特征值特征向量PPT课件
合集下载
特征值与特征向量的概念(1).ppt
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
人教A版高中数学选修4-2-4.1.2-特征值特征向量的计算-课件(共30张PPT)
an1 an2 ann
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a11 l
AlE
a21
an1
a12 a22 l
an2
a1n
A11 A12
a2n A21 A22
an1
an 2
ann l An1 An2
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
Anjn
j1 j2 jn
4 2 4 x1 0 2 1 2 x2 0 4 2 4 x3 0
4 2 4 0 2 1 2 0 A 2 1 2 0 0 0 0 0
4 2 4 0 0 0 0 0
2x1 x2 2x3 0
x2 2x1 2x3
令
x1 x3
分别取
10,10 ，得基础解系
定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A’有相同的特征值
证明：
A lE A (lE) (A lE) A lE
即 A与A’有相同的特征多项式 故A与A’有相同的特征值
定理 4 设l1、l2 、…、l n是A的n个特征值，则
（1） l1+l2 +…+ln=a11+ a22+ …+ann （2）l1l2 …l n A
【例5】 设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征向量所
对应的特征值的绝对值等于1。
证明： 因为A为正交矩阵，有AA E
设是A的一个实特征向量，对应的特征值为l
即实向量 0，且满足 A l 要证l 1
由A l
A l
A l
方程两边右乘A
左边= AA E ,
右边=lA ll l2 l2 ,
证明：设l是A的特征值，是A的属于l的特征向量
第5章 特征值与特征向量ppt课件
a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
特征值与特征向量6.ppt
10
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
第十一章特征值与特征向量ppt课件
编辑版pppt
11
特征向量归一化
矩阵A的相应于特征值λ的特征向量V乘以一 个常量c仍然是特征值λ的特征向量
A(cV)=c(AV)=c(λV)=λ(cV)
为得到唯一的形式，可使用向量范数将特 征向量归一化
U=V/||V||p 则向量U的p-范数为1
编辑版pppt
12
对角化
对角矩阵D的特征值容易求得
定理11.5 设A是一个方阵，λ1,λ2,…,λk是A的 互不相同的特征值，对应的特征向量分别 是V1,V2,…,Vk，则{V1,V2,…,Vk}是一组线性 无关的向量集合。
定理11.6 如果n×n矩阵A的特征值是互不相 同的，则存在n个线性无关特征向量Vj， 其中j=1,2,…,n。
编辑版pppt
2
矩阵的特征值问题
设矩阵 A R nn ，如果存在数 C 及非零向量 x C n 满足 方程 Ax x ，则称 为矩阵 A 的一个特征值，x 称为矩阵 A 的相应于特征值 的特征向量。为简单起见，下称 ，x 为矩 阵 A 的一特征对。 和 x 分别是实（复）数和实（复）向量。
用单位矩阵 I 来重写上述方程，可以得到Ax=λIx，从而进 一步可以写成线性方程组的标准形式(A-λI)x=0，这是关于 向量 x 的齐次线性方程组。该齐次方程组因为存在非平凡 解x≠0，所以有det(A-λI)=0
具有n个不同特征值的矩阵A是可对角化的 例11.3
编辑版pppt
15
对称性的优势
对于实对称矩阵，它一定有n个实特征向量， 对于重复度为mj的特征值，它有mj个线性无 关的特征向量，因此每一个实对称矩阵都 是可对角化的
但实非对称矩阵可具有复数特征值和特征 向量
编辑版pppt
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量 PPT精品课件
性质6 设 λ1,λ2 ,L,λs为矩阵A的互异特征值 , 对应的
第 五
特征向量分别为 ξ1,ξ2 ,L,ξ s , 则ξ1,ξ2 ,L,ξ s线性无关.
证:⑴ s=1时结论成立；
章
矩
⑵假设s=r-1时成立，则s=r时：
阵 的
设 k1ξ1 + k2ξ2 + L + kr−1ξr−1 + krξ r = 0, (∗)
的
n
特 征 值 与
其中 trA = ∑ aii 为A的迹。 i =1 性质2 设相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征
对 角
值也相同。
化
证:设A与B相似, 则存在可逆阵P,使得 B = P −1AP
fB (λ ) = λI − B = λI − P −1AP = P −1(λI − A)P
= P−1 λI − A P = λI − A = fA(λ )
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 1 ⎟;
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ2 =⎜ 0⎟;
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ3 =⎜ −1⎟ .
⎜⎝ − 1 ⎟⎠
-6-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
第
例3 设λ0 为A的特征值,则
五
章
⑴ λm0 为Am的特征值；
矩 阵 的 特
⑵
若A可逆,
则
1
λ0
为A−1的特征值；
征 值 与 对
⑶
若A可逆,
则
1
λ0
A 为A∗的特征值.
角
化
-7-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质：
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次
特征值特征向量定义.ppt
例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4·3 矩阵的特征值和特征向量
定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数
l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征
值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量
AX=lX
AX-lX =O (A-lE)X=O
即不论l取何值，方程AX=lX一定有解
特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0 A的对应于l0的特征向量：方程AX l0 X的非零解
得 l1 =-2， l 2 = l 3= 7（二重根） 则A的特征值为l 1 =-2，l 2 = l 3= 7
把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，得
(A +2E)X=O
5 2 4 x1 0 2 8 2 x2 0 4 2 5 x3 0
5 2 4 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 2 0 0 A 2 8 2 0 2 8 2 0 0 0 0 0` 0 0 0 0
则其特征方程可表示为：
, lm为其特征值组，
l l1 k1 l l2 k2
l lm km 0
则ki称为li的代数重数(重数)，而li 特征子空间的维数
称为几何重数(度数)。
di dimVi
显然： k1 k2
di ki
km n
【例1】求
A
2 5
3 4
的特征值
解：A lE 2 l 3 2 l 4 l 15 l2 6l 7
2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系
V1、V2、…、Vs
3） A的属于特征值li 的特征向量为： c1V1 c2V2 csVs
c1, c2 ,, cs 是不全为零任意常数
【例2】求矩阵
A
1 4
Байду номын сангаас1 3
0 0
的特征值与特征向量
解：
1 0 2
1 l 1 0
A lE 4 3 l 0 2 l 1 l 3 l 4 2 l 1 l 2
对 x1 x2 0 ，取 x2 1 ，得一个基础解系V 11 则方程(A-4E)X=O的全部解为：
cV cc c为任意常数
A的属于l=4
的特征向量：cV
c c
c≠0
1、求n阶方阵A的特征值：
数l0是A的特征值
l0使方程AX= lX有非零解
l0使方程A lEX O有非零解
n元齐次方程组A lEX O有非零解 A lE 0
例如：对
A
3 5
11 ，取 l=4，代入方程AX= lX
得 AX= 4X
(A-4E)X=O
A
4E
3 5
11
4 0
0 4
1 5
15
(A-4E)X= O
1 5
15
x1 x2
0 0
x1 x2 5x1 5x2
0 0
5xx1 15xx22
0 0
x1 x2 0 有非零解
所以，l=4是矩阵A的一个特征值
1 0 2l
得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根） 则A的特征值为l1 =2，l2 = l3= 1
把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得
(A -2E)X=O
3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 1 0 0 x3 0
3x1 4x1
x2 x2
0 0
x1 0
x1 x2
0 0
0
取 x3
1
,得一基础解系
V1
0
于是，A的属于l1
1
=2的全部特征向量为：c1V1
c1
0 0,
c1
0
把l2= l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得
1
(A-E)X=O
2 1 0 x1 0 4 2 0 x2 0 1 0 1 x3 0
2 1 0 0 行变换 2 1 0 0
A 4 2 0 0
0 0 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1
取 x1 1得一基础解系
V2 2
2x1
x2
0
x1 x3 0
x2 x3
2x1 x1
1
1
于是，A的属于l2=1的全部特征向量为：c2V2
c1
2
,
c
2
0
1
【例3】求矩阵
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式
l0使 A lE 0成立 l0是特征方程 A lE 0的根
A lE
(2)令 A l E 0
解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
3 A 2
2 6
4 2
的特征值与特征向量
4 2 3
解：
3 l 2 4 3 l 2 4 3 l 2 1 l
A lE 2 6 l 2 2 6 l 2 2 6 l 4
4 2 3 l 7 l 0 7 l 7 l 0 0
7 l 8 1 l 6 l 2 l 7 l 2
5 4l
令 A lE 0， 得 l1 =-1，l2 =7 则A的特征值为l1 =-1，l2 =7
2、求A的属于特征值l的特征向量
设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解. 即方程(A-liE)X=O有非零解，
A的对应于特征值li的特征向量: 方程组(A-liE)X=O的全部非零解
步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O 得一齐次线性方程组(A-liE)X=O
Anjn
j1 j2 jn
(a11 l)(a22 l) (ann l)
(1)n l n
fn l
则方程 A lE 0 即 fn l 0是l的n次方程
在复数域上，方程 A lE 0一定有 n个根。
A lE fn l
A的特征多项式
方程 A lE 0
A的特征方程
定义 2 设A为n阶方阵，l1, l2,
a11 l
AlE
a21
a12 a22 l
an1 an2 ann
an1
an2
a1n
a2n
ann
l
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a1n
A11 A12
A1n
a2n A21 A22
A2n
an1
an 2
ann l An1 An2
Ann
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
4 2 5 0 4 2 5 0 0 18 9 0 0 2 1 0
5
A
2 4
2 8 2
4 2 5
0
0 0
1 0
0
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x21 x22xx2 300
定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数
l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征
值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量
AX=lX
AX-lX =O (A-lE)X=O
即不论l取何值，方程AX=lX一定有解
特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0 A的对应于l0的特征向量：方程AX l0 X的非零解
得 l1 =-2， l 2 = l 3= 7（二重根） 则A的特征值为l 1 =-2，l 2 = l 3= 7
把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，得
(A +2E)X=O
5 2 4 x1 0 2 8 2 x2 0 4 2 5 x3 0
5 2 4 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 2 0 0 A 2 8 2 0 2 8 2 0 0 0 0 0` 0 0 0 0
则其特征方程可表示为：
, lm为其特征值组，
l l1 k1 l l2 k2
l lm km 0
则ki称为li的代数重数(重数)，而li 特征子空间的维数
称为几何重数(度数)。
di dimVi
显然： k1 k2
di ki
km n
【例1】求
A
2 5
3 4
的特征值
解：A lE 2 l 3 2 l 4 l 15 l2 6l 7
2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系
V1、V2、…、Vs
3） A的属于特征值li 的特征向量为： c1V1 c2V2 csVs
c1, c2 ,, cs 是不全为零任意常数
【例2】求矩阵
A
1 4
Байду номын сангаас1 3
0 0
的特征值与特征向量
解：
1 0 2
1 l 1 0
A lE 4 3 l 0 2 l 1 l 3 l 4 2 l 1 l 2
对 x1 x2 0 ，取 x2 1 ，得一个基础解系V 11 则方程(A-4E)X=O的全部解为：
cV cc c为任意常数
A的属于l=4
的特征向量：cV
c c
c≠0
1、求n阶方阵A的特征值：
数l0是A的特征值
l0使方程AX= lX有非零解
l0使方程A lEX O有非零解
n元齐次方程组A lEX O有非零解 A lE 0
例如：对
A
3 5
11 ，取 l=4，代入方程AX= lX
得 AX= 4X
(A-4E)X=O
A
4E
3 5
11
4 0
0 4
1 5
15
(A-4E)X= O
1 5
15
x1 x2
0 0
x1 x2 5x1 5x2
0 0
5xx1 15xx22
0 0
x1 x2 0 有非零解
所以，l=4是矩阵A的一个特征值
1 0 2l
得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根） 则A的特征值为l1 =2，l2 = l3= 1
把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得
(A -2E)X=O
3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 1 0 0 x3 0
3x1 4x1
x2 x2
0 0
x1 0
x1 x2
0 0
0
取 x3
1
,得一基础解系
V1
0
于是，A的属于l1
1
=2的全部特征向量为：c1V1
c1
0 0,
c1
0
把l2= l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得
1
(A-E)X=O
2 1 0 x1 0 4 2 0 x2 0 1 0 1 x3 0
2 1 0 0 行变换 2 1 0 0
A 4 2 0 0
0 0 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1
取 x1 1得一基础解系
V2 2
2x1
x2
0
x1 x3 0
x2 x3
2x1 x1
1
1
于是，A的属于l2=1的全部特征向量为：c2V2
c1
2
,
c
2
0
1
【例3】求矩阵
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式
l0使 A lE 0成立 l0是特征方程 A lE 0的根
A lE
(2)令 A l E 0
解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
3 A 2
2 6
4 2
的特征值与特征向量
4 2 3
解：
3 l 2 4 3 l 2 4 3 l 2 1 l
A lE 2 6 l 2 2 6 l 2 2 6 l 4
4 2 3 l 7 l 0 7 l 7 l 0 0
7 l 8 1 l 6 l 2 l 7 l 2
5 4l
令 A lE 0， 得 l1 =-1，l2 =7 则A的特征值为l1 =-1，l2 =7
2、求A的属于特征值l的特征向量
设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解. 即方程(A-liE)X=O有非零解，
A的对应于特征值li的特征向量: 方程组(A-liE)X=O的全部非零解
步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O 得一齐次线性方程组(A-liE)X=O
Anjn
j1 j2 jn
(a11 l)(a22 l) (ann l)
(1)n l n
fn l
则方程 A lE 0 即 fn l 0是l的n次方程
在复数域上，方程 A lE 0一定有 n个根。
A lE fn l
A的特征多项式
方程 A lE 0
A的特征方程
定义 2 设A为n阶方阵，l1, l2,
a11 l
AlE
a21
a12 a22 l
an1 an2 ann
an1
an2
a1n
a2n
ann
l
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a1n
A11 A12
A1n
a2n A21 A22
A2n
an1
an 2
ann l An1 An2
Ann
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
4 2 5 0 4 2 5 0 0 18 9 0 0 2 1 0
5
A
2 4
2 8 2
4 2 5
0
0 0
1 0
0
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x21 x22xx2 300