矩阵的特征值和特征向量总结(课堂PPT)

解
2 1 1 1 3 1
Ax1
4
0
3 2
2
2
4 1
6
3
3
2
1
3 x1
是
2 1 1 2 6
Ax2
4
0
2
1
2
3 2 4 3 4
不是
30.05.2020
4
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命题1 非 零 n 维 向 量 x是 n 阶 方 阵 A的 特 征 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 向 量 Ax与 x共 线 。
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3.2.1 相似矩阵及其性质
定 设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，
义 使得 3.3
P1APB
～ 则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,
记做A
B.
（1）反身性 A相似于A
性 质
（2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A
（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。
证(1)由 于 1,2,L,n为 A 的 特 征 值 ,故 |IA|(1)(2)L(n)
=n (12Ln)n1L(1)n12Ln
令 0 ,得 | A | ( 1 )nA ( 1 )n12Ln ,即 |A | 1 2L n
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(2) 由于
a11 a12 L a1n
满 足
Axx 称 是 矩 阵 A的 特 征 值 (eigenvalue)， 称 x是 矩 阵 A的 对 应 于 特 征 值 的 特 征 向 量
(eigenvector)。
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2 1 1
例1
A
4
0
2
3 2 4
1
x1
2
1
2
x2
1
3
验 证 x 1 ， x 2 是 否 是 A 的 特 征 向 量 。
A
1
3
解 A的特征多项式为
3
1
1
3
(3)2 1268
(2)(4)
A的特征值为 12, 24
当1 2时，32
即
x1 x1
x2 x
2
0 0
1
1 x1 32x2
x1 x2
00
1
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11
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对应的特
征向量可
取为
1
1
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当2 4时
34
1
1 x1 34x2
00
命题2 如 果 x 是 矩 阵 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 则 k （ xk 0 ） 也 是 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0 ， A x1 x ， A x2 x
1x2x0 （1
2）x
x0
0
3.对每个特征值 i 解方程组
(AiI)x0
求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量
便得属于 i 的全部特征向量。
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例2：求矩阵的特征值和特征向量
2 1 1
A
0
2
0
4 1 3
解 A的特征多项式为
2 1 1
AI 0 2 0 (2) 2 1
4 1 3
4 3
线性无关.
推论 若 n 阶方阵有互不相同的特征值 1,2,L,m
则其对应的特征向量 x1,x2,L,xm 线性无关。
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定理3 设n阶方阵A(aij)nn的n个特征值为1,2,L,n
(重特征值按重数算), 则有
(1) 12Ln A (2) 12 Ln a11a22 Lann t（ r A） ,
R(A)R(B)
2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)
P1APBP1AP B P1 A P B
BP1 PA P1P A A
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3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)
P1APBtr(B)tr(P1AP)tr(APP1)tr(A)
4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 TH5
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容易证明相似矩阵的如下性质：
（1）反身性，即 A: A 证明 I1AI A
（2）对称性，即如果 A: B, 则 B: A
证明 P1APB
(P1)1BP1 A
（3）传递性，即如果 A: B, B: C, 则 A: C
证明 P 1A P B, Q 1 B Q C
27
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3.2.2 矩阵的对角化
定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充 分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
充分性
设 A 的 n 个 特 征 向 量 x 1 ,L ,x n 线 性 无 关 ，
它 们 对 应 的 特 征 值 分 别 是 1 ,L ,n ,则
Ax1 1x1, L ,
r3
r1
4 1 1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
1
1
3
0
4
对 应 于 2 3 2 的 全 部 特 征 向 量 为
k 22 k 33（ k 2 ， k 3 不 同 时 为 0 ）
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练习:求下列矩阵的特征值和特征向量
3 1
( 2 ) (2 6 4 ) ( 2 ) (2 2 )
(1)(2)2
A的特征值为 11, 232
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当 1 1 时 ， 解 方 程 （ A I ） x 0
1
A
I
0
4
1 3 1
1
0
4
r3 4 r1
r2 3
1
0
0
1 1 3
第三章 矩阵的特征值与特征向量
§1 方阵的特征值与特征向量 §2 矩阵的对角化
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1
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第1节
方阵的特征值与特征向量
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3.1.1 特征值与特征向量的基本概念
定义3.1
设 A 是 n 阶 方 阵 , 如 果 存 在 n 维 非 零 列 向 量 x 和 数
P1APB
B I P1API P1(AI)P
P1 AI P A I
推论 如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角 矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特 征值。
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易证 对角形矩阵
1
2
O
n
则 1,2,L,n 是 的全部特征值。
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(PQ)1A(PQ)C
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方阵的迹定义3.4
n
设 方 阵 A (aij)nn,称 a11a22Lann aii为 A 的 迹 ，
n
i 1
记 作
tr( A) aii
i 1
方阵的迹是它的主对角线上的元素和
例5
2 A 0
4 9 3 5
1 6 0
tr(A)=2+(-3)+0=-1
设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求 （1） A的主 对角线元素之和
（2） A
(3) A2 AI
解 a 1 1 a 2 2 a 3 31231236
A 123 1236
A2 AI 的特征值依次为 1113, 22 217, 323113
A 2A I3 7 1 32 7 3
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证明：设x为A对应于的一个特征向量，则有
a0Ix a0x
a1Ax a1x, a2 A2x a2 Ax a2Ax a22x
L
am Amx ammx,
以 上 各 式 两 端 求 和 ， (A)x()x， 即 ()是 (A)的 特 征 值 。
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a12 L a22 L MM an2 L
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a1s
a 2 s
tr(BA)
s
n
b jia ij
M
j 1 i1
a ns 故 tr(AB)tr(BA)
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相似矩阵的性质
若A和B相似，则
BP1AP,P可 逆 。
1. A和B有相等的秩。
证明（1） P1APB R(P1AP)R(B)
定理1 n 阶 方 阵 A 与 它 的 转 置 矩 阵 A T 有 相 同 的 特 征 值 。
定理2设n方阵A有互不相同的特征值1，2， L ，m， （iI A）x0的基础解系为i1，i2， L ，iri
（i 1， 2， L ，m）,则
11,12,L ,1r1;21,22,L ,2r2;L ;m1,m2,L ,mrm
12Ln a11a22Lann=tr(A)
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定理4
设 A 是 n 阶方阵，
(A ) a 0 I a 1 A L a m A m ,
若 为 A 的特征值，则
() a 0 a 1 L a mm
是 ( A ) 的特征值.
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1
2
0
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5
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怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
Axx 要 求 实 数 与 非 零 向 量 x .
(AI)x0
它有非零解的充分必要条件是
AI 0
a11 a12 L
a1n
即
a21 a22 L
a2n 0
LL LL L LL
an1
an2 L ann
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1 1
1x1 1x2
0 0
x1 x2
1
对应的特征向量可取为 2
1
k （ 1 k 0 ） 是 对 应 于 1 的 全 部 特 征 向 量
k （ 2 k 0 ） 是 对 应 于 2 的 全 部 特 征 向 量
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12
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3.1.2 特征值与特征向量的性质
a
21
M
a 22 M
L M
a2s
wenku.baidu.com
b21
M M
b22 M
L M
b2n
M
n
tr(AB)
s
a ijb ji
a n1 a n 2 L a n s b s1 b s 2 L b sn
i 1 j1
b11 b12 L
b
2
1
b22
L
b1n a11
b2n
a 21
M M M M M
b s1 b s 2 L b sn a n1
Axn nxn
A ( x 1 L x n ) (1 x 1 L n x n )
1
记 P(x1Lxn)
2 O
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n
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APP P1AP
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必要性
设A相似于对角矩阵
d1
D
O
d n
即存在可逆矩阵B，使得 B1ABD
B(x1,L,xn) B1ABDABBD A ( x 1 ,L ,x n ) ( d 1 x 1 ,L ,d n x n )
| I A | a21 a22 L a2n
M
M
M
an1 an2 L ann
的行列式的展开中, 主对角线的乘积
( a11)( a22 )L ( ann ) 是 其 中 的 一 项 ; 再 由 行 列 式 的 定 义 可 知 : 展 开 式 中 的 其 余 项 至 多
包 含 n - 2 个 主 对 角 线 上 的 元 素 , 因 此 | I - A | 中 含 n与 n 1 的 项 只 能
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性质： (1) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
(2) tr(AB)=tr(BA) (性质3.1)
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性质3.1 (2) 设 A (aij )ns, B (bij )sn, 则
证明
tr(AB)tr(BA)
a11 a12 L a1s b11 b12 L b1n
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试证 n 阶矩阵 A 是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。
证明 因为 A 12 Ln (1 ,2 ,L ,n为A的特征值） 所以 A 0 的充分必要条件是至少有一个特征值
为零。
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第2节
矩阵的对角化
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1
0
0
r1 r2
r3 3 r2
1
0
0
0 1 0
1
0
0
对 得应 基础于 解1 系 11 的 （1全 ，0部 ，1） 特 T 征 向 量 为 k （ 1 k 0 ） 得基础解
当 2 3 2 时 ， 解 方 程 （ A 2 I ） x 0 系
4
A 2I
0
1 0
1
0
A x 1 d 1 x 1 ,L ,A x n d n x n
在 主 对 角 线 元 素 乘 积 项 中 出 现 , 故 有 | I - A | = n ( a 1 1 a 2 2 L a n n ) n 1 L ( 1 ) n | A | |IA|(1)(2)L(n) =n (12Ln)n1L(1)n12Ln 比 较 n1前 的 系 数 可 得
6
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵
I A
I A 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 (AI)x0
1.求矩阵A的特征方程 AI 0
2.求特征方程的根，即特征值