基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析机械工程

研究生课程论文封面

课程名称：数值分析

论文题目：基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析学生班级；机械工程机械电子系3班

学生姓名：陈大爷

任课教师：王师傅

学位类别：学位课（2学分，32学时）

评分标准及分值选题与参阅资料

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论文内容

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论文表述

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创新性

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评分

论文评语：

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注：此表为每个学生的论文封面，请任课教师填写分项分值

基于Matlab 对多自由度振动系统的数值分析

摘要：多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB 编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。 关键词： 振动系统；多自由度 ；迭代；MATLAB

引言：在工程振动中，研究某系统振动时，首先要求出系统的固有频率。对于多自由度振动系统，计算系统固有频率与主振型主要有2种方法：(1)利用特征矩阵方程式与特征方程式求解；(2)矩阵迭代法求解【1】。MATLAB 作为一个以矩阵和数组为核心计算的软件，对矩阵迭代法中的矩阵迭代计算尤其适合【2】。

本文主要利用MATLAB 对多自由度系统振动矩阵迭代求解。

一.多自由度振动系统 1.多自由度振动系统的数学模型

多自由度振动系统的数学模型【1】：

[]{}[]{}[]{}{}M x C x K x f ++= （1-1）

其中[]M 、[]C 、[]K 、{}f 和{}x 分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向量和响应向量。把这个时域矩阵方程变换到拉氏域（变数为p ），并假定初始位移和初始速度为零，则得：

[][][]{}{}2()()()p M p C K X p F p ++= （1-2）

或 []{}{}()()()Z p X p F p = （1-3）

式中 []()Z p ：动刚度矩阵。

对于N 自由度系统，此方程有2N 个复共轭对出现的特征根：

i i i

i

i i j j λσωλσω*

=-+⎧⎨=--⎩ 其中i σ阻尼因子；i ω为阻尼固有频率。 将i φφλλ==和i 带入公式中，得

i i i φλφ=A （1-4）

二．多自由度振动系统的数值分析

1.多自由度振动系统的迭代运算

记1X 为初始迭代列阵，由展开定理，1X 可以表示为

111φa X =n n a a φφ+++ 22 （1-5）

对上式左乘矩阵A ，由式（1-4）得知第一次迭代后所得的列阵为

n n n a a a AX X φλφλφλ+++== 22211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++n n n a a a φλλφλλφλ12122111 （1-6） 经第二次迭代后，得

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n n n a a a AX X φλλφλλφλ2

122

122112

123 同理第（r-1）次迭代后的结果为

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+==----n r n n r r r r a a a AX X φλλφλλφλ1

121

12

211111

（1-7）

2.矩阵迭代法的实例分析

图1-1 分析图

用矩阵迭代法求解过程如下：

解: 用影响系数法求得系统的质量矩阵和刚度矩阵为

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=m m m M 2000000⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=K K

K K K

K K

K 220

2302 算出K 的逆阵及系统的动力矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡=-5.22122111111

k K ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-5214212111k m M K A 若[]T

X 1111=，第一次迭代后得到

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡==87411k

m AX Y ， ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==000000.1857000.0500000.011312Y Y X

k

k

2k

m

2m

m

重复上述步骤，各次的迭代结果列于表1-1。由表可见，经过6次迭代后已有87X X =，

所以第一阶主振型及基频取为⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡==000000.1860806

.0462598.071X φ， m

k k

m 373087

.0184210

.711

1

1=

=

λω 表1-1 第一阶主振型的迭代

r

1

2

3

4

5

6

7

r X

1 1 1 0.500000 0.875000 1.000000 0.465517 0.862069 1.000000 0.462830 0.860911 1.000000 0.462617 0.860814 1.000000 0.462598 0.860806 1.000000 0.462598 0.860806 1.000000 1λm k 8

7.250000 7.189655 7.184652 7.184245 7.184210

三．利用MATLAB 对多自由度系统振动矩阵迭代求解

1.MATLAB 计算程序

clc; clear;

%建立质量矩阵M ，刚度矩阵K\ syms k m; M=[m 0 0 0 m 0 0 0 2*m]; K=[2*k -k 0 -k 3*k -2*k 0 -2*k 2*k];

%*********迭代第n 阶主阵型******************** %n 为计数器 % n=1;