矩阵的特征值和特征向量总结(课堂PPT)
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矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)
互不相等的特征值.
§
20
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§
4
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
性质3：已知 为n阶矩阵A的一个特征值，则
（1） kA 必有一个特征值为 k ;
（2） A2 必有一个特征值为
2
;
§
8
（3） Am (m Z ) 必有一个特征值为 （4）A可逆时，A1必有一个特征值为 （5）A可逆时，A* 必有一个特征值为
m
;
1 ;
A
；
（6）多项式( A)必有一个特征值为 ( ).
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§
1
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§
2
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为
定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量.
精选幻灯片3矩阵的特征值和特征向量总结
命题2 如果 x是矩阵 A的对应特征值 ?的特征向量， 则k（x k ? 0）也是 A的对应特征值 ?的特征向量。
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x ? 0， Ax? ?1x， Ax? ?2x
?1x ?
?2x
?
0
?
（?1
? ?2）x
x? 0
?
0? ? ?
?
?1 ? ?2 ? 0
5
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返回
怎样求矩阵 A的特征值与特征向量？
Ax? ? x
要求实数? 与非零向量x.
( A? ? I )x ? 0
它有非零解的充分必要条件是
A? ? I ? 0
a11 ? ? a12 L
即
a21 a22 ? ? L
LL LL L
a1n a2n ? 0 LL
an1
an2 L ann ? ?
6
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返回
矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
?I ? A
A的特征矩阵
?I ? A ?I ? A? 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
7
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返回
求矩阵的特征值与特征向量的步骤 ( A? ? I )x ? 0
1.求矩阵A的特征方程 A ? ? I ? 0
0 ?2
2 4
????????12
? ???
?
????63
? ???
?
3 ????12
? ???
?
3x1
是
?2 1 ?1???2 ? ??6?
Ax2 ? ????43
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x ? 0， Ax? ?1x， Ax? ?2x
?1x ?
?2x
?
0
?
（?1
? ?2）x
x? 0
?
0? ? ?
?
?1 ? ?2 ? 0
5
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怎样求矩阵 A的特征值与特征向量？
Ax? ? x
要求实数? 与非零向量x.
( A? ? I )x ? 0
它有非零解的充分必要条件是
A? ? I ? 0
a11 ? ? a12 L
即
a21 a22 ? ? L
LL LL L
a1n a2n ? 0 LL
an1
an2 L ann ? ?
6
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
?I ? A
A的特征矩阵
?I ? A ?I ? A? 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
7
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 ( A? ? I )x ? 0
1.求矩阵A的特征方程 A ? ? I ? 0
0 ?2
2 4
????????12
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?
3 ????12
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3x1
是
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Ax2 ? ????43
方阵的特征值和特征向量-PPT课件
是任意常数,但 cp cp 0) 1 1 2 2
0
则c 也是A的属于l 的特征向量(其中 c 1 , c 2 1p 1 c 2p 2 证明：由于 p 1 , p 2 是齐次线性方程组 ( A l Ex ) 0 0 的解. 因此 c 1p 1 c 2p 2 也是方程组的解。
0
的特征向量,
l l l l
l l ll
1 x 1 1 34 x 1 0 1 0 x 1 34 1 1 2 0 x 2 0 1 解得基础解系 p 2 1 ， k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 例3：求矩阵 A 0 4
1 2 1
1 0 的特征值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征向量． 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
111 101 r A l E A E 0 3 0~ 0 1 0 1 0 0 0 4 1 4 解方程组 (A + E) x = 0． 1 解得基础解系 p 1 0 ； k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特 a 征 2 1 | A l E | 多 项 a 式 n 1
a l 1 1
a l 2 2 a n 2
结论： 当 A 0 时, A的特征值全为非零数; 当 A 0 时, A至少有一个特征值等于零.
0
则c 也是A的属于l 的特征向量(其中 c 1 , c 2 1p 1 c 2p 2 证明：由于 p 1 , p 2 是齐次线性方程组 ( A l Ex ) 0 0 的解. 因此 c 1p 1 c 2p 2 也是方程组的解。
0
的特征向量,
l l l l
l l ll
1 x 1 1 34 x 1 0 1 0 x 1 34 1 1 2 0 x 2 0 1 解得基础解系 p 2 1 ， k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 例3：求矩阵 A 0 4
1 2 1
1 0 的特征值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征向量． 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
111 101 r A l E A E 0 3 0~ 0 1 0 1 0 0 0 4 1 4 解方程组 (A + E) x = 0． 1 解得基础解系 p 1 0 ； k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特 a 征 2 1 | A l E | 多 项 a 式 n 1
a l 1 1
a l 2 2 a n 2
结论： 当 A 0 时, A的特征值全为非零数; 当 A 0 时, A至少有一个特征值等于零.
第5章 特征值与特征向量ppt课件
a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
52 矩阵的特征值特征向量.ppt
1
2,
2
4，
求 (1) x, y；(2) A 2E ；(3) A 3E 的秩.
解 (1) tr(A) x y 1 2 6
A
xy
1
12
8
x 3
y
3
(2) 2 是一个特征值，故 A 2E 0
(3) 3 不是特征值，即 A 3E 0， 故是 A 3E 满秩矩阵，R( A 3E) 2 .
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说明 (1) 特征向量 x O；特征值问题是对方阵而言的；
(2) 由于 Ax x 亦可写成齐次线性方程组 ( A E)x O
因此，使得 ( A E)x O 有非零解的 值都是矩
阵 A 的特征值.
即，使得 A E 0的 值都是矩阵 A 的特征值.
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定义 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) ，记
f () A E
a11 a12
a21
a22
an1
an2
a1n a2n
ann
则， A E 称为 A 的特征多项式；
A E 0 称为 A 的特征方程；
A E 称为 A 的特征矩阵.
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说明
f () A E
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
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定理 2 设 1,2 都是 A 的属于特征值 0 的特征向量， 则 k11 k22 也是 A 的属于特征值 0 的特征向量.
(其中 k1, k2 为任意常数，但 k11 k22 O )
证 由于 1,2 都是 ( A 0E)x O 的解， 因此，k11 k22 也是 ( A 0E )x O 的解.
故，当 k11 k22 O 时，是 A 的属于特征值 0 的
线性代数第六章特征值与特征向量课件
3）对于 (x) as xs a1x a0 ，()是( A) 的特征值，且 是 () 属于( A)的特征向量；
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
3矩阵的特征值和特征向量总结[优质ppt]
![3矩阵的特征值和特征向量总结[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/a7eeba043b3567ec102d8af9.png)
命题2 如 果 x 是 矩 阵 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 则 k （ xk 0 ） 也 是 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0 ， A x1 x ， A x2 x
1x2x0 （1
2）x
x0
0
1
2
0
15.08.2019
5
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返回
怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
Axx 要 求 实 数 与 非 零 向 量 x .
(AI)x0
它有非零解的充分必要条件是
AI 0
a11 a12
即
a21 a22
a1n a2n 0
an1
15.08.2019
an2
6
ann
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵
I A
I A 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
15.08.2019
7
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 (AI)x0
0
1 0
1
0
r3
r1
4 1 1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
1
1
3
0
4
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0 ， A x1 x ， A x2 x
1x2x0 （1
2）x
x0
0
1
2
0
15.08.2019
5
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怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
Axx 要 求 实 数 与 非 零 向 量 x .
(AI)x0
它有非零解的充分必要条件是
AI 0
a11 a12
即
a21 a22
a1n a2n 0
an1
15.08.2019
an2
6
ann
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵
I A
I A 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
15.08.2019
7
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 (AI)x0
0
1 0
1
0
r3
r1
4 1 1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
1
1
3
0
4
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
特征值问题和特征向量精品课件
证 E AT (EA)T EA,
说 明 A 与 A T 有 相 同 的 特 征 多 项 式 ,
从而有相同的特征值.
注意: 尽 管 A 和 A T的 特 征 值 相 同 ， 但 一 般 它 们 的 特 征
特征值问题和特征向量
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以 及矩阵的对角化问题。
第一节 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的基本概念
定义 设 A 是 一 个 n 阶 方 阵 ， 如 果 存 在 一 个 数 ， 以 及 一 个 非 零 n 维 列 向 量 ， 使 得
A
则 称 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ， 而 称 为 矩 阵 A 的 属 于
0
2 0
0
0
0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 3 0 ,
1
因 此 属 于 特 征 值 3 1 的 全 部 特 征 向 量 为 k 3 3 ( k 3 0 ) 。
例2
设
A
2 0
1 2
1
0, 求A的特征值与特征向量。
4 1 3
2 1 1 解 EA 0 2 0
4 1 3
对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即 为主对角元。
a 11 0
a 12 a 22
a 1n a2n
0 0 a nn
a 11 a 21
0 a 22
0
0 0
a n1 a n 2 a nn
1 0
0 2
0 0
0 0 n
三、特征值与特征向量的性质
k 11 k 22 ( k 1 ,k 2 不 全 为 零 ) ；
2 1 1
EA 0 2 0 12(二重 ) ,2 根 1.
说 明 A 与 A T 有 相 同 的 特 征 多 项 式 ,
从而有相同的特征值.
注意: 尽 管 A 和 A T的 特 征 值 相 同 ， 但 一 般 它 们 的 特 征
特征值问题和特征向量
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以 及矩阵的对角化问题。
第一节 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的基本概念
定义 设 A 是 一 个 n 阶 方 阵 ， 如 果 存 在 一 个 数 ， 以 及 一 个 非 零 n 维 列 向 量 ， 使 得
A
则 称 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ， 而 称 为 矩 阵 A 的 属 于
0
2 0
0
0
0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 3 0 ,
1
因 此 属 于 特 征 值 3 1 的 全 部 特 征 向 量 为 k 3 3 ( k 3 0 ) 。
例2
设
A
2 0
1 2
1
0, 求A的特征值与特征向量。
4 1 3
2 1 1 解 EA 0 2 0
4 1 3
对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即 为主对角元。
a 11 0
a 12 a 22
a 1n a2n
0 0 a nn
a 11 a 21
0 a 22
0
0 0
a n1 a n 2 a nn
1 0
0 2
0 0
0 0 n
三、特征值与特征向量的性质
k 11 k 22 ( k 1 ,k 2 不 全 为 零 ) ；
2 1 1
EA 0 2 0 12(二重 ) ,2 根 1.
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
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3.2.1 相似矩阵及其性质
定 设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，
义 使得 3.3
P1APB
～ 则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,
记做A
B.
（1）反身性 A相似于A
性 质
（2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A
（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。
r3
r1
4 1 1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
1
1
3
0
4
对 应 于 2 3 2 的 全 部 特 征 向 量 为
k 22 k 33（ k 2 ， k 3 不 同 时 为 0 ）
30.05.2020
10
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练习:求下列矩阵的特征值和特征向量
3 1
30.05.2020
a12 L a22 L MM an2 L
24
a1s
a 2 s
tr(BA)
s
n
b jia ij
M
j 1 i1
a ns 故 tr(AB)tr(BA)
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相似矩阵的性质
若A和B相似，则
BP1AP,P可 逆 。
1. A和B有相等的秩。
证明（1） P1APB R(P1AP)R(B)
1 1
1x1 1x2
0 0
x1 x2
1
对应的特征向量可取为 2
1
k （ 1 k 0 ） 是 对 应 于 1 的 全 部 特 征 向 量
k （ 2 k 0 ） 是 对 应 于 2 的 全 部 特 征 向 量
30.05.2020
12
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3.1.2 特征值与特征向量的性质
命题2 如 果 x 是 矩 阵 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 则 k （ xk 0 ） 也 是 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0 ， A x1 x ， A x2 x
1x2x0 （1
2）x
x0
0
在 主 对 角 线 元 素 乘 积 项 中 出 现 , 故 有 | I - A | = n ( a 1 1 a 2 2 L a n n ) n 1 L ( 1 ) n | A | |IA|(1)(2)L(n) =n (12Ln)n1L(1)n12Ln 比 较 n1前 的 系 数 可 得
| I A | a21 a22 L a2n
M
M
M
an1 an2 L ann
的行列式的展开中, 主对角线的乘积
( a11)( a22 )L ( ann ) 是 其 中 的 一 项 ; 再 由 行 列 式 的 定 义 可 知 : 展 开 式 中 的 其 余 项 至 多
包 含 n - 2 个 主 对 角 线 上 的 元 素 , 因 此 | I - A | 中 含 n与 n 1 的 项 只 能
A
1
3
解 A的特征多项式为
3
1
1
3
(3)2 1268
(2)(4)
A的特征值为 12, 24
当1 2时，32
即
x1 x1
x2 x
2
0 0
1
1 x1 32x2
x1 x2
00
1
30.05.2020
11
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对应的特
征向量可
取为
1
1
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当2 4时
34
1
1 x1 34x2
00
3.对每个特征值 i 解方程组
(AiI)x0
求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量
便得属于 i 的全部特征向量。
30.05.2020
8
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例2：求矩阵的特征值和特征向量
2 1 1
A
0
2
0
4 1 3
解 A的特征多项式为
2 1 1
AI 0 2 0 (2) 2 1
4 1 3
4 3
P1APB
B I P1API P1(AI)P
P1 AI P A I
推论 如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角 矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特 征值。
30.05.2020
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易证 对角形矩阵
1
2
O
n
则 1,2,L,n 是 的全部特征值。
30.05.2020
A x 1 d 1 x 1 ,L ,A x n d n x n
解
2 1 1 1 3 1
Ax1
4
0
3 2
2
2
4 1
6
3
3
2
1
3 x1
是
2 1 1 2 6
Ax2
4
0
2
1
2
3 2 4 3 4
不是
30.05.2020
4
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命题1 非 零 n 维 向 量 x是 n 阶 方 阵 A的 特 征 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 向 量 Ax与 x共 线 。
6
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵
I A
I A 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
30.05.2020
7
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 (AI)x0
1.求矩阵A的特征方程 AI 0
2.求特征方程的根，即特征值
a
21
M
a 22 M
L M
a2s
b21
M M
b22 M
L M
b2n
M
n
tr(AB)
s
a ijb ji
a n1 a n 2 L a n s b s1 b s 2 L b sn
i 1 j1
b11 b12 L
b
2
1
b22
L
b1n a11
b2n
a 21
M M M M M
b s1 b s 2 L b sn a n1
定理1 n 阶 方 阵 A 与 它 的 转 置 矩 阵 A T 有 相 同 的 特 征 值 。
定理2设n方阵A有互不相同的特征值1，2， L ，m， （iI A）x0的基础解系为i1，i2， L ，iri
（i 1， 2， L ，m）,则
11,12,L ,1r1;21,22,L ,2r2;L ;m1,m2,L ,mrm
18
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试证 n 阶矩阵 A 是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。
证明 因为 A 12 Ln (1 ,2 ,L ,n为A的特征值） 所以 A 0 的充分必要条件是至少有一个特征值
为零。
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第2节
矩阵的对角化
30.05.2020
满 足
Axx 称 是 矩 阵 A的 特 征 值 (eigenvalue)， 称 x是 矩 阵 A的 对 应 于 特 征 值 的 特 征 向 量
(eigenvector)。
30.05.2020
3
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2 1 1
例1
A
4
0
2
3 2 4
1
x1
2
1
2
x2
1
3
验 证 x 1 ， x 2 是 否 是 A 的 特 征 向 量 。
Axn nxn
A ( x 1 L x n ) (1 x 1 L n x n )
1
记 P(x1Lxn)
2 O
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28
n
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APP P1AP
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必要性
设A相似于对角矩阵
d1
D
O
d n
即存在可逆矩阵B，使得 B1ABD
B(x1,L,xn) B1ABDABBD A ( x 1 ,L ,x n ) ( d 1 x 1 ,L ,d n x n )
27
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3.2.2 矩阵的对角化
定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充 分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
充分性
设 A 的 n 个 特 征 向 量 x 1 ,L ,x n 线 性 无 关 ，
它 们 对 应 的 特 征 值 分 别 是 1 ,L ,n ,则
Ax1 1x1, L ,
R(A)R(B)
2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)
P1APBP1AP B P1 A P B
BP1 PA P1P A A
30.05.2020
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3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)
P1APBtr(B)tr(P1AP)tr(APP1)tr(A)
4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 TH5
( 2 ) (2 6 4 ) ( 2 ) (2 2 )