方程的特征值与特征向量.ppt
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5.1 特征值与特征向量
4 40 a 2 2 a 0 b 1 3 b 0
例6
设A2 3A 2E O, 证明A 的特征值只能取1或2.
解 设A有特征值， A2 3 A 2E 则
3 2
2
又因为A2 3 A 2E 0 故2 3 2 0.
1或者 2.
例7
设n阶方阵A有n个特征值1,2,…., n, 求|A+3E|.
解 设A有特征值， A 3E 则
3
故A+3E的特征值为4, 5, ….., n+3 ( n 3)! A 3E 3!
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
α 0 是 A 的特征向量吗？ 不是
结论：设1, 2 ,, m是方阵A的m个特征值，p1, p2 ,, pm
Байду номын сангаас
依次是与之对应的特征 向量. 若1, 2 ,, m各不相等，
则p1 , p2 ,, pm线性无关。
总结：
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量． 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特 征向量只能属于一个特征值．
特征向量仍为 x。
(1 证明： ) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x
* *
|A |
x
若，， ，n 是可逆矩阵A的全部特征值，则A*的 | A| | A| | A| 全部特征值是 : ， ， ， ,且对应的特征向量
例6
设A2 3A 2E O, 证明A 的特征值只能取1或2.
解 设A有特征值， A2 3 A 2E 则
3 2
2
又因为A2 3 A 2E 0 故2 3 2 0.
1或者 2.
例7
设n阶方阵A有n个特征值1,2,…., n, 求|A+3E|.
解 设A有特征值， A 3E 则
3
故A+3E的特征值为4, 5, ….., n+3 ( n 3)! A 3E 3!
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
α 0 是 A 的特征向量吗？ 不是
结论：设1, 2 ,, m是方阵A的m个特征值，p1, p2 ,, pm
Байду номын сангаас
依次是与之对应的特征 向量. 若1, 2 ,, m各不相等，
则p1 , p2 ,, pm线性无关。
总结：
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量． 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特 征向量只能属于一个特征值．
特征向量仍为 x。
(1 证明： ) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x
* *
|A |
x
若，， ，n 是可逆矩阵A的全部特征值，则A*的 | A| | A| | A| 全部特征值是 : ， ， ， ,且对应的特征向量
线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数课件-4.4特征值特征向量
a11 a12
a11 a A E 21 a n1
a1n a 22 a 2 n 0 a n 2 a nn 0 a12
0 a11 a12 0 a 21 a 22 an2 0 a n1 0
n阶方阵，
x1 x2 X x n
λ--数 n维未知向量，
n×n
n 即不论λ取何值，方程AX=λX一定有解 元 齐 特征值：使n元齐次方程AX=λX有非零解的数λ0次 方 方程 A的属于λ0的特征向量： AX 0 X的非零解 程 组
方程AX=λX
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
的特征值与特征向量
2
1
0
3 0 0 2
2 1 3 4 2 1
令
A E 0
,得 λ1 =2，λ2 = λ3= 1（二重根）
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x1 2x2 0 2x2 x3 0
x1 2x2 x3 2x2
2 V1 1 2
取 x2 1 ,得一基础解系
于是，A的属于λ1=-2的全部特征向量为：
2 c1V1 c1 1 , c1 0 2
c1 , c2 ,, cs 是不全为零任意常数
【例1】求
解：
2 3 A 5 4 的特征值 及特征向量 2 3 (2 )(4 ) 15 2 6 7 A E 5 4
令 A E 0 ,得 λ1 =-1，λ2 =7 则A的特征值为λ1 =-1，λ2 =7 把λ1 =-1代入方程（A- λE）X=O ，得 （A+E）X=O
a11 a A E 21 a n1
a1n a 22 a 2 n 0 a n 2 a nn 0 a12
0 a11 a12 0 a 21 a 22 an2 0 a n1 0
n阶方阵，
x1 x2 X x n
λ--数 n维未知向量，
n×n
n 即不论λ取何值，方程AX=λX一定有解 元 齐 特征值：使n元齐次方程AX=λX有非零解的数λ0次 方 方程 A的属于λ0的特征向量： AX 0 X的非零解 程 组
方程AX=λX
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
的特征值与特征向量
2
1
0
3 0 0 2
2 1 3 4 2 1
令
A E 0
,得 λ1 =2，λ2 = λ3= 1（二重根）
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x1 2x2 0 2x2 x3 0
x1 2x2 x3 2x2
2 V1 1 2
取 x2 1 ,得一基础解系
于是，A的属于λ1=-2的全部特征向量为：
2 c1V1 c1 1 , c1 0 2
c1 , c2 ,, cs 是不全为零任意常数
【例1】求
解：
2 3 A 5 4 的特征值 及特征向量 2 3 (2 )(4 ) 15 2 6 7 A E 5 4
令 A E 0 ,得 λ1 =-1，λ2 =7 则A的特征值为λ1 =-1，λ2 =7 把λ1 =-1代入方程（A- λE）X=O ，得 （A+E）X=O
第五章 特征值与特征向量(0808)
T
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
2019/3/31 21
三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
2019/3/31
18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
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18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
《线性代数及其应用》第五章 特征值与特征向量
式符号一次。数乘一行 ，行列式值等于此数乘原来的行 列式值。
5 2 6 1
例 3：求 A 0
3
8
0
的特征方程。
0 0 5 4
0 0 0 1
解：
5 2 6 1
det( A I ) det
0
3
8
0
0 0 5 4 0 Nhomakorabea0
0 1
(5 )(3 )(5 )(1 )
特征方程
(5 )2 (3 )(1 ) 0，
求得方程的根
1.92 0.08 1或0.92。
2
对应=1的特征向量是方程( A I )x 0的非平凡解。
0.05 0.03 0.05 0.03 0 (2)(1) 0.05 0.03 0
A I 0.05 0.03 ， 0.05 0.03 0 : 0
0 0
从而特征向量v1
3 5
定理 1： 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。
3 6 8 4 0 0
例 5：设 A 0 0
6
,
B
2
1
0，A的特征值为 3，0，2。
0 0 2 5 3 4
B 的特征值是 4 和 1。
注：
矩阵 A 有零特征值 Ax 0有非平凡解
A 是不可逆的
定理 1 证明： 为简单起见，考虑3 3的情形。
。
对应=0.92的特征向量是方程( A 0.92I )x 0的非平凡解。
A
I
0.03 0.05
0.03 0.03 0.05， 0.05
0.03 0.05
0 0.03 (2)5/3(1) 0 : 0
0.03 0
0 0
从而特征向量v2
5 2 6 1
例 3：求 A 0
3
8
0
的特征方程。
0 0 5 4
0 0 0 1
解：
5 2 6 1
det( A I ) det
0
3
8
0
0 0 5 4 0 Nhomakorabea0
0 1
(5 )(3 )(5 )(1 )
特征方程
(5 )2 (3 )(1 ) 0，
求得方程的根
1.92 0.08 1或0.92。
2
对应=1的特征向量是方程( A I )x 0的非平凡解。
0.05 0.03 0.05 0.03 0 (2)(1) 0.05 0.03 0
A I 0.05 0.03 ， 0.05 0.03 0 : 0
0 0
从而特征向量v1
3 5
定理 1： 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。
3 6 8 4 0 0
例 5：设 A 0 0
6
,
B
2
1
0，A的特征值为 3，0，2。
0 0 2 5 3 4
B 的特征值是 4 和 1。
注：
矩阵 A 有零特征值 Ax 0有非平凡解
A 是不可逆的
定理 1 证明： 为简单起见，考虑3 3的情形。
。
对应=0.92的特征向量是方程( A 0.92I )x 0的非平凡解。
A
I
0.03 0.05
0.03 0.03 0.05， 0.05
0.03 0.05
0 0.03 (2)5/3(1) 0 : 0
0.03 0
0 0
从而特征向量v2
第五章 特征值与特征向量
X = k1 X1 kt Xt (k1, , kt不全为0) 也是 A 的属于的特征向量。
性质2 若n阶方阵A = (aij ) 的n个特征值为λ1, λ2,
n
则
det( A) λi λ1λ2 λn
i 1
n
n
λi aii
i 1
i 1
n
其中 aii称为A的迹，记为tr(A)。
i 1
,
λ
i=1
i=1
a11 λ a12
a1n
由于(*)左边 det( A λE) a21 a22 λ
a2n
an1
an2
ann λ
是λ的n次多项式，其(-λ)n-1项的系数为a11 a22 ann；
n
(*)右边(λ1 λ)(λ2 λ) (λn λ)的展开式(-λ)n-1项的系数为 λi
A
E
-4 1
2 0
01ห้องสมุดไป่ตู้
行 变换
0 0
1 0
2 0
,
-1
由
x1 x2 2
x3 x3
0，得基础解系 0
X2
-21
,
所以k2 X2 (k2 0)是对应于λ2 λ 3 1的全部特征向量。
3 2 -2
例5.3 求矩阵A = -2 -2 4的特征值和特征向量。
2
4
-2
解 A的特征多项式为
=
0 0
得基础解系X1 (2,1, 0)T，X2 (2, 0,1)T。
从而A的属于1 2 2的特征向量为
k1 X1 k2 X2 (k1，k2是不全为0的常数)。
当3 -5时, 解方程组( A 5E) X O，即
8 2 -2 x1 0
特征值和特征向量
特征值和特征向量首先，我们先来了解一下矩阵。
矩阵是由一个矩形的数组组成的，其中的每个元素都可以是实数或复数。
例如，3x3的矩阵可以写为：A=[abc][def][ghi]Av=λv那么v就是矩阵A的特征向量，λ就是矩阵A的特征值。
换句话说，特征向量在矩阵的变换下只发生拉伸或缩放，而不发生旋转或扭曲。
特征值表示特征向量被拉伸或缩放的比例。
det(A - λI) = 0其中，det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。
通过解特征方程，我们可以求得特征值λ。
然后，我们可以将每个特征值代入原方程Av =λv中，从而求得对应的特征向量v。
1.矩阵的对角化：特征值和特征向量可以帮助我们将一个复杂的矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵更容易进行计算和分析，也更便于推导矩阵的性质。
2.矩阵的相似性：如果一个方阵A和B有相同的特征值和特征向量，那么A和B是相似的。
相似的矩阵在一些数学和物理问题中具有相同的性质和行为，因此，通过特征值和特征向量可以判断矩阵的相似性。
3.矩阵的主成分分析（PCA）：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，将高维数据降低到低维空间中。
通过PCA，我们可以找到数据中最重要的特征和主要方向，从而减少冗余信息。
4.矩阵的奇异值分解（SVD）：奇异值分解是矩阵分解的一种重要方法，它可以将一个任意形状的矩阵表示为三个矩阵的乘积。
在奇异值分解中，矩阵的特征值和特征向量扮演了重要的角色。
5.线性变换和矩阵的谱：特征值和特征向量可以帮助我们理解和描述线性变换和矩阵的谱。
谱是矩阵A的特征值的集合，它可以提供关于矩阵的一些性质信息，比如矩阵的正定性、对称性、收敛性等。
总结起来，特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和变换，以及在许多实际问题中的应用。
特征值和特征向量的计算和应用对于数学、物理、工程和计算机科学等领域都有重要意义。
第5章 特征值与特征向量ppt课件
a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
线性变换的特征值与特征向量
对于特征值-6，解齐次线性方程组 (6 I A) X 0 得到一个基础解系：
1
2 2
T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K 这里 k 为数域 K 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的 特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有 相同的迹，有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵 A 的属于特征值 0 的全部特征向 量再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，
设 a1 , a2 , an 是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A 在这组 基下的矩阵表示是 A.若设 0 是 A 的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1 , a2 , an 下的坐标是 ( x1 , x2 , xn )T ，即
=（ a1 , a2 ,
x1 x an ） 2 （1.8.2） x4
x1 x an ) 2 x4
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 ,2 , 3 下 的矩阵是
n 次 代 数 方 程 0 En A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） ，以 A 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
所得的非零解 X ， 称为 A 的对应于 0 的特征向 量。矩阵 A 的特征多项式在复数范围内有 n 个 根，因此一个 n 阶方阵有 n 个特征根（重根应 记及重数） 。矩阵 A 的所有特征值的全体称为
1
2 2
T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K 这里 k 为数域 K 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的 特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有 相同的迹，有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵 A 的属于特征值 0 的全部特征向 量再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，
设 a1 , a2 , an 是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A 在这组 基下的矩阵表示是 A.若设 0 是 A 的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1 , a2 , an 下的坐标是 ( x1 , x2 , xn )T ，即
=（ a1 , a2 ,
x1 x an ） 2 （1.8.2） x4
x1 x an ) 2 x4
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 ,2 , 3 下 的矩阵是
n 次 代 数 方 程 0 En A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） ，以 A 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
所得的非零解 X ， 称为 A 的对应于 0 的特征向 量。矩阵 A 的特征多项式在复数范围内有 n 个 根，因此一个 n 阶方阵有 n 个特征根（重根应 记及重数） 。矩阵 A 的所有特征值的全体称为
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
高等数学线性代数特征值、特征向量与二次型教学ppt(5)
为A的
.
二、特征值与特征向量的求法
Ax x (A E)x 0,
(A E)x 0有非零解 A E 0.
设0是方阵A的一个特征值, 则由 ( A 0E)x 0,
可求得非零解x p0,
p0就是A对应于0的一个特征向量.
求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 :
(1)计算 A E ; (2)求 A E 0的所有根,即A的所有的特征值;
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个标准正交基.
三、正交矩阵与正交变换
定义6 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
若A (1,2 , ,n ),则AT A E等价于
1T
T 2
1,
2
,
nT
,n E
由例1知道,1 2 3 3 a11 a22 a33,
定理3
123 4 | A | .
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2, , n
(重特征值按重数算), 则
(1) 12 n A ;
(2) 1 2 n a11 a22
(注: trA称为矩阵A的迹)
ann trA.
所以P是正交矩阵.
2 2 1 2 2 1
3
3
3
3
3
3
PT
P
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
线性代数课件特征值和特征向量
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
5.2方程的特征值与特征向量
总结：
1.特征方程 A E 0的根，称为的特征值.
2.将代入方程 A E x 0后，求得的全部的非零解， 即是相应于的特征向量.
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1 计算A的特征多项式 A E ;
2 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
a1n a2 n ann
a11 a12 a21 a22 a an 2 n1
a11
则
A E
a12 an 2
a1n a2 n
=0
a21 a n1
a22
〈特征值、特征向量〉 设 A 为 n 阶矩阵， 是一 个数，如果存在非零向量 x ，使方程 Ax x （1）
成立，则称 为A 的一个特征值，相应的非零向 量 x 称为与 对应的特征向量。
若 是A 的一个特征值， 则方程 Ax x 有非零解
Ax x o 有非零解 ( A E ) x o 有非零解
即 p1 +p2 =1 p1 +2 p2， -1 p1 + -2 p2 =0，
p1 ,p2是线性无关的，故由上式得 -1 = -2 =0，即1 =2，
这与1与2是.两个不同的特征值矛盾，因此p1 +p2不是A 的特征向量
三、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i E x 0
特征值特征向量定义.ppt
例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
方程的特征值与特征向量
a1n x1 0 a2 n x2 0 ann xn 0
矩阵的特征方程和特征多项式
E A 0
E A
A的特征方程
A的特征多项式
特征值是特征方程或特征多项式的根
x1 x2
对应的特征向量可取为
是对应于 1的全部特征向量； k （ ） 1 k 0
1 2 1
k （ ） 是对应于 2的全部特征向量. 2 k 0
2 1 1 例 求矩阵的特征值和特征向量 A 0 2 0 4 1 3
例
2 1 1 A 4 0 2 3 2 4
1 1 2 1
2 2 1 3
试确定 1，2 是否为A的特征向量。
解
2 1 1 1 3 1 A1 4 0 2 2 6 3 2 31 3 2 4 1 1 3
A 123 1 2 3 6
A2 A E
2
的特征值依次为
2
1 1 1 3, 2 2 1 7,
A2 A E 3 7 13 273
3 3 1 13
2
2 1 例 已知 B A 3A 2 A E ，其中 A ， 1 2 试求B的特征值和 B 2 1 0 解 求解矩阵A的特征方程 1 2
（1）如果A可逆， 是A的特征值，则 A* 的特征值
是
A
。
（2）如果 是A的特征值，则 A kE 的特征值 是
k
。
设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求 （1） 方阵A的迹 （2）
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特别
单位阵Ｅ的一个特征值为１．
1 2 １、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 A 3 的一个特征值为（ ）
０或１．
三、应用举例
1
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为 ３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则 2 E 3 A2 （ ） ４、求下列方阵的特征值与特征向量 3 1 1 2 1 1 B 7 5 1 A 0 2 0 6 6 2 4 1 3
５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵和正交变换
A A E 即A A ,
T T
y Px 其中Ｐ为正交矩阵． 内积不变 正交变换的优良特性： 长度不变 夹角不变
1
一、特征值与特征向量的概念 为ｎ维非零向量， 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， A 若 （１） 称为Ａ的特征向量． 则λ称为Ａ的特征值，
定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A 为Ａ的特征多项式． 定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 , 则 (1) 12
, n
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
ann ;
证明① 当 1 , 2 ,
四、特征向量的性质 定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。
定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并 在一块，所得的向量组仍然线性无关。
定理 若ｎ阶矩阵Ａ的任 t i 重特征值 i 对应的线性无
关的特征向量的个数不超过 t i ．
课前复习 １、内积
T , a1b1 a2b2
anbn .
２、长度 ３、夹角
４、正交
, a12 a22 an 2 , , ,0 . cos , arccos
, 0
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
1 1 则 为 的特征值． A 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值． m 推论５ 则 为 Am 的特征值．
n
n A .
证明② 因为行列式 a11
E A
a21
a12 a22
a1n a2 n
a n1 an 2 ann 它的展开式中，主对角线上元素的乘积
a11 a22 ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中 含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中． n n 1 E A a a a 11 22 故有 nn 比较①，有 1 2 n a11 a22 ann .
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1
1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
注 ① ② 特征向量 0 ，特征值问题只针对与方阵； , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0 的λ都是方阵Ａ的特征值． 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A 0 为Ａ的特征方程．