第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简(第四讲)
第五章 矩阵的相似变换和特征值.
例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 –3 +4.
为(A) = 2A2 –3A +4I的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A)x = (2A2 –3A +4I)x
1
(k1p1, k2p2, …, kmpm) 1
1 2
m1 1
m1 2
=
O.
1
m
m1 m
由此可得(k1p1, k2p2, …, kmpm) = O.
因而k1 = k2 = … = km = 0.
这就证明了p1, p2, …, pm是线性无关的.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
一. 特征值, 特征向量的定义和计算
1. 设A是n阶方阵, 为数, 为n维非零向量. 若A = , 则称为A的特征值, 称为A 的对应于的特征向量.
2. 由A =得齐次线性方程组(I–A) =, 它有非零解系数行列式|I–A|=0, 这个 关于的一元n次方程, 称为A的特征方程, |I–A|称为A的特征多项式.
二. 特征值, 特征向量的性质
定理5.1. 设1, …, n(实数或复数, 可以重复)
是n阶方阵A=[aij]的n个特征值, 即
|I–A| = (–1) (–2)…(–n).
则
n
n
i=1i = trA =i=1aii
n
i =1
i
=
detA
=
|A|
线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量
评 注 n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下：
Q
A
(α1
,α
2
L
,
α
n
)
=
(
λ1α1,
λ2α
2
,L,
λnα
n
)
=
[α1
,L,α
n
]
λ1
O
0
=
[α1 ,L ,α n
]
Λ
0
λn
⇔ [α1，L，αn ]−1 A(α1,L,αn ) = Λ （[α1，L，αn ]−1 存在要求α1，L，αn 线性无关）
A−1
→
1 λ
A∗
→
A λ
2．特征向量 ξ
2.1 性 质： 首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反
过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的 特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称 矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。
0
1 0 0
评
注
ξ1
=
0 0
,
ξ2 = 10 ,
ξ3
=
10
⇒
正是三阶单位矩阵
E3 =
0 0
1 0
01 的三个列 (或行)向量，
1 0 0
这就是为什么在求形如
0 0
0 0
0 0
基础解系时，用
E
的列向量依次填补后面坐标分量的原因。
第五章~~~~~方阵的特征值特征向量与相似化简(第四讲)资料
1 1
1
1 ,2
1
,
1
1
则需把它施密特标准正交化:
令
b1 1,
1
e1
b1 b1
1 3
1 1
.
b2 2 2,e1e1
2 2, b1
b1 b1 2
1 1
1
1 3
1
1 1
4 3
2 3
2
2
2 3
1 1
,
3
2
e2
b2 b2
1 6
1 1
.
于是得正交矩阵
解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值.
4 0 0
AE 0 3 1
0 1 3
(4 )(2 6 8)
(2 )(4 )2 0.
得A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=4.
(2) 由(A-λE)x=0,求A的特征向量.当λ1=2时，由
2 0 0 x1 0
0
1
1
x2
0
显然，当特征值λi为实数时，齐次线性方程组
(A- λiE)x=0 是实系数方程组,由|A- λiE|=0知必有实的基础解系,所以对 应的特征向量可以取实向量.
定理5.2 实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量 正交.
证明 设A为实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征 值，α1，α2是A的分别对应于λ1，λ2 的特征向量，即有
,
0 1 1 x3 0
解得
x1 0
x2
k1
1
,
k1≠0任意.
x3 1
0
0
取
c1
1
,
单位化得
p1
1 2
第五章方阵的相似变换
n
A p 1 , p 2 , , p n Ap 1 , Ap 2 , , Ap n
1 p1 , p 2 , , p n
于是有 Ap i i p i
i 1 , 2 , , n .
可见 i 是 A 的特征值 , 而 P 的列向量 p i 就是 A 的对应于特征值
T
所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 化.
, 因而 A 可对角
2 1 (2) A 5 3 1 0 2 A E 5 1
2 3 2 1 3 0
2 3 2
1
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
同理 , 对 3 7 ,由 A E x 0 ,
求得基础解系 3 1 , 2 , 2
2 由于 0 1 0 1 1 1 2 0, 2
( 4 )若 A 与 B 相似 , 而 f ( x )是一多项式 , 则 f ( A )与 f ( B )相似 .
1
1
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP ，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
n1
, A 的特征值为
1 n , 2 n 0 .又 A 是实对称矩阵 , 存在可逆
矩阵 P 1 , 使得
第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质
⎛ λ1 ⎜ , pn ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
通识教育必修课程——线性代数
定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）
⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ [ξ 3 ,η2 ] 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η2 = ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = ξ 3 − η2 = ⎜ 1 ⎟ [η2 ,η2 ] 2⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 此时ξ1⊥η2 ， ξ1⊥η3 ，η2⊥η3 ．
通识教育必修课程——线性代数
单位化：
⎛ −1 ⎞ ξ 1 = ⎜ −1 ⎟ 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 ； ⎜ ⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ p1 = ⎜ −1 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 η2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = 2 ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = 6 ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 0⎠ ⎝ ⎝ ⎠
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
通识教育必修课程——线性代数
二、对称矩阵正交对角化
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = Λ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7）
第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简
2 (3) f ( x ) 2( x 1) x( x 5) 是
§1 数域 多项式的根
例4 复数域上，将多项式
f ( x) x 3 2x 2 x 2
标准分解。 解 根据根与系数的关系，(x)的有理根必是2的 约数，即可能是1,-1,2,-2,
f (1) 1 2 1 2 0, f ( 1) 1 2 1 2 0, f ( 2) 8 8 2 2 0,
0 是A的特征值 是对应于 0的特征向量 , .
#
§2 方阵的特征值与特征向量
3.方阵的特征值与特征向量的问题 ⑴ 0 是A的特征值 0是 ( ) E-A的根 存在非零向量使A 0 ⑵ 是A的对应于 0的特征向量 A 0 是(0 E-A) x 0的非零解 ⑶ 若1 , 2 , s 是(0 E-A) x 0一个基础解系 , 则对应于 0的全部特征向量为
§1 数域 多项式的根
1.数域的概念 定义1.1 设F 是一个数集，F 中至少包含两个不 同的数，如果F 中任意两个数的和、差、积、商 (当除数不为零时)仍是F 中的数，则称F 是一个数 域。 注⑴ 数域对数的四则运算(除数不为零)封闭。 ⑵ 数域F 必包含0和1两个数。 证 依定义有 a, b F，且a 0,
4 1 1 0 0 ( 2)( 1) 2 2
3
0
得B的特征值 1 2 1, 3 2.
§2 方阵的特征值与特征向量
对于1,2=2，解方程组(2E-B)X=0得基础解系
1 (0, 0, 1)T ,
于是, B对应于 1 2的全部特征向量为 k11 ( k1 0).
又1 , 2 ,, n是A的特征值可知
第五章 特征值、特征向量
| λ E − A |= (λ − λ1 ) s1 (λ − λ2 ) s2 ...(λ − λm ) sm
属于λ 特征向量,i=1,2, 个两两正交的单位特征向量 属于λi有si个两两正交的单位特征向量,i=1,2,…,m s1+s2+...+sm=n， ， ∴A有n个两两正交的单位特征向量:q1,q2,...,qn， 有 个两两正交的单位特征向量 个两两正交的单位特征向量
λ − a11 λE − A =
−a21 ... −an1 −a12 ... −an2 ... −a1n −a2n
λ − a22 ...
(λi E − A)ξ = 0
Aξ = λiξ
例
... ... ... λ − ann
特征值、 特征值、 第五章 特征值、特征向量 §1.特征值、特征向量 续1) 特征值 特征向量(续 定理1： 阶方阵A的特征值， 定理 ：设λ1, λ2,…, λn为n阶方阵 的特征值，则 阶方阵
λ1 Es1 Q=[q1 q2...qn]为正交阵 且Q-1AQ= 为正交阵,且 为正交阵
... =Λ λm Esm
特征值、 实对称矩阵的对角化(续 第五章 特征值、特征向量 §3.实对称矩阵的对角化 续1) 实对称矩阵的对角化 定理6.设 为实对称阵,则存在正交阵 使得Q 则存在正交阵Q,使得 为对角阵. 定理 设A为实对称阵 则存在正交阵 使得 -1AQ为对角阵 为对角阵 的互不相同特征值. 证:设λ1, λ2,…, λm为n阶实对称矩阵 的互不相同特征值 设 阶实对称矩阵A的互不相同特征值 它们全为实数. 它们全为实数
特征值、 特征值、 第五章 特征值、特征向量 §1.特征值、特征向量 续2) 特征值 特征向量(续 定理2：相似矩阵特征多项式相同 定理 ：相似矩阵特征多项式相同. 特征多项式相同 则 证：设P-1AP=B.则 如,当 当
第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1.A 是一个n 阶方阵,如果存在一个数λ和一个n 维非零列向量α,使得λαα=A 成立,则称λ为矩阵A 的特征值，非零列向量α称为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.2.A 为n 阶方阵,λ为未知量,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ212222111211称为矩阵A 的特征矩阵;其行列式A E f -=λλ)(为λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特征多项式;0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程.3.n 阶方阵A 的主对角线上的元素的和称为A 的迹,记作)(A t r ,即)(A t r nn a a a +++= 2211.4.对于n 阶方阵A 和B ,若存在n 阶可逆方阵P ,使B AP P =-1成立,则称A 与B 相似,记为B A ~.满足: (1)自身性 即A A ~;(2)对称性 若B A ~,则A B ~;(3)传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~. 5.若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化.6.实矩阵A =n m ij a ⨯)(,如果0≥ij a ,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为非负矩阵;如果ij a >0,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为正矩阵.7.如果n 阶方阵A =n m ij a ⨯)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为 ⎪⎭⎫⎝⎛221211A OA A , 其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称A 为可分解矩阵,否则称A 为不可分解的矩阵.8.若n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则称=)(A P |}|,,||,|max{|21n λλλ 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果1.特征值和特征向量的基本性质(1)n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值(但特征向量一般不同);(2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;(4)设n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则有①nn n a a a ++=+++221121λλλ,即A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21A n =λλλ .推论 若矩阵A 可逆⇔矩阵A 的特征值全不为零.(5)若λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量,则①λk 是kA 的特征值(k 为任意常数); ②m λ是m A 的特征值(m 为正整数);③当A 可逆时,1-λ是1-A 的特征值,λA是*A 的特征值;④)(0λP 是)(A P 的特征值,其中)(x P 为任一多项式.注意 α仍是矩阵kA 、m A 、1-A 、*A 、)(A P 对应于特征值λk 、m λ、1-λ、λA、)(0λP 的特征向量.)6(*若A 为实对称矩阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质若A ～B ,则(1)B A =,)()(B r A r =,)()(B t A t r r =;(2)T A ～T B ,1-A ～1-B ,m A ～m B ,kA ～kB ,)(A P ～)(B P ;(3)||||B E A E -=-λλ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.3.矩阵可对角化的条件(1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;(2)n 阶方阵A 有n 个不同的特征值,则A 一定可对角化;)3(*实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵P (1-=P P T ),使Λ=-AP P 1.例题解析例1 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102124A ,则A 的对应于特征值2=λ的特征向量α为( ).(A )T )0,0,0( (B )T )0,1,1(- (C )T )2,1,1( (D )T )1,0,1(解 根据定义,只需验证选项中的向量α是否满足αα2=A )0(≠α,显然,零向量不是矩阵A 的特征向量,应排除(A ). 对于(B ),因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112022011011102124αA , 所以,=α()T 0,1,1-是A 的对应于2=λ的特征向量,应选(B ).例2 设A 为n 阶矩阵,下述结论中正确的是( ). (A )矩阵A 有n 个不同的特征根(B )矩阵A 与T A 有相同的特征值和特征向量(C )矩阵A 的特征向量21,αα的线性组合2211ααc c +仍是A 的特征向量 (D )矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关解 对于选项(A ),矩阵A 有n 个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故(A )错.对于选项(B ),A 与T A 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故(B )错.对于选项(C ),未说明21,αα对应的特征值.如果21,αα是对应于A 的同一特征值λ的特征向量,则当21,c c 不全为零时,2211ααc c +仍是A 的对应于特征值λ的特征向量;如果21,αα是对应于A 的不同特征值21,λλ的特征向量,则2211ααc c +不是A 的特征向量(0,021≠≠c c 为任意常数).关于这一结论的证明,见例8.对于选项(D )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(D ).例3 如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ,则A 有一个特征值( ). (A )a (B )a - (C )0 (D )1-a解 在||A E -λ中,把第二列到第n 列都加到第一列上,则第一列有公因子αλ-,提出后可知αλ-是||A E -λ的因子,所以a 是A 的一个特征值.应选(A ).例4 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2221A ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).(A )A E +-2 (B )A E - (C )A E -2 (D )A E --3 解 矩阵A 的特征多项式为 )2)(3(2221-+=+-=-λλλλλA E ,故A 的特征值为31-=λ,22=λ.因为 02)1()2(22=--=--=+-A E A E A E ,即选项(A )是奇异矩阵,而1不是A 的特征值,必有0||≠-A E ,应选(B ). 例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1,-2,3,则=||A ,1-A 的特征值为 ,T A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,E A A ++22的特征值为 .解 因为6||321-==λλλA ,由||||T A E A E -=-λλ,知A 与T A 有相同的特征值,故T A 的特征值为1,2-,3.若设X 为A 属于λ的一个特征向量,则有XAX λ=,于是有XX A λ11=-,X AX A A X A λ==-1*,X X A kkλ=,从而推得1-A的特征值为λ1,*A 的特征值为λ||A .矩阵多项式)(A f 的特征值为)(λf ,从而可写出各自具体内容.应填6-;31,21,1-;3,2,1-;2,3,6--;16,1,4.例6 设A 是三阶方阵,并且0322=+=+=-E A E A E A ,则E A 32-* = .解 由0322=+=+=-E A E A E A ,可得A 的特征值分别为23,2,1--,所以 3)23()2(1=-⋅-⋅=A ,于是E A E A A E A 36323211-=-=---*的特征值分别为7,6,3--,故 126)7()6(332=-⨯-⨯=-*E A ,应填126.例7 设4阶方阵A 满足条件03=+A E ,E AA T 2=,0<A ,其中E 是4阶单位阵,则方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为_______.解 由0)3(3=--=+E A E A ,得A 的一个特征值3-=λ.又由条件有 16224===E E AA T , 162===A A A AA T T .因为0<A ,所以4-=A ,且知A 可逆.设A 的属于特征值3-=λ的特征向量为α,则αααααα3133111-=⇒-=⇒-=---A A A A A ,又因为0≠A ,所以11,31-*-=-=AA A A A A αα,故αα34=*A ,可知*A 的特征值为34.应填34.例8 设21,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,试证:2211ααc c +(01≠c ,02≠c ,任意常数)不是A 的特征向量. 证 反证法.设2211ααc c +为A 的对应于特征值λ的特征向量,于是 )()(22112211ααλααc c c c A +=+又由已知,有111αλα=A ,)0(1≠α,222αλα=A ,)0(2≠α.代入上式左边,得 22211122112211)(αλαλααααc c A c A c c c A +=+=+, 因此)(2211222111ααλαλαλc c c c +=+, 所以0)()(222111=-+-αλλαλλc c . 因21λλ≠,所以向量21,αα线性无关,故 0)(11=-λλc , 0)(22=-λλc , 其中21,c c 是不等于零的任意常数.由此可得λλ=1,λλ=2,即21λλ=,与已知条件矛盾!所以2211ααc c +不是A 的特征向量.例9 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020112A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式)1()2(110201122--=-----=-λλλλλλA E ,所以,A 的特征值为11=λ,232==λλ.对于11=λ,解齐次线性方程组O X A E =-)(,因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000010101010010111)(A E ,由此可得同解方程组 ⎩⎨⎧==+00231x x x ,取3x 为自由未知量,令13=x ,得方程组的基础解系T -=)1,0,1(1α.于是A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为11αc (01≠c ,为任意常数).对于232==λλ,解齐次线性方程组0)2(=-X A E , 因⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000110110000110)2(A E , 由此可得同解方程组 032=+x x . 取自由未知量⎪⎪⎭⎫⎝⎛31x x 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎭⎫⎝⎛10可得方程组的基础解系TT-==)1,1,0(,)0,0,1(32αα于是,A 的对应于232==λλ的全部特征向量为3322ααc c +(32,c c 为不全为零的任意常数).注 1.求特征值、特征向量的基本方法:(1)计算矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ;(2)求出特征方程()0=-=A E f λλ的全部根,即A 的全部特征值; (3)对每一个特征值0λ,求出O X A E =-)(0λ的一个基础解系r n -ηηη,,,21 , 则A 的属于0λ的全部特征向量为r n r n k k k --+++ηηη 2211,其中r n k k k -,,,21 为不全为零的常数.2.这类计算题中,方程组()O X A E =-λ的系数矩阵常常出现零列(如此题中)2(A E -的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求O X A E =-)2(的基础解系时,取31,x x 为自由未知量.例10 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=122212221A ,(1)求A 的特征值;(2)求1-+A E 的特征值. 解 A 的特征多项式12122212221r r A E ++-+---+=-λλλλ12211221+-----+λλλλ)5()1(2+-=λλ.所以,A 的特征值为1,1,5-.由特征值性质可知,1-A 的特征值为1,1,51-,于是1-+A E 的特征值为2,2,54.例11 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.解 A 的特征多项式为λλλλ0111-----=-y xA E )1()1(2+-=λλ,所以,A 的特征值为 121=，λ,13-=λ. 只要121=，λ有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵A E -⋅1的秩等于1. 因为A E -⋅1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1010101y x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000101x y ,只要满足0=+y x 即可.例12 设向量TK )1,,1(=α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量,试求常数K 的值.分析 用特征值、特征向量的定义讨论.解 设λ是α所属的特征值,则λαα=-1A ,αλαA =,.即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121112111211K Kλ, 由此,得方程组 ⎩⎨⎧=+=+KK K )22(1)3(λλ,其解为11=λ,21-=K ;412=λ,12=K .于是,当2-=K 或1时,α是1-A 的特征向量.例13 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎝--=a c b A 0135,其行列式1-=A ,又A 的伴随矩阵 *A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为T )1,1,1(--=α,求c b a ,,和0λ的值.解 由题设知E E A AA -==*,αλα0=*A . 于是有αλααααA A A E AA 0)(==-=-=**. 即有0λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111101351a c b c a . 得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++-1)1( 1)2(1)1(000a c b c a λλλ.由此解得 10=λ,3-=b ,c a =.再代入1-=A 得2==c a .例14 设A 为n 阶方阵,任一非零的n 维向量都是A 的特征向量,试证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ00A , 即A 为数量矩阵.证 设),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=是A 的第i 行、第j 列元素,因单位坐标向量,1εn εε,,2⋅⋅⋅也是A 的特征向量,设n λλλ,,,21 是对应的特征值,则有 i i A λεε= ),,1(n i ⋅⋅⋅=即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001i niiii i a a a A λε, ),,1(n i ⋅⋅⋅=.故 i ii a λ=,0=ji a (i j ≠).这样⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝=n A λλ02 . 因为0≠+j i εε (i j ≠),也是A 的特征向量,设λ为对应的特征值,则由j i j i j i A λελεεελεε+=+=+)()(, j j i i j i j i A A A ελελεεεε+=+=+)(,有 0)()(=-+-j j i i ελλελλ.因j i εε,线性无关,故λλλ==j i .于是可得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ0 A . 例15 设B A ,均为n 阶方阵,试证AB 与BA 有相同的特征值.证 如果矩阵AB 是不可逆的,则0=AB ,所以 0==⋅=⋅=AB B A A B BA . 由此可得0)1(0=-=-AB AB E n , 0)1(0=-=-BA BA E n .即AB 与BA 都有特征值0.当AB 不可逆,且00≠λ为AB 的任一非零特征值时,需证0λ也是BA 的特征值.实际上,设AB 的对应于0λ的特征向量为)0(≠αα,则 αλα0=AB . 在上式两边左乘B ,得)()(0αλαB B BA =.令αηB =,则有ηλη0=BA ,只需证明0≠η.假设0==αηB ,于是0==αηAB A .这与00≠=αλαAB 矛盾.因此0≠η.即0λ是BA 的一个特征值,对应的特征向量为αB .由0λ的任意性可知,AB 的任一非零特征值都是BA 的特征值.类似可证BA 的任一非零特征值也是AB 的特征值.当矩阵AB 可逆时,AB 的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得AB 与BA 有相同的特征值.例16 设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ). (A )B E A E -=-λλ(B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角阵(D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似解 由A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得 B AP P =-1,从而 B tE AP P P tP P A tE P -=-=----111)(, 即A tE -与B tE -相似.应选(D ).例17 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020002A ,则下述矩阵中与A 相似的矩阵是( ). (A )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3001200121A(B )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000200122A (C )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000201023A(D )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3110210024A 解 因矩阵A 已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与A 有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化.对于选项(A ),特征多项式)3()2(21--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考察方程组O X A E =-)2(1,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000100010100100010)2(1A E , 于是2)2(1=-A E r .方程组O X A E =-)2(1的基础解系中仅含1个向量,而=1λ22=λ是二重特征值,故矩阵1A 不能对角化,即1A 不与A 相似.对于选项(B )与(D ),用类似方法可判断矩阵42,A A 不可对角化,故42,A A 不与A 相似.对于选项(C ),矩阵3A 的特征多项式)3()2(23--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考虑方程组O X A E =-)2(3,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-000000100100000100)2(3A E ,故1)2(3=-A E r ,方程组O X A E =-)2(3的基础解系中恰恰含两个向量,故3A 可对角化.应选(C ).注 矩阵A 对角化的步骤:(1)求出A 的特征值:1λ,2λ, n λ,对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组O X A E i =-)(λ的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于i λ的重数,则A 可对角化,否则A 不可对角化;(2)以A 的n 个线性无关的特征向量:n ααα,,,21 为列构造可逆矩阵=P),,,(21n ααα ,则有对角阵Λ=diag(n λλλ,,,21 )=AP P 1-.注意顺序:i α为属于i λ的特征向量.例18 三阶矩阵A 的特征值为1,2-,3,矩阵A A B 22-=,求: (1)B 的特征值;(2)B 是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵; (3)行列式E A B 2-和的值.解 设λ为A 的任一特征值,对应的一个特征向量为α,则 λαα=A , )0(≠α. 所以αλαλα22==A A ,αλλλααλαα)2(2)2(222-=-=-=A A B ,即,对应于A 的一个特征值λ,B 对应的特征值为λλ22-.由此可知当A 的特征值为1,2-,3时,B 的特征值为1-,8,3.因为B 有三个不同的特征值,所以B 可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300080001. 于是 2438)1(-=⨯⨯-=B ,63)2(1-=⨯-⨯=A .又因为)2(E A A B -=,所以46242=--==-AB E A .例19 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3212A ,求100A .分析 直接求100A 计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 A 的特征多项式)4)(1(2212--=----=-λλλλλA E ,故A 的特征值为11=λ,42=λ.当11=λ时,可求出一个基础解系:T )1,1(1-=α. 当42=λ时,可求出一个基础解系:T )2,1(2=α.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111P ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/13/13/13/21P ,此时⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-40011AP P , 即有 14001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A 因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/13/13/13/24001211140011001100100PP A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+-+-+=100100100100421422414231. 例20 若三阶方阵A 的特征值为61=λ,32=λ,33=λ,其相应的特征向量为T )1,1,1(1=α,T )1,0,1(2-=α,T )1,2,1(3-=α,求矩阵A ,5A . 解 因为可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , 则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3000300061AP P . 故A =1300030006-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛P P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6/13/16/12/102/13/13/13/130030006111201111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411141114. 因A ～Λ,故5A ～5Λ,即有 1555555555332336336⨯=⨯⨯==Λ=A .*例21 若三阶实对称矩阵A 的特征值为1,4,2-,且对于11=λ和42=λ的特征向量分别为T )2,1,2(1-=α,T )1,2,2(2-=α,求矩阵A ,5A .解 设23-=λ的特征向量为T c b a ),,(3=α,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有0),(21=αα,0),(32=αα,即 ⎩⎨⎧=+-=-+022022c b a c b a ,解之可得 2c a =,c b =,c c =.令2=c ,即有1=a ,2=b .故T )2,2,1(3=α. 取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==212221122),,(321αααP . 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-221122212911P. 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2411AP P , 所以1241-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22112221291241212221122 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022. 此时由A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ241, 故5A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ555)2(41. 因此1555)2(41-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=221122212913210241212221122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9002178198021783969415819804158406891⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=100242220242441462220462452. *例22 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2110000010010y A . (1)已知A 的一个特征值为3,试求y ; (2)求矩阵,使)()(AP AP T 为对角阵.解 (1)由31=λ,代入特征方程0=-A E λ,得11130000310013-----y ()02811133113=-=-----=y y .所以2=y .(2)由)()(AP AP T P A P AAP P T T 2==,问题转化为2A 的对角化问题. 由于⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5445112A ,只要将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54451A 对角化即可,由0910544521=+-=----=-λλλλλA E ,得11=λ,92=λ.求得相应特征向量为 ⎪⎭⎫⎝⎛-=111α, ⎪⎭⎫⎝⎛=112α.单位化⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11211β, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11212β. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121212111P 使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9111)()(AP AP T .注 由正交矩阵P 将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤:(1)求出实对称阵A 的全部特征值:1λ,2λ, ,n λ;(2)对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的一个基础解系;(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化,求出属于i λ的一个标准正交组;(4)将所有正交化、单位化后的n 个特征向量作为列向量构成矩阵P ,则P 为所求正交矩阵,并可得对角阵AP P 1-=),,,(diag 21n λλλ .例23 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值,证明:A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.证 必要性因为A 有n 个互不相同的特征值,故A 可对角化.即存在可逆阵P ,使11Λ=-AP P .由于A 的特征向量也是B 的特征向量,故对同样的P ,有21Λ=-BP P .于是1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ,1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA . 而1221ΛΛ=ΛΛ,所以,BA AB =. 充分性设λαα=A ,0≠α.两边左乘B ,利用BA AB =,有 )()()(αλααB B A A B ==.若0≠αB ,由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量.由于A 的特征值两两不同,故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个,因此α与αB 应成比例,即μαα=B ,即α为B 的特征向量;若0=αB ,则αα0=B )0(≠α,故α仍为B 的特征向量. 总之,A 的特征向量也是B 的特征向量.例24 已知矩阵A 与C 相似,矩阵B 与D 相似,证明分块矩阵 ⎪⎭⎫⎝⎛B OO A 与⎪⎭⎫⎝⎛D OO C 相似. 证 由条件知,存在可逆矩阵Q P ,使得 AP P C 1-=, BQ Q D 1-=. 取⎪⎭⎫⎝⎛=Q OO P X ,则X 可逆,且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---111Q O O P X.这时 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q OO P B OO AQ O O P X B OO A X111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--D OO C BQ Q OOAPP 11, 即⎪⎭⎫⎝⎛B O O A 与⎪⎭⎫⎝⎛D O O C相似. 例25 设 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b aA 为二阶实矩阵,且0>bc ,证明A 可与一对角矩阵相似.证 因A 的特征多项式 dcbaA E ----=-λλλ)()(2bc ad d a -++-=λλ,其判别式04)()(4)(22>+-=--+=∆bc d a bc ad d a 所以A 必有两个不同的特征值,故A 必可与一对角阵相似.练习题一.是非题1.( )A 是n 阶方阵,若有数λ与n 维列向量α满足λαα=A ,则λ是A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量.2.( )若21,αα是A 的分别属于21,λλ的特征向量,则21,αα一定线性无关.3.( )若21,αα是两个线性无关的特征向量,则它们一定是分别属于不同特征值的特征向量.4.( )若1α是A 的属于1λ的特征向量,则1αK 也是A 的属于1λ的特征向量.5.( )A 与T A 有相同的特征值和相同的特征向量.6.( )A 与T A 有相同的特征多项式.7.( )方程O X A E =-)(0λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量.8.( )若21,αα为方程O X A E =-)(0λ的一个基础解系,则2211ααc c +(,1c 2c 为非零常数)是A 的属于特征值0λ的全部特征向量.9.( )设21,αα为A 的二个特征向量,则2211ααc c +(21,c c 不全为零)也是A 的特征向量.10.( )若矩阵A ,B 有相同的特征多项式,则A ～B .11.( )若A ～B ，则存在唯一的可逆阵P ,使B AP P =-1. 12.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征值. 13.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征向量. 14.( )若A ～B ,则B E A E -=-T λλ.15.( )若A ～B ,则)(A E -λ～)(B E -λ.16.( )若矩阵A 有三重的特征值,则A 一定不能对角化. 17.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个特征值.18.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个线性无关的特征向量. 19.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则T A 有n 个相异的特征值. 20.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个不同的特征向量. 二.填空题1.设三阶矩阵A 的特征值为1-,1,2,则1-A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,)3(A E +的特征值为 .2.设三阶方阵A 有三个特征值1λ,2λ,3λ,如果36=A ,21=λ,32=λ则=3λ .3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=160420125A , 则A 的三个特征值的和是 ,积是 .4.已知三阶方阵A 有三个特征值1-,1,2,22)(2+-=x x x f ,则)(A f 的特征值是 ,=)(A f .5.设三阶矩阵O A =,则A 的全部特征向量为 .6.设A 为n 阶方阵,O AX =有非零解,则A 必有一个特征值是 .7.若A ～E ,则=A .8.若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123122与⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321相似,则=x .9.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y 3122与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321相似,则=x ,=y .10.设二阶实对称矩阵A 的特征值为1,2;对应于特征值1的特征向量为T-=)1,1(1α,则A 的对应于特征值2的特征向量=2α . 三.单项选择题1.设A 为n 阶方阵,以下结论中成立的是( ).(A )若A 可逆,则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征值λ1的特征向量(B )A 的特征向量即为方程O X A E =-)(λ的全部解 (C )A 的特征向量的线性组合仍为特征向量 (D )A 与T A 有相同的特征向量2.可逆矩阵A 与矩阵( )有相同的特征值. (A )T A (B )1-A (C )2A (D )E A +3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=53342111a A ,且A的特征值为61=λ,232==λλ如果A 有三个线性无关的特征向量,则a 为( ).(A )2 (B )2- (C )4 (D )4- 4.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是( ). (A )数量矩阵)1(≠K KE(B )对角矩阵Λ(主对角元素不为1) (C )E(D )任意n 阶可逆矩阵5.设B A ,均为n 阶矩阵,并且A ～B ,则下述结论中不正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B )B A = (C ))()(B r A r = (D )1-A ～1-B6.已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ300020001,则下列各矩阵中是可逆矩阵的为( ).(A )A E + (B )A E - (C )A E -2 (D )A E -37.设A ,B 为n 阶矩阵,且A 可逆,A ～B ,则下列结论中正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征向量 (B )A ,B 都相似于一个对角矩阵 (C )AB ～BA (D )BA AB = *8.下列矩阵中,不是正交矩阵的为( ).(A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001(B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos (C )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23212123(D )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-122221 四.计算题1.求矩阵A 的特征值和特征向量(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ;(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101410213A ;(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a A;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120A .2.判断下列矩阵是否与对角矩阵相似,如果可与对角矩阵相似,试求出可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6123020663A ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=022242111A ; (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=266157113A . 3*.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=124222421A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q 1-为对角形矩阵.4.设B AP P =-1,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112012001P ,求A 和5A .5.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为T =)1,1,1(1α,T=)1,0,1(2α,T =)1,1,0(3α,试求矩阵A .6*.设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3;属于特征值2,1的特征向量分别为T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α.(1)求属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A .7*.设三阶实对称矩阵A 的特征值11-=λ,132==λλ,A 的对应于1λ的特征向量为T =)1,1,0(1α,求A .8*.设二阶实对称矩阵A 的一个特征值为１,A 的对应于特征值1的特征向量为T )1,1(-.如果2-=A ,求:(1)A 的另一特征值和对应的特征向量; (2)正交矩阵AQ Q Q 1,-使为对角矩阵; (3)矩阵A . 五.证明题1.设0λ是n 阶矩阵A 的一个特征值,试证:(1)220A 是λ的特征值; (2)0λ-k 是矩阵A kE -的特征值 (k 为常数); (3)如果A 可逆,则11-A是λ的特征值;(4)如果A 可逆,则*AA是λ的特征值.2.若n 阶矩阵A 满足A A =2,则称A 为幂等矩阵.试证:幂等矩阵的特征值只能是1或零.3.设1λ,2λ为A 的两个不同的特征值,且21,αα分别是属于21,λλ的特征向量.试证21,αα线性无关.4.设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值等于43.5*.设A 为正交矩阵,若1-=A ,试证明A 一定有特征值1-.6*.设A 为正交阵,试证明:A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.7.设A ,B 均为n 阶矩阵,A ～B ,试证:k A ～k B (k 为正整数).8*.设A ,B 为两个实对称矩阵,证明:存在正交矩阵Q ,使B AQ Q =-1的充分必要条件是A ,B 具有相同的特征值.。
第5章特征值与相似
k ， ， g ( ) 的特征向量.即有相同的特征向量 .
10
第 五 章 矩阵的相似对角化
Theorem 4 的证明 Proof : 由 Ax x 有
(kA) x k ( Ax) k ( x) (k ) x
所以， k 是 kA 的特征值，且 x 也是 kA 属于
由 Ax x
a11 a12 a22 an 2
(1)
a1n a2 n
可得 ( A E ) x 0
(2)
显然，（2）有非零解的充要条件是 det( A E ) 0 即
a21 an1
) 0 说明满足 det( A E
0 的
是 A 的特征值.
值，而xi1，xi2，…，xiri( i = 1, 2,…, m ) 是属于特征值
i ( i = 1, 2,…, m ) 的线性无关的特征向量，则向量组
x11，x12， ，x1r1，x21，x22， ，x2r2， ，xm1，xm2， ，xmrm
是线性无关的.
Theorem 8 设 0 为 n 阶方阵 A 的 r 重特征值，则对 应于 0 的线性无关的特征向量最多只有 r 个 .
n
E A (a11 a22
ann )
n1
(1) A
n
()
又因为 1，2， ，n 是 A 的全部特征值，故
E A ( 1 )( 2 ) ( n )
a 比较 ()与（） 得 11
a21
(1 2
det特征值与特征向量example对应于全部特征向量为对应于全部特征向量为是不为零的任意常数未必有两第五章矩阵的相似对角化二特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质theorem有相同的特征值
第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简(第四讲)
机动
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第五章
§5 实对称矩阵的相似对角化
教学目的：通过本节的教学使学生理解实对称矩阵必 可对角化的理论，掌握实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学要求：要求学生深刻理解为什什么实对称矩阵必 可对角化，要熟练掌握实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学重点：实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学难点：实对称矩阵化成对角矩阵. 教学时间：2学时.
便可以保证向量组β1, β2,α3, α4线性无关.对这组向量，从第 三个向量开始实施Schmidt正交化过程，注意到α3显然与β1, β2都是正交的，故得 β3= α3，再计算
4 k1 1 k 2 2 k 3 3 4 ,
解得
x1 0 x2 k1 1 , k ≠0任意. 1 x3 1
0 c1 1 , 1
0 1 1 . 单位化得 p1 2 1
取
当λ2=λ3=4时，由
n
22 3 n2 n 1 22 3 . 2 2n 3 3n 2
*引理5.1 对于n维正交向量组β1,β2,…,βs(s＜n),必有n维 实向量βs+1, βs+2,…,βn,使β1,…,βs, βs+1,…,βn为正交向量组. 证明 由本章引理3.1，存在n维实向量αs+1, αs+2,…, αn, 使向量组β1,β2,…,βs,αs+1, αs+2,…, αn线性无关.由于这组向量 的前s个已经两两正交,可以从第s +1个向量开始实施Schmide 逐步正交化过程，最终得到正交向量组β1,…,βs, βs+1,…,βn. *引理5.2 对于n维单位正交向量组γ1, γ2,…,γs(s＜n),必 有n维实向量γs+1, γs+2,…, γn,使γ1,…, γs, γs+1,…, γn为单位正交 向量组. 证明 由引理5.1，必有n维实向量βs+1, βs+2,…,βn,使得 γ1, γ2,…,γs, βs+1, βs+2,…,βn为正交向量组.再将βs+1, βs+2,…,βn 逐个单位化，得
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
线性代数 第5章 特征值特征向量相似矩阵
若 α1,α2, ,αr 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 β1 = α1 ，
β2
=
α2
−
[ β1,α2 ] [β1, β1 ]
β1,
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β3
=
α3
−
[β1 ,α3 ] [β1, β1]
β1
−
[β 2 ,α 3 ] [β2, β2]
β2
βr
=
βr
−
[β1,αr ] [β1, β1]
= δ ij
=
⎧1, i =
⎨ ⎩
0,
i
≠
j; j
(i, j = 1, 2,
,n)
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4
第五章 特征值特征向量相似矩阵
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y = Px 称为正 交变换．
性质 正交变换保持向量的长度和夹角不变．
证明 设y = Px为正交变换,
则有 y = yT y = xT PT Px = xT x = x .
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e2 ⎟⎟⎠
=
⎜−1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e3 ⎠⎟⎟
=
⎜ ⎜⎜⎜⎝11
0
2⎟⎟,e4 2⎟⎟⎠
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
1 −1
22⎟⎟⎟⎟⎠.
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⎛1 2⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
e1
=
⎜1 ⎜
⎜⎜⎝
⎟⎜
0 0
2
⎟ ⎟
,
e2
⎟⎟⎠
=
β1
+
5.1 相似变换、方阵的特征值与特征向量_线性代数_[共4页]
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第5章 方阵的相似变换、特征值与特征向量在上一章最后，我们提出，需要研究究竟哪些线性变换y Tx =在一组适当的基下的矩阵可以是对角阵Λ，即其在某一基下的矩阵A ，有1P AP Λ−=，这就是方阵与对角阵相似的问题。
本章首先引入方阵的相似变换定义，然后由方阵的对角化引入方阵的特征值与特征向量，最后利用方阵的特征值与特征向量来讨论方阵的对角化与实对称阵的对角化问题。
在18世纪中叶利用行列式对二次曲线和二次曲面进行分类时，就出现了方阵的特征值问题。
方阵的特征值理论不仅是线性代数的基本内容，而且用特征值处理问题又是线性代数的重要方法，另外，在工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题、经济问题分析和最优控制问题，以及数学中解微分方程组等问题，也常可归结为求一个方阵的特征值与特征向量的问题。
由于其广泛的应用背景，科技工作者在这方面做了大量的研究工作，目前已研究出多种方法计算方阵的特征值与特征向量，特别是其经典数值计算方法和各种智能计算方法。
5.1 相似变换、方阵的特征值与特征向量定义5.1 对于n 阶方阵A 和B ，若有可逆方阵P 使得1P AP B −=，则称A 与B 相似，记作~A B 。
对A 进行运算1P AP −称为对A 进行相似变换，可逆方阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵。
方阵的相似具有下列基本性质：（1）自反性，即~A A ；（2）对称性，即若~A B ，则~B A ；（3）传递性，即若~,~A B B C ，则~A C ；（4）若~A B ，则A B =；（5）保秩性，即若~A B ，则()()R A R B =；（6）若~A B ，则()~()A B ϕϕ，其中01()m m x a a x a x ϕ=+++ 为x 的m 次多项式。
定义5.2 若方阵A 能够与一个对角阵Λ相似，则称A 可对角化。
现在的问题是怎样的一个方阵才可以对角化呢？如果能对角化，又如何对角化呢？不妨假设方阵A 可对角化，即有可逆方阵P 使得121n P AP λλΛλ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠即AP P Λ=。
线性代数教案-第五章 特征值和特征向量
第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相 似 矩 阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。
(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量
解得x 4.
故应填 4
14
有关特征值的性质
性质5.2 矩阵A与AT 有相同的特征值.
证 AT E ( A E)T A E
性质5.3 设A 是n 阶可逆矩阵， 为其特征值，则(1) 0;
(2) 1 是A1 的特征值.
证 (1) 假设 0，则由定义知A 0 0.
而矩阵A可逆，故上式两端同时左乘A1 得 A10 0.
(1) 12 n A ; (2) 1 2 n a11 a22 ann.
定义5.2 设矩阵A aij nn ，称a11 a22 ann为矩阵A 的迹.
7 4 1
例1
已知三阶矩阵A
4
7 1 有特征值1 2 3，
4 4 x
3 =12，则x ______ .
解 1 2 3 a11 a22 a33， 即3 3 12 7 7 x，
这与特征向量 0矛盾，故 0.
(2) 由条件知有非零向量 满足A ，两边左乘以A1 得 A1
因 0，于是有 A1 1 ①
所以 1 为A1的特征值.
15
有关特征值的性质
性质5.4 若是A 的特征值，则f ()是f ( A) 的特征值.
代数多项式 f (x) am xm am1xm1 a1x a，0 矩阵多项式 f ( A) am Am am1Am1 a1A a0E. 例2 已知三阶矩阵A 的特征值 1，1，2，求 A3 5A2 .
7
特征值与特征向量的定义
2 1 1
求矩阵的特征值与特征向量：A
0
2 0.
4 1 3
对2 3 2，解方程组( A 2E) X 0，
4 1 1 4 1 1
A
2E
0
0
0
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基础解系中两个向量恰好正交,单位化得两个正交的 单位的特征向量.
1 0 1 p2 0 , p3 1 . 2 0 1
(3)将求得的p1,p2,p3拼成一个正交矩阵P.即
P ( p1 , p 2 , p 3 ) 0 1 0 1 . 2 1 2
s 1 s 1 s 1
, , n
n n
.
显然，γ1,…, γs, γs+1,…, γn为单位正交向量组.
*例5.3
已知4维正交向量组
1 1 1 1 1 , 2 0 0 0 1,
则需把它施密特标准正交化:
令 b1 1 ,
b1 b1 1 1 1 . 3 1
e1
b 2 2 2 , e1 e1
2 2 , b1 b1 b1
2
1 1 1 1 1 3 1 1
根据定理5及定理7知,对应特征值λi(i=1,2,…,s) ,恰ri个线 性无关的实特征向量，把它们施密特标准正交化,即得ri个 两两正交的单位向量.由r1+r2+…+rs=n知这样的特征向量共 可得n个. 按定理5.3知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n个单位特征向量两两正交 .于是以它们为列向量构成正交 矩阵P,并有 P-1AP=Λ 其中对角矩阵Λ的主对角元素含r1个λ1，r2个λ2，…，rs个λs 恰是A的n个特征值.
1 A E 0 1 0 2 0 1 0 1
2
1 1
2
1 1
2 .
可得A的特征值为λ1= λ2， λ3=0.
记对角矩阵
2 Λ 0 0 0 2 0 0 0 , 0
因为A为对称矩阵，故存在正交矩阵PTAP=∧. 所以 A=P∧PT，于是
1 1 1 1 2 4
1
1 x1 1 3 x2 1 , 9 x3 3
1
由于
1 1 1
1 1 2 3 1 0 0 4 9 3 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 1 1
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第五章
§5 实对称矩阵的相似对角化
教学目的：通过本节的教学使学生理解实对称矩阵必 可对角化的理论，掌握实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学要求：要求学生深刻理解为什什么实对称矩阵必 可对角化，要熟练掌握实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学重点：实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学难点：实对称矩阵化成对角矩阵. 教学时间：2学时.
可以验知仍有
P-1AP=∧.
由此可见,把一个方阵化成对角矩阵所用的正交变换矩 阵P不是唯一的.
例5.2 设矩阵
1 A 0 1 0 2 0 1 0 , 1
矩阵B=(kE+A)2,k其中为实数，E为单位矩阵.求对角矩阵∧， 使B与∧相似，并求k为何值时，B为奇异矩阵.
解 由
T
但因x≠0,所以
x x xi xi xi
T
i 1 i 1
n
n
2
0,
故 0， ，这就说明λ是实数. 即
显然，当特征值λi为实数时，齐次线性方程组
(A- λiE)x=0
是实系数方程组,由|A- λiE|=0知必有实的基础解系,所以对 应的特征向量可以取实向量.
B k E A k PP P P
2 T T
2
= [ P(kE+Λ) PT ] [ P(kE+Λ) PT ] = [ P(kE+Λ)2 PT ]
k 2 2 P
k 2
2
T P . 2 k
由此可得
k 2
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§5 实对称矩阵的相似对角化
5.1实对称矩阵特征值与特征向量的性质 定理5.1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数λ为实对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 λ 对应的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 .用 表示λ的共轭复数. 用 x 表示x 的共轭复向量.
1 2 1 2
0
0
(4)可以验知确有
2 1 T P AP P AP 0 0 0 4 0 0 0 . 4
在此例中对应于λ=4,若求得方程(A－λE) x = 0 的基础 解系
1 1 1 1 , 2 1 , 1 1
4 3 2 3 2 3
2 2 1 , 3 1
e2
b2 b2
2 1 1 . 6 1
于是得正交矩阵
0 1 P 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 6 1 . 6 1 6
(λ1-λ2)α1Tα2=0.
因为λ1-λ2≠0，所以必有α1Tα2=0.即(α1,α2 ) =0,亦即α1与α2正 交.
定理5.3 设 A为 n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重 根,则矩阵A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,从而对应特征值λ恰 有r个线性无关的特征向量.
定理5.4 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 P-1AP=Λ 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明 设 A的互不相等的特征值为λ1，λ2，…，λs ,它 们的重数依次为r1,r2,…,rs(r1+r2+…+rs=n).
(2 )(4 ) 0.
2
得A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=4. (2) 由(A-λE)x=0,求A的特征向量.当λ1=2时，由
2 0 0 0 1 1 0 x1 0 1 x2 0 , 1 x3 0
2
k 2
2
. 2 k
显然，B与A相似,且k=0或 k = －2时,B为奇异矩阵.
例5.3 设3 阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=2， λ3=3.对 应的特征向量依次为α1=(1,1,1)T, α2=(1,2,4)T, α3=(1,3,9)T, 又 向量β=(1,1,3)T.(1)将β用α1, α2, α3线性表示；(2)求An β. 解 (1) 设β=x1α1 +x2α2 +x3α3,即
1 1 3
1 0 0
1 2 8
0 1 0
1 0 2
0 0 1
1 0 0
1 1 0
1 2 2
1 0 2
2 2 . 1
解得x1=2， x2=-2， x3=1，故β=2α1 -2α2 +α3.
2
则
1 令
而
从而 Anβ=P∧nP-1β= P∧nP-1Pα= P∧nα.
1 1 1
1 1 1
1 2 4
2 2 2
1 1 3 9
n n 1
2
n
2 2 n 3 1
n2
n 1
3 2 n 1 3 2 n2 3 1
2
1 , P 1 , 2 , 3 1 3 1
1 2 4
1 3 , 9
A=P∧P-1，即An=P∧nP-1 ,
2 1 , 2 , 3 2 P , 1
便可以保证向量组β1, β2,α3, α4线性无关.对这组向量，从第 三个向量开始实施Schmidt正交化过程，注意到α3显然与β1, β2都是正交的，故得 β3= α3，再计算
4 k1 1 k 2 2 k 3 3 4 ,
试求4维向量β3, β4使β1, β2, ,β3, β4成为一个正交的向量组.
解法1 注意到β1, β2的前两个分量形成的二阶子式
1 1 1 1
的值不为零，令
0 0 0 0 , , 3 4 1 0 0 1
解得
x1 0 x2 k1 1 , k ≠0任意. 1 x3 1
0 c1 1 , 1
0 1 1 . 单位化得 p1 2 1
取
当λ2=λ3=4时，由
则 A x A x A x x x .于 是 有
x Ax x
T
T
Ax x x x
T
T
x,
T T
x Ax ( x A ) x ( Ax ) x ( x ) x x x.
T T T T
两式相减,得
( ) x x 0,
例5.1 设
4 A 0 0 0 3 1 0 1 , 3
求一个正交矩阵P，使P-1AP=∧（ ∧为对角矩阵）. 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. 4 0 0
A E 0 0
2
3 1
1 3
(4 )( 6 8)
0 0 0
解得
0 1 1
0 x1 0 x 0 , 1 2 1 x3 0
x1 1 0 x k1 0 k 2 1 , 2 x3 0 1