方程的特征值与特征向量.ppt

课前复习 １、内积
T , a1b1 a2b2
anbn .
２、长度 ３、夹角
４、正交
, a12 a22 an 2 , , ,0 . cos , arccos

, 0
n
n 源自文库A .
证明② 因为行列式 a11
E A
a21
a12 a22
a1n a2 n
a n1 an 2 ann 它的展开式中，主对角线上元素的乘积
a11 a22 ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中 含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中． n n 1 E A a a a 11 22 故有 nn 比较①，有 1 2 n a11 a22 ann .
四、特征向量的性质 定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。
定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并 在一块，所得的向量组仍然线性无关。
定理 若ｎ阶矩阵Ａ的任 t i 重特征值 i 对应的线性无
关的特征向量的个数不超过 t i ．
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1 2
n
n
n
n 1

1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
1 1 则 为 的特征值． A 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值． m 推论５ 则 为 Am 的特征值．
特别
单位阵Ｅ的一个特征值为１．
1 2 １、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 A 3 的一个特征值为（ ）
０或１．
三、应用举例
1
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为 ３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则 2 E 3 A2 （ ） ４、求下列方阵的特征值与特征向量 3 1 1 2 1 1 B 7 5 1 A 0 2 0 6 6 2 4 1 3


５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵和正交变换
A A E 即A A ,
T T
y Px 其中Ｐ为正交矩阵． 内积不变 正交变换的优良特性： 长度不变 夹角不变
1


一、特征值与特征向量的概念 为ｎ维非零向量， 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， A 若 （１） 称为Ａ的特征向量． 则λ称为Ａ的特征值，
注 ① ② 特征向量 0 ，特征值问题只针对与方阵； , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0 的λ都是方阵Ａ的特征值． 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A 0 为Ａ的特征方程．
定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A 为Ａ的特征多项式． 定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 , 则 (1) 12

, n
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
ann ;
证明① 当 1 , 2 ,