(优选)第三节二元函数的连续性
二元函数的连续性[精编文档]
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其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
上，这时由于
m
lim
( x, y) (0, 0)
f (x,
y)
1 m2
f (0, 0),
y mx
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因此 f 在原点沿着直线 y m x 是连续的．
例1 讨论函数
x
f
(
x,
y)
x2 y2
| f (Pn ) f (Qn ) | 0 .
由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列{Pnk } {Pn},
并设
lim
k
Pnk
P0 D
.
再在 {Qn }中取出与{
Pn k
}下
标相同的子列 { Qnk }, 则因
0 (Pnk , Qnk ) 1 nk 0, k ,
有
lim
k
Qnk
lim
k
Pnk
P0 . 最后, 由
f
在 P0 连续, 得
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lim |
k
f (Pnk )
f (Qnk ) | |
f (P0)
f (Q0) | 0.
这与 | f (Pnk ) f (Qnk ) | 0 0 相矛盾, 所以 f 在 D
上一致连续.
定理16.10 ( 介值性定理 ) 设函数 f 在区域 D R2
f ( x, y0 ) 在 x0 与 f ( x0 , y)在 y0 都连续. 但是反过来,
由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数
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1， xy 0, f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 D R2 上 f ( x, y) 分别对 x 和对 y 都 连续．试证在下列条件之一满足时，f ( x, y) 在 D 上 处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 L 0, 使得对任何 ( x, y1), ( x, y2 ) D, 恒有
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
二元函数的连续性
D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.
3 二元函数的连续性
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2
x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
二元函数连续性
性质2 （介值定理） 有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得 介于最大值和最小值之间的任何值。
说明：性质2告诉我们， 设f在有界闭区域D上连续，记m, M为f在D上的 最小值和最大值，则对于任意满足不等式
m C M
的实数C,必存在点P0 D, 使得 f (P0) C.
1、连续性的定义（两种形式）。 2、多元初等函数的连续性。 3、有界闭区域上多元连续函数 的性质。
解：取 y kx
lim xy x0 x2 y2
y0
lim
x0
x
2
y kx
kx2 k2x2
k 1 k2
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
所以函数在(0,0)处不连续．
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0(x0 , y0 )的全增量 z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ),则
1、 若 f ( P ) 在 D 上 任 何 点 都 连 续 ， 则称f (P)是D上的连续函数。 2、二元函数连续性概念，可类似地
推广到n元函数f (P)上去。 3、二元函数函数f (x, y)在点P0连续 必须满足三个条件：1）在P0点有定义； 2）在P0点极限存在；3）极限值和函数 值相等。
f (x, y)在P0(x0 , y0)连续
lim z 0
(x,y )(0,0)
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 戴明清
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
第三节二元函数的连续性演示文稿
,
y0 )
0
它表示在 f 的两个自变量中，当固定 y y0
时，f (x, y0) 作为 x 的一元函数在 x0 连续.
同理，若
lim
y 0
x
f
(
x0
,
y0
)
0
，则表示
f (x0 , y)
作为 y 的一元函数在 y0 连续.
第十页，共22页。
容易证明：当 f 在其定义域的内点 (x0, y0)
连续时，f (x, y0 ) 在 x0 和 f (x0, y) 在 y0 都连续.
但反过来，二元函数对单个自变量都连续
并不能保证该函数的连续性.
例如函数
1 f (x, y) 0
xy 0 在点 0, 0
xy 0
处显然不连续.
第十一页，共22页。
但由于 f (0, y) f (x,0) 0 ,因此在点
0, 0 处 f (x, y) 对 x 和对 y 分别都连续.
4 一般区域上连续函数性质
（1）若 f 在点 a 连续，并且 则存在点 a 的邻域 a ，当
时,有 f (x) 0
f (a) 0
x a
第十二页，共22页。
（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母 不为零）都是连续函数 .
（3）（复合函数的连续性）
第十三页，共22页。
定理16.7 设 D 是 R2 中的开集， P0 (x0 , y0 ) D
第四页，共22页。
例如 函数
x2 y2
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
0 ,
(x, y) (0,0), (x, y) (0,0).
在点 0, 0 处连续.
0903二元函数的连续性
第九章 多元函数微分法及其应用9.3二元函数的连续性1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质1、二元函数连续性的定义定义1是一个二元函数，若有设R y x U f →),(:00),(),(lim 00)(),(0,0y x f y x f y x y x =→处在点则称),(00y x f .A 上每一点处都连续在f 描述：、函数连续性的δε-2,0,0>∃>∀δε),),,((),(00δy x U y x ∈∀使得ε<-),(),(00y x f y x f 恒有.连续:A 3上连续、函数在区域)()(lim 00x f x f x x =→回顾：例1⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x yx xy y x f 设二元函数处是否连续？在讨论)0,0(),(y x f 解22)0,0(),()0,0(),(lim ),(lim yx xy y x f y x y x +=→→因为不存在，.)0,0(),(处不连续在所以y x f1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质二元函数间断点的定义定义1无定义，在的定义域的聚点，若是函数设),(),(0000y x f f y x ),(),(lim 00)(),(0,0y x f y x f y x y x =→处在点则称),(00y x f 间断，的为称f y x ),(00.间断点或有定义但下式不成立例如处在点)0,0(000),(222222⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=y x y x yx xy y x f .间断1),(22-+=y x xy y x f .122间断在圆周=+y x （间断线）1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质二元连续函数的性质证明：利用二重极限的运算法则可以证明上述性质二元连续函数的和、差、积、商（除分母为零的点外） 与复合仍为连续函数。
二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。
（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。
二元函数连续性
= ρ (sin3 θ + cos3 θ ) < 2ρ
∀ ε > 0,
∃δ = ε ,
2
当 0<
f ( x, y) − f (0,0) < 2ρ < ε
x2 + y2 < δ 时
lim f ( x, y) = f (0,0),
( x, y )→(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
例2、函数f
(x,
.
x→0
xy
y→0
lim 解：x→0
y→0
xy + 1 xy
−1
=
lim
x→0
y→0
xy + 1 − 1 xy( xy + 1 +
1)
1
1
= lim
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得 对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
性质2 （介值定理） 有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得 介于最大值和最小值之间的任何值。
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求 极限可用“代入法”。
二元函数的连续性-PPT精品文档
的某邻域内有定义，并 在点 Q 连续，其中 u ( x , y ) ， v ( x , y ) 0 0 0 0 0 0 0
则复合函数 g ( x , y ) f [ ( x , y ), ( x , y )] 在点 P 也连续。 0
f 在点 Q 连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 证明 由 0
下面证明 f 在 D 上能取到最大、最小值 。设 m inf f( D ), M sup f( D )
可证必有一点 Q D ，使 f ( Q ) M 。否则对任意 P D ，都有 M f ( P ) 0
1 ) 考察D上的连续正值函数 F(P M f (P )
由已知， F 在 D 上有界，又因 f 不能在 D 上达到上确 M ，所以
一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。
当函数 f ( x , y ) 在其定义域的内点 ( x , y ) 连续时， f ( x , y ) 在 x 和 f ( x , y ) 在 y 0 0 0 0 0 0
都连续；但是，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性。
f( 0 ,y ) f( x , 0 ) 0 ，
则称 z f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x x , y y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 0 0 0 0
为函数 f 在 P 的 全增量。 0
即当
(x,y) (0,0) (x, y) D
v v ( x , y ) ( x , y ) 0 0 0
当 xx , y y0 时，有 综合起来， 0
g ( x , y ) g ( x , y ) f ( u , v ) f ( u , v ) 0 0 0 0
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§3二元函数的连续性一二元函数的连续性定义设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x mx y y x y x y x xyy x f 其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当lim ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续。
二元函数的连续性
§3 二元函数的连续性(一) 教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．(二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性． 基本要求：(1) 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质． (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． (三) 教学建议：(1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题——————————————————————一． 二元函数的连续概念由一元函数连续概念引入 .定义（用“δε-”定义二元函数连续） 设函数),(y x f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），若对0,0>∃>∀δε，使得当 D P U P );(0δ∈时，都有ε<-|)()(|0P f P f则称),(y x f 关于集合D 在0P 点连续，简称0P f 在点连续。
若函数D f 在上任何点都连续，则称D f 为上的连续函数。
由连续定义，若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于集合D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于集合D 在0P 连续等价于 )()(lim 00P f P f D P PP =∈→如果0P 是D 的聚点，而上式不成立，则称f 关于集合D 在0P 不连续（或间断点）。
特别 )()(lim 00P f A P f D P P P ≠=∈→时，称0P 是f 的可去间断点。
例 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=)0,0(),(,1}0,|),{(),(,),(222y x m m x mx y y x y x yx xyy x f其中 m 是固定实数。
数学分析16.3二元函数的连续性
数学分析16.3二元函数的连续性第十六章多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1：设f 为定义在点集D ?R 2上的二元函数，P 0∈D(聚点或孤立点).对于任给正数ε，总存在相应的正数δ，只要P ∈U ?(P 0;δ)∩D ，就有 |f(P)-f(P 0)|<ε，则称f 关于集合D 在点P 0连续. 在不致误解的情况下，也称f 在点P 0连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.注：若P 0是D 的孤立点，则必为f 关于D 的连续点；若P 0是D 的聚点，则f 关于D 在P 0连续等价于DP P P 0lim ∈→f(P)=f(P 0)，若DP P P 0lim ∈→f(P)≠f(P 0)，则聚点P 0是f 的不连续点(或称间断点). 若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ≠f(P 0)，则P 0是f 的可去间断点.如：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2和f(x,y)=?=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，，在原点连续；函数f(x,y)=+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012在原点不连续；函数f(x,y)==+≠=∈+)0,0()y x,(m 1m }0 x mx,y |)y x,{()y x,(y x xy 222，，，m 为固定实数，即f 只定义在直线y=mx 上，∵mx y )0,0()y ,x (lim =→f(x,y)=2m1m +=f(0,0)，∴f 在原点沿着直线y=mx 连续.例1：讨论函数f(x,y)==≠+)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x x 22α，，, (α>0)在点(0,0)的连续性. 解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.当(x,y)≠(0,0)时，22αy x x +=2ααr φcos r →<<∞=>2α02α，2α0，，不存在,(r →0)；∴当α>2时，f 在点(0,0)连续；当0<α≤2时，f 在点(0,0)间断.定义2：设P 0(x 0,y 0), P(x,y)∈D, △x=x-x 0, △y=y-y 0, 则称△z=△f(x 0,y 0)=f(x,y)-f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)为函数f 在点P 0的全增量. 当D )y ,x ()y ,x ()y ,x (00lim ∈→??△z=0时，f 在点P 0连续.若在全增量中取△x=0或△y=0，则相应的函数增量称为偏增量，记作：△f(x 0,y 0)=(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0)，△f(x 0,y 0)=(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.0x lim →?△f(x 0,y 0)=0表示固定y=y 0时，f(x,y 0)作为x 的一元函数在x 0连续.同理，0y lim →?△f(x 0,y 0)=0表示f(x 0,y)在y 0连续. 但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)==≠0xy 00xy 1，，在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0，即在原点处f 对x 和对y 都连续.定理16.7：(复合函数的连续性)设函数u=φ(x,y)和v=ψ(x,y)在xy 平面上点P 0(x 0,y 0)的某邻域内有定义，并在点P 0连续；函数f(u,v)在uv 平面上点Q 0(u 0,v 0)的某邻域内有定义，并在点Q 0连续，其中u 0=φ(x 0,y 0), v 0=ψ(x 0,y 0)，则复合函数g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续. 证：由f 在点Q 0连续知，?ε>0，?η>0，使得当|u-u 0|<η, |v-v 0|<η时，有|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε. 又由φ,ψ在点P 0连续知，对上述正数η，?δ>0，使得当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，都有|u-u 0|=|φ(x,y)-φ(x 0,y 0)|<η， |v-v 0|=|ψ(x,y)-ψ(x 0,y 0)|<η，即当|x-x0|<δ, |y-y 0|<δ时，就有 |g(x,y)-g(x 0,y 0)|=|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε，∴复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续.二、有界闭域上连续函数的性质定理16.8：(有界性与最大、最小值定理)若函数f 在有界闭域D ?R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f 在D 上无界，则对每个正整数n ，必存在点P n ∈D ，使得|f(P n )|>n, n=1,2,…. 于是得到一个有界点列{P n }?D ，且总能使{P n }中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，{P n }存在收敛子列{P k n },记∞→k lim P k n =P 0，∵D 是闭域，∴P 0∈D ，又f 在D 上连续，∴∞→k lim f(P k n )=f(P 0)，与|f(P n )|>n, n=1,2,…矛盾，∴f 在D 上有界. 设m=inff(D)，M=supf(D). 若对任意P ∈D, 有M-f(P)>0，记F(P)=f(P)-M 1 , 则函数F(P)连续，恒有F(P)>0，F 在D 上有界，由设f 不能在D 上达到上确界M ，∴存在收敛点列{P n }?D ，使得∞→n lim f(P n )=M ，于是有∞→n lim F(P n )=+∞，与F 在D 上有界矛盾，∴f 在D 上有最大值M ；同理可证，f 在D 上有最小值m.定理16.9：(一致连续性定理)若函数f 在有界闭域D ?R 2上连续，则f 在D 上一致连续，即对任给的ε>0，总存在只依赖于ε的正数δ，使得对一切点P ,Q ∈D ，只要ρ(P ,Q)<δ，就有|f(P)-f(Q)|<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在某ε0>0，对任意小的δ>0，如取δ=n 1, n=1,2,…，总有相应的P n ,Q n ∈D ，虽然ρ(P n ,Q n )<n< bdsfid="118" p=""></n<>1，但是 |f(P n )-f(Q n )|≥ε0. ∵D 为有界闭域，∴存在收敛子列{P k n }?{P n }，记∞→k lim P k n =P 0∈D ，并在{Q n }中取出与P k n 下标相同的子列{Q k n }，则∵0≤ρ(P k n ,Q k n )<k< bdsfid="120" p=""></k<>n 1→0, k →∞，∴∞→k lim Q k n =∞→k lim P k n =P 0，又由f 在P 0连续，∴∞→k lim |f(P k n )-f(Q k n )|=|f(P 0)-f(P 0)|=0，与|f(P k n )-f(Q kn )|≥ε0>0矛盾！∴f 在D 上一致连续.定理16.10：(介值性定理)设函数f 在区域D ?R 2上连续，若P 1,P 2为D 中任意两点，f(P 1)<μ<="" 2)，则对任何满足不等式f(p="" bdsfid="125" p="">必存在点P 0∈D ，使得f(P 0)=μ.证：记F(P)=f(P)-μ, P ∈D ，则F(P)在D 上连续，且F(P 1)<0必存在某联结线段Q 1Q 2两端的函数值异号，设Q 1Q 2所在直线方程为： ?+=+=)y -t(y y y )x -t(x x x 121121, 0≤t ≤1，其中Q 1(x 1,y 1)和Q 2(x 2,y 2)为线段两端点；则在此线段上，F 表示为关于t 的复合函数：G(t)=F(x 1+t(x 2-x 1),y 1+t(y 2-y 1)), 0≤t ≤1，在[0,1]一元连续，且 F(Q 1)=G(0)<0<="">在(0,1)内存在一点t 0, 使得G(t 0)=0. 记x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1)，则有P 0(x 0,y 0)∈D ，使得F(P 0)=G(t 0)=0，即f(P 0)=μ.注：定理16.8与定理16.9的有界闭域D 可改变有界闭集；为了保证连通性，定理16.10只适合区域，且由介值性定理可知，区f 在区域D 上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题1、讨论下列函数的连续性：(1)f(x,y)=tan(x 2+y 2)；(2)f(x,y)=[x+y]；(3)f(x,y)==≠0y 00y y x y sin ，，；(4)f(x,y)=??=+≠++0y x 00y x y x xy sin 222222，，；(5)f(x,y)=为有理数为无理数x y x 0，，；(6)f(x,y)==+≠++0y x 00y x )y x ln(y 2222222，，；(7)f(x,y)=x siny sin 1；(8)f(x,y)=y x-e . 解：(1)记D={(x,y)|0≤x 2+y 2<2π∪{(x,y)|21-2k π<2<="" bdsfid="145" p="">12k +π, k ∈N}}，当(x 0,y 0)∈D 时，由tanu 在u 0=x 02+y 02连续知，)y ,x ()y ,x (00lim →tan(x 2+y 2)=0u u lim →tanu= tanu 0=tan(x 02+y 02)，∴f(x,y)在(x 0,y 0)连续，即f(x,y)在D 上连续，又f 在R 2-D 上无定义，∴f 在R 2-D 上处处间断.(2)记D={(x,y)|k<x+y<="" ∈z}，且p="" ，则存在k=""></x+yk0充分小时，对任意的(x,y)∈U(P 0;δ)，就有k<x+y<k+1，从而f(x,y)≡k ≡f(x="" 0,y="" 0)，∴)y="" ,x="" ()y="" (00lim="" →f(x,y)="f(x" 0)，<="" p="" bdsfid="154">。
二元函数连续性的定义及其应用
二元函数连续性的定义及其应用在数学中，函数是相当重要的一个概念。
函数就是输入一个或多个数，然后通过某种规则将其转化成另外一个或多个数的运算或变换。
其中，二元函数是指输入两个数，并将其转成另外一个数的函数。
在实际应用中，二元函数是非常常见的，包括如数学模型中的各种方程、统计学中的各种模型等等。
而如何判断一个二元函数是否连续就是数学的一个关键问题。
二元函数连续的定义在数学中，连续性是一个重要的概念，可以将其简述为：如果一个变化率很小的数列的极限也是该函数极限，那么这个函数就是连续的。
而对于二元函数，其连续定义则是：若对于任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2$时，有$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$成立，那么该函数就是在点$(x_0,y_0)$处连续的。
从这个定义可以看出，二元函数的连续与一元函数的连续是有所不同的。
一元函数的连续性只需要关注该函数在某一点处的极限是否存在，而对于二元函数，则需要考虑该函数对于函数值的变化与自变量的变化之间的关系。
二元函数连续的应用二元函数的连续性，一般会涉及到以下几个方面的应用：1.最值问题：如果一个函数在某一点处连续，那么在该点的邻域内，该函数一定存在极值。
也就是说，如果我们需要寻找某一个二元函数在某一个范围内的最小值或最大值，可以先找到该函数在该点附近的连续区间，然后通过极值定理计算出该区间的最小值或最大值。
2.研究函数图像：图像的连续性、光滑性和其他的特点在二元函数的研究中是非常重要的。
利用连续性可以分析出函数图像的结构性质，从而更好地理解并预测二元函数在不同区间内的行为。
3.优化问题：在经济学和工程学中，优化问题是一个常见的问题。
通过建立二元函数模型，并研究其在某一区间内的连续性，可以发现其最优解、最小化成本等实际问题的解决方案。
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时，f (x, y0) 作为 x 的一元函数在 x0 连续.
同理，若
lim
y0
x
f
(x0
,
y0
)
0
，则表示
f (x0, y)
作为 y 的一元函数在 y0 连续.
容易证明：当 f 在其定义域的内点 (x0, y0)
连续时，f (x, y0) 在 x0 和 f (x0, y) 在 y0 都连续.但反来自来，二元函数对单个自变量都连续
若 P0 为 D 的一个聚点，但
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
不成立，则称 P0 为 f 的不连续点(或称
间断点). 特别当
lim f (P)
P P0 PD
存在但不等于 f (P0 ) 时, P0 是 f
的可去间断点.
例如 函数
x2 y2
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
0 ,
(x, y) (0,0), (x, y) (0,0).
x0
1 m2
ymx
所以函数 f (x, y) 在点 0, 0 沿方向 y mx
是连续的.
f (x, y) xy sin 1 在直线x y 0上 x y
每一点都间断.
2 函数的增量、 全增量、 偏增量
设 P0 (x0 , y0 ) P(x, y) D x x x0 y y y0 则称 z f (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 )
一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个 偏增量之和.
3 用增量定义函数的连续性
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，
即 当 lim z 0 x,y 0,0 x, y D
D 在点 P0 连续.
时，函数 f 关于
若一个偏增量的极限为零，例如
lim
x0
x
f
( x0 ,
y0 )
0
它表示在 f 的两个自变量中，当固定 y y0
则存在点 a 的邻域 a ，当 x a
时,有 f (x) 0
（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母
不为零）都是连续函数 . （3）（复合函数的连续性）
定理16.7 设 D 是 R2 中的开集， P0 (x0 , y0 ) D 函数 u x, y 和 v x, y 在点 P0 (x0 , y0 ) D
并不能保证该函数的连续性.
例如函数
1 f (x, y) 0
xy 0 xy 0
处显然不连续.
在点 0, 0
但由于 f (0, y) f (x,0) 0 ,因此在点
0, 0 处 f (x, y) 对 x 和对 y 分别都连续.
4 一般区域上连续函数性质
（1）若 f 在点 a 连续，并且
f (a) 0
在点 0, 0 处连续.
xy
f
(x,
y)
x2 m
y2
1 m2
(x, y) (x, y) y mx, x 0
(x, y) (0, 0)
在点
0, 0
沿方向 y mx 连续，其中 m 为固定实数
这是由于
lim f (x, y) lim f (x, mx) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：
lim f (P) f (P0 ) (P0定义区域 )
PP0
例1
求极限
lim
x1
x y xy
.
y2
解
f
( x,
y)
x y xy
是多元初等函数。
定义域： D{( x, y) | x 0, y 0}. （不连通）
为函数
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
f (x, y)在点 P0 (x0 , y0的) 全增量.
如果在全增量中取 x 0 或 y 0 则相应的函数的增量称为偏增量.记作
x f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
y f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
（优选）第三节二元函数的连 续性
函数 f (x, y) 有定义的孤立点必为连续点. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D
连续，则称 f 为 D 上的连续函数.
记为 f C (D).
若 P0 为 D 的一个聚点，则 f 关于 D 在点 P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
点 (1, 2)D1 {(x, y) | x 0, y 0} D. 于是，
lim
x1
x y xy
1 2 12
3 2
.
y2
例2
求 lim
x0
xy1 xy
1
.
y0
解
lim
x0
xy1 xy
1
lim xy11 x0 xy( xy1 1)
y0
y0
lim 1 x0 xy1 1
y0
1 2
.
二元连续函数的几何意义
连续.又设函数 f u,v 在 uv 平面上点 Q0 (u0 , v0 )
的某邻域内有定义，并在 Q0 (u0 ,v0 ) 连续,其中
u0 x0 , y0 v0 x0 , y0 .则复合函数
gx, y f x, y, x, y
在点 P0 (x0 , y0 ) D 也连续.
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。
二 有界闭区域上连续函数的性质 (1) 有界性与最值性. 定理16.8 (有界性与最大、最小值定理) 若函数 f (x, y) 在有界闭区域 D R2 上连续,则 f (x, y) 在 D 上有界,且能取得最大值与最小值.
(2) 一致连续性 定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f (x, y在) 有界闭区域 D R上2 连续,则 f (x, y在) D 上一致连续.
是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上
无定义的函数, 即
如图
z
f (x, y) =
1, 当(x, y) D时, 无定义, 当(x, y) D时.
1
可知, (x0, y0) D,
o x
y
lim f (x, y) 1 f (x0, y0)
x x0
y y0
但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没 有 "裂缝" 的连续曲面.
这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是 区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.
例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数} R2. z =f (x, y)