2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷(解析版)
2015年湖南卷数学试题及答案(理)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1. 已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 2. 设A,B 是两个集合，则”A B A =I ”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.494. 若变量,x y 满足约束条件1,2,1x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.25. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6. 已知5()x x-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3 B.3- C.6 D.-67. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.47728. 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99. 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169πC.34(21)π-D.312(21)π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 20(1)x dx ⎰-= .12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为135:号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13. 设F 是双曲线2222:1x y C a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为_________________。
常德市2015年中考数学试题解析
常德市2015年中考数学试题解析湖南省常德市2015年中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1、－2的倒数等于 A、2 B、－2 C、D、－考点：倒数．. 分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵�2×（）=1，∴�2的倒数是�．故选D．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题． 2、下列等式恒成立的是： A、 B、 C、 D、考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．. 专题：计算题．分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=a2+b2+2ab，错误； B、原式=a2b2，正确； C、原式不能合并，错误； D、原式=2a2，错误，故选B．点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 3、不等式组的解集是： A、 B、 C、 D、无解考点：解一元一次不等式组．. 专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＞�1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为�1＜x≤2，故选C．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4、某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为，，则产量稳定，适合推广的品种为： A、甲、乙均可B、甲C、乙D、无法确定考点：方差．. 分析：首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．解答：解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，∵141.7＜433.3，∴S甲2＜S乙2，即甲种水稻的产量稳定，∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．故选：B．点评：此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5、一次函数的图像不经过的象限是： A、第一象限B、第二象限 C、第三象限D、第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．. 分析：根据一次函数y=�x+1中k=�＜0，b=1＞0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数y=�x+1的图象不经过的象限是哪个．解答：解：∵一次函数y=�x+1中k=�＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y=�x+1的图象不经过的象限是第三象限．故选：C．点评：此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 6、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为： A、50°B、80°C、100°D、130° 考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．. 分析：首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．解答：解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°�∠BAD =180°�50°=130° 故选：D．点评：（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 7、分式方程的解为： A、1 B、2 C、D、0 考点：解分式方程．. 专题：计算题．分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2�3x=x�2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故选A．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8、若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。
湖南省常德市第一中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)(附答案)
高三上学期第四次月考 数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1.下列集合中，是空集的是 （D ） A ．2{|33}x x += B ．2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈ C ．2{|0}x x -≥ D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 2.已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ C ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( B. ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( B )（A ）2（B ）1（C ）23（D ）135函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是( C ) (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）6. 满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ C ）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.7. 已知︱︱=1，︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R)，则nm等于 ( B ) A.31B.3C.33D.38. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( D ) （A（B（C（D9已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为（ B ） A ．1B.32C ．2D.5210数列{n a } 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{n a }前40项和等于（ A ） A ．820 B ．800 C ． 840 D ．860解：由于数列{an}满足an+1+（-1）^n an=2n-1，故有 a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a50-a49=97．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列．{an}的前40项和为 10×2+（10×8+(10×9)/2×16）=20+80+720=820. 二、填空题（本大题共5小题， 每小题5分，共25分） 11.计算：50(24)x dx -⎰=512.设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<。
《解析》湖南省常德一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
湖南省常德一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．2．已知||=1，||=，且向量（﹣）和垂直，则•的值为（）A．0B．1C．D．﹣3．已知在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n﹣34．已知=（1，2），=（2x，﹣3）且∥，则x=（）A．﹣3 B．C．0D．5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．26．则与的夹角为120°，则的值为（）A．﹣5 B．5C．D．7．已知{a n}是等比数列，有a3•a11=4a7，{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．4B．8C．0或8 D．168．已知数列{a n}的前n项和为S n=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列9．在△ABC中，若，则△ABC的形状（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形10．函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）11．函数y=cos（﹣x）的最小正周期是．12．已知tanα=2，则=．13．tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=．14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为km，则B船到灯塔C的距离为．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）16．已知=（1，2），=（﹣3，2）．（1）求及||；（2）若k与垂直，求实数k的值．17．已知=（sinθ，1），=（1，cosθ），θ∈（﹣，）（1）若⊥，求θ的值；（2）求|+|的最大值．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．21．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，探求使恒成立的m的最大整数值．湖南省常德一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°），而sin60°的值易知，从而得到所求的结果．解答：解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．点评：本题考查利用诱导公式进行化简求值，属于容易题．2．已知||=1，||=，且向量（﹣）和垂直，则•的值为（）A．0B．1C．D．﹣考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由于向量（﹣）和垂直，可得=0．展开即可得出．解答：解：∵向量（﹣）和垂直，∴==0．∴=．故选：B．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的数量积运算，属于基础题．3．已知在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n﹣3考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差中项的定义结合等差数列的性质可得a4=5，a5=7，进而可得数列的首项和公差，可得通项公式．解答：解：由题意可得a2+a6=5×2=10，a3+a7=7×2=14，由等差数列的性质可得2a4=a2+a6=10，2a5=a3+a7=14可解得a4=5，a5=7，进而可得数列的公差d=a5﹣a4=2所以a1=a4﹣3d=5﹣3×2=﹣1，故a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．故选：D．点评：本题考查等差数列的通项公式和等差中项的定义，属基础题．4．已知=（1，2），=（2x，﹣3）且∥，则x=（）A．﹣3 B．C．0D．考点：平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：根据平面向量的共线定理的坐标表示（x1y2﹣x2y1=0）代入即可求解．解答：解：∵，且∥∴1×（﹣3）﹣2×（2x）=0∴x=﹣故选B点评：本题主要考查了平面向量共线的坐标表示．解题的关键是要牢记平面向量共线的坐标表示x1y2﹣x2y1=0．5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．解答：解：，故选C．点评：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．6．则与的夹角为120°，则的值为（）A．﹣5 B．5C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题目条件得出=1×2×cos120°=﹣1，展开=2||22，即可求解．解答：解：∵，与的夹角为120°，∴=1×2×cos120°=﹣1，∴2×12+2×22+（﹣5）=5，故选：B．点评：本题考察了平面向量的运算，向量的混合运算，数量积的运用，属于基础题，准确化简计算即可．7．已知{a n}是等比数列，有a3•a11=4a7，{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．4B．8C．0或8 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可．解答：解：在等比数列中，有a3•a11=4a7，即a7•a7=4a7，则a7=4，在等差数列中，b7=a7=4，则b5+b9=2b7=8，故选：B．点评：本题主要考查等比数列和等差数列的性质，利用相应的通项公式进行求解是解决本题的关键．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意可知，当a=1时，a n﹣a n﹣1=0；当a≠1时，，所以数列{a n}或是等差数列或是等比数列．解答：解：当a=1时，a1=a﹣1=0，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=0，a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=0，∴数列{a n}是等差数列．当a≠1时，a1=a﹣1，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=a n﹣1﹣a n﹣2，，∴数列{a n}是等比数列．综上所述，数列{a n}或是等差数列或是等比数列．故选C．点评：本题考查数列的概念，解题时要注意a=0的情况，避免丢解．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由正弦定理==2R可得=，与已知条件结合即可判断△ABC的形状．解答：解：在△ABC中，由正弦定理==2R可得=，又，∴=，∴sin2A=sin2B，∴A=B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．∴△ABC为等腰或直角三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：设sinx+cosx=t，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出t的范围，表示出设sinxcosx，表示出y与t的关系式，利用二次函数的性质求出y最大值时t的值，即可确定出此时x的值．解答：解：设sinx+cosx=t，即sin（x+）=t，则t∈[﹣，]，sinxcosx=，∴y=+t=（t+1）2﹣1，易知当t=时，y取得最大值，即sin（x+）=，故x+=2kπ+（k∈Z），∴x=2kπ+（k∈Z）．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）11．函数y=cos（﹣x）的最小正周期是5π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答：解：函数y=cos（﹣x）=cos（x﹣）的最小正周期是=5π，故答案为：5π．点评：本题主要考查诱导公式、三角函数的周期性及其求法，利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．12．已知tanα=2，则=3．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：把tanα=2，代入=，运算求得结果．解答：解：===3，故答案为3．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．13．tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正切公式，花简求得结果．解答：解：tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=tan3°tan27°+（tan3°+tan27°）=tan3°tan27°+tan（3°+27°）（1﹣tan3°tan27°）=tan3°tan27°+（1﹣tan3°tan27°）=1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为km，则B船到灯塔C的距离为1．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：先求出∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|BC|的值．解答：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=，∠ACB=40°+80°=120°，设|BC|=x，x＞0在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB，∴7=4+x2﹣2×2x×（﹣），即x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3（舍去）∴|BC|=1km故答案为：1．点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．考点：归纳推理．专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点．若a n=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）16．已知=（1，2），=（﹣3，2）．（1）求及||；（2）若k与垂直，求实数k的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的坐标运算法则和模的计算公式即可得出．（2）⇔=0，即可得出．解答：解：（1）∵=（1，2），=（﹣3，2），∴=（4，0）．∴==4．（2）=k（1，2）+（﹣3，2）=（k﹣3，2k+2），∵，∴=（k﹣3，2k+2）•（4，0）=4（k﹣3）=0，解得k=3．点评：本题考查了向量的坐标运算法则和模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．17．已知=（sinθ，1），=（1，cosθ），θ∈（﹣，）（1）若⊥，求θ的值；（2）求|+|的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用⇔，即可解得结论；（2）==，由，得，故的最大值为1，即可得出结论．解答：解：（1）由题意：，…∴，∴，…∴，…又∵，∴…（2）∴==…又∵，∴，∴的最大值为1，…∴的最大值为…点评：本题主要考查向量垂直的性质及向量求模的运算，考查三角函数求最值等知识，属于中档题．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab•sinC，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得sinC=，…∴S=ab•sinC==．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．解答：解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用．20．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n=log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．解答：解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，∴a32+2a3a5+a52=25又a n＞0，∴a3+a5=5 …又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4 …而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，∴q=，a1=16，∴a n=16×（）n﹣1=25﹣n．（2）∵b n=log2a n=5﹣n，∴b n+1﹣b n=﹣1，b1=log2a1=log216=log224=4，∴{b n}是以b1=4为首项，﹣1为公差的等差数列，∴S n=．…（3）∵=，∴n≤8时，＞0，n=9时，=0，n＞9时，＜0，∴n=8或9时，+++…+最大…点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．21．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，探求使恒成立的m的最大整数值．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，a1=9﹣6=3，当n≥2时，由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n可得2n﹣1an=﹣6，从而求数列{a n}的通项公式；（2）由可得=；n≥2时，=﹣；从而再化恒成立问题为最值问题即可．解答：解：（1）当n=1时，a1=9﹣6=3，当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n，①a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1=9﹣6（n﹣1），②①﹣②得，2n﹣1a n=﹣6，∴a n=﹣；∴a n=，（2）．∵，∴b1=1•（3﹣log2）=3，=；n≥2时，=n（3﹣log2）=n（3﹣（2﹣n））=n（n+1）；=﹣；∴可化为：+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞；即+﹣＞恒成立，即﹣＞恒成立，故＞成立，故m的最大整数值为2．点评：本题考查了数列的通项公式及求和方法的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。
2015-2016学年湖南省常德一中高一上学期期末数学试卷 解析版
2015-2016学年湖南省常德一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|﹣3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x≤5} D．{x|﹣3＜x≤5} 【考点】交集及其运算．【分析】由题意已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜5}，故选B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．【解答】解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A【点评】此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解．考查学生的空间想象能力．4．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增，知1﹣a≤4，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增，∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3．故选B．【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选B【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．6．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）A．平行B．异面C．相交D．平行或异面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面．【解答】解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，故选：D．【点评】熟练掌握空间直线平面之间位置关系的判定、性质、定义是解答本题的关键．7．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0 【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C【点评】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．函数，若f（a）=1，则a的值是（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2【考点】函数的零点；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数，直接解方程即可得到结论．【解答】解：若a＜2，则由f（a）=1得，3a﹣2=1，即a﹣2=0，∴a=2．此时不成立．若a≥2，则由f（a）=1得，log=1，得a2﹣1=3，即a2=4，∴a=2，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，要对应对a进行分类讨论．9．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2﹣2x﹣6y+1=0分别化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，故圆心坐标分别为（﹣2，﹣1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d==5，R+r=5，则两圆的位置关系是相外切．故选：C．．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，位置关系分别是：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r 时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）．10．已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A．0≤k＜B．0＜k＜C．k＜0或k＞D．0＜k≤【考点】函数恒成立问题．【专题】常规题型．【分析】本选择题利用特殊值法解决，观察几个选项知，当k=0时，看是否能保证∀x∈R，如能，则即可得出正确选项．【解答】解：考虑k的特殊值：k=0，当k=0时，f（x）=，此时：∀x∈R，对照选项排除B，C，D．故选A．【点评】本小题主要考查函数定义域的应用、函数恒成立问题等基础知识，解答关键是正确选用解选择题的方法．属于基础题．11．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题．【分析】欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，计算可得答案．【解答】解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBEcos∠DBE=，∴∠DBE=45°．故选C．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】先化简f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中当题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．空间两点P1（2，3，5），P2（3，1，4）间的距离|P1P2|=．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】空间位置关系与距离．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：空间两点P1（2，3，5），P2（3，1，4）间的距离|P1P2|==．故答案为：．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．14．若圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x+b对称，则实数b=1．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x+b对称，知圆心（1，2）在直线y=x+b 上，即可求出b的值．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x+b对称，∴圆心（1，2）在直线y=x+b上，∴2=1+b，解得b=1．故答案为：1．【点评】本题考查关于直线对称的圆的方程，解题时要认真审题，解题的关键是由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x+b对称，知圆心（1，2）在直线y=x+b上．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于90°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．【解答】解：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，满足条件AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，∴∠CAB=90°．故答案为：90°．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，即a≥2a+5，解得a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；故答案为：（﹣∞，﹣5]；【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】（1）求出集合B中不等式的解集确定出集合B，求出集合A与集合B的公共解集即为两集合的交集，根据全集为R，求出交集的补集即可；（2）求出集合C中的不等式的解集，确定出集合C，由B与C的并集为集合C，得到集合B为集合C的子集，即集合B包含于集合C，从而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，∴B={x|x≥2}，又A={x|﹣1≤x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}，又全集U=R，∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞﹣，∴C={x|x＞﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣＜2，解得a＞﹣4；故a的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】此题考查了交集及补集的元素，集合的包含关系判断以及应用，学生在求两集合补集时注意全集的范围，由题意得到集合B是集合C的子集是解第二问的关键．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（1）在正方体中AD1⊥A1D，又可得AD1⊥A1B1，由线面垂直的判定定理可得；（2）连接B1D1，AB1，可得∠AD1B1即为所求的角，解三角形可得．【解答】解：（1）∵在正方体中AD1⊥A1D，A1B1⊥面ADD1A1，且AD1⊂面ADD1A1，∴AD1⊥A1B1，而A1D，A1B1在平面CDA1B1内，且相交∴AD1⊥平面CDA1B1；（2）连接B1D1，AB1，∵BD∥B1D1，∴∠AD1B1即为所求的角，而三角形AB1D1为正三角形，故∠AD1B1=60°，∴直线AD1与直线BD所成的角为60°【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定，属中档题．19．已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程；（2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0圆心C（﹣1，2）半径为，圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分解得c=1或c=﹣3…4分∴l或δ=1…5分所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合故直线x=0…8分当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分则，…11分直线方程为综上，直线方程为x=0，…12分．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．20．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【考点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；压轴题；函数思想．【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为（2分）由图二可得种植成本与时间的函数关系为．设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=（6分）当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5（10分）、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．21．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题．【分析】（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，设AB=a，则可利用tan∠PAO表示出AO和PO，进而根据求得tan∠PMO 的值，则∠PMO可知．（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．根据AO⊥BO，AO⊥PO 判断出AO⊥平面PBD，进而可推断AO⊥OE，进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE 所成角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE，则tan∠AEO可求得．（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．先证出平面PMN和平面PBC垂直，再通过已知条件证出MG⊥平面PBC，取AM中点F，利用EG∥MF，推断出，可知EF∥MG．最后可推断出EF⊥平面PBC．即F为四等分点．【解答】解：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，，设，PO=AOtan∠PAO=，∴∠PMO=60°．（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．．∵∴（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．．又取AM中点F，∵EG∥MF∴∴EF∥MG．∴EF⊥平面PBC．即F为四等分点【点评】本题主要考查了二面角及其度量，解题的关键是通过巧妙设置辅助线找到二面角．22．已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．【考点】相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论．【解答】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，圆被直线l截得的弦长为．…（4分）（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，则≠，解得：m=…（7分）经检验m=符合题意，故所求m=；…（8分）（3）假设这样实数m存在．设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上．…（10分）设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，则消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0所以方程25m2﹣36m+54=0无实数根，所以，假设不成立，即这样的圆不存在．…（14分）【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．。
初中数学自主招生考试试题(含解析)
2015年湖南省长沙市自主招生考试数学试卷一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．123．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= ．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x ﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2015年湖南省长沙市长郡中学自主招生考试数学试卷（理实班）参考答案与试题解析一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】零指数幂．【专题】分类讨论．【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为﹣1，指数为偶数．【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．故选B．【点评】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．2．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．12【考点】等边三角形的性质．【专题】面积法．【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，得出ah1+ah2﹣ah3=，再根据h2+h3﹣h1=6，求得a=4即可得到等边△ABC的面积．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，∴S△CAB==12，故选（D）．【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．3．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【考点】实数大小比较．【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC【考点】旋转的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．44【考点】三角形的面积．【分析】可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF=m，∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，则有2m=S△AEF+S△EFC，S△AEF=2m﹣16，而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，而S△ABF=m+S△BDF=m+10，∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m﹣16），解得m=20．S△AEF=2×20﹣16=24，S ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448【考点】整数问题的综合运用．【专题】数字问题．【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班再用105除以3=35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= ．【考点】解一元二次方程﹣配方法；锐角三角函数的定义．【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可．【解答】解：4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，（2sinA﹣cosA）2=0，2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，tanA==，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过 2 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+．【考点】二次函数综合题．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．故答案为：y=﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20 cm．【考点】相切两圆的性质．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE=CD，EC=BD=5cm，∴AE=AC﹣EC=15cm，在Rt△AEB中，BE===20（cm），∴CD=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A与物质B 的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×=，物质B行的路程为16×=，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×=，物质B行的路程为16×2×=，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×=16，物质B行的路程为16×3×=32，在A 点相遇；④第四次相遇物质A 与物质B 行的路程和为16×4，物质A 行的路程为16×4×=，物质B 行的路程为16×4×=，在BC 边相遇；⑤第五次相遇物质A 与物质B 行的路程和为16×5，物质A 行的路程为16×5×=，物质B 行的路程为16×5×=，在DE 边相遇； …综上可得相遇三次一个循环， 因为2015=3×671+2，即第2015次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第2015次相遇在边DE上，点的坐标是 （﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．设C 1，C 2，C 3，…为一群圆，其作法如下：C 1是半径为a 的圆，在C 1的圆内作四个相等的圆C 2（如图），每个圆C 2和圆C 1都内切，且相邻的两个圆C 2均外切，再在每一个圆C 2中，用同样的方法作四个相等的圆C 3，依此类推作出C 4，C 5，C 6，…，则（1）圆C 2的半径长等于 （用a 表示）；（2）圆C k 的半径为 （﹣1 ）k ﹣1 a （k 为正整数，用a 表示，不必证明）【考点】相切两圆的性质；勾股定理；正方形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】（1）连接AB 、BC 、CD 、AD ，AC ，设小圆的半径是r ，根据圆与圆相切，得到AC=2a ﹣2r ，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r ，推出方程2a ﹣2r=2r ，求出即可；（2）求出r=（﹣1）a，r3=（﹣1）r=a，r4=，得出圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC=2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，由勾股定理得：AC=2r，∴2a﹣2r=2r，解得：r=（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r=（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3=（﹣1）r=a，C4的半径是r4=，…圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k=（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到∠DBE=90°，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE．（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90°，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（2015•天心区校级自主招生）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x ﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a 的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1，m=﹣1与m＞0不合；∴C点不过y=x﹣1；若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y=ax2﹣7ax+10a（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a）∴y=a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣ a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF=QF，CQ=BC=2，∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2=CF2；∴32+（2﹣n）2=（n+2）2，∴n=，∴F （2，）∴当PF ∥AB 时，P 点纵坐标为；∴﹣a=，∴a=﹣；∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x ﹣5，抛物线与y 轴的交点为Q （0，﹣5），又直线y=x ﹣1与y 轴交点（0，﹣1）；∴Q 在直线y=x ﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
2015年湖南省常德市中考数学试卷附详细答案(原版+解析版)
2015年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2015•徐州）﹣2的倒数是（）2．（3分）（2015•常德）下列等式恒成立的是（）3．（3分）（2015•常德）不等式组的解集是（）4．（3分）（2015•常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S 2=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（）乙5．（3分）（2015•常德）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）6．（3分）（2015•常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）7．（3分）（2015•常德）分式方程=1的解为（）8．（3分）（2015•常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A101B1；②△AOB∽△A101B1；③=k；④扇形AOB与扇形A101B1的面积之比为k2．成立的个数为（）二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2015•常德）分解因式：ax2﹣ay2=．10．（3分）（2015•常德）使分式的值为0，这时x=．11．（3分）（2015•常德）计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）=．12．（3分）（2015•常德）埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的．1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于厘米．13．（3分）（2015•常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是厘米2（结果保留π）．14．（3分）（2015•常德）已知A点的坐标为（﹣1，3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为．15．（3分）（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．16．（3分）（2015•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为．三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）（2015•常德）计算（﹣5sin20°）0﹣（﹣）﹣2+|﹣24|+．18．（5分）（2015•常德）已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）（2015•常德）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a=，b=2．20．（6分）（2015•常德）商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）（2015•常德）某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A表示主动制止；B表示反感但不制止，C 表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）图1中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？（2）这次被调查的市民有多少人？（3）补全条形统计图．（4）若该市共有市民760万人，求该市大约有多少人吸烟？22．（7分）（2015•常德）某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B 种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？六、（本大题共2个小题，满分16分）23．（8分）（2015•常德）如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC 的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）24．（8分）（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．七、（本大题2个小题每小题10分，满分20分）25．（10分）（2015•常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=（x2﹣2x ﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN 的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）（2015•常德）如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC 于O，连接DO并延长交BC于E．（1）求证：△FOC≌△EOC．（2）将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图2．求证：①；②FD=FM．2015年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分））．3．（3分）（2015•常德）不等式组的解集是（），4．（3分）（2015•常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S 25．（3分）（2015•常德）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）x+1＜x+1x+1＜x+16．（3分）（2015•常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）7．（3分）（2015•常德）分式方程=1的解为（）8．（3分）（2015•常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A101B1；②△AOB∽△A101B1；③=k；④扇形AOB与扇形A101B1的面积之比为k2．成立的个数为（）可以得到解：由扇形相似的定义可得：，故=k由扇形面积公式二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2015•常德）分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．10．（3分）（2015•常德）使分式的值为0，这时x=1．解：由题意得：11．（3分）（2015•常德）计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）=5b2+3a2．12．（3分）（2015•常德）埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的．1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于1×10﹣8厘米．13．（3分）（2015•常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2（结果保留π）．•••14．（3分）（2015•常德）已知A点的坐标为（﹣1，3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为（3，1）．15．（3分）（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=70°．∠DAC+∠（∠EAC=∠ECA=∠∠DAC+∠ACF=（∠（∠（∠﹣（DAC+16．（3分）（2015•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为128、21、20、3．三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）（2015•常德）计算（﹣5sin20°）0﹣（﹣）﹣2+|﹣24|+．﹣（﹣）18．（5分）（2015•常德）已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．先设反比例函数的解析式为解：设反比例函数的解析式为依题意得：，故两个函数分别为：，得：，四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）（2015•常德）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a=，b=2．a=[﹣]+[1+=[﹣+）+，，==20．（6分）（2015•常德）商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？P=五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）（2015•常德）某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A表示主动制止；B表示反感但不制止，C 表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）图1中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？（2）这次被调查的市民有多少人？（3）补全条形统计图．（4）若该市共有市民760万人，求该市大约有多少人吸烟？22．（7分）（2015•常德）某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B 种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？依题意得：，解之得：六、（本大题共2个小题，满分16分）23．（8分）（2015•常德）如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC 的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）∠AC=，∠∠×0.94=≈24．（8分）（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．CD=AD=七、（本大题2个小题每小题10分，满分20分）25．（10分）（2015•常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN 的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．进（0=（，﹣（，﹣，=；即方程x+b=，x=，解得的坐标为26．（10分）（2015•常德）如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC 于O，连接DO并延长交BC于E．（1）求证：△FOC≌△EOC．（2）将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图2．求证：①；②FD=FM．来转化比：，可得进而可得：，即可得证，，，进而可得：。
【2015中考真题】湖南省常德市中考数学试题及解析
2015年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2015•徐州）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2 C．D．﹣2．（3分）（2015•常德）下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（ab）2=a2b2C．a4+a2=a6D．a2+a2=a43．（3分）（2015•常德）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2 D．无解4．（3分）（2015•常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳定，适合A．甲、乙均可B．甲C．乙D．无法确定5．（3分）（2015•常德）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）（2015•常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°7．（3分）（2015•常德）分式方程=1的解为（）A．1B．2C．D．08．（3分）（2015•常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A101B1；②△AOB∽△A101B1；③=k；④扇形AOB与扇形A101B1的面积之比为k2．成立的个数为（）二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2015•常德）分解因式：ax2﹣ay2=．10．（3分）（2015•常德）使分式的值为0，这时x=．11．（3分）（2015•常德）计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）=．12．（3分）（2015•常德）埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的．1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于厘米．13．（3分）（2015•常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是厘米2（结果保留π）．14．（3分）（2015•常德）已知A点的坐标为（﹣1，3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为．15．（3分）（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．16．（3分）（2015•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为．三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）（2015•常德）计算（﹣5sin20°）0﹣（﹣）﹣2+|﹣24|+．18．（5分）（2015•常德）已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）（2015•常德）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a=，b=2．20．（6分）（2015•常德）商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）（2015•常德）某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A表示主动制止；B表示反感但不制止，C表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）图1中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？（2）这次被调查的市民有多少人？（3）补全条形统计图．（4）若该市共有市民760万人，求该市大约有多少人吸烟？22．（7分）（2015•常德）某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？六、（本大题共2个小题，满分16分）23．（8分）（2015•常德）如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD 的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）24．（8分）（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．七、（本大题2个小题每小题10分，满分20分）25．（10分）（2015•常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）（2015•常德）如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O，连接DO 并延长交BC于E．（1）求证：△FOC≌△EOC．（2）将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图2．求证：①；②FD=FM．2015年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：倒数．分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．（3分）（2015•常德）下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（ab）2=a2b2C．a4+a2=a6D．a2+a2=a4考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；B、原式=a2b2，正确；C、原式不能合并，错误；D、原式=2a2，错误，故选B．点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．3．（3分）（2015•常德）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2 D．无解考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＞﹣1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选C．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）（2015•常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（）A．甲、乙均可B．甲C．乙D．无法确定考点：方差．分析：首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．解答：解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，∵141.7＜433.3，∴S甲2＜S乙2，即甲种水稻的产量稳定，∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．故选：B．点评：此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．（3分）（2015•常德）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是哪个．解答：解：∵一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是第三象限．故选：C．点评：此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．6．（3分）（2015•常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．分析：首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．解答：解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，7．（3分）（2015•常德）分式方程=1的解为（）8．（3分）（2015•常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A101B1；②△AOB∽△A101B1；③=k；④扇形AOB与扇形A101B1的面积之比为k2．成立的个数为（）：新定义．分析：根据扇形相似的定义，由弧长公式=可以得到①②③正确；由扇形面积公式解：由扇形相似的定义可得：==k由扇形面积公式可得到④正确．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2015•常德）分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．10．（3分）（2015•常德）使分式的值为0，这时x=1．11．（3分）（2015•常德）计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）=5b2+3a2．12．（3分）（2015•常德）埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的．1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于1×10﹣8厘米．13．（3分）（2015•常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2（结果保留π）．分析：根据圆锥侧面积的求法：S=•2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积侧••14．（3分）（2015•常德）已知A点的坐标为（﹣1，3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为（3，1）．15．（3分）（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=70°．∠DAC+（∠可以求得∠AEC的度数．∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．16．（3分）（2015•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为128、21、20、3．则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故答案为：128、21、20、3．点评：（1）此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．（2）此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）（2015•常德）计算（﹣5sin20°）0﹣（﹣）﹣2+|﹣24|+．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、乘方、绝对值、三次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：（﹣5sin20°）0﹣（﹣）﹣2+|﹣24|+=1﹣9+16﹣3=5．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、乘方、绝对值、三次根式化简等考点的运算．18．（5分）（2015•常德）已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：先设反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为y=k2x，将A点的坐标代入求出两个函数解析式，再通过解方程组就可求出两图象的交点坐标C．解答：解：设反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为y=k2x依题意得：，故两个函数分别为：，，解得：，故另一个交点坐标为（﹣1，），点评：本题主要考查了正、反比例函数的概念，待定系数法，和求交点的方法，掌握概念是解题的关键．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）（2015•常德）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a=，b=2．考点：分式的化简求值．分析：首先根据分式的混合运算法则化简此分式，然后将a=，b=2代入求值即可求得答案．解答：解：[﹣]+[1+]=[﹣]+[1+]=+（1+）=+，当a=，b=2时，原式=+=．点评：此题考查了分式的化简求值问题．注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．20．（6分）（2015•常德）商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出价格不超过30元的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：2 3 42 22 32 423 23 33 434 24 34 44所有等可能的情况有9种，其中价格不超过30元的情况有3种，P=五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）（2015•常德）某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A表示主动制止；B表示反感但不制止，C表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）图1中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？（2）这次被调查的市民有多少人？（3）补全条形统计图．（4）若该市共有市民760万人，求该市大约有多少人吸烟？22．（7分）（2015•常德）某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？依题意得：解之得：．六、（本大题共2个小题，满分16分）23．（8分）（2015•常德）如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD 的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）∴∠ACB=cos80°=0.17=∵在Rt△ACE中，AC=，∠ACE=70°∴AE=×0.94=≈11.124．（8分）（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．，．七、（本大题2个小题每小题10分，满分20分）25．（10分）（2015•常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．进直线与y2只有一个交点时，即为所求．（0=（）（，﹣CN，=；y=2x+b=（解得：x=，代入的坐标为26．（10分）（2015•常德）如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O，连接DO 并延长交BC于E．（1）求证：△FOC≌△EOC．（2）将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图2．求证：①；②FD=FM．SAS即可证明△FOC≌△EOC；（2）利用EM∥BC来转化比：，由BC∥AD，可得EM∥AD，可得，进而可得：，即可得证由，得到FM∥BN，再利用EM∥BC，得到四边形FMEB为平行四边形，从，∴，，∴；，，进而可得：。
2015-2016年湖南省常德一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
14． （5 分） 直角坐标系 xOy 中， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 设点 A，
第 2 页（共 14 页）
B 分别在曲线 C1：
x
（θ 为参数） 和曲线 C2： ρ＝1 上， 则|AB|的最小值为
．Байду номын сангаас
15． （5 分）已知指数函数 y＝2 的图象与 y 轴交于点 A，对数函数 y＝lnx 的图象与 x 轴交于 点 B，点 P 在直线 AB 上移动，点 M（0，﹣3） ，则|MP|的最小值为 16． （5 分）若 x＞1，则 x+ 三、解答题 17． （10 分） （1）计算：
2015-2016 学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数 学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题 1． （5 分）集合 U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，4，5}，则 A∩∁UB＝（ A．{1，3，6} B．{1，3} C．{1} D．{2，4，5} ）
【解答】解：∵全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A＝{1，3，5}，B＝{2，4，5}， ∴∁UB＝{1，3，6} A∩∁UB＝{1，3，5}∩{1，3，6}＝{1，3} 故选：B． 2． （5 分）已知集合 A＝[0，6]，集合 B＝[0，3]，则下列对应关系中，不能看作从 A 到 B 的映射的是（ A．f：x→y＝ x ） B．f：x→y＝ x C．f：x→y＝ x D．f：x→y＝x
9． （5 分）已知三个对数函数：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，它们分别对应如图中标号为 ①②③三个图象 则 a、b、c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
【全国百强校】湖南省常德市第一中学2015-2016学年高一12月月考数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合(){}2,,0x y y x x A ==>，{}2,0xy y x B ==>，则A B = （ ）A ．∅B ．()1,+∞C ．()2,4D ．()(){}2,4,4,16【答案】A考点：集合的运算．【名师点睛】本题考查集合的运算，实质考查集合的概念，理解集合的元素是解题的关键．解决集合的问题，关键就是弄清集合的元素是什么？代表元是什么？具有什么性质？例如(){}2,x y y x A ==，{}2B y y x =={}2x y x A ==是三个不同的集合，集合A 抛物线2y x =上的点组成的集合，集合B 是函数2y x =的值域，为[,)0+∞，集合C 是函数2y x =的定义域，为R ．不能理解集合中的元素是本题易错点．2. 不等式()3log 312x -<的解集为（ ） A ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．10,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．110,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．110,327⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：由log ()3312x -<，得0319x <-<，解得11033x <<．故选C ． 考点： 解对数不等式． 3. 与函数()lg 110x y -=相等的函数是（ ）A ．1y x =-B ．1y x =-C ．2y = D ．211x y x -=+考点：函数的定义．4. 已知函数()211x f x x +=-，[)8,4x ∈--，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 有最大值2，最小值75【答案】A 【解析】 试题分析：()213211x f x x x +==+--，它在[,)84--上单调递减，因此有最大值()583f -=，无最小值．故选A ．考点：函数的单调性，函数的最值．5. 正方体的棱长为a ，则其外接球的表面积为（ ）A ．2a πB ．22a πC ．23a πD ．24a π 【答案】C 【解析】试题分析：正方体外接球的半径r a =，所以)2243S a ππ=⨯=球．故选C ． 考点： 正方体与外接球，球的表面积． 6. 下列命题正确的个数是（ ） ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一个平面的两条直线平行；③一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；④两条平行直线中有一条直线平行于一个平面，则另一条直线也平行于此平面； ⑤一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个考点：命题的真假判断，线线平行，线面平行．7. 点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形CD AB 中AB ，C B ，CD ，D A 的中点，若C D A =B ，且C A 与D B 所成角的大小为90 ，则四边形FG E H 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 【答案】D 【解析】试题分析：E ，F ，G ，H 分别为AB ，C B ，CD ，D A 的中点，则有//,//EF AC GH AC 且12EF AC GH ==，所以//EF GH ，则四边形EFGH 是平行四边形，同理//,12FG BD FG BD =，所以EFG ∠是直线AC 与BD 所成的角（或其补角），因为AC BD =，且C A 与D B 所成角的大小为90 ，所以,90EF FG EFG =∠=︒，所以平行四边形EFGH 是正方形．故选D ．考点：异面直线所成的角，两直线平行，正方形的判断．8. 对于空间中两条不相交的直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ）A ．a α⊂，b α⊂B ．a α⊂，//b αC ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥ 【答案】B考点：线面平行的判断与性质．9. 已知底面半径为3，高为4的圆锥，过高的三等分点作平行于底面的两截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:5D ．1:4:9 【答案】C 【解析】试题分析：记以两截面为底面的圆锥的侧面积为,12S S ，原圆锥的侧面积为3S ，由圆锥的性质知::::123149S S S =，则:():()::12132135S S S S S --=．故选C ．考点：圆锥的侧面积，圆锥的性质． 10. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数(){}2min 3,log f x x x =-，则()12f x <的解集为（ ）A ．)+∞ B ．(5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．()50,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】B 【解析】试题分析：由题意log ,(),20232x x f x x x <≤⎧=⎨->⎩，log 212x <0x ⇒<<15322x x -<⇒>，综上不等式()12f x <的解集为((,)502+∞ ．故选B ． 考点：分段函数．11. 某工厂生产A 、B 两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售．若此时厂家同时出售A 、B 产品各一件，则相对于没有调价时的盈亏情况是（ ）A ．不亏不赚B ．赚5.92元C ．赚28.96元D ．亏5.92元 【答案】D考点：函数的应用．【名题点睛】本题考查函数的应用，考查增长率问题．增长率问题是现实生产生活中的常见问题，如果原来产值基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可用公式(1)xy N p =+表示，解决平均增长率问题常用到这个函数关系式．12. 已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)3,+∞D ．(]0,3【答案】A 【解析】试题分析：[,]12x ∈-时，函数()22f x x x =-的值域为[,]13A =-，[,]12x ∈-时，()()20g x ax a =+>的值域为[,]222B a a =-+，由题意B A ⊆，则有21223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，又0a >，故解得102a <≤．故选A ．考点：函数的值域，集合的包含关系．【名题点睛】本题考查含有存在量词与全称量词的命题，对于此类问题，关键是把问题进行转化，本题是转化为集合的包含关系，首先求得两函数的值域，()f x 的值域是A ，()g x 的值域是B （当然要考虑定义域），“对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =”，则有B A ⊆，如果是“()()01g x f x =”，则就有A B ⊆．“对任意的[]11,2x ∈-，[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =”，则有A B =，“如果存在[]11,2x ∈-，[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =”，则有A B ≠∅ ，因此要注意量词的是存在量词还是全称量词．这是转化时的易错点．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题各5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 函数()log 22a y x =-+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点 ． 【答案】(,)32考点： 对数函数的性质．14. 边长为a 的正三角形C AB ，在斜二测画法下的平面直观图C '''∆A B 的面积为 ．2 【解析】试题分析：2ABC S ∆=，所以'''22A B C ABC S ∆∆===． 考点：直观图．15. 正三棱柱111C C AB -A B 的所有棱长均为1，则直线1A B 与平面11CC A A 所成的角的正弦值为 ．【解析】试题分析：取AC 中点O ，连接,1BO A O ，由于ABC ∆是等边三角形，所以BO AC ⊥，又正三棱柱中平面11ACC A ⊥平面ABC ，所以BO ⊥平面11ACC A ，1BA O ∠是直线1A B 与平面11CC A A 所成的角，在直角三角形1BA O中，BO =，1A B =，所以sin 11BO BA O A B ∠===． 考点：直线与平面所成的角．【名题点睛】直线与平面所成的角是空间角，求角时一般要根据定义作出这个角，斜线与它在平面内的射影所夹的锐角，叫斜线与平面所成的角，作图的关键是过斜线上一点作平面的垂线．另外如果图形中有垂直关系，还可以建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角．16. 下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形序号是 ．【答案】①④图3ENPMBAFEPNMA图4考点：直线与平面平行的判断．【名师点睛】直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)，性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题10分）已知[]3,2x ∈-，求()11142xx f x =-+的最小值与最大值． 【答案】最小值34，最大值57．考点：换元法，二次函数的最值．18. （本小题12分）如图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），底座是正四棱台． （1）求这个奖杯的体积V ；（计算结果保留π） （2）求这个奖杯底座的侧面积S 底座侧．【答案】（1）V 100336π=+（3cm ）；（2）1802cm ．考点： 三视图，体积与面积．19. （本小题12分）如图所示，在直三棱柱111C C AB -A B 中，C 3A =，C 4B =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点． （1）求证：1C C A ⊥B ； （2）求证：1C //A 平面1CD B ；（3）求异面直线1C A 与1C B 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3（3）解： 1D //C E A ，∴C D ∠E 为1C A 与1C B 所成的角．………………10分在C D ∆E 中，115D C 22E =A =，15CD 22=AB =，11C C 2E =B =∴cos C D ∠E == ∴异面直线1C A 与1C B12分 考点： 线面垂直的性质，线面平行的判定，异面直线所成的角．20. （本小题12分）一块边长为20cm 的正方形铁皮按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器．（1）试把容器的容积V 表示成底边边长x 的函数；（2）当12x =cm 时，求此容器的内切球（与四个侧面和底面均相切的球）的半径r ．【答案】（1）1V 3x =，020x <<；（2）3r =．考点：正棱锥的性质，棱锥的体积，正棱锥与内切球．【名师点睛】正棱锥的量主要集中中四个直角三角形中，侧棱、侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）、高构成一个直角三角形，斜高（侧面等腰三角形的高）、斜高在底面上的射影（底面正多边形内切圆半径）、高构成一个直角三角形，侧面上斜高、侧棱、底面边长的一半构成一个直角三角形，斜高在底面上的射影、侧棱在底面上的射影、底面边长的一半构成一个直角三角形．这些直角三角形中还有侧棱与底面所成的角，侧面与底面所成的角．21. （本小题12分）已知函数()f x 对任意实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =，且()11f -=，当01x ≤<时，()[)0,1f x ∈．（1）判断()f x 的奇偶性，并证明；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并证明；（3）若()279f =，求满足不等式()1f a +≤a 的取值范围．【答案】（1）偶函数；（2）()f x 在[)0,+∞上是增函数；（3）42a -≤≤．（2）()f x 在[)0,+∞上是增函数．（结论判断正确给1分）证明：设120x x ≤<，则1201x x ≤<，而()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当01x ≤<时，()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <故()f x 在[)0,+∞上是增函数．………………7分（3） ()()()()()327393939f f f f f =⋅===⎡⎤⎣⎦，∴()3f =， 则原不等式可化为()()13f a f +≤又 ()f x 为偶函数，则()()13f a f +≤等价于()()13f a f +≤ ∴13a +≤，解得：42a -≤≤………………12分考点： 抽象函数，奇偶性，单调性，解函数不等式．22. （本小题12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M ≥，都有()f x ≤M成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数()121log 1mx g x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()11124x x h x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）若函数()g x 为奇函数，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合； （2）若3为函数()h x 在[)0,+∞上的一个上界，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)2,+∞；（2）[]5,1-．试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即：112211log log 11mx mx x x +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⇒1111mx x x mx +-=---， 得1m =±，而当1m =时不合题意，故1m =-．………………3分故()121log 1x g x x +=-⇒()122log 11g x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， 分析可知函数()121log 1x g x x +=-在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故函数()121log 1x g x x +=-在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--，所以()2g x ≤，考点：函数的奇偶性，单调性，最值，不等式恒成立问题．【名师点睛】1．创新问题考查学生的阅读理解能力，分析转化能力，主要是把新概念转化我们已有的知识方法问题，本题求上界集合，实质就是求函数的最大值，已知上界问题，就是不等式恒成立问题，而这些问题我们都能轻松解决．2．换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.换元的常见方法有：局部换元、三角换元、均值换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：(1)复合二次函数的最值问题(局部换元)(2)分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)(3)解析几何中涉及最值问题(局部换元)(4)求函数的值域问题(三角换元)要注意的是换元时，新元的取值范围，这会影响结果的正确性．高考一轮复习：。
最新湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷(解析版)
2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5 上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b 的恒等式为（）2 2 2 2 2 2A．（a﹣b）﹣2ab+b=a B．（a+b）=a +2ab+b 2 22C．a﹣b=（a+b）（a﹣b）D． a +ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m 与直线2x+y=2m+3 （m 为常数）的交点在第四象限，则整数m 的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．211．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，⋯，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，⋯，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2． 1012?桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T 恤衫的成本价是20 元，当100＜x≤400 件，（x 为正整数）时，求服装厂所获利润w（元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？216．如图，抛物线y=ax +c（a＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底A D 在x 轴上，A 点到原点的距离为2，梯形的高为3，C 点到y 轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上的任意一点，求点M 到A，B 两点的距离之和的最小值及此时点M 的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P 的使S△P AD=S△ABM 成立，求点P 的坐标．1012?桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段B C 上的动点（与端点B、C 不重合），过点 D 作直线y=﹣+b 交折线OAB 于点E．记△ODE 的面积为S．（1）当点 E 在线段O A 上时，求S 与b 的函数关系式；并求出 b 的范围；（2）当点 E 在线段A B 上时，求S 与b 的函数关系式；并求出 b 的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5 上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5 上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36 种情况，落在直线y=﹣x+5 上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4 种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m种结果，那么事件A 的概率P（A ）= ，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b 的恒等式为（）2 2 2 2 2 2A．（a﹣b）﹣2ab+b=a B．（a+b）=a +2ab+b 2 22C． a ﹣b=（a+b）（a﹣b）D． a +ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b 的恒等式．2 2解答：解：正方形中，S 阴影=a ﹣b；梯形中，S 阴影= （2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；2 2故所得恒等式为： a ﹣b=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m 与直线2x+y=2m+3 （m 为常数）的交点在第四象限，则整数m 的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．2解答：解：由题意得，x﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的2面积为 a ．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，2∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a= a，2 2∴新的正六边形的面积= a×6=a；2故答案为： a．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC 需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案为：60°．点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．211．已知实数x，y 满足x +3x+y ﹣3=0，则x+y 的最大值为 4 ．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．2分析：将函数方程x+3x+y ﹣3=0 代入x+y，把x+y 表示成关于x 的函数，根据二次函数的性质求得最大值．2解答：解：由x+3x+y ﹣3=0 得2﹣3x+3，把y 代入x+y 得：y=﹣x2 2 2﹣3x+3=﹣x ﹣2x+3= ﹣（x+1）x+y=x ﹣x +4≤4，∴x+y 的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，⋯，第n 个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，⋯，由此推算a10﹣a9=10 ，a2012= 2025078 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2 ，a3=1+2+3 ，a4=1+3+4 ，即第n 个三角形数等于 1 到n 的所有整数的和，然后计算n=2012 的a 的值．解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3 ，a4=1+2+3+4 ，⋯∴a2012=1+2+3+4+ ⋯+2012= =2025078．故答案为：10，2025078．点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3 中选一个你认为合格的a 值，代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．解答：解：原式= ? +a=a+a=2a．当a=2 时，原式=4a．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2﹣x+p+1=0 有两个实数根x1，x2． 1012?桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x（1）求p 的取值范围．（2）[1+x 1（1﹣x2）] [1+x2（1﹣x1）] =9，求p 的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；2（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1?x2=p+1 ，整理后得出（1﹣x1?x2）+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，代入求出即可．2解答：解：（1）△=（﹣1）﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，即p 的取值范围是p≤﹣；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1?x2=p+1 ，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x 2（1﹣x1）]=9，2∴（1﹣x1?x2）+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，2∴[1﹣（p+1）]+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2 ．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．15．某服装厂批发应夏季T 恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x 为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T 恤衫的成本价是20 元，当100＜x≤400 件，（x 为正整数）时，求服装厂所获利润w（元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．解答：解：（1）当0≤x＜100 时，y=60；当x≥100 时，设y=kx+b ，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则，，∴y= ；（2）∵250＞100，∴当x=250 件时，y=﹣×250+ =50 元，∴批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是：50×250=12500 元；2（3）W= （﹣x+﹣20）×x=﹣x+ x=﹣（x﹣350）2+ ，∴当一次性批发350 件时，所获利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．216．如图，抛物线y=ax +c（a＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底A D 在x 轴上，A 点到原点的距离为2，梯形的高为3，C 点到y 轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上的任意一点，求点M 到A，B 两点的距离之和的最小值及此时点M 的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P 的使S△P AD=S△ABM 成立，求点P 的坐标．考点：二次函数综合题．2分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S 梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），2∵抛物线y=ax+c（a＞0）经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x 2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣2，当x=0时，y=﹣2，∴点M的坐标是（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD?|y P|=2，AD=4，∴|y P|=1．2当P点纵坐标为1时，x﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；2当P点纵坐标为﹣1时，x﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．1012?桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点 E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（ D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD、△OAE 、△BDE 的面积；（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点 A （3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S= OE ?CO= ×2b×1=b；（2）若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S 矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△D BE）=3﹣[ （2b﹣2）×1+ ×（5﹣2b）?（﹣b）+ ×3（b﹣）]2= b﹣b，∴S= ；（3）如图3，设O1A 1 与CB 相交于点M ，OA 与C1B1 相交于点N，则矩形O1A1B1C1 与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．由题意知，DM ∥NE，DN∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形根据轴对称知，∠MED= ∠NED，又∠MDE= ∠NED，∴∠MED= ∠MDE ，∴MD=ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形．过点 D 作DH ⊥OA，垂足为H，由题易知，D（2b﹣2，1），对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，2则在Rt△DHN中，由勾股定理知： a=（2﹣a）2 2 +1，∴a=，∴S四边形DNEM=NE?DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．。
【全国百强校】湖南省常德市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{}1.2A =的所有子集个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D考点：集合的子集 2.计算13246416-849-⎛⎫⨯⎪⎝⎭的结果是（） A ．1 B ．2- C ．15 D ．87- 【答案】A 【解析】试题分析：()1-133244464816-8=2-8=8-7=1497-⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A考点：指数式运算3.若集合{}{xy|y=3,N =|M y y ==，则MN =（）A ．{}|1y y >B ．{}|1y y ≥C ．{}|0y y >D ．{}|0y y ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}x y|y=3|0M x y ==>{{},N =||0y y y y ==≥{}|0MN y y ∴=>，故选C考点：函数定义域值域与集合交集运算4.函数y =的定义域为（）A ．()()2,11,-+∞B ．()()1,11,-+∞C ．[)()1,11,-+∞D ．()2,1--【答案】C考点：函数定义域5.设0.530.53,0.5,log 3a b c ===，则a b c 、、的大小关系（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】试题分析：0.531a =>，()30.50,1b =∈，0.5log 30c =<c b a ∴<<，故选D考点：利用函数单调性比较大小6.使函数()f x x =与()22g x x x =-+都是增函数的区间可以是（）A ．[]0,1B ．(],1-∞C ．(],0-∞D ．[]0,2 【答案】A 【解析】试题分析：函数()f x x =的增区间为[)0,+∞，函数()22g x x x =-+的增区间为(],1-∞，因此满足两函数都是增函数的区间为[]0,1，故选A 考点：函数单调性7.已知函数()g x 与()()0,1xf x a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，则()122g g ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】D 【解析】试题分析：函数()g x 与()()0,1xf x aa a =>≠的图像关于直线y x =对称，所以()log a g x x =，所以()112log 2log 022a a g g ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选D考点：反函数与函数求值8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2xf x x a =++（a 为常数），则()1f -=（）A ．2B ．-2C ．32D ．32- 【答案】B考点：函数奇偶性与函数求值9.若函数()f x 是偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，则满足()()lg 1f x f >的x 的取值范围是（） A ．1110⎛⎫⎪⎝⎭，B ．11010⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．()101+10⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，D ．()()0,110+∞， 【答案】B 【解析】试题分析：函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，在[)0,+∞上是减函数，所以在(],0-∞上是增函数，()()1lg 11lg 11010f x f x x >∴-<<∴<<，x 的取值范围是11010⎛⎫⎪⎝⎭，，故选B 考点：函数奇偶性单调性10.已知函数())2f x m =≠在区间(]0,1上是减函数，则实数m 的取值范围是（）A ．()(),00,2-∞B ．()0,2C ．(]2,3D ．()(],02,3-∞【答案】D 【解析】考点：函数定义域及单调性【方法点睛】求解此类题目一般有两种思路：其一，当函数的单调区间比较容易求时（如函数为二次函数，指数函数，对数函数等模型的形式）可以结合基本初等函数性质首先求得其单调区间，将题目中给定的区间与单调区间对比，确定子集关系，从而得到参数范围；其二，利用函数的导数与单调区间的关系，如函数()f x 在区间(),m n 上为增函数（减函数），则有()'f x 在该区间上()()()''00f x f x ≥≤恒成立，转化为不等式恒成立问题11.设集合{}{}1,2,3,1,0,1A B ==-，则从A 到B 所建立的映射f A B →：中，满足()()()123f f f +=的个数是（） A ．2 B ．6 C ．7 D ．27 【答案】C 【解析】试题分析：由映射的概念及()()()123f f f +=可知：()()()1,2,3f f f 的值从{}1,0,1-中选取，当()31f =-时()()11,20f f =-=或()()10,21f f ==-，当()30f =时()()10,20f f ==或()()11,21f f =-=或()()11,21f f ==-，当()31f =时()()10,21f f ==或()()11,20f f ==，因此映射共7个，故选C 考点：映射的概念【方法点睛】本题考察了映射的概念：设A ，B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f.使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f 为从集合A 到集合B 的一个映射。
2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A ．B．C．D．考点：程序框图．分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A ．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A ．B．﹣C．6 D．﹣6考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A ．2386 B．2718 C．3413 D．4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．解答：解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A ．6 B．7 C．8 D．9考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A ．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．解答：解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A ．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．解答：解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．解答：解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f （x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．考点：函数的零点．专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用．分析：由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围解答：解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．解答：证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．点评：本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．解答：解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．解答：证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．解答：解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．解答：解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），A（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．点评：本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．解答：证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，mπ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A ．B．C．D．4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A ．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A ．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A ．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A ．6 B．7 C．8 D．99．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A ．B．C．D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A ．B．C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f （x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f （x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。
《解析》湖南省常德一中2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有6名男医生，从中选出2名男医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．15种C．30种D．48种2．用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成的三位数的个数为（）A．125 B．60 C．120 D．903．工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N（μ，σ2）．在一次正常实验中，取1000个零件时，属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围零件个数最可能为（）A．997个B．954个C．682个D．3 个4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算K2的观测值k=6.89，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．以上说法都不对5．设（2﹣x）5=a0+a1x+…+a5x5，那么a0的值为（）A．1 B．16 C．32 D．﹣16．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣7．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=2，D（ξ）=1，则p等于（）A．B．0.5 C．1 D．08．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气根据上表可得回归方程=30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．2419．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种10．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.4511．（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．312．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将点的极坐标（2，）化为直角坐标为．14．已知C=C，则x=．15．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为．16．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），则P（ξ＞4）=；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小；其中正确的说法是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．一场晚会有3个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单．（用数字作答）（1）前3个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）2个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=．（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．21．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝网购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）求这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率：（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，记ξ=|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a＞0，（1）若x=1是f（x）的极值点，求a；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）设g（x）=﹣ [f（t）﹣lnt+at]dt，若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得g（x1）•g（x2）=1，求a的取值范围．2015-2016学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有6名男医生，从中选出2名男医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．15种C．30种D．48种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，利用组合知识可得答案．【解答】解：根据题意，从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，故选：B．2．用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成的三位数的个数为（）A．125 B．60 C．120 D．90【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由已知5个数字1、2、3、4、5，任取三个数组成一个三位数，那么百位数有5种选择；十位数有5种选择；个位数有5种选择．再运用乘法原理解答．【解答】解：由题意百位数有5种选择；十位数有5种选择；个位数有5种选择．运用乘法原理共有5×5×5=125个．故选：A．3．工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N（μ，σ2）．在一次正常实验中，取1000个零件时，属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围零件个数最可能为（）A．997个B．954个C．682个D．3 个【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态分布的特点知属于（μ﹣3σ，μ+3σ）的事件的概率为0.997，利用此概率就解即可．【解答】解：由3σ原则知属于（μ﹣3σ，μ+3σ）的事件的概率为0.997．故1000个零件中有997个在范围内．故选：A．4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算K2的观测值k=6.89，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．以上说法都不对【考点】独立性检验．【分析】k≈6.89＞6.635时，可得有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．【解答】解：∵k≈6.89＞6.635时，∴有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．故选C．5．设（2﹣x）5=a0+a1x+…+a5x5，那么a0的值为（）A．1 B．16 C．32 D．﹣1【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，利用特殊值，令x=0求出所求的结果．【解答】解：∵（2﹣x）5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5，∴令x=0，得（2﹣0）5=a0=32．故选：C．6．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】直线的斜率；直线的参数方程．【分析】把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得y=﹣x+，从而得到直线的斜率．【解答】解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y=﹣x+．故直线的斜率等于﹣．故选：D．7．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=2，D（ξ）=1，则p等于（）A．B．0.5 C．1 D．0【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】利用二项分布的期望与方差公式求解即可．【解答】解：随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=2，D（ξ）=1，可得np=2，np（1﹣p）=1，解得p=0.5．故选：B．8．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气根据上表可得回归方程=+中的为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．241【考点】回归分析的初步应用．【分析】先计算样本中心点，求出回归方程，即可预测气温为30℃时销售饮料瓶数．【解答】解：由题意，=7.8，==57.8∵回归方程中的为6，∴57.8=6×7.8+∴=11∴∴x=30°时，故选B．9．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．10．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p 的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．11．（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3【考点】二项式定理．【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：①m=1，n=2；②m=2，n=0；系数分别为：①=﹣12；②=6；x2的系数是﹣12+6=﹣6故选A12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令f min（x）≥b解出a的范围．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴a＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a≤1，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min （x ）=f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1，∴0＜a ≤1．若＞1，即a ＞1时，则1≤x ＜时，h （x ）＜0，当x ＞时，h （x ）＞0．∴1≤x ＜时，f ′（x ）＜0，当x ＞时，f ′（x ）＞0．∴f （x ）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增． 此时f min （x ）＜f （1）=1﹣a ＜0，不符合题意．综上，a 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将点的极坐标（2，）化为直角坐标为 （，1） ．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化求解即可．【解答】解：将点的极坐标（2，）化为直角坐标为（2cos ，2sin ），即（，1）．故答案为：（，1）．14．已知C =C ，则x= 1或3 ．【考点】组合及组合数公式．【分析】由组合数的性质和方程，可得x=3x ﹣2或x +3x ﹣2=10，求解即可．【解答】解：因为C 10x =C 103x ﹣2，可得x=3x ﹣2或x +3x ﹣2=10解得x=1或x=3．故答案为1或315．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 1.2 ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意知，在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，得到本题是一个独立重复试验，试验的次数是3，事件发生的概率已知，根据独立重复试验的期望公式得到结果．【解答】解：设甲在途中遇红灯次数为ξ，∵在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是∴ξ～B（3，），∴Eξ=3×=1.2．故答案为：1.216．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），则P（ξ＞4）=；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小；其中正确的说法是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，即可判断；②根据R2的性质进行判断．③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），利用对称性可得结论；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，可得结论．【解答】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错误；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；故②正确，③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），则函数图象关于x=4对称，则P（ξ＞4）=；故③正确，④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小，故④错误，故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．一场晚会有3个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单．（用数字作答）（1）前3个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）2个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？【考点】排列、组合的实际应用．【分析】（1）先不考虑限制条件，5个节目全排列有A55=120种方法，前3个节目中要有舞蹈的否定是前3个节目全是唱歌有A33A22=12种方法，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．（2）要把2个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把2个舞蹈节目看做一个元素和另外3个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把3个唱歌节目排列，形成4个位置，选2个把舞蹈节目排列．【解答】解（1）∵5个节目全排列有A55=120种方法，若前3个节目中要有舞蹈的否定是前3个节目全是唱歌有A33A22=12种方法，∴前4个节目中要有舞蹈有120﹣12=108种方法；（2）∵2个舞蹈节目要排在一起，∴可以把2个舞蹈节目看做一个元素和另外3个元素进行全排列，三个舞蹈节目本身也有一个排列有A44A22=48种方法；（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把3个唱歌节目排列，形成4个位置，选2个把舞蹈节目排列，有A33A42=72种方法．18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=．（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由勾股定理得出AD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AD，故AD⊥平面PAC，从而AD⊥PC；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，，则|cos＜＞|为所求．【解答】证明：（1）∵AC=1，AD=2，CD=，∴AC2+AD2=DC2，∴AC⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PA，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥AD．（2）以A为原点，以AD，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），∴=（2，﹣1，0），=（0，﹣1，2），设平面CDP的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，2，1），又AD⊥平面APC，∴=（1，0，0）为平面PAC的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=，a=2，又b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y=x+b，与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣2=0，△≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得：弦长|AB|==，由于0≤b2≤2，即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．∵焦点在x轴上，∴椭圆C的方程为：．（2）设直线l的方程为y=x+b，由，可得x2+2bx+2b2﹣2=0，∵l与椭圆C交于A、B两点，∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．∴弦长|AB|==，∵0≤b2≤2，∴|AB|=≤，∴当b=0，即l的直线方程为y=x时，弦长|AB|的最大值为．21．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝网购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）求这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率：（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，记ξ=|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）先求出去淘宝网购物的概率为P=，去京东商城购物的概率为1﹣P=，然后再求恰有2人去淘宝的概率；（2）把事件分为两个互斥事件，再求解即可；（3）分别求出ξ的可能值，再写出分布列，求出期望值即可．【解答】解：（1）每个人去淘宝网购物的概率为P=，去京东商城购物的概率为1﹣P=这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率为p2（1﹣p）2=（2）恰有3人去淘宝购物的概率为p3（1﹣p），恰有4人去淘宝的概率为p4，∴这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为为p3（1﹣p）+p4=（3）ξ可取0，2，4P（ξ=0）=P（ξ=2）=P（ξ=4）=ξ22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a＞0，（1）若x=1是f（x）的极值点，求a；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）设g（x）=﹣ [f（t）﹣lnt+at]dt，若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得g（x1）•g（x2）=1，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得：由题意得，f′（1）=0，解得a，即可得出．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＞0 时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=或x=，对a与1，e的大小关系分类讨论，利用单调性即可得出．（3），由题意知，y=g（x）（x＞2）的值域是的值域的子集．设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=，则A⊆B，g′（x）=﹣ax2+2x，令g′（x）=0，则x=0或，可得g（x）的单调性，又，当x∈时，g（x）＞0；当x∈时，g（x）＜0．下面分三种情况讨论：①当＞2，即时；②当，即时；③当，即a＞3时，即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=2ax﹣（a+2）+=，由题意得，f′（1）=0，解得a=1，经检验符合题意．（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），当a＞0 时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=或x=，①当0＜a≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上递增，∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=﹣2，符合题意；②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，∴f（x）在[1，e]上的最小值为＜f（1）=﹣2，不合题意；③当，即时，f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意，综上，a的取值范围是[1，+∞）．（3）由题意知，y=g（x）（x＞2）的值域是的值域的子集．设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=，则A⊆B，g′（x）=﹣ax2+2x，令g′（x）=0，则x=0或x g′x g x又∴当x∈时，g（x）＞0；当x∈时，g（x）＜0．下面分三种情况讨论：①当＞2，即时，由可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集．②当，即时，有g（2）≤0，g（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，g（2））⊆（﹣∞，0）；又g（1）≥0，∴（﹣∞，0）⊆B，故A⊆B，符合题意；③当，即a＞3时，有g（1）＜0，且g（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=，A=（﹣∞，g（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是．2016年11月1日。
湖南省常德市2015年中考数学试题(扫描版含答案)
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A 8、D二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9、()()a x y x y +- 10、x ＝1 11、2253b a +12、10-8 13、2π 14、（3,1） 15、7016、128,21,20,3 三、（本大题2小题，每小题5分，满分10分） 17、解：原式＝1－9＋16－3 ＝5 18、解：设反比例函数的解析式为1k y x=,正比例函数的解析式为2y k x = 依题意得：1k =2k =故两个函数分别为：y =,y =y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩解之得：111111x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 故另一个交点坐标为（－1，）四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19、【解答与分析】主要考点为分式的运算：20、 答案为13五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分） 21、【解答与分析】主要考点数据的分析 （1）360°×（1－85%）＝54° （2）（80＋60＋30）÷85%＝200（3）200－（80＋60＋30＋8＋12）＝10 （4）760×（1－85%）＝114（万人） 22、【解答与分析】二次一次方程组的应用及不等式、一次函数的应用 （1）解：设A 种货物运输了x 吨，设A 种货物运输了y 吨, 依题意得：50309500704013000x y x y +=⎧⎨+=⎩解之得：100150x y =⎧⎨=⎩(2)设A 种货物为a 吨，则B 种货物为a （330-）吨，设获得的利润为W 元依题意得：(330)2a a ≤-⨯①7040(330) 13320W a a a +-+＝＝30②22()[1]()()()(1)()1b a a b a b a a b a b a b b a a b a b a b a a b b a ab -=-++-----=++-=++=22a b ==当时由①得220a ≤由②可知W 随着a 的增大而增大 故W 取最大值时a =220 即W=19800元六、（本大题共2个小题，满分16分） 23、【解答与分析】这是一个解直角三角形的题，但此题要求看出 AB=AC ，然后利用解直接三角形的方法求出AC ，再在Rt △AEC 中 解出AE 的长，从而求出A 到地面的高度为AE+2解：由题可知：如图，BH⊥HE ，AE⊥HE ，CD=2，BC=4 ∠BCH =30°，∠ABC=,80°，∠ACE=70° ∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180° ∴∠ACB=80° ∵∠ABC=80° ∴∠ABC=∠ACB ∴AC=BC=4过点A 作AM ⊥BC 于M ， ∴CM=BM=2∵在Rt△ACM 中，CM=2，∠ACB=80°∴cos CMAC=∠ACB=0cos80=0.17 ∴AC ＝20017∵在Rt △ACE 中，AC ＝20017，∠AC E=70°∴AE sin AC=∠ACE= 0sin70=0.94 ∴AE ＝18817≈11.1故可得点A 到地面的距离为13.1米 24、【解答与分析】本题考点，主要是切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理。
湖南省常德一中度高一数学第一学期实验班招生试题
2015-2015学年度第一学期湖南常德一中实验班招生数学试题欢迎你参加考 试！做题时要认真审题，积极思考，细心答题，充分发挥你的水平 (时量： 60分钟；满分：100分 注意合理分配时间 )一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1、一条弦分圆周为5：7，这条弦所对的圆周角为 （ ） Ａ．75 ° Ｂ．105° Ｃ．60°或120° Ｄ．75 °或1052、如下图是一个无．盖．正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为图上三点，则在正方体盒子中．．．．．．．， ∠ABC 的度数为（ ）A ． 120°B ．90°C ． 60°D ．45°3、如果有四个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足（7－m ）（7－n ）（7－p ）（7－q ）=4， 那么m+n+p+q 等于（ ）A ．21B ． 24C ． 26D ．284、如图，梯形ABCD 的对角线交于O ，过O 作两底的平行线分别交两腰于M 、N ，若AB ＝4，CD ＝1，则MN 的长为（ ）A 、1.2B 、1.4C 、1.6D 、1.85．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，AD 的延长线交BF 于E ，且E 为垂足，则结论①AD=BF ，②CF=CD ，③AC+CD=AB ，④BE=CF ，⑤BF=2BE ，其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16、如果实数8181m n m m n m n n m n ++≠=+=++，且，则（ ）A ． 7B ． 8C ． 9D ．10二.填空题：(每题6分，共30分)第2题图 F ( 图2 ）E D CB A 第5题图 N D AC B O第4题图 M 第11题图7、若(2011 4149aQ a --，）是第三象限内的点，且a 为整数，则a = . 8、在△ABC 中，三个内角的度数均为整数值，且∠A<∠B<∠C ，5∠C=9∠A ， 则∠B 的度数是 .9、如图3所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四块面积相等，甲的长是宽的2倍，设乙的长和宽分别是 :a b a b =和，则 . 10、已知平面直角坐标系内A 、B两点的坐标分别是(2 3B 4 1P , 0A x x --，），（，），（）是轴上的一个动点，则当x = 时，△PAB 的周长最短．11、如右上图,平行四边形ABCD 中, ∠ABD=300,AB=4,AE ⊥BD,CF ⊥BD,且E 、F 恰好是BD 的三等分点，又M 、N 分别是AB ，CD 的中点，那么四边形MENF 的面积是 三、解答题（本大题共3题，12、13题11分，14题12分，共34分）12、已知4 5 6.ab ac bca b a c b c===+++，， 求17137a b c +-的值13、如图13，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，DC=5，2B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形14、如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式．备用图xy D C A O B 备用图参考答案及评分标准： 一．选择题：（每题6分，共36分）1-6：DCD ，CAA二．填空题：（每题6分，共30分）7. 2010 8. _54或68 （填一个得3分） 9. 9：2 10. 3.5或2711. 3 三、解答题：（13、14每题11分，15题12分，共34分）12、解：1111444ab a b a b ab a b +=⇒=⇒+=+由① 同理得：111 5a c +=②， 1116b c += ③将①②③式相加得： 11137120a b c ++= ④ ------（4分 ）④－①得 171201207c c =⇒= ------（6分）④－②得 11312012013b b =⇒= ------（8分）④－③得 11712012017a a =⇒= ------（10分）∴17137120120120120a b c +-=+-= ------（11分）13解：（1）过A 、D 分别作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ． ∵∠B=45°∴△AEB 为等腰直角三角形，∴BE = AE 又AB 2=AE 2+BE 2即（2）2=2BE 2∴得BE = 4,AE=4,又∵AD ∥BC ，∴EF=AD=3，DF=AE=4． 在Ｒt △DFC 中，由勾股定理知：FC 2=DC 2-DF 2=52-42=32∴FC=3，∴BC=BE+EF+FC=4+3+3=10． ------（3分 ） （2）当MN ∥AB 时，过N 作NG ⊥BC ，∵在Rt △DFC 与Rt △NGC 中，∠C 共用 ，∴Rt △DFC ∽ Rt △NGC ， ∴GC FC =NC DC =GN FD ,又CN=t ，DC=5，FC=3，可得GN=45t ，GC=35t ． 且BM=2t ，∠NMC=∠B=45°,∴MG=GN=45t, 由BC=BM+MG+GC 得 10=2t+45t+35t , 解得 t=5017∴当MN ∥AB 时，t=5017． ------（6分 ） （3）若△MNC 为等腰三角形，则有三种情况： ①当MN 为底时，有MC=NC ，∴10-2t=t ，∴t=103；------（7分 ） ②当MC 为底时，MN=NC ．同（2）过N 作NG ⊥BC ，则有MG=GC ， 同（2）Rt △DFC ∽ Rt △NGC ， 得 GC=35t ， 又由 BC=BM+MG+GC 得 10=2t+35t+35t ，解得t=258------（9分 ） ③当NC 为底时，MC=MN ．过M 作MH ⊥NC ，则有CH=HN ， ∵CN=t ，∴CH=HN=2t， 在Rt △CMH 与Rt △CFD 中，∠C 共用 ， ∴Rt △CMH ∽Rt △CFD ，∴CH FC =MCDC，∵MC=BC-BM=10-2t ，FC=3，DC=5，∴有23t=1025t -，解得t=6017， ------（10分 ）综上所述：当t=5017，或t=258或t=6017时，△MNC 为等腰三角形 ----------（11分） 14、解：（1）A （－1，0），B （3，0），C （0，3）． 2分 抛物线的对称轴是：x ＝1． 3分（2）①设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ． 将B （3，0），C （0，3）分别代入得： ⎩⎨⎧303＝＝＋b b k 解得⎩⎨⎧31＝－＝b k ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3．当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴E （1，2）． 当x ＝m 时，y ＝－m ＋3，∴P （m ，－m ＋3）． 4分 将x ＝1代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得y ＝4，∴D （1，4）． 将x ＝m 代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得y ＝－m 2＋2m ＋3． ∴F （m ，－m 2＋2m ＋3）． 5分∴线段DE ＝4－2＝2，线段PF ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m 6分 ∵PF ∥DE ，∴当PF ＝DE 时，四边形PEDF 为平行四边形． 由－m 2＋3m ＝2，解得：m 1＝2，m 2＝1（不合题意，舍去）． ∴当m ＝2时，四边形PEDF 为平行四边形． 8分 ②设直线PF 与x 轴交于点M ． 由B （3，0），O （0，0），可得：OB ＝OM ＋MB ＝3． 则S ＝S △BPF ＋S △CPF 9分 ＝21PF ·BM ＋21PF ·OM ＝21PF ·OB ＝21(－m 2＋3m )×3 ＝－23m 2＋29m （0≤m ≤3） 即S 与m 的函数关系式为：S ＝－23m 2＋29m （0≤m ≤3）． 12分 说明：1．第（1）问，写对1个或2个点的坐标均给1分，写对3个点的坐标得2分； 2．第（2）问，S 与m 的函数关系式未写出m 的取值范围不扣分．。
2015年春季湘一数学招生考试试卷
2015年春季湘一数学招生考试试卷 时量：70分钟 总分：100分一、认真思考，精心填一填（将正确答案的字母填在括号里，每小题三分，共21分）1、一种商品先涨价10%，再降价10%，现价是原价的( ) A.100% B.90% C.110% D.99%2、如图共有（ ）条线段. A.5 B.8 C.10 D.123、一个数的小数点向左移动两位后，比原数少了316.8，这个数是（ ） A.3.2 B.0.32 C.32 D.3204、小圆和大圆的半径分别是2厘米和5厘米，小圆与大圆的面积之比是（ ） A.2:5 B.4:10 C.4:25 D.2:105、甲乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米.A.7B.14C.28D.426、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和体积都相等，圆柱体高3分米，圆锥体的高是（ ）分米. A.31B.1C.6D.9 7、儿童节用小灯泡布置教室，按三红二黄二绿规律连接起来，第2010个小灯泡是（ ）色. A.红 B.绿 C.黄 D.不确定二、细心阅读，准确填一填（每小题3分，共21分）8、四川雅安地震后，社会各界踊跃捐款，据不完全统计总额达1058181200元，把它改写成用万作单位的数是 万9、按规律填空： 1 5 14 30 5510、老师到商店买6个足球和3个篮球，要付294元；则买10个足球和5个篮球要付 元11、用浓度为2.5%的盐水800克制成浓度为4%的盐水，需要蒸发掉 克水12、一个直角三角形的三条边分别是6cm 、8cm 、10cm ，这个三角形最长边上的高是 厘米 13、半个圆柱的底面周长是10.28厘米，高6厘米，它的体积是 立方厘米 14、小明上坡速度为每小时3.6千米，下坡时每小时4.5千米，有一个斜坡，小明先上坡再原路返回共用1.8小时，这段斜坡全长 千米三、计算（能简算的要简算。
每小题2分，共12分）①1042-384+16⨯13 ②)62.018.0(56.21.4+÷- ③73311144332÷+⨯- ④314.01504.312.74314.3⨯-⨯+⨯⑤解方程：107x 54x =- ⑥解方程：36x 339.7=+⨯四、认真思考，耐心解一解.（第一小题6分，2~6题每题8分，共46分）1、如图，B、C分别是正方形边上的中点，已知正方形周长是80厘米.求阴影部分面积2、单独修一条公路，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天.现在让三个队合修，但中途甲队撤离到其他工地.结果一共用了6天把这条路修完.修这条路甲队工作了几天？3、两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行80千米，乙车每小时行90千米，两车在离中点20千米处相遇.求A、B两地的距离是多少千米？4、人民公园售出两种门票，成人票每张8元，儿童票每张5元.现在共售出3500张，总金额为23500元.这两种门票各售出多少张？5、学校计算机小组中女生占37.5%，后来又有4名女生参加，这时女生占小组总人数的94.计算机小组现在共有多少人？6、某市居民生活用电规定：每月不超过30度时，按每度0.8元收费；超过30度时，超过部分按每度1.2元收费.六月份张华家的用电，平均价格是0.96元，六月份张华家用多少度电？B。
湖南省常德一中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年湖南省常德一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是(）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∃x∈R，sinx＞1 C．∀x∈R,sinx≥1 D．∀x∈R，sinx＞1 2．“m＞0”是“方程表示椭圆"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．曲线y=x3+1在点（﹣1,0)处的切线方程为(）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=0 4．根据，猜得的值是（)A．B．C．D．5．在正方形ABCD之内随机选取一点M到点D的距离小于正方形的边长的概率是（）A．B．C．D．6．将十进制的数2015化成二进制的数是（）A．111101111（2）B．1111011111（2)C．11111011111(2）D．11111011111（2)7．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人,其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状态，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（)A．84 B．78 C．81 D．968．已知x,y的取值如表所示，且线性回归方程为=bx+，则b=（）x 2 3 4y 6 4 5 A．B．C．D．9．某车间将10名工人评价分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示．已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20,则有(）A．m=3，n=8 B．m=4，n=7 C．m=5，n=6 D．m=6，n=5 10．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．5511．若函数f（x)=xe x﹣m在R上存在两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．B．C．m＞e D．﹣e＜m＜0 12．不等式+≤2的解集为（）A．｛x｜﹣≤x≤} B．{x|﹣≤x≤｝C．｛x|﹣2≤x≤2｝D．｛x|﹣≤x≤} 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．正整数102与96的最大公约数是．14．已知a为实数，i为虚数单位，且复数（a﹣2）+（a﹣4)i为纯虚数，则a的值为．15．同时掷两枚骰子,所得的点数之和为6的概率是．16．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的弦AB,则AB的弦长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．解答：解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为a2．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；故答案为：a2．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC 需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案为：60°．点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为4．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= 10，a2012=2025078．考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案为：10，2025078．点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•+a=a+a=2a．当a=2时，原式=4a．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．解答：解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，即p的取值范围是p≤﹣；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．解答：解：（1）当0≤x＜100时，y=60；当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则，，∴y=；（2）∵250＞100，∴当x=250件时，y=﹣×250+=50元，∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax2+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM 和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵抛物线y=ax2+c（a＞0）经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣2，当x=0时，y=﹣2，∴点M的坐标是（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD•|y P|=2，AD=4，∴|y P|=1．当P点纵坐标为1时，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；当P点纵坐标为﹣1时，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S=OE•CO=×2b×1=b；（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，D（2b﹣2，1），对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．。