第5章 特征值与特征向量ppt课件
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第五章 特征值与特征向量(0808)
T
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
2019/3/31 21
三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
2019/3/31
18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
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15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
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18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
第五章 特征值与特征向量
X = k1 X1 kt Xt (k1, , kt不全为0) 也是 A 的属于的特征向量。
性质2 若n阶方阵A = (aij ) 的n个特征值为λ1, λ2,
n
则
det( A) λi λ1λ2 λn
i 1
n
n
λi aii
i 1
i 1
n
其中 aii称为A的迹，记为tr(A)。
i 1
,
λ
i=1
i=1
a11 λ a12
a1n
由于(*)左边 det( A λE) a21 a22 λ
a2n
an1
an2
ann λ
是λ的n次多项式，其(-λ)n-1项的系数为a11 a22 ann；
n
(*)右边(λ1 λ)(λ2 λ) (λn λ)的展开式(-λ)n-1项的系数为 λi
A
E
-4 1
2 0
01ห้องสมุดไป่ตู้
行 变换
0 0
1 0
2 0
,
-1
由
x1 x2 2
x3 x3
0，得基础解系 0
X2
-21
,
所以k2 X2 (k2 0)是对应于λ2 λ 3 1的全部特征向量。
3 2 -2
例5.3 求矩阵A = -2 -2 4的特征值和特征向量。
2
4
-2
解 A的特征多项式为
=
0 0
得基础解系X1 (2,1, 0)T，X2 (2, 0,1)T。
从而A的属于1 2 2的特征向量为
k1 X1 k2 X2 (k1，k2是不全为0的常数)。
当3 -5时, 解方程组( A 5E) X O，即
8 2 -2 x1 0
线性代数-特征值与特征向量PPT课件
§5.1特征值与特征向量
P= ( p1, p2, …, pn ), D=diag(d1,d2,…,dn)
A=PDP-1
AP=PD
A( p1, p2, …, pn )
d1
= ( p1, p2, …, pn ) d2
dn
= (d1p1,d2p2,…,dnpn)
Api=di pi, i=1,2,…,n.
2021/3/12
k k
(0kR). 19
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
1 1 0
例3. 求 A 4 3 0 的特征值和特征向量.
1
0
2
解: |E–A| = (–2)(–1)2.
所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1.
对于1=2,
求得(2E–A)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T.
9
第5章 特征值与特征向量
一. 特征值, 特征向量的概念
§5.1特征值与特征向量
n阶方阵
特征值
A η = η 对应
非零向量 向量
2021/3/12 有无穷多个. (
kη )
10
第5章 特征值与特征向量
§5.1特征值与特征向量
给定一个 A，就有一个线性变换 x f Ax，
例1 假设n阶方阵 A=kE.
问A有没有特征值和特征向量？
解： η∈Rn , Aη = (kE)η = kη.
k是A的特征值，所有非零η∈Rn
是A的对应于特征值k的特征向量.
2021/3/12
15
第五章 特征值与特征向量
特征值
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
A η = η 特征向量
自考线性代数第五章特征值与特征向量 ppt课件
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项
式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
2021/3/30
32
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
ann l
• 特征方程
| A−lE | = 0
• 特征多项式 | A−lE |
2021/3/30
9
二、基本性质
• 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
✓l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓l1 l2 … ln = |A|
18
• 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程 组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全
体特征向量的最大无关组．
• 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 +
a1 A + … + am A m 的特征值．
对应于特征值 l 的特征向量．
2021/3/30
6
例：
3 42 2 2 31 11
则l=1为
3
2
4
3
的特征值，
2 1
于l = 1 的特征向量.
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项
式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
2021/3/30
32
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
ann l
• 特征方程
| A−lE | = 0
• 特征多项式 | A−lE |
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9
二、基本性质
• 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
✓l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓l1 l2 … ln = |A|
18
• 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程 组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全
体特征向量的最大无关组．
• 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 +
a1 A + … + am A m 的特征值．
对应于特征值 l 的特征向量．
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6
例：
3 42 2 2 31 11
则l=1为
3
2
4
3
的特征值，
2 1
于l = 1 的特征向量.
特征值与特征向量6.ppt
10
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量 PPT精品课件
性质6 设 λ1,λ2 ,L,λs为矩阵A的互异特征值 , 对应的
第 五
特征向量分别为 ξ1,ξ2 ,L,ξ s , 则ξ1,ξ2 ,L,ξ s线性无关.
证:⑴ s=1时结论成立；
章
矩
⑵假设s=r-1时成立，则s=r时：
阵 的
设 k1ξ1 + k2ξ2 + L + kr−1ξr−1 + krξ r = 0, (∗)
的
n
特 征 值 与
其中 trA = ∑ aii 为A的迹。 i =1 性质2 设相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征
对 角
值也相同。
化
证:设A与B相似, 则存在可逆阵P,使得 B = P −1AP
fB (λ ) = λI − B = λI − P −1AP = P −1(λI − A)P
= P−1 λI − A P = λI − A = fA(λ )
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 1 ⎟;
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ2 =⎜ 0⎟;
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ3 =⎜ −1⎟ .
⎜⎝ − 1 ⎟⎠
-6-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
第
例3 设λ0 为A的特征值,则
五
章
⑴ λm0 为Am的特征值；
矩 阵 的 特
⑵
若A可逆,
则
1
λ0
为A−1的特征值；
征 值 与 对
⑶
若A可逆,
则
1
λ0
A 为A∗的特征值.
角
化
-7-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质：
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
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a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
1 0 0 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
2 1 0 1 0 1
2 3 1: EA4 2 00 1 2.
1 0 1 0 0 0
1
p2
2
.
证 设n阶方阵A的n个特征根为 1,2, ,n,
12 nA.
若A可逆, 则 | A | 0. 12 n0.
若A的任意一个特征值都不等于零,即 12 n 0.
| A| 0. 从而A可逆.
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a1n a2n 0.
ann
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
a11 a12 a21 a22
a1n a11 0a12 a2n 0a21 a22
0a1n 0a2n
an1 an2
ann 0an1 0an2
ann
0
0 a a1 21 1
0
an1
0
a11
a1n
an1
ann
0
0 0
an1
第5章 特征值与特征向量
5.1 矩阵特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 考研园地
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义 2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义2 设A(aij)nn,λ是一个未知量,则矩阵λ E－A称为A的
特征矩阵,其行列式 E A 称为A的特征多项式, E A 0
称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.
设n阶矩阵A特征方程 f()n a 1n 1 a n 0
的n 个特征根为 1,2, ,n,
0
1
对应的全部特征向量为 c 2 p 2 c 3 p 3(c 2 ,c 3 不 全 为 零 ).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a
例4 求n阶数量矩阵 A
a
的特征值与特征向量.
a
a
解 |EA|
a
(a)n 0.
a
A 的 特 征 值 为 1 2 n a .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1 设 A 是 n 阶方阵, 则 A 与 A′有相同的特征值.
证
|E A | |(E A ) | |E A |,
A 与 A′有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值 都不等于零.
1 2 n a 1 ,1 2 n |A |.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义3 设A(aij )nn,是阶方阵,则 a 1 1 a 2 2 a n n 称 为
A的迹,记作 tr(A).
tr(A ) a 1 1 a 2 2 a n n .
12n a 1 ,
1 4 :
43
5
411xx1200.
5x1x15xx22
0, 0.
x1 x2.
x2 1,
1
x1 1,
p1
1
.
对应的全部特征向量为c 1 p 1 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 2 :
EA3
5
1
10.
2 53 211xx1200.
55xx11
x2 x2
0, 0.
1
对应的全部特征向量为c2p2 (c2 0).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
4 6 0
例3
求矩阵A
3
5
0
的特征值与特征向量.
3 6 1
4 6 0 解 |EA| 3 5 0 0.
3 6 1
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
5.1 矩阵特征值与特征向量
(aEA)x0. 0x0. 因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系. 取单位坐标向量 e1,e2, ,en 作为基础解系, 则矩阵A的全部特征向量为
c 1 e 1 c 2 e 2 c n e n ( c 1 , c 2 ,, c n 不 全 为 零 ) .
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x2 5x1. x1 1,
1
x2 5,
p2
5
.
对应的全部特征向量为c 2 p 2 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 1 0
例2
求矩阵A
4
3
0
的特征值与特征向量.
1 0 2
1 1 0 解 EA 4 3 0 0.
1 0 2
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
0 a1n
an1,n
0 ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
n ( a 1 1 a 2 2 a n n )n 1 ( 1 ) n |A |.
E A 是一个关于λ的n次多项式,记作f(λ).
f()n a 1n 1 a n.
a 1 ( a 1 1 a 2 2 a n n ) ,a n ( 1 ) n |A |.
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
1 0 0 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
2 1 0 1 0 1
2 3 1: EA4 2 00 1 2.
1 0 1 0 0 0
1
p2
2
.
证 设n阶方阵A的n个特征根为 1,2, ,n,
12 nA.
若A可逆, 则 | A | 0. 12 n0.
若A的任意一个特征值都不等于零,即 12 n 0.
| A| 0. 从而A可逆.
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a1n a2n 0.
ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a11 a12 a21 a22
a1n a11 0a12 a2n 0a21 a22
0a1n 0a2n
an1 an2
ann 0an1 0an2
ann
0
0 a a1 21 1
0
an1
0
a11
a1n
an1
ann
0
0 0
an1
第5章 特征值与特征向量
5.1 矩阵特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 考研园地
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义 2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1. 矩阵的特征值与特征向量的定义
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义2 设A(aij)nn,λ是一个未知量,则矩阵λ E－A称为A的
特征矩阵,其行列式 E A 称为A的特征多项式, E A 0
称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.
设n阶矩阵A特征方程 f()n a 1n 1 a n 0
的n 个特征根为 1,2, ,n,
0
1
对应的全部特征向量为 c 2 p 2 c 3 p 3(c 2 ,c 3 不 全 为 零 ).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
a
例4 求n阶数量矩阵 A
a
的特征值与特征向量.
a
a
解 |EA|
a
(a)n 0.
a
A 的 特 征 值 为 1 2 n a .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
2. 矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1 设 A 是 n 阶方阵, 则 A 与 A′有相同的特征值.
证
|E A | |(E A ) | |E A |,
A 与 A′有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值 都不等于零.
1 2 n a 1 ,1 2 n |A |.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义3 设A(aij )nn,是阶方阵,则 a 1 1 a 2 2 a n n 称 为
A的迹,记作 tr(A).
tr(A ) a 1 1 a 2 2 a n n .
12n a 1 ,
1 4 :
43
5
411xx1200.
5x1x15xx22
0, 0.
x1 x2.
x2 1,
1
x1 1,
p1
1
.
对应的全部特征向量为c 1 p 1 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 2 :
EA3
5
1
10.
2 53 211xx1200.
55xx11
x2 x2
0, 0.
1
对应的全部特征向量为c2p2 (c2 0).
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5.1 矩阵特征值与特征向量
4 6 0
例3
求矩阵A
3
5
0
的特征值与特征向量.
3 6 1
4 6 0 解 |EA| 3 5 0 0.
3 6 1
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
5.1 矩阵特征值与特征向量
(aEA)x0. 0x0. 因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系. 取单位坐标向量 e1,e2, ,en 作为基础解系, 则矩阵A的全部特征向量为
c 1 e 1 c 2 e 2 c n e n ( c 1 , c 2 ,, c n 不 全 为 零 ) .
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x2 5x1. x1 1,
1
x2 5,
p2
5
.
对应的全部特征向量为c 2 p 2 .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 1 0
例2
求矩阵A
4
3
0
的特征值与特征向量.
1 0 2
1 1 0 解 EA 4 3 0 0.
1 0 2
(2)(1)20.
A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 3 1 .
0 a1n
an1,n
0 ann
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5.1 矩阵特征值与特征向量
n ( a 1 1 a 2 2 a n n )n 1 ( 1 ) n |A |.
E A 是一个关于λ的n次多项式,记作f(λ).
f()n a 1n 1 a n.
a 1 ( a 1 1 a 2 2 a n n ) ,a n ( 1 ) n |A |.