第5章 特征值与特征向量ppt课件
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a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
1 0 0 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
2 1 0 1 0 1
2 3 1: EA4 2 00 1 2.
1 0 1 0 0 0
1
p2
2
.
证 设n阶方阵A的n个特征根为 1,2, ,n,
12 nA.
若A可逆, 则 | A | 0. 12 n0.
若A的任意一个特征值都不等于零,即 12 n 0.
| A| 0. 从而A可逆.
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a1n a2n 0.
ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a11 a12 a21 a22
a1n a11 0a12 a2n 0a21 a22
0a1n 0a2n
an1 an2
ann 0an1 0an2
ann
0
0 a a1 21 1
0
an1
0
a11
a1n
an1
ann
0
0 0
an1
第5章 特征值与特征向量
5.1 矩阵特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 考研园地
下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义 2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
本章 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义2 设A(aij)nn,λ是一个未知量,则矩阵λ E－A称为A的
特征矩阵,其行列式 E A 称为A的特征多项式, E A 0
称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.
设n阶矩阵A特征方程 f()n a 1n 1 a n 0
的n 个特征根为 1,2, ,n,
0
1
对应的全部特征向量为 c 2 p 2 c 3 p 3(c 2 ,c 3 不 全 为 零 ).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a
例4 求n阶数量矩阵 A
a
的特征值与特征向量.
a
a
解 |EA|
a
(a)n 0.
a
A 的 特 征 值 为 1 2 n a .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1 设 A 是 n 阶方阵, 则 A 与 A′有相同的特征值.
证
|E A | |(E A ) | |E A |,
A 与 A′有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值 都不等于零.
1 2 n a 1 ,1 2 n |A |.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义3 设A(aij )nn,是阶方阵,则 a 1 1 a 2 2 a n n 称 为
A的迹,记作 tr(A).
tr(A ) a 1 1 a 2 2 a n n .
12n a 1 ,
1 4 :
43
5
411xx1200.
5x1x15xx22
0, 0.
x1 x2.
x2 1,
1
x1 1,
p1
1
.
对应的全部特征向量为c 1 p 1 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 2 :
EA3
5
1
10.
2 53 211xx1200.
55xx11
x2 x2
0, 0.
1
对应的全部特征向量为c2p2 (c2 0).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
4 6 0
例3
求矩阵A
3
5
0
的特征值与特征向量.
3 6 1
4 6 0 解 |EA| 3 5 0 0.
3 6 1
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
5.1 矩阵特征值与特征向量
(aEA)x0. 0x0. 因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系. 取单位坐标向量 e1,e2, ,en 作为基础解系, 则矩阵A的全部特征向量为
c 1 e 1 c 2 e 2 c n e n ( c 1 , c 2 ,, c n 不 全 为 零 ) .
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x2 5x1. x1 1,
1
x2 5,
p2
5
.
对应的全部特征向量为c 2 p 2 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 1 0
例2
求矩阵A
4
3
0
的特征值与特征向量.
1 0 2
1 1 0 解 EA 4 3 0 0.
1 0 2
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
0 a1n
an1,n
0 ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
n ( a 1 1 a 2 2 a n n )n 1 ( 1 ) n |A |.
E A 是一个关于λ的n次多项式,记作f(λ).
f()n a 1n 1 a n.
a 1 ( a 1 1 a 2 2 a n n ) ,a n ( 1 ) n |A |.
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
1 0 0 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
2 1 0 1 0 1
2 3 1: EA4 2 00 1 2.
1 0 1 0 0 0
1
p2
2
.
证 设n阶方阵A的n个特征根为 1,2, ,n,
12 nA.
若A可逆, 则 | A | 0. 12 n0.
若A的任意一个特征值都不等于零,即 12 n 0.
| A| 0. 从而A可逆.
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a1n a2n 0.
ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a11 a12 a21 a22
a1n a11 0a12 a2n 0a21 a22
0a1n 0a2n
an1 an2
ann 0an1 0an2
ann
0
0 a a1 21 1
0
an1
0
a11
a1n
an1
ann
0
0 0
an1
第5章 特征值与特征向量
5.1 矩阵特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 考研园地
下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义 2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
本章 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
定义2 设A(aij)nn,λ是一个未知量,则矩阵λ E－A称为A的
特征矩阵,其行列式 E A 称为A的特征多项式, E A 0
称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.
设n阶矩阵A特征方程 f()n a 1n 1 a n 0
的n 个特征根为 1,2, ,n,
0
1
对应的全部特征向量为 c 2 p 2 c 3 p 3(c 2 ,c 3 不 全 为 零 ).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a
例4 求n阶数量矩阵 A
a
的特征值与特征向量.
a
a
解 |EA|
a
(a)n 0.
a
A 的 特 征 值 为 1 2 n a .
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1 设 A 是 n 阶方阵, 则 A 与 A′有相同的特征值.
证
|E A | |(E A ) | |E A |,
A 与 A′有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
性质2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值 都不等于零.
1 2 n a 1 ,1 2 n |A |.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义3 设A(aij )nn,是阶方阵,则 a 1 1 a 2 2 a n n 称 为
A的迹,记作 tr(A).
tr(A ) a 1 1 a 2 2 a n n .
12n a 1 ,
1 4 :
43
5
411xx1200.
5x1x15xx22
0, 0.
x1 x2.
x2 1,
1
x1 1,
p1
1
.
对应的全部特征向量为c 1 p 1 .
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
1 2 :
EA3
5
1
10.
2 53 211xx1200.
55xx11
x2 x2
0, 0.
1
对应的全部特征向量为c2p2 (c2 0).
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
4 6 0
例3
求矩阵A
3
5
0
的特征值与特征向量.
3 6 1
4 6 0 解 |EA| 3 5 0 0.
3 6 1
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
5.1 矩阵特征值与特征向量
(aEA)x0. 0x0. 因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系. 取单位坐标向量 e1,e2, ,en 作为基础解系, 则矩阵A的全部特征向量为
c 1 e 1 c 2 e 2 c n e n ( c 1 , c 2 ,, c n 不 全 为 零 ) .
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x2 5x1. x1 1,
1
x2 5,
p2
5
.
对应的全部特征向量为c 2 p 2 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 1 0
例2
求矩阵A
4
3
0
的特征值与特征向量.
1 0 2
1 1 0 解 EA 4 3 0 0.
1 0 2
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
0 a1n
an1,n
0 ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
n ( a 1 1 a 2 2 a n n )n 1 ( 1 ) n |A |.
E A 是一个关于λ的n次多项式,记作f(λ).
f()n a 1n 1 a n.
a 1 ( a 1 1 a 2 2 a n n ) ,a n ( 1 ) n |A |.