2方程的特征值与特征向量
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０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
Leabharlann Baidu
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。 定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并
在一块，所得的向量组仍然线性无关。
证明① 当1,2 ,L ,n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 L n n 1 2 L n n1 L 1n 12L n
令 0, 得 A 1n 12L n
即 12L n A .
证明② 因为行列式
a11 a12 L
夹角不变
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对与方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0
推论２ 则 1为 A的1 特征值． 推论３ 则 k为 kA的特征值． 推论４ 则 A 1为 A的特征值． 推论５ 则 m 为 Am的特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．
三、应用举例
１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则
1 3
A2
1
的一个特征值为（ ）
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
定理 若ｎ阶矩阵Ａ的任 ti 重特征值 i 对应的线性无
关的特征向量的个数不超过 ti ．
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A 0 为Ａ的特征方程．
定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A
为Ａ的特征多项式．
定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1,2 ,L ,n
则 (1) 12L n A ; (2) 1 2 L n a11 a22 L ann;
课前复习 １、内积 ２、长度
３、夹角
４、正交
, T a1b1 a2b2 L anbn .
, a12 a22 L an2
cos , , arccos , ,0 .
, 0
５、施密特（Schmidt）正交化法
６、正交矩阵和正交变换
AT A E 即A1 AT , y Px 其中Ｐ为正交矩阵． 内积不变 正交变换的优良特性： 长度不变
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
它的展开式中，主对角线上元素的乘积
a11 a22 L ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至
多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中
含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
Leabharlann Baidu
7 6
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1 2
四、特征向量的性质 定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。 定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并
在一块，所得的向量组仍然线性无关。
证明① 当1,2 ,L ,n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 L n n 1 2 L n n1 L 1n 12L n
令 0, 得 A 1n 12L n
即 12L n A .
证明② 因为行列式
a11 a12 L
夹角不变
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对与方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0
推论２ 则 1为 A的1 特征值． 推论３ 则 k为 kA的特征值． 推论４ 则 A 1为 A的特征值． 推论５ 则 m 为 Am的特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．
三、应用举例
１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则
1 3
A2
1
的一个特征值为（ ）
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
定理 若ｎ阶矩阵Ａ的任 ti 重特征值 i 对应的线性无
关的特征向量的个数不超过 ti ．
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A 0 为Ａ的特征方程．
定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A
为Ａ的特征多项式．
定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1,2 ,L ,n
则 (1) 12L n A ; (2) 1 2 L n a11 a22 L ann;
课前复习 １、内积 ２、长度
３、夹角
４、正交
, T a1b1 a2b2 L anbn .
, a12 a22 L an2
cos , , arccos , ,0 .
, 0
５、施密特（Schmidt）正交化法
６、正交矩阵和正交变换
AT A E 即A1 AT , y Px 其中Ｐ为正交矩阵． 内积不变 正交变换的优良特性： 长度不变
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
它的展开式中，主对角线上元素的乘积
a11 a22 L ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至
多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中
含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中．