − l) ≤ 0 .
（1）当 f (l) = 0 时， F (0) = 0 .取 x0 = 0 ，就有 f (x0 ) = f (x0 + l) .
例 3-7 设 f (x) 在[1, n + 1] 上连续， f (1) = f (n + 1) ，证明： ∃ξ ∈[1, n] ，使得 f (ξ ) = f (ξ + 1) . 例 3-8 若 f (x) 在[a,b] 上连续，且对任何 x ∈[a,b] ，存在相应的 y ∈[a,b] ，使得 f ( y) ≤ 1 f (x) ，