(优选)第三节二元函数的连续性

x0
1 m2
ymx
所以函数 f (x, y) 在点 0, 0 沿方向 y mx
是连续的.
f (x, y) xy sin 1 在直线x y 0上 x y
每一点都间断.
2 函数的增量、 全增量、 偏增量
设 P0 (x0 , y0 ) P(x, y) D x x x0 y y y0 则称 z f (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 )
二 有界闭区域上连续函数的性质 (1) 有界性与最值性. 定理16.8 (有界性与最大、最小值定理) 若函数 f (x, y) 在有界闭区域 D R2 上连续,则 f (x, y) 在 D 上有界,且能取得最大值与最小值.
(2) 一致连续性 定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f (x, y在) 有界闭区域 D R上2 连续,则 f (x, y在) D 上一致连续.
连续.又设函数 f u,v 在 uv 平面上点 Q0 (u0 , v0 )
的某邻域内有定义，并在 Q0 (u0 ,v0 ) 连续,其中
u0 x0 , y0 v0 x0 , y0 .则复合函数
gx, y f x, y, x, y
在点 P0 (x0 , y0 ) D 也连续.
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。
定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没 有 "裂缝" 的连续曲面.
这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是 区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.
例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数} R2. z =f (x, y)
在点 0, 0 处连续.
xy
f
(x,
y)
x2 m
y2
1 m2
(x, y) (x, y) y mx, x 0
(x, y) (0, 0)
在点
0, 0
沿方向 y mx 连续，其中 m 为固定实数
这是由于
lim f (x, y) lim f (x, mx) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
点 (1, 2)D1 {(x, y) | x 0, y 0} D. 于是，
lim
x1
x y xy
1 2 12
3 2
.
y2
例2
求 lim
x0
xy1 xy
1
.
y0
解
lim
x0
xy1 xy
1
lim xy11 x0 xy( xy1 1)
y0
y0
lim 1 x0 xy1 1
y0
1 2
.
二元连续函数的几何意义
时，f (x, y0) 作为 x 的一元函数在 x0 连续.
同理，若
lim
y0
x
f
(x0
,
y0
)
0
，则表示
f (x0, y)
作为 y 的一元函数在 y0 连续.
容易证明：当 f 在其定义域的内点 (x0, y0)
连续时，f (x, y0) 在 x0 和 f (x0, y) 在 y0 都连续.
但反过来，二元函数对单个自变量都连续
是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上
无定义的函数, 即
如图
z
f (x, y) =
1, 当(x, y) D时, 无定义, 当(x, y) D时.
1
可知, (x0, y0) D,
o x
y
lim f (x, y) 1 f (x0, y0)
x x0
y y0
但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
为函数
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
f (x, y)在点 P0 (x0 , y0的) 全增量.
如果在全增量中取 x 0 或 y 0 则相应的函数的增量称为偏增量.记作
x f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
y f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
若 P0 为 D 的一个聚点，但
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
不成立，则称 P0 为 f 的不连续点(或称
间断点). 特别当
lim f (P)
P P0 PD
存在但不等于 f (P0 ) 时, P0 是 f
的可去间断点.
例如 函数
x2 y2
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
0 ,
(x, y) (0,0), (x, y) (0,0).
一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个 偏增量之和.
3 用增量定义函数的连续性
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，
即 当 lim z 0 x,y 0,0 x, y D
D 在点 P0 连续.
时，函数 f 关于
若一个偏增量的极限为零，例如
lim
x0
x
f
( x0 ,
y0 )
0
它表示在 f 的两个自变量中，当固定 y y0
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：
lim f (P) f (P0 ) (P0定义区域 )
PP0
例1
求极限
lim
x1
x y xy
.
y2
解
f
( x,
y)
x y xy
是多元初等函数。
定义域： D{( x, y) | x 0, y 0}. （不连通）
并不能保证该函数的连续性.
例如函数
1 f (x, y) 0
xy 0 xy 0
处显然不连续.
在点 0, 0
但由于 f (0, y) f (x,0) 0 ,因此在点
0, 0 处 f (x, y) 对 x 和对 y 分别都连续.
4 一般区域上连续函数性质
（1）若 f 在点 a 连续，并且
f (a) 0
则存在点 a 的邻域 a ，当 x a
时,有 f (x) 0
（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母
不为零）都是连续函数 . （3）（复合函数的连续性）
定理16.7 设 D 是 R2 中的开集， P0 (x0 , y0 ) D 函数 u x, y 和 v x, y 在点 P0 (x0 , y0 ) D
（优选）第三节二元函数的连 续性
函数 f (x, y) 有定义的孤立点必为连续点. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D
连续，则称 f 为 D 上的连续函数.
记为 f C (D).
若 P0 为 D 的一个聚点，则 f 关于 D 在点 P0 连续等价于
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lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD