七年级初一数学期末复习典型考题必讲
七年级上册数学全册期末复习资料
七年级上册数学全册期末复习资料精典专题一有理数课本-中考-奥数一、单元典型题例1.有理数的分类易错题（1）π不是有理数；（2）0既不是正数，也不是负数；（3）-a是负数吗？2.有理数的大小比较3.利用绝对值的定义求值已知|a|=3,|b|=5,且a<b，求a-b的值4.逆用数学公式、法则若x+y<0,xy<0,x>y，则有（）A x>0,y<0,x的绝对值较大；B x>0,y<0,y的绝对值较大；C x<0,y>0,x的绝对值较大；D x<0,y>0,y的绝对值较大.5.利用绝对值的非负性求值若|x-1|+|y+3|=0,求x+y的值6.有理数混合运算计算|-15|+15（-1）2013-52（-0.2）3二. 单元基础检测得分1.（济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数为（）A 2B -2C D不能确定2.若|a-2|+(b+3)2=0,则（a+b）2013的值为（）A -1B 1CD 520133.下列说法：（1）绝对值等于与它本身的数是正数；（2）近似数2.34万精确到百分位；（3）-a+b与a-b 互为相反数；（4）一个数的倒数等于它的本身，这样的有理数有两个；（5）a2=(-a)2;(6)若|a|>b,则a2>b2,其中正确的个数有（）A 2个 B 3个 C 4个 D 5个4.5.（盐城中考）6. 计算 -（-1）+32-21）（⨯+|-2|= 7.(永州)已知0=+bba a ,则ab ab 的值为 。
8. 2（-3）2-4×（-2）+10 9. (-30)×)1036531(--10 ])1(4[41)25.2(134--⨯⨯---11 若ab>0,a+b<0,且|a|=5,|b|=2,,则a 3+b 2的值是多少？12.有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）三、有理数的计算提高版例1.求和2012...3211...432113211211++++++++++++++例2.已知a 、b 、c 都不等于0，且||||||||abc abc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，求2012(m+n+1)的值。
七年级数学期末真题必刷常考60题(30个考点专练)(原卷版)
期末真题必刷常考60题（30个考点专练）一．正数和负数（共2小题）1．（2022秋•市中区期末）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1，4}，从B到A记为：B→A{﹣1，﹣4}，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C { ，}，C→B{ ，}；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程．（3）若图中另有两个格点M、N，且M→A{1﹣a，b﹣3}，M→N{6﹣a，b﹣2}，则A→N应记为什么？直接写出你的答案．2．（2022秋•黄埔区校级期末）“十一”黄金周期间，某风景区在8天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：日期1日2日3日4日5日6日7日8日1.2﹣0.20.8﹣0.40.60.2■﹣1.2人数变化（单位：万人）（1）10月1日至5日这五天中每天到该风景区游客人数最多的是10月日；（2）若9月30日的游客人数为2万人，求10月1日至6日这六天的游客总人数是多少？（3）若9月30日的游客人数为2万人，10月8日到该风景区的游客人数与9月30日的游客人数持平，那么表中“■”表示的数应该是多少？二．数轴（共3小题）3．（2022秋•广州期末）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC ＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣a+2B．﹣a﹣2C．a+2D．a﹣24．（2023春•杨浦区期末）在数轴上，如果点A所表示的数是﹣1，那么到点A距离等于4个单位的点所表示的数是．5．（2022秋•清苑区期末）有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，若b﹣a＝3，且|a|＝2|b|，则a的值是．三．绝对值（共2小题）6．（2022秋•桐柏县校级期末）如果，那么|1﹣m|﹣|m﹣2|＝．7．（2022秋•丰泽区校级期末）若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图：（1）判断下列各式的符号：a+b0；c﹣b0；c﹣a0（2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a|四．有理数大小比较（共1小题）8．（2022秋•邹城市校级期末）比较大小：﹣﹣（﹣）．五．有理数的加减混合运算（共1小题）9．（2022秋•昌图县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（）A．3﹣4﹣5B．﹣3﹣4﹣5C．3﹣4+5D．﹣3﹣4+5六．有理数的乘法（共1小题）10．（2022秋•黔西南州期末）绝对值小于3的所有整数的积是．七．有理数的乘方（共1小题）11．（2022秋•金华期末）下列对于式子（﹣3）2的说法，错误的是（）A．指数是2B．底数是﹣3C．幂为﹣9D．表示2个﹣3相乘八．有理数的混合运算（共2小题）12．（2022秋•滕州市校级期末）如图所示的程序图，当输入﹣1时，输出的结果是．13．（2023秋•萧县期中）．九．列代数式（共6小题）14．（2022秋•岳阳期末）菜场上西红柿每千克a元，白菜每千克b元，学校食堂买20kg西红柿，30kg白菜共需元．15．（2022秋•阳曲县期末）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要枚棋子．16．（2022秋•惠安县期末）x表示一个两位数，y表示一个三位数，把x放在y的左边组成一个五位数，则这个五位数表示为．17．（2022秋•方城县期末）如图，有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，第n个这种杯子叠放在一起的高度是cm（用含n 的式子表示）．18．（2022秋•东城区期末）如图（图中长度单位：m），阴影部分的面积是m2．19．（2022秋•连山区期末）国庆前夕，我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，同学们倍受鼓舞，开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．（1）用a、b的代数式表示该截面的面积S；（2）当a＝2.2cm，b＝2.8cm时，求这个截面的面积．一十．代数式求值（共2小题）20．（2022秋•泰山区期末）按图中程序运算，如果输入﹣1，则输出的结果是（）A．1B．3C．5D．7 21．（2022秋•肃州区期末）|x﹣1|+|y+3|＝0，则x+y＝．一十一．同类项（共2小题）22．（2022秋•南昌期末）若a m﹣2b n+7与﹣3a4b4是同类项，则m﹣n的值为．23．（2022秋•东洲区期末）若﹣x6y2m与x n+2y4是同类项，那么n+m的值为．一十二．合并同类项（共2小题）24．（2022秋•海港区校级期末）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1B．a+a2＝a3C．3a+2b＝5ab D．7ab﹣6ba＝ab25．（2022秋•凤凰县期末）下列计算正确的是（）A．7x+x＝7x2B．5y﹣3y＝2C．4x+3y＝7xy D．3x2y﹣2x2y＝x2y一十三．去括号与添括号（共1小题）26．（2022秋•温州期末）﹣（a﹣b）去括号得（）A．a﹣b B．﹣a﹣b C．﹣a+b D．a+b一十四．整式的加减（共3小题）27．（2022秋•甘肃期末）教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A和B分别代表的是（）A．整式，合并同类项B．单项式，合并同类项C．系数，次数D．多项式，合并同类项28．（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+6 29．（2022秋•新抚区期末）下列运算中，正确的是（）A．3a+b＝3ab B．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a4C．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b D．﹣2（x﹣4）＝﹣2x﹣8一十五．整式的加减—化简求值（共2小题）30．（2022秋•邻水县期末）先化简，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．31．（2022秋•南昌期末）如果关于x、y的代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，试化简代数式，再求值．一十六．等式的性质（共4小题）32．（2022秋•开福区期末）下列变形中，不正确的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝bB．若，则a＝bC．若a＝b，则D．若ac＝bc，则a＝b33．（2022秋•嘉陵区校级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）A．若a＝b，则＝B．若a＝b，则ac＝bcC．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝bD．若x＝y，则x﹣3＝y﹣334．（2022秋•榕城区期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（）A．若，则a＝bB．若，则3x+4x＝1C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a35．（2022秋•定陶区期末）下列利用等式的性质，错误的是（）A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2bB．由ac＝bc，得到a＝bC．由，得到a＝bD．由a＝b，得到一十七．一元一次方程的定义（共1小题）36．（2022秋•越秀区校级期末）下列方程中，一元一次方程共有（）①；②；③x﹣22＝﹣3；④x＝0．A．1个B．2个C．3个D．4个一十八．一元一次方程的解（共4小题）37．（2022秋•垫江县期末）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3a＝7a﹣8的解互为相反数，则a的值为（）A．﹣2.5B．2.5C．1D．﹣1.2 38．（2022秋•阳春市期末）若x＝1是方程ax+2x＝1的解，则a的值是（）A．﹣1B．1C．2D．﹣39．（2022秋•孝南区期末）关于x的一元一次方程mx+1＝2的解为x＝﹣1，则m＝．40．（2023春•衡南县期末）已知x＝﹣1是方程2x+m＝1的解，则m的值为．一十九．解一元一次方程（共2小题）41．（2022秋•利川市期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（）A．方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1B．方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2+2C．方程去分母得2x+1﹣1＝3xD．方程分母化为整数得42．（2022秋•滕州市校级期末）已知代数式6x﹣12与4+2x的值互为相反数，那么x的值等于．二十．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）43．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，如果每人分3个，则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，下列方程正确的是（）A．3x+20＝4x﹣25B．3x﹣25＝4x+20C．4x﹣3x＝25﹣20D．3x﹣20＝4x+2544．（2022秋•榆次区校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（）A．8x+3＝7x﹣4B．8x﹣3＝7x+4C．＝D．二十一．一元一次方程的应用（共2小题）45．（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．46．（2022秋•五常市期末）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为．二十二．认识立体图形（共1小题）47．（2022秋•沈河区校级期末）若一个棱柱有12个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱长为cm．二十三．点、线、面、体（共1小题）48．（2022秋•陈仓区期末）数学老师可以用粉笔在黑板上画出图形，这个现象说明．二十四．展开图折叠成几何体（共1小题）49．（2022秋•清苑区期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形．其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）阿中总共剪开了几条棱？（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种即可）；（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积．二十五．专题：正方体相对两个面上的文字（共2小题）50．（2022秋•达川区校级期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，2，3，﹣3，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则A＝．51．（2022秋•新会区期末）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．（1）A的对面是，B的对面是，C的对面是；（直接用字母表示）（2）若A＝m+n，B＝|m﹣1|，D＝（3+n）2，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．二十六．直线、射线、线段（共2小题）52．（2022秋•罗湖区期末）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（）A．B．C．D．53．（2022秋•兴山县期末）如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：（1）画线段AB；（2）画∠CDB；（3）找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上．二十七．两点间的距离（共4小题）54．（2022秋•罗湖区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知线段CD＝3cm，则线段AB＝cm．55．（2022秋•禹城市期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：（1）求AD的长度；（2）求DE的长度；（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．56．（2022秋•清苑区期末）课上，老师提出问题：如图，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段AO，BO的中点，当AB＝10时，求线段CD的长度．（1）下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程；思路方法解答过程知识要素未知线段已知线段…因为C，D分别是线段AO，BO的中点，所以CO ＝AO，DO ＝．因为AB＝10，所以CD＝CO+DO＝AO+＝＝．线段中点的定义线段的和、差等式的性质…（2）小明进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段AB的延长线上，CD的长度是否会发生变化？请你帮助小明作出判断并说明理由．57．（2022秋•甘肃期末）阅读感悟：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，线段BD＝2.5cm，请你补全图形，并求CD的长度．以下是小华的解答过程：解：如图2，因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，所以BC＝AB＝cm．因为BD＝2.5cm，所以CD＝BC﹣BD＝cm．小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段AB上，事实上，点D还可以在线段AB的延长线上．完成以下问题：（1）请填空：将小华的解答过程补充完整；（2）根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时CD 的长度．二十八．度分秒的换算（共1小题）58．（2022秋•秦都区校级期末）角度换算：26.8°＝°′．二十九．角的计算（共1小题）59．（2022秋•大足区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．三十．作图—基本作图（共1小题）60．（2022秋•鄄城县期末）已知线段a，b，点A，P位置如图所示．（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．。
七年级数学必考题
七年级数学必考题一、有理数的运算1. 计算：公式解析：去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
所以公式。
然后按照从左到右的顺序计算：公式，公式。
2. 计算：公式解析：先计算指数运算，根据幂的运算法则，公式，公式。
则原式变为：公式。
接着进行乘除运算：公式，公式。
最后进行加减运算：公式。
二、整式的加减1. 化简：公式解析：合并同类项，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
对于公式的同类项：公式。
对于公式的同类项：公式。
所以化简结果为：公式。
2. 先化简，再求值：公式，其中公式解析：先去括号：原式公式。
再合并同类项：对于公式的同类项：公式。
对于公式的同类项：公式。
化简结果为：公式。
当公式时，代入求值：把公式代入公式得：公式。
三、一元一次方程1. 解方程：公式解析：移项，把含有公式的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，移项要变号。
得到公式。
合并同类项：公式。
2. 某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数。
解析：设会下围棋的有公式人，则会下象棋的有公式人。
根据全班人数可列方程：公式。
这里公式是会下棋的人数总和，减去两种棋都会的5人（因为这部分人被重复计算了一次），再加上两种棋都不会的5人就等于全班总人数45人。
合并同类项得：公式，解得公式。
只会下围棋的人数为：会下围棋的人数减去两种棋都会下的人数，即公式人。
四、几何图形初步1. 如图，已知线段公式，点公式在线段公式上，公式，点公式是线段公式的中点，求线段公式的长。
解析：首先求出公式的长度，因为公式，公式，所以公式。
又因为点公式是线段公式的中点，所以公式。
那么公式。
2. 一个角的补角比它的余角的3倍少20°，求这个角的度数。
解析：设这个角的度数为公式度。
七年级初一数学期末复习典型考题必讲
+:进位 -:借位
×:进位 ÷：分别除
6 .3 1 3 3 1 9 4 8 5 0 2 9 1 4 0 2 9 90
基本概念
B
O 95
A
5x
2x
D
C
E
2x2 15x21
A
B 21 9 8
45或15 1
已知BOC= AOC ， BOC=15 2
5x1
5x3y5x3y 538
m2,n1
A
x mx
nx
一元一次方程（一） 解各种类型的
一元一次方程
• (1) 5x＋3＝－7x+9
x 1
•
(2)
3(7 x1) 7x1 73
• (3)
x 3 3x 4 5 15
2 x 5
21 x 5
例：一套家具的成本是5500元，加几成定出 的售价，后来在优惠条件下，按售价的72℅降 低价格售出6336元？
例：某种商品因换季准备打折出售，如
果按定价的七五折出售将赔25元，而
按定价的九折出售将赚20元，这种商
品的定价是多少元？
.某材料供应商对顾客实行如下优惠办法： 一次购买金额不超过1万元，不予优惠；一次购买超 过1万元，但不超过3万元，给予9折优惠；一次购买 超过3万元的，其中3万元9折优惠，超过3万元的部 分8折优惠。 某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买材料 付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他 是一次购买同样数量的材料，可少付金额多少元？
• (4) 3x212x12x1
6
2
4 5 x 9
28
4[3(x1)3]2x3 32 2
x 1.72x 1 0.7 0.3
期末复习(压轴题49题)—2023-2024学年七年级数学下学期期末考点(北师大版)(解析版)
z 期末复习（压轴题49题20个考点）一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S ＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S ＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S ﹣S ＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）A ．52013﹣1B ．52013+1C ．D ． 【答案】D【解答】解：令S ＝1+5+52+53+ (52012)则5S ＝5+52+53+…+52012+52013，5S ﹣S ＝﹣1+52013，4S ＝52013﹣1，则S ＝．故选：D ．二．同底数幂的乘法（共1小题） 2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S ＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S ＝22014﹣1即S ＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设S ＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+…+210+211，将下式减去上式得：2S ﹣S ＝211﹣1，即S ＝211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；z （2）设S ＝1+3+32+33+34+…+3n ①，两边同时乘3得：3S ＝3+32+33+34+…+3n +3n +1②，②﹣①得：3S ﹣S ＝3n +1﹣1，即S ＝（3n +1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n ＝（3n +1﹣1）．三．多项式乘多项式（共1小题）3．如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a +2b ），宽为（a +b ）的大长方形，则需要C 类卡片 张．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +2b ）（a +b ）＝a 2+3ab +2b 2．则需要C 类卡片3张．故答案为：3．四．完全平方公式（共3小题）4．已知a ﹣b ＝b ﹣c ＝，a 2+b 2+c 2＝1，则ab +bc +ca 的值等于 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a ﹣b ＝b ﹣c ＝，∴（a ﹣b ）2＝，（b ﹣c ）2＝，a ﹣c ＝， ∴a 2+b 2﹣2ab ＝，b 2+c 2﹣2bc ＝，a 2+c 2﹣2ac ＝， ∴2（a 2+b 2+c 2）﹣2（ab +bc +ca ）＝++＝， ∴2﹣2（ab +bc +ca ）＝， ∴1﹣（ab +bc +ca ）＝， ∴ab +bc +ca ＝﹣＝﹣． 故答案为：﹣．z 5．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a +b ）6＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +b ）6＝a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 66．回答下列问题（1）填空：x 2+＝（x +）2﹣ ＝（x ﹣）2+（2）若a +＝5，则a 2+＝ ；（3）若a 2﹣3a +1＝0，求a 2+的值． 【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2、2．（2）23． （3）∵a ＝0时方程不成立，∴a ≠0，∵a 2﹣3a +1＝0两边同除a 得：a ﹣3+＝0，移项得：a +＝3，∴a 2+＝（a +）2﹣2＝7． 五．平方差公式的几何背景（共1小题）7．如图，边长为m +4的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为．z【答案】见试题解答内容【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x ，则4x ＝（m +4）2﹣m 2＝（m +4+m ）（m +4﹣m ），解得x ＝2m +4．故答案为：2m +4．六．整式的混合运算（共1小题）8．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ）A ．a ＝bB ．a ＝3bC ．a ＝bD ．a ＝4b 【答案】B 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为a ，∵AD ＝BC ，即AE +ED ＝AE +a ，BC ＝BP +PC ＝4b +PC ，∴AE +a ＝4b +PC ，即AE ﹣PC ＝4b ﹣a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE •AF ﹣PC •CG ＝3bAE ﹣aPC ＝3b （PC +4b ﹣a ）﹣aPC ＝（3b ﹣a ）PC +12b 2﹣3ab ，则3b ﹣a ＝0，即a ＝3b ．解法二：既然BC 是变化的，当点P 与点C 重合开始，然后BC 向右伸展，设向右伸展长度为X ，左上阴影增加的是3bX ，右下阴影增加的是aX ，因为S 不变，∴增加的面积相等，z ∴3bX ＝aX ，∴a ＝3b ．故选：B ．七．函数的图象（共4小题）9．如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）（1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元；（2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元；（3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多；（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解答】解：依题意得A ：（1）当0≤x ≤120，y A ＝30， （2）当x ＞120，y A ＝30+（x ﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x ﹣18；B ：（1）当0≤x ＜200，y B ＝50，当x ＞200，y B ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x ﹣200）＝0.4x ﹣30，所以当x ≤120时，A 方案比B 方案便宜20元，故（1）正确；当x ≥200时，B 方案比A 方案便宜12元，故（2）正确；z 当y ＝60时，A ：60＝0.4x ﹣18，∴x ＝195，B ：60＝0.4x ﹣30，∴x ＝225，故（3）正确；当B 方案为50元，A 方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，将y A ＝40或60代入，得x ＝145分或195分，故（4）错误；故选：C ．10．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选：C ．11．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y 1表示乌龟所行的路程，y 2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；z ④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据图象可知：龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y 1＝20x ﹣200（40≤x ≤60），y 2＝100x ﹣4000（40≤x ≤50），当y 1＝y 2时，兔子追上乌龟，此时20x ﹣200＝100x ﹣4000，解得：x ＝47.5，y 1＝y 2＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．综上可得①③④正确．故答案为：①③④．12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 分钟．【答案】见试题解答内容【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），z 所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．故答案为：15．八．二次函数的图象（共1小题） 13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解答】解：当F 在PD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AD ＝2x （0≤x ≤2），当F 在AD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AF ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+3x （2＜x ≤4），图象为：故选：A ．z 九．平行线的性质（共2小题）14．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到EB 'C 'F 的位置，若∠EFC '＝100°，则∠DFC '的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】A【解答】解：由翻折知，∠EFC ＝∠EFC '＝100°，∴∠EFC +∠EFC '＝200°，∴∠DFC '＝∠EFC +∠EFC '﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A ．15．珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC ＝120°，∠BCD ＝80°，则∠CDE ＝ 度． 【答案】见试题解答内容【解答】解：过点C 作CF ∥AB ，已知珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，∴AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠BCF +∠ABC ＝180°，∴∠BCF ＝60°，∴∠DCF ＝20°，∴∠CDE ＝∠DCF ＝20°．故答案为：20．z十．三角形的面积（共4小题）16．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解答】解：满足条件的C 点有5个，如图平行于AB 的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A ． 17．如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】见试题解答内容【解答】方法1解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S△ABC＝×12＝6，z ∴S △CGE ＝S △ACF ＝×6＝2，S △BGF ＝S △BCF ＝×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故答案为4．方法2设△AFG ，△BFG ，△BDG ，△CDG ，△CEG ，△AEG 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，根据中线平分三角形面积可得：S 1＝S 2，S 3＝S 4，S 5＝S 6，S 1+S 2+S 3＝S 4+S 5+S 6①，S 2+S 3+S 4＝S 1+S 5+S 6② 由①﹣②可得S 1＝S 4，所以S 1＝S 2＝S 3＝S 4＝S 5＝S 6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．18．如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AB 1，BC 1，CA 1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB 1＝S △ABC ＝1，S △A 1AB 1＝S △ABB 1＝1，∴S △A 1BB 1＝S △A 1AB 1+S △ABB 1＝1+1＝2，同理：S △B 1CC 1＝2，S △A 1AC 1＝2，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A 1BB 1+S △B 1CC 1+S △A 1AC 1+S △ABC ＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．z 19．如图，对面积为s 的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B ＝2AB ，B 1C ＝2BC ，C 1A ＝2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1＝2A 1B 1，B 2C 1＝2B 1C 1，C 2A 1＝2C 1A 1顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A n B n ∁n ，则其面积S n ＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接A 1C ；S △AA 1C ＝3S △ABC ＝3S ，S △AA 1C 1＝2S △AA 1C ＝6S ，所以S △A 1B 1C 1＝6S ×3+1S ＝19S ；同理得S △A 2B 2C 2＝19S ×19＝361S ； S △A 3B 3C 3＝361S ×19＝6859S ，S △A 4B 4C 4＝6859S ×19＝130321S ， S △A 5B 5C 5＝130321S ×19＝2476099S ，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n 次后，得到△A n B n ∁n ， 则其面积Sn ＝19n •S ．十一．三角形内角和定理（共3小题）20．已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．上述说法正确的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）z在△BCP中利用内角和定理得到：∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故成立；（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠Az 在△BCP 中利用内角和定理得到：∠P ＝180﹣（∠PBC +∠PCB ）＝180﹣（180°+∠A ）＝90°﹣∠A ，故成立．∴说法正确的个数是2个．故选：C ．21．已知△ABC 中，∠A ＝α．在图（1）中∠B 、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C ＝90°+；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C ＝ ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时n 等分时，（n ﹣1）条等分角线分别对应交于O 1、O 2，…，O n ﹣1，如图（3），则∠BO n ﹣1C ＝ （用含n 和α的代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O 2B 和O 2C 分别是∠B 、∠C 的三等分线，∴∠O 2BC +∠O 2CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝120°﹣α；∴∠BO 2C ＝180°﹣（∠O 2BC +∠O 2CB ）＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α；在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O n ﹣1B 和O n ﹣1C 分别是∠B 、∠C 的n 等分线，∴∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝﹣． ∴∠BO n ﹣1C ＝180°﹣（∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ）＝180°﹣（﹣）＝+．z 故答案为：60°+α；+．22．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝ 度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC ＝∠ABC ，∠A 1CA ＝∠ACD ，∵∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，即∠ACD ＝∠A 1+∠ABC ，∴∠A 1＝（∠ACD ﹣∠ABC ），∵∠A +∠ABC ＝∠ACD ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1＝∠A ，∴∠A 1＝m °，∵∠A 1＝∠A ，∠A 2＝∠A 1＝∠A ， …以此类推∠A 2013＝∠A ＝°． 故答案为：．十二．全等图形（共1小题）23．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°【答案】B【解答】解：在△ABC与△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．z十三．全等三角形的判定（共3小题）24．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；（SSS）∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE（SSS；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD（SAS）；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB（SSS）；故选：D．25．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有 ①②③（填序z号）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∠B＝∠C∴∠1＝∠2（①正确）∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB＝AC，BE＝CF（②正确）z ∴△ACN ≌△ABM （ASA ）（③正确）∴CN ＝BM （④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．26．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝BD ，EN ＝CE ，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①BD ＝CE ；②AM ＝AN ，∠MAN ＝∠BAC ，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中∵∴△CAE ≌△BAD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，z ∵DM ＝BD ，EN ＝CE ，∴BM ＝CN ，在△ABM 和△ACN 中，∵∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴AM ＝AN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，即∠MAN ＝∠BAC ；十四．全等三角形的判定与性质（共12小题） 27．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ）A ．50B ．62C ．65D ．68 【答案】A【解答】解：∵AE ⊥AB 且AE ＝AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥FH ，∴∠EAB ＝∠EF A ＝∠BGA ＝90°，∵∠EAF +∠BAG ＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，z ∴∠EAF ＝∠ABG ，在△EF A 和△AGB 中，，∴△EF A ≌△AGB （AAS ），∴AF ＝BG ，AG ＝EF ．同理证得△BGC ≌△CHD 得GC ＝DH ，CH ＝BG ．故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16故S ＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A ．28．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 2【答案】D【解答】解：过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，z∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，∴四边形EMCN的面积＝a2，故选：D．29．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有（ ）zA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解答】解：∵△ABD 、△BCE 为等边三角形，∴AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，BE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠DBC ，∠PBQ ＝60°，在△ABE 和△DBC 中，， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴①正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA ＝∠BAE +∠BCD ＝∠BDC +∠BCD ＝60°，∴②正确；在△ABP 和△DBQ 中，， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP ＝BQ ，∴△BPQ 为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA ＝60°，∴∠AMC ＝120°，∴∠AMC +∠PBQ ＝180°，∴P 、B 、Q 、M 四点共圆，z ∵BP ＝BQ ，∴，∴∠BMP ＝∠BMQ ，即MB 平分∠AMC ；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D ．30．如图，在正方形ABCD 中，如果AF ＝BE ，那么∠AOD 的度数是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由ABCD 是正方形，得AD ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝90°．在△ABE 和△DAF 中，， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠BAE ＝∠ADF ．∵∠BAE +∠EAD ＝90°，∴∠OAD +∠ADO ＝90°，∴∠AOD ＝90°，故答案为：90°．31．如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE ＝CD ；（2）求证：AE ⊥CD ；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE ；②MB 平分∠AMD ．其中正确的有 ② （请写序号，少选、错选均不得分）．z【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，，∴△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ．（2）∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE ＝∠BCD ， ∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ，又∠CNM ＝∠ANB ，∵∠ABC ＝90°，∴∠NMC ＝90°，∴AE ⊥CD ．（3）结论：②理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．z∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，∴•AE •BK ＝•CD •BJ ，∴BK ＝BJ ，∵作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ，∴BM 平分∠AMD ．不妨设①成立，则△CBM ≌△EBM ，则AB ＝BD ，显然不可能，故①错误．故答案为②．32．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ．z∵∠ABG ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF ＝∠BAD ．∴∠GAE ＝∠EAF ．又∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ．∵EG ＝BE +BG ．∴EF ＝BE +FD（2）（1）中的结论EF ＝BE +FD 仍然成立．（3）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵AB ＝AD ，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．33．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC ，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠F AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠F AC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．z34．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠CBE ＝90°，∠ACD +∠BCE ＝90°． ∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②∵△ADC ≌△CEB ，∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE +CD ＝AD +BE ．解：（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE．又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ．（3）当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE ＝BE ﹣AD （或AD ＝BE ﹣DE ，BE ＝AD +DE 等）．∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD ﹣CE ＝BE ﹣AD ．35．（1）如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）成立．∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，z∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形．由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠F AE，∵BF＝AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．36．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DF＝EF．（2）猜想：DF＝FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．∵DA＝DB，∠ADB＝60°．∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．z ∴DB ＝BA ．∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝AB ＝BG ．在Rt △DBG 和Rt △BAC 中，∴Rt △DBG ≌Rt △BAC （HL ）．∴DG ＝BC ．∵BE ＝EC ，∠BEC ＝60°，∴△EBC 是等边三角形．∴BC ＝BE ，∠CBE ＝60°．∴DG ＝BE ，∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°．∵∠DFG ＝∠EFB ，∠DGF ＝∠EBF ，在△DFG 和△EFB 中，∴△DFG ≌△EFB （AAS ）．∴DF ＝EF ．（3）猜想：DF ＝FE ．过点D 作DH ⊥AB 于H ，连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，则∠DHB ＝90°．∵DA ＝DB ， ∴AH ＝BH ，∠1＝∠HDB ．∵∠ACB ＝90°，∴HC ＝HB ．在△HBE 和△HCE 中，∴△HBE ≌△HCE （SSS ）．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH ．∴HK ⊥BC ．∴∠BKE ＝90°．∵∠ADB ＝∠BEC ＝2∠ABC ，z ∴∠HDB ＝∠BEH ＝∠ABC ．∴∠DBC ＝∠DBH +∠ABC ＝∠DBH +∠HDB ＝90°，∠EBH ＝∠EBK +∠ABC ＝∠EBK +∠BEK ＝90°．∴DB ∥HE ，DH ∥BE ．∴四边形DHEB 是平行四边形．∴DF ＝EF ．37．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：（1）AF ＝BD ；证明如下：∵△ABC 是等边三角形（已知），∴BC ＝AC ，∠BCA ＝60°（等边三角形的性质）；同理知，DC ＝CF ，∠DCF ＝60°；∴∠BCA ﹣∠DCA ＝∠DCF ﹣∠DCA ，即∠BCD ＝∠ACF ；在△BCD 和△ACF 中，， ∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD ＝AF （全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD ≌△ACF （SAS ），则AF ＝BD （全等三角形的对应边相等），所以，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF ＝BD 仍然成立；（3）Ⅰ．AF +BF ′＝AB ；证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD ＝AF ；同理△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′＝AD ，∴AF +BF ′＝BD +AD ＝AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF ＝AB +BF ′；证明如下：在△BCF ′和△ACD 中，，∴△BCF ′≌△ACD （SAS ）， ∴BF ′＝AD （全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF ＝BD ；∴AF ＝BD ＝AB +AD ＝AB +BF ′，即AF ＝AB+BF ′．z 38．操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN ＝NC （如图②）；②DM ∥AC （如图③）．附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM +CN ＝MN证明：如图，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1由已知条件知：∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∴∠MDM 1＝（120°﹣∠MDB ）+∠M 1DC ＝120°．又∵∠MDN ＝60°，∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°．∴△MDN ≌△M 1DN ．∴MN ＝NM 1＝NC+CM 1＝NC +MB ．z （2）附加题：CN ﹣BM ＝MN证明：如图，在CN 上截取CM 1，使CM 1＝BM ，连接MN ，DM 1∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠DBM ＝∠DCM 1＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∵∠BDM +∠BDN ＝60°，∴∠CDM 1+∠BDN ＝60°．∴∠NDM 1＝∠BDC ﹣（∠M 1DC +∠BDN ）＝120°﹣60°＝60°．∴∠M 1DN ＝∠MDN ． ∵ND ＝ND ，∴△MDN ≌△M 1DN ． ∴MN ＝NM 1＝NC ﹣CM 1＝NC ﹣BM，即MN ＝NC ﹣BM ．z 十五．角平分线的性质（共1小题）39．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD ＝OE ＝OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝（AB •OD ）：（BC •OF ）：（AC •OE ）＝AB ：BC ：AC ＝40：50：60＝4：5：6．故答案为：4：5：6．十六．线段垂直平分线的性质（共1小题） 40．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，点D 为AB 中点，且OD ⊥AB ，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为度．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：法一：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC ＝54°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO ＝∠BAC ＝×54°＝27°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝（180°﹣∠BAC ）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝27°，∴∠OBC ＝∠ABC ﹣∠ABO ＝63°﹣27°＝36°，∵AO 为∠BAC 的平分线，AB ＝AC ，∴△AOB ≌△AOC （SAS ），∴OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又∵DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是△ABC 的外心，∴∠OCB ＝∠OBC ＝36°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE ＝CE ， ∴∠COE ＝∠OCB ＝36°， 在△OCE 中，∠OEC ＝180°﹣∠COE ﹣∠OCB ＝180°﹣36°﹣36°＝108°．法二：证明点O 是△ABC 的外心，推出∠BOC ＝108°，根据OB ＝OC ，推出∠OCE ＝36°可得结论．故答案为：108．z 十七．等腰三角形的性质（共4小题）41．如图，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A ．2.5秒B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒 【答案】D【解答】解：设运动的时间为x cm ，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动， 当△APQ 是等腰三角形时，AP ＝AQ ，AP ＝20﹣3x ，AQ ＝2x即20﹣3x ＝2x ，解得x ＝4（cm ）．故选：D ．42．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，…，则∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A，…，∵∠BOC ＝9°，z ∴∠A 1AB ＝18°，∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，…，∴9°n ＜90°，解得n ＜10．由于n 为整数，故n ＝9．故答案为：9．43．如图所示，AOB 是一钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF ，FG ，GH …，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE 相等，∠AOB ＝10°，∴∠GEF ＝∠FGE ＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．44．如图，△ABC 中AB ＝AC ，BC ＝6，点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D ．（1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF＝CD＝CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，∴CD＝CF＝；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，z∵△PBF为等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴FD＝DC，∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED为定值，同理，如图，若P 在BA的延长线上，z作PM ∥AC 的延长线于M ，∴∠PMC ＝∠ACB ，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PMC ，∴PM ＝PB ，根据三线合一得BE ＝EM ，同理可得△PMD ≌△QCD ，所以CD ＝DM ，∵BE ＝EM ，CD ＝DM ，∴ED ＝EM ﹣DM ＝﹣DM ＝+﹣DM ＝3+DM ﹣DM ＝3， 综上所述，线段ED 的长度保持不变．十八．等边三角形的性质（共1小题）45．图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n﹣P n ﹣1的值为（ ）zA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解答】解：P 1＝1+1+1＝3，P 2＝1+1+＝，P 3＝1+++×3＝，P 4＝1+++×2+×3＝， …∴P 3﹣P 2＝﹣＝＝， P 4﹣P 3＝﹣＝＝，则Pn ﹣Pn ﹣1＝＝．故选：C ．十九．轴对称-最短路线问题（共3小题）46．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ）。
初一数学试卷期末必考题型
#### 一、选择题题型特点：选择题通常考察学生对基础知识的掌握程度，包括概念、公式、性质等。
典型题目：1. 已知直角三角形中，一个锐角是30°，那么另一个锐角是（）A. 60°B. 30°C. 90°D. 45°解析：在直角三角形中，两个锐角之和为90°，已知一个锐角是30°，则另一个锐角为90° - 30° = 60°。
答案为A。
2. 下列数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3/4D. 无理数解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，3/4可以表示为两个整数的比，因此是有理数。
答案为C。
#### 二、填空题题型特点：填空题考察学生对公式、概念的理解和应用。
典型题目：1. 若a > b，那么（）A. a + 1 > b + 1B. a - 1 < b - 1C. a + 1 < b + 1D. a - 1 > b - 1解析：若a > b，则a + 1 > b + 1，因为给a和b同时加上同一个正数，不等号方向不变。
答案为A。
2. 下列代数式中，同类项是（）A. 3x^2B. 2x^3C. 5x^2yD. 4xy解析：同类项是指含有相同字母且相同指数的项，3x^2和2x^3都含有x，但指数不同，因此不是同类项。
5x^2y含有x和y，而4xy只含有x和y，因此它们也不是同类项。
答案为D。
#### 三、解答题题型特点：解答题考察学生的综合应用能力，包括对公式的运用、解题步骤的规范、逻辑推理等。
典型题目：1. 解方程：3x - 5 = 2x + 1解析：（1）将方程中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到：3x - 2x = 1 + 5（2）合并同类项，得到：x = 6答案：x = 62. 一辆汽车从甲地开往乙地，以60km/h的速度行驶了2小时，然后以80km/h的速度行驶了3小时。
初一数学重点题型归纳
初一数学重点题型归纳一、有理数相关1. 概念辨析题- 比如说判断“一个数不是正数就是负数”，这就是典型的坑人题。
实际上还有0呢，0既不是正数也不是负数。
这种题就像是在玩文字游戏，一不小心就掉进去了。
- 还有像“绝对值等于它本身的数是正数”，这也是错的，因为0的绝对值也等于它本身呀。
做这种题就像当侦探，得把所有的可能性都考虑到。
2. 有理数运算题- 混合运算那是重点中的重点。
像“计算：- 2^2+(-3)×[(-4)^2 + 2]-(-3)^3÷(-1)^2023”。
这里面要特别注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减。
就像盖房子，得一层一层来，先打好乘方这个地基，不然肯定会算错。
而且符号也很容易出错，负号就像调皮的小怪兽，随时可能把你的答案变得面目全非。
二、整式相关1. 整式的加减- 化简求值题是常考的。
例如“已知A = 3x^2 - 2x+1，B = 5x^2 - 3x - 2，求A - B的值，其中x = 2”。
首先要正确地进行整式的减法运算，把同类项合并好。
这就好比整理玩具，相同类型的玩具（同类项）要放在一起。
然后再把x = 2代入求值。
要是同类项合并错了，那就像把玩具放错了盒子，最后答案肯定不对。
2. 单项式与多项式的概念题- 比如“判断单项式-(2π x^2y)/(3)的系数和次数”。
系数就是数字因数，这里是-(2π)/(3)，次数是所有字母的指数和，x的指数是2，y的指数是1，所以次数是3。
这种题就像给单项式这个小生物做体检，要准确找出它的各种特征。
三、一元一次方程相关1. 解方程题- 像“解方程：3(x - 2)+1 = x-(2x - 1)”。
这一步一步去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就像走迷宫一样，每一步都得小心。
去括号的时候，如果括号前面是负号，括号里的各项都要变号，就像进了一个魔法门，符号都会变。
移项的时候也要注意变号，这是很多同学容易出错的地方，就像搬家的时候东西不能搬错地方。
七年级数学上册期末高频试题必杀(90题)含答案
七年级数学上册期末高频试题必杀（90题）含答案一．选择题1．﹣3的相反数是（）A．﹣B．C．﹣3D．3【答案】D【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：D．2．﹣3的倒数为（）A．﹣B．C．3D．﹣3【答案】A【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：A．3．﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【答案】A【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．故选：A．4．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010【答案】B【解答】解：4 400 000 000＝4.4×109，故选：B．5．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（）A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜bC．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a【答案】C【解答】解集：观察数轴可知：b＞0＞a，且b的绝对值大于a的绝对值．在b和﹣a两个正数中，﹣a＜b；在a和﹣b两个负数中，绝对值大的反而小，则﹣b＜a．因此，﹣b＜a＜﹣a＜b．故选：C．6．如果|a|＝﹣a，下列成立的是（）A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0【答案】D【解答】解：如果|a|＝﹣a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a≤0．故选：D．7．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到百分位）C．0.05（精确到千分位）D．0.0502（精确到0.0001）【答案】C【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确；B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确；C、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误；D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确；本题选择错误的，故选：C．8．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（）A．﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或2【答案】D【解答】解：x的相反数是3，则x＝﹣3，|y|＝5，y＝±5，∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8．则x+y的值为﹣8或2．故选：D．9．下列各组数中，互为相反数的是（）A．2与B．﹣1与（﹣1）2C．（﹣1）2与1D．2与|﹣2|【答案】B【解答】解：∵2与互为倒数，不是互为相反数，故选项A错误，∵（﹣1）2＝1，∴﹣1与（﹣1）2互为相反数，故选项B正确，∵（﹣1）2＝1，∴（﹣1）2与1不是互为相反数，故选项C错误，∵|﹣2|＝2，∴2与|﹣2|不是互为相反数，故选项D错误，故选：B．10．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg【答案】B【解答】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的（25±0.3）kg，则相差0.3﹣（﹣0.3）＝0.6kg．故选：B．11．下列说法不正确的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．一个有理数不是整数就是分数C．1是绝对值最小的数D．0的绝对值是0【答案】C【解答】解；A、0既不是正数，也不是负数，故A正确；B、有理数分为整数和分数，故B正确；c、0是绝对值最小的数，故C错误；D、|0|＝0，故D正确；故选：C．12．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（）A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克【答案】C【解答】解：“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，因为24.75＜24.80＜25.25，故只有24.80千克合格．故选：C．13．若|m﹣3|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为（）A．﹣4B．﹣1C．0D．4【答案】B【解答】解：∵|m﹣3|+（n+2）2＝0，∴m﹣3＝0且n+2＝0，∴m＝3，n＝﹣2．则m+2n＝3+2×（﹣2）＝﹣1．故选：B．14．绝对值大于2且小于5的所有的整数的和是（）A．7B．﹣7C．0D．5【答案】C【解答】解：因为绝对值大于2而小于5的整数为±3，±4，故其和为﹣3+3+（﹣4）+4＝0．故选：C．15．如果收入80元记作+80元，那么支出20元记作（）A．+20元B．﹣20元C．+100元D．﹣100元【答案】B【解答】解：“正”和“负”相对，所以如果+80元表示收入80元，那么支出20元表示为﹣20元．故选：B．16．下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2C．7a+a＝7a2D．3x2y﹣2yx2＝x2y【答案】D【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、系数相加字母部分不变，故B错误；C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、系数相加字母部分不变，故D正确；故选：D．17．单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（）A．﹣π，5B．﹣1，6C．﹣3π，6D．﹣3，7【答案】C【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是﹣3π，6．故选：C．18．已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1B．4C．7D．9【答案】C【解答】解：由题意得：x+2y＝3，∴2x+4y+1＝2（x+2y）+1＝2×3+1＝7．故选：C．19．一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3B．﹣x2+x﹣1C．﹣x2+5x﹣3D．x2﹣5x﹣13【答案】C【解答】解：由题意得：这个多项式＝3x﹣2﹣（x2﹣2x+1），＝3x﹣2﹣x2+2x﹣1，＝﹣x2+5x﹣3．故选：C．20．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【答案】B【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）＝3（2a+5）＝6a+15（cm2）．故选：B．21．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（）A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b【答案】B【解答】解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]＝4a﹣8b．故选：B．22．多项式1+2xy﹣3xy2的次数及最高次项的系数分别是（）A．3，﹣3B．2，﹣3C．5，﹣3D．2，3【答案】A【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数是3，最高次项是﹣3xy2，系数是﹣3；故选：A．23．买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（）元．A．4m+7n B．28mn C．7m+4n D．11mn【答案】A【解答】解：∵一个足球需要m元，买一个篮球需要n元．∴买4个足球、7个篮球共需要（4m+7n）元．故选：A．24．下列去括号正确的是（）A．﹣（a+b﹣c）＝﹣a+b﹣c B．﹣2（a+b﹣3c）＝﹣2a﹣2b+6cC．﹣（﹣a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c D．﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b﹣c【答案】B【解答】解：A、﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c，故不对；B、正确；C、﹣（﹣a﹣b﹣c）＝a+b+c，故不对；D、﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c，故不对．故选：B．25．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元【答案】A【解答】解：设这种商品每件的进价为x元，由题意得：330×0.8﹣x＝10%x，解得：x＝240，即这种商品每件的进价为240元．故选：A．26．右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（）A．22元B．23元C．24元D．26元【答案】C【解答】解：设洗发水的原价为x元，由题意得：0.8x＝19.2，解得：x＝24．故选：C．27．下列各题正确的是（）A．由7x＝4x﹣3移项得7x﹣4x＝3B．由＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1D．由2（x+1）＝x+7去括号、移项、合并同类项得x＝5【答案】D【解答】解：A、由7x＝4x﹣3移项得7x﹣4x＝﹣3，故错误；B、由＝1+去分母得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故错误；C、由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x+9＝1，故错误；D、正确．故选：D．28．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（）个正方体的重量．A．2B．3C．4D．5【答案】D【解答】解：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程2x＝5y；2z＝3y，消去y可得：x＝z，则3x＝5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．故选：D．29．若关于x的方程mx m﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（）A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝2【答案】A【解答】解：由一元一次方程的特点得m﹣2＝1，即m＝3，则这个方程是3x＝0，解得：x＝0．故选：A．30．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝800xC．1000（26﹣x）＝2×800x D．2×1000（26﹣x）＝800x【答案】C【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得1000（26﹣x）＝2×800x，故C答案正确，故选：C．31．解方程1﹣，去分母，得（）A．1﹣x﹣3＝3x B．6﹣x﹣3＝3x C．6﹣x+3＝3x D．1﹣x+3＝3x 【答案】B【解答】解：方程两边同时乘以6得6﹣x﹣3＝3x．故选：B．32．已知关于x的方程4x﹣3m＝2的解是x＝m，则m的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【答案】A【解答】解：由题意得：x＝m，∴4x﹣3m＝2可化为：4m﹣3m＝2，可解得：m＝2．故选：A．33．一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程（）A．x﹣1＝（26﹣x）+2B．x﹣1＝（13﹣x）+2C．x+1＝（26﹣x）﹣2D．x+1＝（13﹣x）﹣2【答案】B【解答】解：设长方形的长为xcm，则宽是（13﹣x）cm，根据等量关系：长方形的长﹣1cm＝长方形的宽+2cm，列出方程得：x﹣1＝（13﹣x）+2，故选：B．34．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B 港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：设A港和B港相距x千米，可得方程：．故选：A．35．下列运用等式的性质，变形正确的是（）A．若x＝y，则x﹣5＝y+5B．若a＝b，则ac＝bcC．若，则2a＝3b D．若x＝y，则【答案】B【解答】解：A、根据等式性质1，x＝y两边同时加5得x+5＝y+5；B、根据等式性质2，等式两边都乘以c，即可得到ac＝bc；C、根据等式性质2，等式两边同时乘以2c应得2a＝2b；D、根据等式性质2，a≠0时，等式两边同时除以a，才可以得＝．故选：B．36．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（）A．3（x﹣2）＝2x+9B．3（x+2）＝2x﹣9C．+2＝D．﹣2＝【答案】A【解答】解：设有x辆车，则可列方程：3（x﹣2）＝2x+9．故选：A．37．已知x2﹣2x﹣8＝0，则3x2﹣6x﹣18的值为（）A．54B．6C．﹣10D．﹣18【答案】B【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0，即x2﹣2x＝8，∴3x2﹣6x﹣18＝3（x2﹣2x）﹣18＝24﹣18＝6．故选：B．38．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60°B．75°C．90°D．95°【答案】C【解答】解：∠ABC+∠DBE+∠DBC＝180°，且∠ABC+∠DBE＝∠DBC；故∠CBD＝90°．故选：C．39．下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、是正方体的展开图，不符合题意；B、是正方体的展开图，不符合题意；C、是正方体的展开图，不符合题意；D、不是正方体的展开图，缺少一个底面，符合题意．故选：D．40．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【答案】C【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．41．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A．69°B．111°C．141°D．159°【答案】C【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°，故选：C．42．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）A．90°B．120°C．160°D．180°【答案】D【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．故选：D．43．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（）A．35°B．70°C．110°D．145°【答案】C【解答】解：∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD＝2∠BOC，∵∠COB＝35°，∴∠DOB＝70°，∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，故选：C．44．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（）A．梦B．的C．国D．中【答案】A【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“们”与“中”是相对面，“我”与“梦”是相对面，“的”与“国”是相对面．故选：A．45．下列图形中，是圆锥侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形．故选：B．46．在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（）A．85°B．75°C．70°D．60°【答案】B【解答】解：8：30，时针指向8与9之间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴此时刻分针与时针的夹角正好是2×30°+15°＝75°．故选：B．47．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC 等于（）A．11cm B．5cm C．11cm或5cm D．8cm或11cm 【答案】C【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：（1）当C点在B点右侧时，如图所示：AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；（2）当C点在B点左侧时，如图所示：AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；所以线段AC等于5cm或11cm，故选：C．48．如图所示，某同学的家在A处，书店在B处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→BC．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【答案】B【解答】解：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．故选：B．二．填空题49．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为．【解答】解：依据题中的计算程序列出算式：12×2﹣4．由于12×2﹣4＝﹣2，﹣2＜0，∴应该按照计算程序继续计算，（﹣2）2×2﹣4＝4，∴y＝4．故答案为：4．50．比较大小：（用“＞或＝或＜”填空）．【解答】解：∵＞，∴＜；故答案为：＜．51．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m＝﹣1，则代数式2ab﹣（c+d）+m2＝．【解答】解：∵ab＝1，c+d＝0，m＝﹣1，∴2ab﹣（c+d）+m2＝2﹣0+1＝3．52．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是．【解答】解：设点A表示的数是x．依题意，有x+7﹣4＝0，解得x＝﹣3．故答案为：﹣353．在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是．【解答】解：在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积必须为正数，即（﹣5）×（﹣3）×5＝75，最小的积为负数，即（﹣5）×（﹣3）×（﹣2）＝﹣30．故答案为：75；﹣30．32．定义a※b＝a2﹣b，则（1※2）※3＝．【解答】解：根据题意可知，（1※2）※3＝（1﹣2）※3＝﹣1※3＝1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2．54．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为．【解答】解：由图可知，输入的值为3时，（32+2）×5＝（9+2）×5＝55．故答案为：55．55．在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是．【解答】解：在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5．56．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝（直接写出答案）．【解答】解：根据题意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0．故答案为：0．57．若单项式2x2y m与x n y3是同类项，则m+n的值是．【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m＝3，则m+n＝5．故答案为：5．58．若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含有ab项，则m＝．【解答】解：原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣a2﹣mab﹣2b2＝2a2﹣（6+m）ab﹣5b2，由于多项式中不含有ab项，故﹣（6+m）＝0，∴m＝﹣6，故填空答案：﹣6．59．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水m3．【解答】解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，故20×2+（x﹣20）×3＝64，故x＝28．故答案是：28．60．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设＝x，则x＝0.3+x，解得x＝，即＝．仿此方法，将化成分数是．【解答】解：法一：设x＝0.45…，则x＝0.45+1/100 x，解得x＝45/99＝5/11法二：设x＝，则x＝0.4545…①，根据等式性质得：100x＝45.4545…②，由②﹣①得：100x﹣x＝45.4545…﹣0.4545…，即：100x﹣x＝45，99x＝45解方程得：x＝＝．故答案为：．61．如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1＝40°，则∠2的度数是．【解答】解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，则∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝50°．故答案为50°．62．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝．【解答】解：∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠CEF＝∠EFG＝56°，∴∠CEF＝∠FEG＝56°，∴∠BEG＝180°﹣∠CEF﹣∠FEG＝180°﹣56°﹣56°＝68°．故答案是：68°．63．把15°30′化成度的形式，则15°30′＝度．【解答】解：∵30′＝0.5度，∴15°30′＝15.5度；故答案为：15.5．64．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是．【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．三．解答题65．计算（1）；（2）．【解答】（1）解：，＝，＝﹣7+18﹣12，＝﹣1；（2）解：，＝，＝，＝．66．先化简，再求值．x﹣2（x﹣y2）+（﹣x+y2），其中x＝﹣2，y＝．【解答】解：原式＝x﹣2x+y2﹣x+y2＝﹣3x+y2，当x＝﹣2，y＝时，原式＝6．67．有这样一道题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y ﹣y3）的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．【解答】解：（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3＝﹣2y3，当y＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）3＝2．因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关．68．已知A＝y2﹣ay﹣1，B＝2y2+3ay﹣2y﹣1，且多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，求a的值．【解答】解：2A﹣B＝2（y2﹣ay﹣1）﹣（2y2+3ay﹣2y﹣1）＝2y2﹣2ay﹣2﹣2y2﹣3ay+2y+1＝（2﹣5a）y﹣1，∵多项式与字母y的取值无关，∴2﹣5a＝0，2＝5a，a＝．69．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？【解答】解：（1）根据题意：规定向东为正，向西为负：则（+15）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（﹣12）+（+3）+（﹣13）+（﹣17）＝﹣25千米，故小王在出车地点的西方，距离是25千米；（2）这天下午汽车走的路程为|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|﹣17|＝87，若汽车耗油量为0.4升/千米，则87×0.4＝34.8升，故这天下午汽车共耗油34.8升．70．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：﹣3﹣2﹣1.501 2.5与标准质量的差值（单位：千克）筐数142328（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）【解答】解：（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3千克，求差即可2.5﹣（﹣3）＝5.5（千克），故最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；（2）列式1×（﹣3）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+3×0+1×2+8×2.5＝﹣3﹣8﹣3+2+20＝8（千克），故20筐白菜总计超过8千克；（3）用（2）的结果列式计算2.6×（25×20+8）＝1320.8≈1321（元），故这20筐白菜可卖1321（元）．71．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a 0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．72．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：第1批第2批第3批第4批第5批5km2km﹣4km﹣3km10km（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km 的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？【解答】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处．（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝24×0.2＝4.8（升）答：在这个过程中共耗油4.8升．（3）[10+（5﹣3）×1.8]+10+[10+（4﹣3）×1.8]+10+[10+（10﹣3）×1.8]＝68（元）答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．73．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案①购买，需付款元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款元（用含x的代数式表示）；（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？【解答】解：（1）方案①需付费为：200×20+（x﹣20）×40＝（40x+3200）元；方案②需付费为：（200×20+40x）×0.9＝（3600+36x）元；（2）当x＝30元时，方案①需付款为：40x+3200＝40×30+3200＝4400元，方案②需付款为：3600+36x＝3600+36×30＝4680元，∵4400＜4680，∴选择方案①购买较为合算．74．某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变．（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为元；（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为元；（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．【解答】解：（1）由题意，得8×（3+0.2）＝25.6（元）故答案是：25.6；（2）由题意，得10（3+0.2）+（15﹣10）（4+0.2）＝53（元）故答案是：53；（3）3×10+4（a﹣10）+0.2a＝4.2a﹣10．∴小华家这个月的水费为（4.2a﹣10）元75．小王家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m）．他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？（2）如果地砖的价格为每平方米k元，木地板的价格为每平方米2k元，那么小王一共需要花多少钱？【解答】解：（1）木地板的面积为2b（5a﹣3a）+3a（5b﹣2b﹣b）＝2b•2a+3a•2b＝4ab+6ab＝10ab（平方米）；地砖的面积为5a•5b﹣10ab＝25ab﹣10ab＝15ab（平方米）；（2）15ab•k+10ab•2k＝15abk+20abk＝35abk（元），答：小王一共需要花35abk元钱．76．为了提高业主的宜居环境，在某居民区的建设中，因地制宜规划修建一个广场（图中阴影部分）．（1）用含m、n的代数式表示该广场的周长；（2）用含m、n的代数式表示该广场的面积；（3）当m＝6，n＝8时，求出该广场的周长和面积．【解答】解：（1）C＝6m+4n；（2）S＝2m×2n﹣m（2n﹣n﹣0.5n）＝4mn﹣0.5mn＝3.5mn；（3）把m＝6，n＝8，代入周长6m+4n＝6×6+4×8＝68，把m＝6，n＝8，代入面积3.5mn＝3.5×6×8＝168．77．小明房间窗户的装饰物如图所示，它们由两个四分之一圆组成（半径相同）．（1）请用代数式表示装饰物的面积（结果保留π）；（2）请用代数式表示窗户能射进阳光部分面积（结果保留π）；（3）若a＝1，b＝，请求出窗户能射进阳光的面积的值（取π＝3）【解答】解：（1）装饰物的面积＝•π•（b）2＝πb2；（2）窗户能射进阳光部分面积＝ab﹣πb2；（3）a＝1，b＝，ab﹣πb2＝1×﹣×3×（）2＝．所以窗户能射进阳光的面积为．78．新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：（1）每本书的高度为cm，课桌的高度为cm；（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含x的代数式表示）；（3）桌面上有55本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有18名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离．【解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；课桌的高度为：86.5﹣3×0.5＝85cm．故答案为：0.5；85；（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，∴高出地面的距离为85+0.5x（cm）．故答案为：（85+0.5x）cm；（3）当x＝55﹣18＝37时，85+0.5x＝103.5cm．故余下的数学课本高出地面的距离是103.5cm．79．某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【解答】解：（1）设书包单价为x元，则随身听的单价为（4x﹣8）元．根据题意，得4x﹣8+x＝452，解得：x＝92，4x﹣8＝4×92﹣8＝360．答：书包单价为92元，随身听的单价为360元．（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6（元）．因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买．在超市B可花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计花费现金：360+2＝362（元）．因为362＜400，所以也可以选择在B超市购买．因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱．80．张新和李明相约到图书城去买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出李明上次所买书籍的原价．【解答】解：设李明上次购买书籍的原价和是x元，由题意得：0.8x+20＝x﹣12，解得：x＝160．答：李明上次购买书籍的原价和是160元．81．“五•一”长假日，弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果弟弟和妈妈每小时行2千米，他们从家里到外婆家需要1小时45分钟，问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？【解答】解：设哥哥追上弟弟需要x小时．由题意得：6x＝2+2x，解这个方程得：．∴弟弟行走了＝1小时30分＜1小时45分，未到外婆家，答：哥哥能够追上．82．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【解答】解：设应先安排x人工作，根据题意得：+＝1化简可得：+＝1，即：x+2（x+2）＝10解可得：x＝2答：应先安排2人工作．83．在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）【解答】解：设支援拔草的有x人，由题意得：31+x＝2[18+（20﹣x）]．84．如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB 的中点，求DE的长．【解答】解：根据题意，AC＝12cm，CB＝AC，所以CB＝8cm，所以AB＝AC+CB＝20cm，又D、E分别为AC、AB的中点，所以DE＝AE﹣AD＝（AB﹣AC）＝4cm．即DE＝4cm．故答案为4cm．85．如图B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．【解答】解：设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，∴AD＝9x，MD＝x，则CD＝4x＝8，x＝2，MC＝MD﹣CD＝﹣4x＝＝×2＝1．86．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．87．如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）（1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+BC；（4）在线段BD上取点P，使P A+PC的值最小．【解答】解：如图所画：（1）（2）（3）（4）．89．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．【解答】解：∵∠FOC＝90°，∠1＝40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD＝180°﹣∠3＝130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2＝∠AOD＝65°．90．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOB＝45°，∵∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣15°＝75°，故答案为75°．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数（ 有理数（一）
AAD
在数轴上A点表示的数为-1， 点表示的数为求A点到原点的距离．
1
D
−3a − b + c
有理数（ 有理数（二）
2 −1499 17 9 − 25 4 −1 9 4 3
5 − 6 3 2 1 5 1
−17 3 10 4 −2 −24
−30 2 24 11 729 − 2
例：一套家具按成本加六成定出售价，后来 一套家具按成本加六成定出售价， 在优惠条件下，按售价的72℅降低价格售出 在优惠条件下，按售价的 降低价格售出 6336元，求这套家具的成本是多少元？这套 元 求这套家具的成本是多少元？ 家具售出后可赚多少元？ 家具售出后可赚多少元？ 例：一套家具按成本加六成定出售价，后来 一套家具按成本加六成定出售价， 在优惠条件下，按售价的72℅降低价格售出 在优惠条件下，按售价的 降低价格售出 可赚836元，求这套家具的成本是多少元？ 可赚 元 求这套家具的成本是多少元？ 例：一套家具的成本是5500元，加几成定出 一套家具的成本是 元 的售价，后来在优惠条件下，按售价的72℅降 的售价，后来在优惠条件下，按售价的 降 低价格售出6336元？ 低价格售出 元
3 3 −1 − 1 + ( −12 ) ÷ 6 × − 7 4
2
2
3
3 27 = −1 − 1 − 2 × − 7 64 2 4 27 = −1 − − × − 7 64
图形认识（ 图形认识（一）
请阅读下列语句： 请阅读下列语句： 射线AB与射线 是两条相同的射线； 与射线BA是两条相同的射线 ① 射线 与射线 是两条相同的射线； 如果C点在线段 点在线段EF上 那么EC<EF； ② 如果 点在线段 上，那么 ； ③ 5′49”的角是锐角； 的角是锐角； 的角是锐角 一条直线可以看成一个平角； ④ 一条直线可以看成一个平角； ⑤ 43°50′=43.5°； ° ° 钝角大于直角，锐角小于直角； ⑥ 钝角大于直角，锐角小于直角； 其中正确的序号为 ③ ⑥ .
1 x= 2 5 x= 21 5 x= 6 9 x=− 28
4 3 x [ ( − 1) − 3] − 2 x = 3 3 2 23
x + 3 x − 0.7 3 x 12 + = + 0.3 0.2 2 5
2x + 5 = 1
一元一次方程（ 一元一次方程（二）
A
x 1.5x 2.5x
AB = 6cm CD = 10cm
∠COD = 20°
B
n(n −1) 2
线段条数 角的个数 交点个数
例：某种商品因换季准备打折出售，如 某种商品因换季准备打折出售， 果按定价的七五折出售将赔25元 果按定价的七五折出售将赔 元，而 按定价的九折出售将赚20元 按定价的九折出售将赚 元，这种商 品的定价是多少元？ 品的定价是多少元？
.某材料供应商对顾客实行如下优惠办法：
一次购买金额不超过1万元，不予优惠；一次购买超 过1万元，但不超过3万元，给予9折优惠；一次购买 超过3万元的，其中3万元9折优惠，超过3万元的部 分8折优惠。 某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买材料 付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他 是一次购买同样数量的材料，可少付金额多少元？
2
16 27 27 169 = −1 + × = −1 + =− 49 64 196 196
有理数（ 有理数（三）
D
D
B
D
整式加减（ 整式加减（一）
-6
整式加减（ 整式加减（二）
(3x
+ 4x −1 − 3x +9x = −5x −1
2 2
) (
)
5− x +3y = 5−(x −3y) = 5−(−3) = 8
m = −2, n =1
A
x
m− x
n+ x
一元一次方程（ 一元一次方程（一）
解各种类型的 一元一次方程
• (1) 5x＋3＝－7x+9
3 7 • (2) 7 ( 3 x + 1) = 7 x − 1 x − 3 3x + 4 = • (3) −5 15
• (4) 3 x + 2
2
2x −1 2x +1 −1 = − 4 5
A
M
C
B
C
图形认识（ 图形认识（四）
116° 100°41′ 111°20′ 45°39′
+:进位 +:进位 -:借位 ×:进位 ÷：分别除
6.31° 33°19′48′′ 50°29′ 140°29′ 90° 90°
基本概念
B O
95°
A
5x
2x
D E A B
C
21
2x +21= 5x −21 98°
60 x = 200 ( km / h )
轨道交通日均客运量为353万人 地面公交日均客运量为1343万人
（2009北京卷）……据统计，2008 2009北京卷 ……据统计 北京卷） 据统计， 10月11日到2009年 日到2009 28日期间 日期间， 年10月11日到2009年2月28日期间， 地面公交日均客运量与轨道交通日 均客运量总和为1696万人次， 1696万人次 均客运量总和为1696万人次，地面 公交日均客运量比轨道交通日均客 运量的4倍少69万人次.在此期间， 69万人次 运量的4倍少69万人次.在此期间， 地面公交和轨道交通日均客运量各 为多少万人次？ 为多少万人次？
打折销售
一、此类型中的量 二、此类型中的等量关系 售价-进价 1、 进 价（成本）1、利润 售价 进价 成本） 、利润=售价 、 成本× 提高率） 提高率 2、 原 价（定价）2、标价 成本×（1+提高率） 定价） 、标价=成本 、 3、售价 标价×折/10 标价× 、售价=标价 3、 售 价 、 4、 利润 利润 、 4、利润率 、利润率= ×100℅ 5、利润率 、 进价 6、折扣 、 售价-进价 售价 进价 = ×100℅ 进价
A
求∠AOB的的 的 的
45°或15°
A
C
B
O
B
O
C
综合题
6， 30 n + 1, n ( n + 1)
x &(1&3) = x &(−1) = 2x +1= 2
1 x= 2
(3| a | −3)x = 6(a −1)
3| a | −3 = 0 a −1≠ 0 x = 2 ( a ≥ 0且a ≠ 1) 2 − 2a x= ( a < 0且a ≠ −1) a +1 3| a | −3 = 0 a = −1方程无解 a = 1方程有无数解 a −1= 0
A
（2008北京卷）……预计高速列车在北京、 2008北京卷）……预计高速列车在北京、 北京卷 预计高速列车在北京 天津间单程直达运行时间为半小时． 天津间单程直达运行时间为半小时．某次 试车时， 试车时，试验列车由北京到天津的行驶时 间比预计时间多用了6分钟， 间比预计时间多用了6分钟，由天津返回 北京的行驶时间与预计时间相同． 北京的行驶时间与预计时间相同．如果这 次试车时， 次试车时，由天津返回北京比去天津时平 均每小时多行驶40千米， 40千米 均每小时多行驶40千米，那么这次试车时 由北京到天津的平均速度是每小时多少千 6 米？ 0.5 + x = 0.5 ( x + 40 )
数学语言
具体 抽象
几何图形（关系）
图形认识（ 图形认识（二）
正方体的展开图
a +8 = b+4 = c +25
a = c +17,b = c + 21 a +b−2c = (c +17) +(c +21) −2c = 38
D
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
D
A C
B D
图形认识（ 图形认识（三）
C
A
C
B
C
0.5或0.25