运筹学_分支定界法
分支定界法
分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。
它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。
它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。
分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。
他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。
分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。
主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。
分支定界法有很多优点。
首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。
这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。
此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。
分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。
然而，分支定界法也有一定的局限性。
有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。
此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。
总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。
它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。
此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。
分支定界法
x1=1 z* 10 x1=0
子域2：x1=0，若去x2= x3=x4=x5=0，则这 个解不是可行解，所以这个子域必须进一步 划分。
z*
2
1
2
x2=1
x2=0
3
x3=1 z* 4 x3=0
4
5
x4=1
6
x4=0
z=1Байду номын сангаас
7
x5=1
8
x5=0
9
10
8
分支定界法——实例
0
x1=1 z* 10 x1=0
分支定界法
MAY
2015年6月
分支定界法——概述
定义
将问题分支为子问题集，以及对这些子问题定界的算法，称为分支定界 算法 对有约束的规划问题，设其可行解为有限个，将可行解集合恰当地进行 分组，然后分批系统地搜索，这就是分支定界法研究的内容
几个术语
① 分枝：将原问题分成几个无整数约束的子问题； ② 定界：每一个子问题可以给原问题划出一个边界；
z* 2
0
x1=1
z* 10 x1=0
1
2
x2=1
x2=0
3
x3=1 z* 4 x3=0
4
5
x4=1
6
x4=0
z=1
7
x5=1
8
x5=0
9
10
12
分支定界法——实例
子域9和10 各变量都已被固定，子域中只含 一个点，而且不是可行点，同时也不可能再 进一步细分了。
x3=1 z* 4 z* 2
0
x1=1
子域3：x1=0，x2=1，若取x3=x4=x5=0，则 这个解 不是可行解，所以这个子域必须进一 步划分。
分支定界
所谓“分支”就是在处理整数规划问题时，逐步加入 对各变量的整数要求限制。先求解整数规划相应的松弛问 题(记为 P0)，若(P0)的最优解不符合整数条件，假设 xi b i 不符合整数条件，于是增加新的约束条件： xi bi 和
xi bi 1， 分别将其加入到松弛问题(P0)中， 从而形成两
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
个分支，称为两个后继子问题。后继子问题的可行域包含 整数规划所有的可行解。根据需要，后继子问题可以产生 类似的分支，从而把原整数规划问题通过分支迭代求出最 优解。
所谓“定界”就是在分支过程中，若某个后继子问题最优 解恰好是整数规划的可行解，则该后继子问题最优目标函 数值成为整数规划的目标函数值的一个“界限” ，从而对 那些最优目标函数值比上述“界限”还差的后继子问题可 以剔除不加考虑。 同时在分支过程中出现更好的 “界限” ， 则用它来取代原来的界限，以提高定界的效率。
则总生产成本的目标函数为：
min z C ( x j ) c j x j k j y j
j 1 j 1
n
n
这里 M 是一个充分大的正数。 所以该产品计划问题可以表 述成如下规划问题：
min z c j x j k j y j
j 1
n
0 x j My j , j 1,2,, n s.t. y j 0 or 1, j 1,2,, n
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
第三节分支定界
（P3） ）
1
3
x1
在（P3）的基础上继续分枝。加入条件x1 ≤ 2 ，x1 ≥3 的基础上继续分枝。加入条件 有下式： 有下式：
m in Z = − x1 − 5 x 2 x1 − x 2 ≥ − 2 5 x1 + 6 x 2 ≤ 30 x1 ≤4 ( P5 ) x1 ≥2 x ≤3 2 x1 ≤2 x1 , x 2 ≥ 0 且为整数
例1：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） ：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z = − x 1 − 5 x 2
x1 − x 2 ≥ −2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 ≤4 x1 x 1 , x 2 ≥ 0 且全为整数
记为（ 记为（P）
是整数 解，且 z*<z6,
增大下界z0 ≤ z2 ≤ z3 ≤ z*, 减少上界+ ∞ ≥ z的目标函数值 分支后计算松弛的线性规划的最优解: 2. 分支后计算松弛的线性规划的最优解:
整数解且目标值小于原有最好整数解的值则替代 原有最好整数解 整数解且目标值大于原有最好整数解的值， 整数解且目标值大于原有最好整数解的值，则删 除该分支 非整数解且目标值小于原有最好整数 整数解的值则继 非整数解且目标值小于原有最好整数解的值则继 续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好整数 整数解的值 非整数解且目标值大于等于原有最好整数解的值 则删除该分支其中无最优整数 整数解 则删除该分支其中无最优整数解
⑵
B
⑴ (18/11,40/11) A C ⑶
（P1）
1 1
（P2）
3
x1
不是整数，故继续分支。 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故继续分支。 ）更小的最优解，
运筹学课件第三节分支定界法
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
分支定界法原理简介
分支定界法原理简介分支定界法是一种广义搜索算法，人工使用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特点，这种算法十分适合计算机进行。
分支定界法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
基本思想：1. 松弛模型的最优解要优于其相应的整数规划的解由于松弛模型可行解的区域（多边形）包含了对应的整数规划的可行解的集合（多边形内的整数点），因而松弛模型的解要优于整数规划的解。
这就是说，如果问题是求最大值的，则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值的，则松弛模型的最优解对应的目标函数值必小于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。
由此可以推出：2. 松弛模型的最优解如果是整数解，则必然也是整数规划的最优解。
3. 松弛模型的最优解如果不是整数解，则如果问题是求最大值的，松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个上界；如果问题是求最小值的，则松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个下界。
我们用例子来说明用分支定界法求解整数规划的步骤。
例 求下面整数规划的最优解1212121212max 4090s.t. 975672070 ,0x ,Z x x x x x x x x x =++≤+≤≥为整数解 从上述各约束条件可见，是一个可行解，对应的松弛模型目标函数值。
本问题是一个求最大值的问题，因而整数规划最优解的目标函数的下界可以取为0，即取整数规划模型最优值的下界(0,0)0Z =0Z =。
先考虑此整数规划问题的线性松弛模型0：其解为 松弛模型0 0123564.811.82Z x x ===由于松弛模型解的目标函数值是整数规划模型最优值的一个上界，可以取此处的0Z 为整数规划模型最优值的一个上界356Z =。
由于该松弛模型解不是整数解，分原问题为和两个子模型：子模型1和子模型2。
14x ≤15x ≥子模型1子模型2 14≤x 15≥x1123494.002.10Z x x ===2123495.001.57Z x x ===子模型1的形式： 121212112max 4090s.t. 975672070 4x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≤≥子模型2的形式：121212112max 4090s.t. 975672070 5x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥≥所求整数规划模型的最优值不会超过这两个子模型的最优值中大的那个，即349。
运筹学基础(中文版第10版)哈姆迪塔哈课后习题答案解析
运筹学基础（中文版第10版）哈姆迪塔哈课后习题答案解析第一章线性规划模型1.1 线性规划的基本概念1.请解释线性规划模型的基本要素以及线性规划模型的一般形式。
答：- 线性规划模型的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件。
- 线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 01.2 线性规划模型的几何解释1.请说明线性规划模型的几何解释。
答：线性规划模型在几何上可以表示为一个多维空间中的凸多面体（可行域），目标函数为该多面体上的一条直线，通过不同的目标函数系数向量c，可以得到相应的最优解点。
通过多面体的边界和顶点，可以确定最优解点的位置。
如果可行域是无限大的，则最优解点可以在其中的任何位置。
1.3 线性规划模型求解方法1.简要说明线性规划模型的两种求解方法。
答：线性规划模型可以通过以下两种方法进行求解： - 图形法：根据可行域的几何特征，通过图形方法确定最优解点的位置。
- 单纯形法：通过迭代计算，逐步靠近最优解点。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
第二章单变量线性规划2.1 单变量线性规划模型1.请给出单变量线性规划模型的一般形式。
答：Max/Min Z = cxSubject to:ax ≤ bx ≥ 02.2 图形解法及其应用1.请解释图形解法在单变量线性规划中的应用。
答：图形解法可以直观地帮助我们确定单变量线性规划模型的最优解。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，可以确定最优解点的位置。
对于单变量线性规划模型，图形解法特别简单，只需要绘制一条直线和一条水平线，求解它们的交点即可得到最优解点的位置。
最优化 分支定界
最优化分支定界最优化问题是指在一组约束条件下，寻找某个或某组变量的值，使得目标函数达到最优（最大或最小）的问题。
这类问题在科学研究、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
分支定界法（Branch and Bound）是一种求解最优化问题的经典算法，尤其适用于整数规划、混合整数规划以及组合优化问题。
以下是该方法的详细说明：1.基本思路（1）分支：将问题的可行解空间不断划分为更小的子集，这个过程称为“分支”。
每个子集代表原问题的一个子问题。
（2）定界：对每个子集（或子问题）计算一个目标函数的界（上界或下界），这称为“定界”。
对于最小化问题，通常会计算每个子集的下界；对于最大化问题，则会计算上界。
（3）剪枝：在每次分支后，通过比较子集的目标函数界和当前已知的最优解，可以判断某些子集不可能包含更优的解，因此这些子集可以被“剪枝”，即不再进一步考虑。
（4）迭代：通过不断重复分支、定界和剪枝的过程，直到找到最优解或确定最优解的范围。
2.优点（1）适用性广：分支定界法可以应用于各种类型的最优化问题，包括整数规划、混合整数规划和组合优化问题。
（2）求解效率高：通过有效的剪枝策略，可以大大减少需要探索的解空间，从而提高求解效率。
（3）可以找到全局最优解：与某些只能找到局部最优解的启发式算法不同，分支定界法可以保证找到全局最优解（在给定时间内）。
3.缺点（1）内存消耗大：由于需要存储大量的子问题和它们的界，分支定界法可能会消耗大量的内存空间。
（2）实现复杂：分支定界法的实现通常比较复杂，需要仔细设计分支策略、定界方法和剪枝策略。
（3）可能受问题特性影响：对于某些特定类型的问题，分支定界法可能不是最有效的求解方法。
例如，当问题的解空间非常复杂或难以有效划分时，分支定界法的效率可能会受到严重影响。
4.应用领域分支定界法被广泛应用于各种实际问题的求解中，如生产调度、物流配送、资源分配、网络设计等。
在这些领域中，通过合理地定义变量、约束条件和目标函数，可以将实际问题抽象为最优化问题，并利用分支定界法进行求解。
分支定界法步骤
分支定界法步骤嘿，咱今儿个就来唠唠这分支定界法的步骤。
你说这分支定界法啊，就像是在一个迷宫里找出口，得一步步来，还得有策略呢！首先呢，得有个目标函数，就像你要去一个地方，得知道往哪儿走才是对的呀。
然后根据这个目标函数，把问题给划分成一个个小部分，这就好比把迷宫分成了好多条路。
接下来，就开始在这些小部分里探索啦。
咱得给每个部分设定一个界限，就像给每条路设个关卡一样，超过了这个界限，咱就先不考虑啦。
这一步可得仔细咯，不能马虎。
然后呢，咱就选择一个最有希望的部分继续深入。
这就像在迷宫里选了一条感觉最有可能走到出口的路。
沿着这条路走啊走，看看能不能找到更好的结果。
要是在这个过程中发现了一个比之前更好的解，那可就太棒啦！赶紧把它记下来，这说不定就是咱要找的答案呢。
有时候啊，走着走着发现路走不通了，咋办呢？那就得换条路试试呀，不能在一棵树上吊死嘛。
这分支定界法啊，就像是一场冒险，每一步都充满了未知和挑战。
你得有耐心，还得有智慧，才能在这复杂的迷宫里找到正确的方向。
你想想看，要是没有这一步步的分析和探索，那岂不是像无头苍蝇一样乱撞呀？那可不行，咱得有方法，有策略地去解决问题。
在实际应用中，这分支定界法可帮了大忙呢！它能帮我们解决很多复杂的问题，让我们能更高效地找到最优解。
所以说呀，这分支定界法的步骤可真不简单，每一步都得认真对待。
就像建房子一样，一砖一瓦都得放好，才能建成坚固的大厦。
咱在运用分支定界法的时候，也得这样，一步一个脚印，踏踏实实地去做，才能得到满意的结果呀！你说是不是这个理儿呢？。
运筹学 第三节 分支定界法
的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
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每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
X1 ，
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说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
《运筹学》试题及答案(二)
《运筹学》试题及答案19、简述线性规划模型主要参数（p11）（1）、价值系数：目标函数中决策变量前的系数为价值系数（2）、技术系数：约束条件中决策变量前的系数（3）、约束条件右边常数项15、简述线性规划解几种可能的结果（情形）（ppt第二章39或89页）（1）.有唯一最优解 (单纯形法中在求最大目标函数的问题时，对于某个基本可行解，所有δj≤0)（2）.无可行解，即可行域为空域，不存在满足约束条件的解，也就不存在最优解了。
（3）.无界解，即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小，一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件（4）.无穷多个最优解，则线段上的所有点都代表了最优解（5）退化问题，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，用图解法无退化解1、简述单纯形法的基本思路（p70）从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
17、简述线性规划中添加人工变量的前提（p85）在系数矩阵中直接找不到初始可行解，进而通过添加人工变量的方法来构造初始可行基，得出初始基本可行解10、简述线性规划对偶问题的基本性质（p122）（1）对称性（2）弱对偶性（3）强对偶性（4）最优性（5）互补松弛型原函数与对偶问题的关系1）求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。
而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件，其约束条件都为大于等于不等式。
2）原问题的目标函数中的价值系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并且原问题的目标函数中的第i个价值系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。
3）原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函数中价值系数。
分支定界算法
分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
分支定界法基本思路
分支定界法基本思路分支定界法（BranchandBound）是一种求解多维空间内最优解的技术，它能够有效地解决数学优化问题，并且在面临一定限制条件的情况下，能够获得较为有效的最优解。
本文将着重介绍分支定界法的基本思路和实施步骤。
1、义问题分支定界法是一种求解多维空间内最优解的技术，它的典型应用有组合优化、资源分配、路径规划等。
组合优化指的是要求设计者给出一系列解决方案，并且找出能够达到目标要求的解决方案，例如求解一个给定的多项式的顶点值问题；资源分配指的是在给定资源限制的情况下，以极小的成本耗费获得最大的收益；路径规划指的是在给定的网络中求一条最优路径，并且求解这条路径的最短路径等。
2、问题抽象分支定界法的基本思路是将复杂的优化问题分解成若干个子问题，逐步进行求解，利用“分支定界”技术来求得该子问题的最小值，然后在各个子问题最小值之间进行比较，得到总体问题的最小值。
在实际应用中，具体步骤是：首先，将原问题抽象为一个数学模型，并将该模型简化为一个多维空间内的数学问题；然后，利用“分支定界”的技术，对其中的多个点进行分枝，即找出最小的点；最后，将该点经过完善的求解后，把它作为最优点，以此作为定界，停止分枝，这个过程重复直至找出全局最优解。
3、实施步骤（1）构造初始子集：构造初始子集是分支定界法的第一步，在构造初始子集时，需要考虑当前子集中变量数量、变量取值范围等因素，构造出一个尽可能大的初始子集。
（2）根据初始子集构造子集树：构造子集树是分支定界法的第二步，根据初始子集构造出一棵完整的子集树，其目的是将多个子集之间的联系关系清楚地表达出来，并且指向每一个子集，使空间复杂度降低。
（3）进行分支：进行分支是分支定界法的第三步，当构造出子集树之后，根据拓扑结构选择一个子集，并将该子集构造成两个新子集，根据确定的拓扑结构继续进行分支并将其更新。
（4）定界：定界是分支定界法的第四步，在分支的时候可以找到一些子集的最小值，其目的是通过对子集最小值的比较，来比较各个子集的最小值，从而可以确定一个全局最小值。
4-3 分枝定界法
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
5
x2 A
1.2x1 + 0.8x2 = 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
2x1 + 2.5x2 = 25
o
C 8.33
10
6
x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
max Z = 4x1 + 3x2
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
4
【例1】用分枝定界法求解 】
max Z = 4 x 1 + 3 x 2 1 . 2 x 1 + 0 . 8 x 2 ≤ 10 2 x 1 + 2 . 5 x 2 ≤ 25 x , x ≥ 0 , 且均取整数 1 2
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）： 先求对应的松弛问题（记为 ）：
第四章 整数规划
4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例
1
4.3 分支定界法
分支定界法
2
原理： 原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 首先，不考虑变量的整数约束， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支” 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 过程得到的整数解中， 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“ 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解， 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 就停止继续分支。这个过程，叫做“定界” “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
分支定界法
以下内容基本为转载内容:1. 模型整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外的添加了部分变量为整数的约束。
2. 求解步骤整数规划求解的基本框架是分支定界法（Branch and bound，BnB）。
首先去除整数约束得到“松弛模型”，使用线性规划的方法求解。
若有某个变量不是整数，在松弛模型上分别添加约束：x<=floor(A)和x>=ceil(A)然后再分别求解，这个过程叫做分支。
当节点求解结果中所有变量都是整数时，停止分支。
这样不断迭代，形成了一棵树。
定界，指的是叶子节点产生后，相当于给问题定了一个下界。
之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界，那就直接pass，不用再进行分支了；每次新产生叶子节点，则更新下界。
3. python算法实现import mathfrom scipy.optimize import linprogimport sysdef integerPro(c,A,b,Aeq,beq,t=1.0E-12):res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,A_eq=Aeq,b_eq=beq)if(type(res.x)is float):#produces error codebestX=[sys.maxsize]*len(c)else:bestX=res.xbestVal=sum([x*y for x,y in zip(c,bestX)])if all(((x-math.floor(x))<t or(math.ceil(x)-x)<t)for x in bestX): return(bestVal,bestX)else:ind=[i for i,x in enumerate(bestX)if(x-math.floor(x))>t and (math.ceil(x)-x)>t][0]newCon1=[0]*len(A[0])newCon2=[0]*len(A[0])newCon1[ind]=-1newCon2[ind]=1newA1=A.copy()newA2=A.copy()newA1.append(newCon1)newA2.append(newCon2)newB1=b.copy()newB2=b.copy()newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))newB2.append(math.floor(bestX[ind]))r1=integerPro(c,newA1,newB1,Aeq,beq)r2=integerPro(c,newA2,newB2,Aeq,beq)if r1[0]<r2[0]:return r1else:return r2例子：输入c=[3,4,1]A=[[-1,-6,-2],[-2,0,0]]b=[-5,-3]Aeq=[[0,0,0]]beq= [0]print(integerPro(c,A,b,Aeq,beq))输出(8.0,array([2.,0., 2.]))其中8是目标函数值，2，0，2是3个整数变量的值。
第15讲 分支定界法
任务分配问题
任务分配问题要求把n项任务分配给n个人，每
个人完成每项任务的成本不同，要求分配总成本最
小的最优分配方案。如下图所示是一个任务分配的
成本矩阵。
任务1 任务2 任务3 任务4 C＝ 人员a 人员b 人员c 人员d
9 6 5 7
2 4 8 6
7 3 1 9
8 7 8 4
任务分配问题的成本矩阵
分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中 满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是 找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解 中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索 解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优 先的方式搜索解空间树。
8 w=12 无效解 × 9 w=9, v=65 ub=65
7 w=4, v=40 ub=64
分支限界法求解0/1背包问题，具体的搜索过程如下： （1）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此，背包
的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目 标函数值为10×10=100；
（2）在结点2，将物品1装入背包，因此，背包的重量为4， 获得的价值为40，目标函数值为40 + (10-4)×6=76，将 结点2加入待处理结点表PT中；在结点3，没有将物品1装 入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0，目标函 数值为10×6＝60，将结点3加入表PT中； （3）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行
分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩 展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有 儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最 优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
运筹学分支定界法知识点
运筹学分支：定界法知识点运筹学是一门研究优化问题的学科，旨在通过系统地分析和解决现实中的决策问题。
在运筹学中，定界法是一种常用的解决复杂问题的方法。
本文将介绍定界法的基本概念、步骤和应用。
1. 定界法的基本概念定界法是一种通过分析问题的上下界来缩小解空间的方法。
它通过不断确定上界和下界，逐步缩小可行解的范围，最终找到最优解或者一个接近最优解的解。
在定界法中，上界是指问题的一个可行解的上界限，即找到的某个可行解的最大值。
下界是指问题的一个可行解的下界限，即找到的某个可行解的最小值。
通过不断更新上下界，定界法可以逐步缩小搜索空间。
2. 定界法的步骤定界法的步骤可以概括为以下几个关键步骤：步骤1：建立数学模型首先，需要将实际问题转化为数学模型。
数学模型是问题的数学描述，包括目标函数和约束条件。
步骤2：确定上界确定上界是通过求解问题的松弛形式来实现的。
松弛形式是问题的一种更简单的形式，它放宽了一些约束条件，使问题更容易求解。
通过求解松弛形式，可以得到问题的上界。
步骤3：确定下界确定下界是通过求解问题的一些特殊情况来实现的。
通过求解特殊情况，可以得到问题的一个可行解，从而确定问题的下界。
步骤4：更新上界和下界根据已知的上界和下界，可以进一步缩小搜索空间。
通过一些启发式的方法，可以逐步更新上界和下界，从而缩小解空间。
步骤5：重复步骤2至步骤4定界法是一个迭代的过程，需要不断重复步骤2至步骤4，直到找到最优解或者接近最优解。
3. 定界法的应用定界法在实际问题中有广泛的应用，特别是在组合优化、排程问题和资源分配问题等领域。
例如，在生产调度问题中，可以使用定界法来确定最短调度时间。
首先，可以通过求解松弛形式来确定一个上界，即一个较短的调度时间。
然后，通过求解特殊情况来确定一个下界，即一个较长的调度时间。
通过不断更新上界和下界，可以逐步缩小调度时间的范围，最终找到最优的调度方案。
另一个例子是在资源分配问题中，可以使用定界法来确定最优的资源分配方案。
运筹学解题方法技巧归纳
运筹学解题方法技巧归纳运筹学是一门研究如何进行有效决策和优化问题求解的学科。
在运筹学中，有许多解题方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种实际问题。
本文将对运筹学解题方法技巧进行归纳总结。
1. 线性规划：线性规划是解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题的方法。
线性规划常用的求解方法有单纯形法和内点法。
在使用单纯形法求解时，我们需要将问题转化为标准形式，并通过迭代的方式逐步逼近最优解。
内点法是一种更加高效的求解方法，它通过迭代算法在可行域的内部寻找最优解。
2. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，将决策变量的取值限制为整数的一种扩展。
整数规划的求解方法有分支定界法和割平面法。
分支定界法通过不断分割问题的可行域，并对每个子问题进行求解，从而逐步逼近最优解。
割平面法则通过添加一系列割平面约束来缩小可行域，并最终找到最优解。
3. 动态规划：动态规划是一种用于求解具有特定结构的最优化问题的方法。
它适用于那些可以通过子问题的最优解来构造整个问题最优解的情况。
动态规划的求解过程包括问题建模、状态定义、状态转移方程的确定和最优解的推导。
通过动态规划，我们可以高效地解决一些需要考虑历史决策和未来影响的问题。
4. 排队论：排队论是研究顾客到达和排队等待的现象以及如何有效组织排队系统的数学方法。
排队论可以用于优化客户服务水平和资源利用率等问题。
常用的排队论模型有M/M/1队列模型、M/M/c队列模型和M/G/1队列模型等。
在解决排队论问题时，我们需要确定顾客到达的规律、服务的规律以及排队系统的性能指标，从而确定最优的排队策略。
5. 调度问题：调度问题是指在给定约束条件下，合理安排任务的顺序和时间，从而使得整个系统达到某个性能指标的最优化问题。
常用的调度问题模型有单机调度、流水线调度和车间调度等。
解决调度问题时，我们需要考虑任务之间的先后关系、任务执行时间和资源约束等因素，通过建立相应的数学模型，找到最优的调度方案。
分支定界法
分支定界法分支定界法是一种基于数学理论的模型，它可以帮助我们做出最优的决策。
其基本概念是，首先通过给定一个目标函数，对其进行最优化，然后根据这个函数的极值，将其分割成不同的子区域，并依次在每个子区域内选择最优的结果。
在分支定界法的实践中，每个子区域内，我们都可以计算出最优的结果。
从此，如果我们需要做出一个明智的决定，就可以从这些子区域中选择最优的结果。
分支定界法的应用非常广泛，可以用于求解某些领域的优化问题，比如机器学习和运筹学等。
在机器学习领域，它可以用于求解某些非线性优化问题；在运筹学领域，它可以用于求解复杂的线性规划和非线性规划问题。
分支定界法的基本原理如下，首先建立一个数学模型，确定其中的目标函数以及约束条件；然后，利用最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法将最优解正确地确定在子空间中，即定界子空间，从而减少最优问题的搜索空间。
分支定界法的实现过程是：首先，根据求解问题，建立目标函数及约束条件；然后，通过最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法来确定最优解在子空间中的正确位置，从而减少搜索空间。
分支定界法具有很多优势，最主要的优势就在于可以大大减少求解最优解的搜索空间，这样可以大大提高求解最优解的效率，也可以有效避免解决问题时出现“陷入局部最优”的情况。
另外，分支定界法还可以更好地提高算法的可靠性，可以有效避免过拟合或欠拟合问题，也可以有效地减少数据的噪声影响。
分支定界法目前已经得到了广泛的应用，比如无约束优化问题、有约束优化问题、最短路径问题、线性规划问题、非线性规划问题等都可以使用分支定界法来求解。
另外，分支定界法还可以用于多目标优化问题，如多目标规划、多约束优化问题、多目标贝叶斯优化问题等。
总之，分支定界法是一种模型，它可以帮助我们做出最优的决策，并可以应用在求解复杂的优化问题中。
它的优势在于可以帮助我们更好地求解最优解，也可以避免出现陷入局部最优的情况，且可以更好地提高算法的可靠性，可以有效的减少计算的噪声影响，因此受到广泛的应用。
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LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
a
15
求（LP2） ,如图所示。
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
( IP
2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
⑵ 5x16x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
A
B 3
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
a
16
求（LP2） ,如图所示。
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
( IP
2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
在C 点取得最优解。 即x1＝2, x2 =10/3, Z(2) ＝56/3≈18.7
⑵ 5x16x2 30
x2
⑴ x1 x2 2
m)
x
j
0,(
j
1.2L
n)
a
1
n
maxZ cj xj j 1
考虑纯 x j
bi
(i 1.2 m)
xj 0,( j 1.2 m)且为整数
整数问题的松弛问题：
判断题：整数问题的最优函 数值总是小于或等于其松弛 问题的最优函数值。
n
max Z c j x j j 1
a
13
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
a
14
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
( IP
2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
a
10
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=？, x2=？
Z(1) ＝？
LP2 x1=？, x2=？
Z(2) ＝？
3
x1
x1 5x2 Z
a
9
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2，有下式：
m ax Z x1 5 x2
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
( IP 1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
1
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x2 2
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路
n
max Z c j x j j 1
考虑纯整数问题：
(
IP)
n
aij x j
j 1
bi
(i 1.2L m)
x
j
0,( j 1.2L
n)且为整数
n
m ax Z c j x j
j 1
整数问题的松弛问题：
(
L
P
)
n j 1
aij x j
bi
(i 1.2L
a
3
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
x1≤1
x1≥2
LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16
＃
LP2 x1=2, x2=10/3
Z(2) ＝18.5
x2≤3
x2≥4
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝17.4
x1≥3
LP22 无可 行解
＃
(LP)
n j 1
aij x j
bi
(i 1.2
m)
x j 0, ( j 1.2 m)
a
2
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
5
x1
6
x2
30
x1
4
x 1 , x 2 0 且 全 为 整 数
记为（IP）
x1
4
x 1 , x 2 0
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2 ⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
a
6
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
即Z 也是（IP）最大值的上限。
m ax Z x1 5 x2
3
x1 x2 2
5
x1 x1
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝17
＃
LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝15.5
＃
a
4
例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
5
x1
6
x2
30
x1
4
x 1 , x 2 0 且 全 为 整 数
A
3
BC
⑶ x1 4
1
1
3
x1
x1 5x2 Z
a
17
LP x1=18/11, x2=40/11
6
x2
30 4
x 1 , x 2 0
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
⑶ x1 4
3
x1
x1 5x2 Z
a
7
LP x1=18/11, x2=40/11
Z(0) ＝19.8
a
8
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
x2
m ax Z x1 5 x2
x2
x1 x2 2
( IP 1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
此时B 在点取得最优解。
1
x1＝1, x2 =3, Z(1)＝16
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2
A B
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
即Z 也是（IP）最大值的上限。
对于x1＝18/11≈1.64，
3
取值x1 ≤1， x1 ≥2
对于x2 =40/11 ≈3.64， 取值x2 ≤3 ，x2 ≥4
先将（LP）划分为（LP1）和 （LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2
(18/11,40/11)
⑶ x1 4
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1 , x 2 0
记为（LP）
a
5
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
x2
m ax Z x1 5 x2
3
x1 x2 2
5 x 1 6 x 2 3 0
a
11
先求（LP1）,如图所示。
m ax Z x1 5 x2
x2
x1 x2 2
( IP 1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
3
x1
1
x 1 , x 2 0 且 为 整 数
1
⑵ 5x16x2 30 ⑴ x1 x2 2
A
⑶ x1 4
1
3
x1
x1 5x2 Z
a
12
先求（LP1）,如图所示。