运筹学3.4 分枝定界法

John Wiley & Sons, 1988
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
思想 : 间接地列举或检验整数规划问题的所有可行解.
有效判别或检验准则的制定、适当限制条件的构造等 对于该方法的效率影响很大 .
一. 一般分枝定界法
分枝实质上是对问题可行解集的划分或分解 . 考虑线性整数规划问题
( IP )
§ 3.4
分枝定界法
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第三章 整数线性规划
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参考文献
马仲蕃 线性整数规划的数学基础 陈志平，徐宗本 计算机数学 Nemhauser G.L. & Wolsey L.A. Integer and Combinatorial Optimization 科学出版社，2001 科学出版社，1998
i i cx z 得 z zIP 的问题 ( IP ). 如果 R R ,则转S 2 , 否则转S 5 .
i
i
S 5 (划分)
设 S
k

( IP )
ij
ij i z z 加到 L 中去 , 并令 j=1 R , j 1,
ij k R j=1

为 S i 的一个划分, 将由此产生的新问题
2. ( IPi )的最优值不会大于( RPi )的最优值 .
i 3. 若( RPi )的一个最优解为 ( IPi )的可行解, 则它也是( IP )的
一个最优解 .
由这些结论和定理2, 可得用于判别可否剪枝的实用条件 .
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Th.3 : 如果下列三个条件中的任何一个得以满足, 则分 枝定界树可以在对应于 S i 的结点处被剪枝 :
i ⅰ) ( RP )不可行 ;
i i i i i S i 且 zR ( xR ) cxR ⅱ) ( RPi ) 的一个最优解 xR 满足 xR ;
ⅲ ) 对( IP )的某个可行解所对应的目标函数值 zIP ,
i i 有 zR ( xR ) zIP .
分枝定界法中的定界就泛是指使用任一策略来寻找、并 不断改进下界 zIP(有时还包括某个上界)的过程 .
S S0
S1
的子结点, 而 S 1 称为 S 11 , S 12 , S 13 的 根结点, 没有子结点的结点为 11 S S 12 叶结点. 从一个结点到任一 子结点之连线称之为一个 121 S 分枝, 称由根结点到某个叶 结点所对应的一组分枝为一条路经 .
S2
S 13 S 122
S 21
OR
z i IP max cx : x S i


这里 S

i k i=1
i z max z 为 S 的一个划分, 则 IP IP . 1i k
划分常常是递归进行的, 如右图所示的分枝定界树.
Def. 称结点 S11, S12 , S13 为结点 S1
父结点.没有父结点的结点称为
Th.2 : 若下列三个条件中的任何一个得以满足, 则分枝定 界树可以在对应于S i的结点处被剪枝 :
(ⅰ) 不可行性 : S i ;
i (ⅱ) 最优性 : 已找到 ( IP )的一个最优解 ;
i ( ⅲ ) 最优值比较 : z IP zIP .
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实际中, 遇到满足条件(ⅰ)与(ⅱ)的机会并不多, 常常通过 求解( IPi )的某个松弛问题或它的弱对偶问题来应用条件( ⅲ ) .
算法, 故也被称为隐含枚举法 .
i ( IP ) 在下面给出的算法描述中, L表示一系列整数规划 i i i z max cx : x S ( IP ) ,其中 , Si S 的集合, 每个 具有形式 IP
i i z z 与L 中每个问题相关联地有一个上界 .. IP
一般分枝定界算法步骤 :
Def. 称 S i : i 1,
且对 i, j 1,
zIP max cx : x S
, k 为 S 的一个划分, 如果
分枝可通过划分描述 :

k i=1
Si S ,
, k , i j, 有 S
i
S .
j
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i ( IP ) Th.1 : 令
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S 22
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以上划分过程的极限情形就是对可行解集合S中所有元素 的枚举. 因此也将分枝定界树称为枚举树. 假定 S 已被划分为子集合 S1,
, S k. 如果可以论证对于
某个 S i (1 i k )没有必要做进一步的划分, 则说分枝定界树 可以在对应于 S i 的结点处被剪枝, 或简称为 S i 可以被剪枝 .
, k . 转S 2 .
i 一般地, 假设刚刚求解了( IP )的一个松弛问题, 则在分枝
运算对应的修正、加细步, 首先划分 S , 取 S
i
i
k j=1
S i j ,然后构造
集合S 的松弛 S
ij
ij R,
k
使得
j=1
S S
ij R
i R
.
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基于上述过程的分枝定界法是一个带有枚举特点的松弛
S 1 (初始化) S 2 (终止检验)
L (IP) , S 0 S , z 0 , zIP .
0 0 如果 L , 则使得 zIP cx 的解 x 即为
原问题的最优解, 终止 .
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S 3 (问题选取与松弛)
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i ( IP ), 并随之将 从L中选取一个问题
i 设( RP )为( IP )的任一个松弛问题, 即 ( RP )的可行解集合 SR
i i
i
i i i i ( x) . 和目标函数 zR ( x)满足: S i SR , 且对任意的 x S ,有 cx zR
因此, 有下列明显结论 : 1. 若( RPi )不可行, 则 ( IPi )也不可行.
i i ( RP ),设该松弛问 ( IP ) 其从L中删除. 求解 的某个松弛问题
i 题的最优值为 zR , 并设 xR 为其一个最优解(若存在的话) .
i
S 4 (剪枝) i zIP , 则转S 2 ; a ) 若 zR
i S i, 则转S 5 ; b ) 若 xR
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i i i i c ) 若 xR S 且 cxR zIP , 则令 zIP cxR , 并从L中删去所有使