【精准解析】湖南省常德市武陵区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

常德市一中2019年下学期高二年级期末考试试卷数学一、选择题：本大题共12小题，每小题只有一个选项符合题目要求． 1.已知命题p ：，则（）A.R sin 1p x x ⌝∃∈≥：， B.R sin 1p x x ⌝∀∈≥：，C.R sin 1p x x ⌝∃∈>：， D.R sin 1p x x ⌝∀∈>：，【答案】C 【解析】任意的否定是存在某值使得结论的否定成立，而结论“sin 1x ≤”的否定是“sin 1x >”，所以:sin 1p x R x ⌝∃∈>，，故选C 2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A.众数 B.平均数C.中位数D.标准差【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A 错．平均数86，88不相等，B 错．中位数分别为86，88，不相等，C 错A 样本方差2S =4，标准差S=2，B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数3.“22a b >”是“ln ln a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先利用指数函数和对数函数的单调性得出22a b >和ln ln a b >的等价条件，然后再判断这两个条件之间的充分必要关系.【详解】22a b a b >⇔>，ln ln 0a b a b >⇔>>，“a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故“22a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查必要不充分条件关系的判断，同时也涉及了指数函数与对数函数的单调性，一般转化为集合的包含关系来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.4.若函数f(x)=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是()A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：因为，函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，所以，240,024b c b --><，即，0b <，24b c <．()2f x x b =+'，故直线的斜率为正、纵截距小于0，选A．考点：本题主要考查导数的计算，二次函数的图象和性质，直线方程．点评：小综合题，利用二次函数的图象顶点在第四象限，确定b 的正负，进一步确定()f x '的图象的斜率、截距．5.已知空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN＝()A.121232a b c -+B.111222a b c +-C.211322a b c-++ D.221332a b c +- 【答案】C 【解析】【详解】如图，连接,ON N 为BC 中点，在OBC 中，可得()12ON OC OB=+，由2OM MA =，则23OM OA = ，那么()1223MN ON OM OC OB OA =-=+-．故本题答案选C．点睛：进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决．6.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C 【解析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.7.若函数3()f x ax bx =+在1x =处有极值2-，则,a b 的值分别为()A.1,3-B.1,3C.1,3- D.1,3--【答案】A 【解析】()()()21303,{12f a b f x ax b f a b =+==+∴=+'=-',解得1{3a b ==-,故选A.8.已知向量,m n分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1cos ,2m n =-，则l 与α所成的角为（）A.030B.060C.0120D.0150【答案】A 【解析】设线面角为θ，则1sin cos ,,302m n θθ=〈〉==.9.具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示，若y 与x 的回归直线方程为332y x=-，则m 的值（）x 0123y1-1m8A.4B.92C.5D.6【答案】A 【解析】由表中数据得：38,24m x y +==，根据最小二乘法，将38,24m x y +==代入回归方程ˆy332x =-，得4m =，故选A.10.根据市场统计，某商品的日销售量X（单位：kg）的频率分市直方图如图所示，则由频率分布直方图得到该商品日销售量的中位数的估计值为（）A.35B.33．6C.31．3D.28．3【答案】B 【解析】试题分析：频率分布直方图中，中位数左边及右边的面积相等，所以0.20.0350.5x +=，则8.6x ≈，所以中位数估计值为33.6，选B.考点：1.频率分布直方图；2.特征数字.11.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB的最大值为（）A.2B.2C.1D.【答案】A 【解析】试题分析：设12,AF r BF r ==，则121()22r r MN AB +==考点：1、抛物线的焦点、准线；2、重要不等式；3、梯形的中位线；4、勾股定理12.已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（）A.1,0a b <-<B.1,0a b <->C.1,0a b >-<D.1,0a b >->【答案】C 【解析】【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x =+-'，当10a + ，即1a - 时，0y ' ，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二、填空题13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【答案】15【解析】【详解】试题分析：应从高二年级学生中抽取名学生,故应填.考点：分层抽样及运用．14.在面积为S 的三角形ABC 的边AB 上任意取一点P ，则三角形PBC 的面积大于4S的概率为______．【答案】916【解析】试题分析：记事件{A PBC = 的面积超过}4S，基本事件是三角形ABC 的面积，（如图）事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积（//DE BC 并且:3:4AD AB =），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的239416⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()916P A ==阴影部分三角形面积．考点：几何概型．15.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若21l PF ⊥，22l PF ，则双曲线的离心率为.【答案】2【解析】试题分析：由题设条件显然得出12PF PF ⊥，故1212PO F F c ==，而P 点在渐近线1:bl y x a =上，可求得P 点坐标为(,)a b ，下面由22l PF 可得b ba c a=--22c a e ⇒=⇒=．考点：双曲线的离心率．16.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞【解析】【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x＞1∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知i 是虚数单位．（1）若复数1i 22z =-+，求z z +的值；（2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值．【答案】（1）1322-（2）-3【解析】【分析】（1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得1i 22z =--，1122z z z =∴+=-．（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m <+的概率【答案】（1），（2）【解析】【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率为.（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3，2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝.19.设函数32()()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数(1)求b,c 的值;(2)求g(x)的单调区间.【答案】(1)3b =，0c =(2)见解析【解析】【分析】（1）求得()g x 的表达式，利用三次函数是奇函数，没有二次项和常数项，求得,b c 的值.（2）利用函数()g x 的导数，求得函数的单调区间.【详解】解：(1)()32f x x bx cx =++ ()2'32f x x bx c ∴=++()()()()()()32232'3232g x f x f x x bx cx x bx c x b x c b x c=-=++-++=+-+--3b =，所以()00g =得0c =.(2)由（1）知()36g x x x =-，从而，当()'0g x ＞时,x ＜或x ，当()'0g x ＜时,由此可知x ,(,-∞和)+∞是函数g(x)的单调递增区间；(是函数g(x)的单调递减区间.【点睛】本小题主要考查由函数是奇函数求函数的解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.20.已知四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，12AA AB =，P 是侧棱1CC 上的一点．（1）求证：不论P 在侧棱1CC 上何位置，总有BD AP ⊥；（2）若113CC C P =，求平面1AB P 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）3cos 7θ=【解析】【分析】（1）证明BD ∴⊥平面11ACC A ，BD AP ⊥即得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，取1AB =，12AA =，43CP =，利用向量法求平面1AB P 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．【详解】（1）由题设易得BD AC ⊥，1BD AA ⊥，1AC AA A =∩,1AC AA ，⊂平面11ACC A BD ∴⊥平面11ACC A AP ⊂ ，平面11ACC A ．所以BD AP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，取1AB =，12AA =，43CP =，由题得A(1,0,0)，14(1,1,2),P(0,1,)3B ，所以14(0,1,2),(1,1,)3AB AP ==- ,设平面1AB P 的法向量(),,m x y z =，所以120403m AB y z m AP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩∴平面1AB P 的法向量()2,6,3m =- ，平面ABCD 的法向量()0,0,1n = ，所以3cos ,749m n ==- ．由于所求二面角为θ为锐角，所以3cos 7θ=．【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21.椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12而且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其长轴的左右端点分别为A ，B ，直线:3220l x y m -+=交椭圆于C ，D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，若122k k =，求m 的值．【答案】（1）22143x y +=（2）1m =【解析】【分析】（1）解方程12c a =，221914a b+=，222a b c =+即得椭圆方程；（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线和椭圆方程得()1212103120x x x x +++=,代韦达定理即得解.【详解】（1）由题得12c a =，221914a b+=，222a b c =+，解之得2a ，=b =，221143x y c =∴+=．（2）联立直线和椭圆方程得22223220,33303412x y m x mx m x y -+=⎧∴++-=⎨+=⎩，由题得2012m ∆>∴<，．设()11,C x y ，()22,D x y ，所以12x x m +=-，21233m x x -=，由题得()2,0A -，()2,0B ，因为()()222221122112212224222y y k k y x y x x x =∴=∴⋅-=⋅++-，将()2211344y x =-，()2222344y x =-代入上式得()1212103120x x x x +++=，从而有()2103120,1m m m -+-+=∴=或9．∵212m <，∴1m =．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.22.已知函数()()2ln ,f x ax x bx ax a b =--∈R ．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2210x y ++=，求a ，b 的值；（2）当0a ≤，12b =时，对()12,1,x x e ∀∈且12x x ≠，总有()()12123f x f x x x -<-，求a 的取值范围．【答案】（1）1a =，12b =．（2）[]3,0a e ∈-【解析】【分析】（1）由题得()()31211f f ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩'，解方程组即得解；（2）等价于函数()()3h x f x x =+在区间()1,e 上单调递增，等价于()ln 0h x a x x e '=-+≥在()1,e 上恒成立，等价于3ln x a x-≥在()1,e 上恒成立，再利用导数求函数的最值即得解.【详解】（1）()0,x ∈+∞，()ln 2f x a x bx '=-，由切线12y x =--得()()3311221121f b a a f b ⎧⎧=---=-⎪⎪∴∴=⎨⎨⎪⎪=--=-⎩⎩'，12b =．（2）当0a ≤，12b =时，()ln f x a x x '=-．易知()1,x e ∈时，()()0f x f x '<⇒在区间()1,e 上递减．不妨设121x x e <<<，则有()()12f x f x >，于是()()()()()()()1212211122123333f x f x f x f x x x f x x f x x x x -<⇔-<-⇔+<+-∴函数()()3h x f x x =+在区间()1,e 上递增()ln 0h x a x x e '∴=-+≥在()1,e 上恒成立3ln x a x-∴≥在()1,e 上恒成立．令()3ln x g x x -=，则()()23ln 1ln x x g x x -+'=．又令3ln 1y x x =-+，则23x y x-'=．()1,x e ∈时30ln 1y y x x'<⇒=-+单调递减，()()()300y y e g x g x e '⇒>=>⇒>⇒单调递增，()()3g x g e e ⇒<=-．故3a e ≥-．综上，得[]3,0a e ∈-．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。