2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一(创新实验班)上阶段检测数学(解析版)
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
2022-2023学年安徽省马鞍山市高一4月阶段检测联考生物试题
2022-2023学年安徽省马鞍山市高一4月阶段检测联考生物试题1.科学家发现了一种罕见的嗜热好氧杆菌，长有许多触角（又叫集光绿色体），内含大量叶绿素，具有细胞壁，能与其他细菌争夺阳光来维持生存。
下列相关叙述错误．．的是（）A．该菌能进行光合作用，是自养生物B．该菌与洋葱细胞共有的细胞器是核糖体C．该菌遗传物质的组成中有碱基TD．该菌细胞壁的主要成分是纤维素和果胶2.如图表示人体内几种化学元素和化合物的相互关系，其中①代表化学元素，a，b代表有机小分子物质，A、B代表有机大分子物质。
下列相关叙述错误．．的是（）A．①表示的元素为N、P，a表示核苷酸B．b形成B的场所是核糖体，该过程产生水C．B具有多样性，其结构不同导致功能不同D．人体肝脏细胞中的A主要分布于细胞质3.人体细胞内存在一套复杂的生物膜系统。
下列相关叙述错误．．的是（）A．类囊体薄膜和线粒体内膜具有能量转换的作用B．构成生物膜的蛋白质分子在生物膜上呈对称分布C．生物膜起着划分和分隔细胞和细胞器的作用D．生物膜的基本支架是磷脂双分子层4.下列关于细胞核结构和功能的叙述，正确的是（）A．DNA和蛋白质都是遗传信息的载体B．代谢越旺盛的细胞，核仁越大C．染色质与染色体形态不同，所以不是同一种物质D．核孔与核质之间的物质交换有关，与信息交流无关5.处于一定浓度外界溶液中的动植物细胞可以构成一个渗透系统。
下列相关叙述正确的是（）A．当外界溶液浓度大于细胞内液体浓度时，动物细胞发生渗透失水并出现质壁分离B．将人体红细胞置于某溶液中一段时间后发现细胞吸水涨破，说明该溶液为清水C．将萎蔫的菜叶浸泡在清水后不久菜叶变得硬挺，可以证明细胞液具有一定的浓度D．当细胞处于渗透平衡状态时，细胞膜两侧没有水分子的进出，因此细胞形态保持不变6.荧光反应是指荧光素与氧气反应生成氧化荧光素并且发出荧光的化学反应，该反应需要ATP和荧光素酶的参与。
下列有关叙述错误．．的是（）A．荧光素酶能显著降低荧光素与氧气反应的活化能B．温度和pH均会影响荧光素与氧气的荧光反应速率C．探究ATP不同含量对荧光反应速率的影响时，荧光素酶浓度是无关变量D．一定温度、pH和ATP含量条件下，荧光素酶浓度越高，荧光反应速率越快7.研究发现，举重运动员腹肌细胞中线粒体数量通常比正常人的多。
2020-2021学年安徽省合肥十中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年安徽省合肥十中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5}B. {2,4，6}C. {2,3，4，5，6}D. {1,2，3，4，5，6，8}2. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则￢p( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +1≤0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0C. ∃x ∈R ，x 2−x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥03. 设α的终边上一点(−3,4)，则sinα=( ) A. 4 B. −3 C. 45 D. −354. 若幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，则实数m 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. −2或1 5. 函数y =√log 12(5x −2)的定义域为( )A. (−∞,35]B. (25,35)C. (25,35]D. [35,+∞) 6. 智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y =Asin(x +φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2，经过点(π6,√3)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( )A. y =2sin(x +π6)B. y =−2sin(x +π6) C. y =2sinxD. y =−2sinx 7. 函数f(x)=x−x −12|x|+x 2的大致图象为( )A. B.C. D.8.已知函数f(x)=3−4||x−1|−1|，则函数y=f(x)−lg|x|的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 以上都不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.“xx−2≤0”的充分条件有()A. 0<x<2B. −1<x<2C. 0≤x<2D. 0≤x≤210.已知函数f(x)=cos(2x+π3)，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 当x=kπ−π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)D. 将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y=cos4x11.下列说法不正确的是()A. 函数f(x)=1x在定义域上是减函数B. 函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点C. 已知x>0，y>0，且1x +1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则−4<m<1D. 若f(x)={−x 2+(3a−1)x−8,x≤1ax,x>1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是[1,+∞)12.若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，都有f(x+T)=f(x)+T，则称f(x)为类周期函数，T为f(x)的类周期.则()A. 函数f(x)=x是类周期函数B. 函数f(x)=2x是类周期函数C. 若函数f(x)是类周期为T 的类周期函数，则函数y =f(x)−x 为周期函数D. 若f(x)=sinx +kx 为类周期函数，则k =1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的圆心角为23π，半径为2，则该扇形的面积为______ ．14. 已知函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1，其中a >0，a ≠1.若f(f(−12))=2，则实数a 的值是______ ． 15. 已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x −x ，则f(0)的值为______ ：若函数ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为______ ．16. 已知函数f(x)=x 2+2ax +8(a >0)，集合A ={x|f(x)≤0}，B ={x|f(f(x))≤8}，若A =B ≠⌀，则a 的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|(x +2)(x −3)<0}，B ={x|k +2<x <3−k}．(1)当k =−3时，求A ∪B ；(2)若A ∪B =B ，求实数k 的取值范围．18. 在①tan(π+α)=2，②sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，③2sin(π2+α)=cos(3π2+α)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知_______，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)的值．19.已知函数f(x)=log a(1+x)+log a(1−x)(a>0,a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明：f(x)为偶函数；(3)求关于x的不等式f(x)≥log a(x2+x)的解集．20.已知函数f(x)=2sin(12x+π6)，x∈R．(1)用“五点法”画出函数f(x)一个周期内的图象；(2)求函数f(x)在[−π,π]内的值域；(3)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π,π]内的单调增区间．21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0<t<4)；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=−x23，记窗户的高(点O到BC边的距离)为f(t)．(1)求函数f(t)的解析式；(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？(3)要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？22. 已知函数f(x)=(12)x ，g(x)=f(x)+af(x)是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值(2)用单调性的定义证明：g(x)是减函数；(3)若函数ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2．(ⅰ)求实数m 的取值范围；(ⅰ)求证：x 1+x 2>log 2(2+√3)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，∴A ∩B ={2,4，6}．故选：B ．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号>变为≤即可．故选：A ．命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵x =−3，y =4，∴|OP|=√(−3)2+42=5，∴sinα=y |OP|=45，故选：C ．直接利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题． 4.【答案】A【解析】解：因为幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，所以有{m 2+m −1=0m +1>0， 解得m =1．故选：A ．直接利用幂函数的定义以及幂函数的单调性列出关于m的关系，求解即可．本题考查了幂函数的应用，涉及了幂函数的定义以及幂函数的单调性，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质．5.【答案】C【解析】解：由题意得：0<5x−2≤1，解得：25<x≤35，故选：C．根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】B【解析】解：因为振幅为2，所以A=2，又经过点(π6,√3)，则有2sin(π6+φ)=√3，所以sin(π6+φ)=√32，因为0≤φ<π2，所以φ=π6，故噪音的声波曲线为y=2sin(x+π6)，又反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，所以反向波曲线为y=−2sin(x+π6)．故选：B．利用振幅求出A，然后利用特殊点求出φ，从而得到噪音的声波曲线，再利用反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解，此类问题的一般解法是：利用最值可以求A的值，周期可以求ω的值，特殊点可以求φ的值．7.【答案】D【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=− x+x−12|−x|+(−x)2=−x−x−12|x|+x2=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x>1时，f(x)>0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，结合当x>1时，函数值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值的对应性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为函数y=f(x)−lg|x|的零点个数即为y=f(x)与y=lg|x|的交点个数，在同一直角坐标系中画图可得：即有4个不同的交点，故有4个零点，故选：C．可化为函数y=f(x)与y=lg|x|有几个不同的交点，作函数的图象求解．本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由xx−2≤0，得{x−2<0x≥0，解得：0≤x<2，故xx−2≤0”的充分条件有(0,2)，[0,2)，故选：AC．根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．10.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos(2x +π3)，对于A ：函数f(x)的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：当x =kπ−π6(k ∈Z)时，f(x)取得最大值1，故B 正确；对于C ：函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)，故C 错误；对于D ：将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y =cos4x ，故D 错误；故选：AB ．直接利用余弦型函数的性质的应用判定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 11.【答案】ABD【解析】解：对于A ：函数f(x)=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)为单调减函数，故A 错误；对于B ：当x =2和4时，函数f(x)=2x −x 2满足f(2)=f(4)=f(x 1)=0，如图所示：故函数有且只有三个零点，故B 不正确；对于C ：已知x >0，y >0，且1x +1y =1，若x +y >m 2+3m 恒成立，只需满足(x +y)min =4>m 2+3m ，整理得m 2+3m −4<0，解得−4<m <1，故C 正确；对于D ：若f(x)={−x 2+(3a −1)x −8,x ≤1ax,x >1，在R 上是增函数，故{3a−12≥1a >0a ≥−1+3a −1−8，解得a ∈[1,5]，故D 错误． 故选：ABD ．直接利用函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A ，因为对于非零常数T ，f(x +T)=x +T =f(x)+T 对任何x ∈R 成立，函数f(x)=x 是类周期函数，则A 对；对于B ，假设函数f(x)=2x 是类周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， 2x+T =2x +T ⇒2x ⋅2T =2x +T ⇒2x(2T−1)=2x +T ⇒2T −1=1+T 2x 令x →+∞得：2T −1=0⇒T =0，与假设矛盾，则B 错；对于C ，令f(x)=x ，由A 知f(x)是类周期函数，F(x)=f(x)−x =0，假设非零常数T ，为F(x)的类周期，所以，F(x +T)=F(x)+T ⇒0=0+T ⇒T =0，与假设矛盾，则C 错；对于D ，因为f(x)=sinx +kx 为类周期函数，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， ⇒sin(x +T)+k(x +T)=sin(x)+kx +T ⇒sin(x +T)−sin(x)=(1−k)T ⇒2cos(x +T 2)sin(T 2)=(1−k)T ，由x ∈R ，所以sin(T 2)=0⇒(1−k)T =0⇒1−k =0⇒k −1，则D 对；故选：AD ．由类周期函数定义判断AB ，用举反例法判断C ，用三角函数公式判断D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦函数和差化积公式，理解新定义解题关键，属难题． 13.【答案】4π3【解析】解：由扇形的圆心角为23π，半径为2，所以该扇形的面积为S =12αr 2=12×2π3×22=4π3． 故答案为：4π3．由扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：因为函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1， 所以f(−12)=(14)−12+6=2+6=8， 所以f(f(−12))=f(8)=log a (8+1)=log a 9=2，所以a 2=9，又中a >0，a ≠1，所以a =3．故答案为：3．先利用分段函数的解析式求出f(−12)，再利用f(f(−12))=2，求出a 的值即可．本题考查了函数求值问题，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般会运用分类讨论或是数形结合法求解． 15.【答案】1 −1或12【解析】解：因为g(x)是定义在R 上的奇函数，所以有g(0)=0，因为f(x)+g(x)=2x −x ，所以f(0)+g(0)=1，所以f(0)=1，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以F(−x)=2|−x|−λf(−x)−2λ2=2|x|−λf(x)−2λ2=f(x)，所以F(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2=F(x −2021)，所以ℎ(x)的图象关于x =2021对称，因为ℎ(x)有唯一零点，所以ℎ(2021)=0，即1−λf(0)−2λ2=0，即1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或12．故答案为：1，−1或12．由奇函数的性质可得g(0)=0，从而可求得f(0)，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，可得F(x)为偶函数，可得ℎ(x)的图象关于x=2021对称，由题意可知ℎ(2021)=0，从而可解得λ的值．本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，属于中档题．16.【答案】[2√2,4]【解析】解：因为函数f(x)=x2+2ax+8(a>0)，集合A={x|f(x)≤0}，A≠⌀，所以函数f(x)=x2+2ax+8与x轴有交点，△=(2a)2−4×8≥0，解得a≤−2√2或a≥2√2，B={x|f(f(x))≤8}，令t=f(x)，f(f(x))=f(t)≤8，而f(0)=f(−2a)=8，根据二次函数的对称性有−2a≤t≤0，即−2a≤f(x)≤0，所以B={x|−2a≤f(x)≤0}，而A=B，所以−2a≤(x2+2ax+8)min=f(−a)=8−a2，解得：−2≤a≤4，而a≤−2√2或a≥2√2，所以a的取值范围为[2√2,4]．故答案为：[2√2,4]．根据集合A非空可求出a的一个范围，然后令t=f(x)，可求出f(x)的值域，最后根据A=B建立关系式，即可求出所求．本题主要考查了二次函数的值域，以及复合函数的性质，解题的关键是化简集合B，同时考查了学生的推理能力和换元的思想．17.【答案】解：(1)A={x|−2<x<3}，k=−3时，B={x|−1<x<6}，∴A∪B={x|−2<x<6}；(2)∵A∪B=B，∴A⊆B，∴{k+2≤−23−k≥3，解得k≤−4，∴实数k的取值范围为：(−∞,−4]．【解析】(1)可求出A={x|−2<x<3}，k=−3时求出集合B，然后进行并集的运算即可；(2)根据A∪B=B可得出A⊆B，然后即可得出{k+2≤−23−k≥3，从而解出k的范围即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)若选①，tan(π+α)=tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；若选②，sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，可得：sinα−cosα=cosα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8； 若选③，2sin(π2+α)=cos(3π2+α)，可得2cosα=sinα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；(2)当α为第三象限角时，tanα=2，sin 2α+cos 2α=1，解得sinα=−2√55，cosα=−√55， 所以sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)=−sinα+cosα+sinαcosα=2√55−√55+(−2√55)×(−√55) =2+√55．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)若选①或②或③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，利用诱导公式化简即可求解． 19.【答案】(1)解：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)中，令{1+x >01−x >0，解得−1<x <1； 所以函数f(x)的定义域为(−1,1)．(2)证明：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)，定义域为(−1,1)；任取x ∈(−1,1)，都有f(−x)=log a (1−x)+log a (1+x)=f(x)，所以函数f(x)是定义域(−1,1)上的偶函数．(3)解：不等式f(x)≥log a (x 2+x)等价于log a (1−x 2)≥log a (x 2+x)，当a >1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≥x 2+x， 解得−1<x ≤12，所以不等式的解集为(−1,12].当0<a <1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≤x 2+x ，解得12≤x<1，所以不等式的解集为[12,1)．综上知，a>1时，不等式的解集为(−1,12]；0<a<1时，不等式的解集为[12,1)．【解析】(1)利用对数的定义列不等式组求出解集即可．(2)根据偶函数的定义证明f(−x)=f(x)即可．(3)不等式等价于log a(1−x2)≥log a(x2+x)，讨论a>1和0<a<1时，求出不等式的解集即可．本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．20.【答案】解：(1)列表如下：1 2x+π6π2π3π22πx−π32π35π38π311π3y=2sin(12x+π6)020−20描点连线，可得函数图象如下：(2)∵x∈[−π,π]，∴12x+π6∈[−π3,2π3]，∴f(x)=2sin(12x+π6)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π,π]内的值域为[−√3,2]．(3)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin[12(x−π6)+π6]=2sin(12x+π12)的图象，令2kπ−π2≤12x+π12≤2kπ+π2，可解得4kπ−7π6≤x≤4kπ+5π6，k∈Z，又x∈[−π,π]，可得函数f(x)的单调增区间是[−π,5π6].【解析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．(1)根据已知中函数的解析式，描出函数图象上几个关键点的坐标，进而可得函数f(x)一个周期内的图象；(2)根据已知先求得12x+π6∈[−π3,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解；(3)利用三角函数的平移变换可求函数g(x)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知，2|CD|+|BC|=8，∴|CD|=8−2t2=4−t，∵BC边的长为2t厘米，且点D在抛物线y=−x23上，∴D(t,−t23)，∴f(t)=t23+(4−t)=t23−t+4(0<t<4)．(2)由(1)知，f(t)=t23−t+4=13(t−32)2+134，∵0<t<4，∴当t=32，即2t=3时，f(t)取得最大值，为134，故要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米．(3)f(t)|BC|=t23−t+42t=t6+2t−12≥2√t6⋅2t−12=2√33−12，当且仅当t6=2t，即t=2√3，也即2t=4√3时，f(t)|BC|最小，故要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成4√3厘米．【解析】(1)推导出|CD|=4−t，D(t,−t23)，再写出函数f(t)的解析式，即可；(2)利用配方法对(1)中的函数f(t)进行整理，即可得解；(3)f(t)|BC|=t6+2t−12，再结合基本不等式，即可得解．本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：g(x)是R上的奇函数，则有g(0)=0，所以有f(0)+a f(0)=1+a=0，解得a=−1；(2)证明：g(x)=f(x)+af(x)=12x−2x，设x 1<x 2，则g(x 2)−g(x 1)=(12x 2−2x 2)−(12x 1−2x 1)=(2x 1−2x 2)⋅(122+1)，因为x 1<x 2，所以2x 1−2x 2<0，12x 1+x 2+1>0，则g(x 2)−g(x 1)<0，即g(x 2)<g(x 1)，所以函数g(x)是减函数．(3)(i)解：ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)=122x +22x −2m(12x −2x )=(2x −12x )2+2m(2x −12x )+2，令t =2x −12x ，x >0，则t >0，令μ(t)=t 2+2mt +2，由(2)知g(x)为减函数，令t =−g(x)，则−g(x)为增函数，t 与x 一一对应，故ℎ(x)在(0,+∞)上有2个不同的零点x 1，x 2，即μ(t)在(0,+∞)上有2个不同的零点t 1，t 2，则t 1=−m −√m 2−2，t 2=−m +√m 2−2，故△=4m 2−8>0，−m −√m 2−2>0，解得m <−√2；(ii)证明：由(i)可知t 1+t 2=2m ，t 1t 2=2，又t 1=2x 1−121，t 2=2x 2−122，则t 1t 2=(2x 1−12x 1)(2x 2−12x 2)=2x 1+x 2+12x 1+x 2−(2x 22x 1+2x 12x 2)， 因为2x 22x 1>0，由x 1≠x 2， 所以2x 22x 1+2x 12x 2>2，则t 1t 2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，所以2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，故(2x 1+x 2)2−4⋅2x 1+x 2+1>0，解得2x 1+x 2>2+√3或2x 1+x 2<2−√3，由x 1+x 2>0，则2x 1+x 2>1>2−√3，故2x 1+x 2>2+√3，所以x 1+x 2>log 2(2+√3)．【解析】(1)直接利用奇函数的性质g(0)=0，求解即可；(2)利用函数单调性的定义的步骤进行证明即可；(3)(i)利用换元，令t=2x−1，x>0，则t>0，令μ(t)=t2+2mt+2，转化为μ(t)在(0,+∞)上有2个2x不同的零点t1，t2，求解即可；(ii)利用(i)中的结论，结合基本不等式进行分析证明即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性、单调性的应用，同时考查了函数的零点问题以及不等式的证明，综合性强，属于中档题．。
安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高一(创新实验班)上学期阶段检测数学试题(原卷版)
13.若定义在R上的奇函数 单调递减，则不等式 的解集为________．
14.已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 取值范围为________.
15.已知条件 ；条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________．
16.已知 ，且 ，都有 恒成立，则 的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分
17.已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．
(1)求实数a，b，c 值；
(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.
18.设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立，命题 ：存在 ，使得不等式 成立.
A. B. C. D.
10.（多选题）已知集合 ， ，则（）
A.集合 B.集合 可能是
C.集合 可能是 D.0可能属于B
11.若“ ”为真命题，“ ”为假命题，则集合 可以是（）
A. B. C. D.
12.函数 ，则下列结论正确的是（）
A. 是偶函数B. 的值域是
C.方程 的解为 D.方程 的解为
第Ⅱ卷（非选择题）
⑴求 关于 的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 米，则其腰长 应 什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
21.关于x的不等式 恰有2个整数解，求实数a的取值范围是？
22.设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
A.（1，+∞）B.（0,1]C.（1, ]D. [0, ]
2023-2024学年安徽省马鞍山市中加双语学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省马鞍山市中加双语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p ：∃x ∈Q ，1x 2∈Q ，命题q ：∀x ∈Q ，1x 2∈Q ，则（ ） A ．p 的否定是q B ．p 的否定是∀x ∉Q ，1x 2∉QC ．q 的否定是pD ．q 的否定是∃x ∈Q ，1x 2∉Q 2．已知集合A ＝{x ∈Z |0＜x ＜4}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（﹣1，2）C ．{0，1}D ．{1}3．已知函数y =√x −1+1x−2则函数定义域为（ ） A ．[1，+∞） B ．（2，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，2）∪（2，+∞）4．已知f （x ）＝ax 2+bx 是定义在[a ﹣1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ） A ．−13 B ．13C ．−12D ．125．已知a ＞0，将2√a⋅√a 23表示成分数指数幂，其结果是（ ）A ．a 13B ．a 14C ．a 32D ．a 766．函数f （x ）＝2a x +1﹣1（a ＞0，且a ≠1）恒过定点（ ） A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（0，﹣1）D ．（0，1）7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y ＝2|x |﹣x 2（x ∈R ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若实数x 、y 满足2020x ﹣2020y ＜2021﹣x ﹣2021﹣y ，则（ ）A ．x ﹣y ＜0B ．x ﹣y ＞0C ．yx＜1D ．yx＞1二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝|x |+1C ．y ＝x 2D ．y =−1x10．下列说法中正确的有（ ） A ．“x ＞3”是“x ＞2”的必要条件B ．“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件C ．“x ＝2或x ＝﹣3”是“x 2+x ﹣6＝0”的充要条件D ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要不充分条件 11．设函数f （x ）={ax −1，x ＜a x 2−2ax +1，x ≥a ，当f （x ）为增函数时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．﹣1C ．12D ．112．设f （x ）＝|3x ﹣1|，c ＜b ＜a ，且f （c ）＞f （a ）＞f （b ），则下列关系式中一定不成立的是（ ） A ．3c ＜3bB ．3c ＞3bC ．3c +3a ＞2D ．3c +3a ＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y =1x−2的单调减区间为 ． 14．已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，√22），则f （16）＝ ． 15．若x ＞0时，1−x −16x的最大值是 ． 16．设f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝﹣（x ﹣2）2+2．若方程f （x ）﹣k ＝0有四个解，则实数k 的取值范围是 ．四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）化简求值： （1）(214)12+(0.34)0；（2）(5116)0.5−2×(21027)−23−2×(√2+π)0÷(34)−2；18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象关于原点对称，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x（1）试求f （x ）在R 上的解析式；（2）写出y ＝f （x ）的单调递减区间（无需证明）． 19．（12分）已知函数f(x)={x +2(x ≤1)x 2(1＜x ＜2)2x(x ≥2)；（1）求f [f （0）]；（2）若f （a ）≤5，求a 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=3x 2． （1）求证函数f （x ）在（0，+∞）上是单调减函数； （2）求函数f （x ）在[1，3]上的值域．21．（12分）已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}． （1）求a ，b 的值；（2）当x ＞0，y ＞0，且满足a x+b y=1时，有2x +y ≥k 2+k +2恒成立，求k 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）=2xa +a 2x （a ＞0）是R 上的偶函数．（1）解不等式f （x ）＜174；（2）若关于x 的不等式mf （x ）≤2﹣x +m ﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年安徽省马鞍山市中加双语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p ：∃x ∈Q ，1x 2∈Q ，命题q ：∀x ∈Q ，1x 2∈Q ，则（ ） A ．p 的否定是q B ．p 的否定是∀x ∉Q ，1x 2∉QC ．q 的否定是pD ．q 的否定是∃x ∈Q ，1x 2∉Q 解：p 的否定是∀x ∈Q ，1x 2∉Q ，q 的否定是∃x ∈Q ，1x 2∉Q ． 故选：D ．2．已知集合A ＝{x ∈Z |0＜x ＜4}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（﹣1，2）C ．{0，1}D ．{1}解：∵集合A ＝{x ∈Z |0＜x ＜4}＝{1，2，3}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{1}． 故选：D ．3．已知函数y =√x −1+1x−2则函数定义域为（ ） A ．[1，+∞） B ．（2，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，2）∪（2，+∞）解：要使函数有意义，则{x −1≥0x −2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数的定义域为[1，2）∪（2，+∞）． 故选：D ．4．已知f （x ）＝ax 2+bx 是定义在[a ﹣1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ） A ．−13B ．13C ．−12D ．12解：对于函数知f （x ）＝ax 2+bx ， 依题意得：f （﹣x ）＝f （x ），∴b ＝0． 又 a ﹣1＝﹣2a ，∴a =13， ∴a +b =13． 故选：B ．5．已知a ＞0，将2√a⋅√a 23表示成分数指数幂，其结果是（ ）A ．a 13B ．a 14C ．a 32D ．a 76解：2√a⋅√a 23=2√a⋅a 23=2√a 53=a 2a 56=a 76．故选：D ．6．函数f （x ）＝2a x +1﹣1（a ＞0，且a ≠1）恒过定点（ ） A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（0，﹣1）D ．（0，1）解：令x +1＝0，则x ＝﹣1，f （﹣1）＝2﹣1＝1，所以f （x ）恒过定点（﹣1，1）． 故选：B ．7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y ＝2|x |﹣x 2（x ∈R ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：令y ＝f （x ）＝y ＝2|x |﹣x 2， f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣（﹣x ）2＝2|x |﹣x 2＝f （x ），∴函数f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴称，故排除BD ， ∵f （0）＝20﹣0＝1，故排除C ， 故选：A ．8．若实数x 、y 满足2020x ﹣2020y ＜2021﹣x ﹣2021﹣y ，则（ ）A ．x ﹣y ＜0B ．x ﹣y ＞0C ．yx＜1D ．yx＞1解：实数x 、y 满足2020x ﹣2020y ＜2021﹣x ﹣2021﹣y ， ∴2020x ﹣2021﹣x ＜2021y ﹣2021﹣y ，由于f（t）＝2020t﹣2021﹣t＝2020t−12021t是R上的增函数，f（x）＜f（y），∴x＜y，故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝x B．y＝|x|+1C．y＝x2D．y=−1x解：对于A：f（x）＝x的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x＝﹣f（x），所以f（x）＝x为奇函数，故A错误；对于B：g（x）＝|x|+1的定义域为R，且g（﹣x）＝|﹣x|+1＝|x|+1＝g（x），所以g（x）＝|x|+1为偶函数，当x∈（0，+∞）时g（x）＝x+1，g（x）＝x+1在（0，+∞）上单调递增，即g（x）＝|x|+1在（0，+∞）上单调递增，故B正确；对于C：h（x）＝x2的定义域为R，且h（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝h（x），所以h（x）＝x2为偶函数，因为h（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，故C正确；对于D：F(x)=−1x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且F(−x)=−1−x=1x=−F(x)，所以F(x)=−1x为奇函数，故D错误．故选：BC．10．下列说法中正确的有（）A．“x＞3”是“x＞2”的必要条件B．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件C．“x＝2或x＝﹣3”是“x2+x﹣6＝0”的充要条件D．“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件解：对于A：“x＞3”是“x＞2”的充分条件，故A错误；对于B：x2＞1⇔x＜﹣1或x＞1，即“x＞1”是“x2＞1”充分不必要条件，故B正确；对于C：“x＝2或x＝﹣3”是“x2+x﹣6＝0”的充要条件，故C正确；对于D ：“a ＞b ”是“a 2＞b 2”既不充分又不必要条件，例如a ＝﹣3，b ＝﹣5，a ＞b ，但a 2＝9＜b 2＝25，反之当a ＝﹣1，b ＝0时a 2＞b 2，但a ＜b ， 故D 错误， 故选：BC ． 11．设函数f （x ）={ax −1，x ＜a x 2−2ax +1，x ≥a ，当f （x ）为增函数时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．﹣1C ．12D ．1解：当x ＜a 时，若f （x ）为增函数，则a ＞0，① 当x ≥a 时，f （x ）＝x 2﹣2ax +1为增函数， 因为函数f （x ）为增函数， 所以a ×a ﹣1≤a 2﹣2a ×a +1，② 由①②解得0＜a ≤1， 故选：CD ．12．设f （x ）＝|3x ﹣1|，c ＜b ＜a ，且f （c ）＞f （a ）＞f （b ），则下列关系式中一定不成立的是（ ） A ．3c ＜3bB ．3c ＞3bC ．3c +3a ＞2D ．3c +3a ＜2解：f(x)=|3x−1|={3x −1，x ≥01−3x ，x ＜0，作出f （x ）＝|3x ﹣1|的图象如图所示，由图可知，要使c ＜b ＜a 且f （c ）＞f （a ）＞f （b ）成立，则有c ＜0且a ＞0， 故必有3c ＜1且3a ＞1，又f （c ）﹣f （a ）＞0，即为1﹣3c ﹣（3a ﹣1）＞0，所以3c +3a ＜2．由于函数y ＝3x 为单调递增函数，且c ＜b ＜a ，所以3c ＜3b ，故AD 可能，CB 不可能． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y =1x−2的单调减区间为 （﹣∞，2）、（2，+∞） ．解：根据题意，y =1x−2，其定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）， 设t ＝x ﹣2，t ≠0，则y =1t，则区间（﹣∞，2）上，设t ＝x ﹣2为增函数，y =1t 为减函数，则y =1x−2为减函数， 同理在区间（2，+∞）上，y =1x−2也为减函数， 综合可得：函数y =1x−2的单调减区间为（﹣∞，2）、（2，+∞）； 故答案为：（﹣∞，2）、（2，+∞）．14．已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，√22），则f （16）＝ 14．解：设f （x ）＝x α， ∵y ＝f （x ）的图像过点（2，√22）， ∴√22=2α，解得α=−12，∴f （x ）=x−12，∴f （16）=16−12=14，故答案为：14． 15．若x ＞0时，1−x −16x的最大值是 ﹣7 ． 解：因为x ＞0，所以1−x −16x =1﹣（x +16x ）≤1−2√x ⋅16x =1﹣8＝﹣7， 当且仅当x =16x ，即x ＝4时取等号． 故答案为：﹣7．16．设f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝﹣（x ﹣2）2+2．若方程f （x ）﹣k ＝0有四个解，则实数k 的取值范围是 （﹣2，2） ．解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数且当x ≥0时，f （x ）＝﹣（x ﹣2）2+2， 所以函数f （x ）图象关于y 轴对称， 作出函数f （x ）的图象：若方程f（x）﹣k＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝k有4个交点，由图象可知：﹣2＜k＜2时，即有4个交点．故k的取值范围是（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）化简求值：（1）(214)12+(0.34)0；（2）(5116)0.5−2×(21027)−23−2×(√2+π)0÷(34)−2；解：（1）(214)12+(0.34)0=(94)12+1=32+1=52；（2）(5116)0.5−2×(21027)−23−2×(√2+π)0÷(34)−2=√8116−2×(6427)−23−2÷(43)2=94−2×(34)2−2×(34)2=0．18．（12分）已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x （1）试求f（x）在R上的解析式；（2）写出y＝f（x）的单调递减区间（无需证明）．解：（1）根据题意，f（x）的图象关于原点对称，则f（x）是奇函数，又f（x）的定义域为R，则有f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x2﹣2x，所以f(x)={x2−2x，x≥0−x2−2x，x＜0；（2）由（1）可得f（x）的图象如下所示：由图象可知f （x ）的单调递减区间为（﹣1，1）． 19．（12分）已知函数f(x)={x +2(x ≤1)x 2(1＜x ＜2)2x(x ≥2)；（1）求f [f （0）]；（2）若f （a ）≤5，求a 的取值范围． 解：（1）函数f(x)={x +2(x ≤1)x 2(1＜x ＜2)2x(x ≥2)，则f （0）＝0+2＝2，所以f [f （0）]＝f （2）＝2×2＝4． （2）函数f(x)={x +2(x ≤1)x 2(1＜x ＜2)2x(x ≥2)，由f （a ）≤5可得{a ≤1a +2≤5或{1＜a ＜2a 2≤5或{a ≥22a ≤5，解得a ≤1或1＜a ＜2或2≤a ≤52，所以a 的取值范围是(−∞，52]． 20．（12分）已知函数f(x)=3x 2． （1）求证函数f （x ）在（0，+∞）上是单调减函数； （2）求函数f （x ）在[1，3]上的值域． 解：（1）证明：设0＜x 1＜x 2， 则f （x 1）﹣f （x 2）=3x 12−3x 22=3(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 12x 22， 又由0＜x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）＞0， 则f （x ）在（0，+∞）上是单调减函数；（2）由（1）的结论，函数f （x ）在[1，3]上是单调减函数， 又由f （1）＝3，f （3）=332=13， 则f （x ）在[1，3]上的值域为[13，3]．21．（12分）已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}．（1）求a ，b 的值；（2）当x ＞0，y ＞0，且满足a x +b y =1时，有2x +y ≥k 2+k +2恒成立，求k 的取值范围． 解：（1）不等式ax 2﹣3x +b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，所以1和2是方程ax 2﹣3x +b ＝0的两根且a ＞0，则有{1+2=3a 1×2=b a ，解得a ＝1，b ＝2． （2）由（1）知a x +b y =1为1x+2y =1， 所以2x +y ＝（2x +y ）（1x +2y）＝4+y x +4x y ≥4+2√y x ⋅4x y =8， 当且仅当y ＝2x ，即x ＝2、y ＝4时取“＝”，所以不等式2x +y ≥k 2+k +2恒成立时，8≥k 2+k +2，解得﹣3≤k ≤2，所以k 的取值范围是{k |﹣3≤k ≤2}．22．（12分）已知函数f （x ）=2x a +a 2x （a ＞0）是R 上的偶函数． （1）解不等式f （x ）＜174；（2）若关于x 的不等式mf （x ）≤2﹣x +m ﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，即2x a +a 2x =2−x a +a 2−x 恒成立， 即(1a −a)(2x −2−x )=0恒成立，所以1a −a =0，解得a ＝±1， 又a ＞0，则a ＝1，故f(x)=2x +2−x ＜174⇒(2x )2−174⋅2x +1＜0，设2x ＝t ，则不等式即为t 2−174t +1＜0⇒14＜t ＜4，∴14＜2x ＜4⇒−2＜x ＜2， 所以原不等式解集为（﹣2，2）．（2）原不等式等价于m ≤2−x −12x +2−x −1=1−2x22x −2x +1在（0，+∞）上恒成立，令1﹣2x＝t，则m≤1−2x22x−2x+1=t(t−1)2+t=tt2−t+1=1t+1t−1，在t∈（﹣∞，0）时恒成立，所以m≤(1t+1t−1)min，又t+1t≤−2，当且仅当t＝﹣1时等号成立，则(1t+1t−1)min≥−13．所以m≤−13，即实数m的取值范围为(−∞，−13]．。
树人高级中学2020_2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题时间：120分钟 满分：150分一．单选题（每题5分，共8题）1.若0a b >>,则下面不等式中成立的是( ） A 。
2a ba b ab +>>> B.2a ba ab b +>>> C.2a ba b ab +>>>D 。
2a ba ab b +>>> 2.下面关于集合的表示正确的个数是；; ；． A 。
0B. 1C. 2D 。
33。
已知1(0,)4x ∈，则(14)x x -取最大值时x 的值是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．1104。
命题“所有能被2整除的整数都偶数"的否定（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B 。
所有能被2整除的整数都不是偶数 C 。
存在一个不能被2整除的整数是偶数 D 。
存在一个能被2整除的整数不是偶数5。
已知0,0,22x y x y >>+=，则x y 的最大值为（ ） A.2B 。
1 C.12D.146.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt>;③22x y >;④110x y<<.其中能成为x y >的充分条件的是（ ）A 。
①②B 。
②③C 。
③④D 。
①④7。
函数的最小值是A. 4B. 6C. 8D 。
108.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件,要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A.[]4,8B.[]6,10C 。
[]4%,8%D.[]6%,100%二、不定项选择题（本题共4小题，每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
2020-2021学年安徽省马鞍山二中高三(上)期中(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年安徽省马鞍山二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝2﹣i，若i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．2．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．已知f（﹣1）＝2x+3，则f（6）的值为（）A．15B．7C．31D．174．数列{a n}满足：点（n，a n﹣1）（n∈N，n≥2）在函数f（x）＝2x的图象上，则{a n}的前10项和为（）A．4092B．2047C．2046D．10235．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）6．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．7．给出下面结论：（1）命题p：“∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”；（2）若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；（3）“M＞N”是“lnM＞lnN”成立的充分不必要条件．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．08．向量＝（cosθ，sinθ），＝（，1），则的最大值为（）A．3B．4C．5D．69．一个数的规律如下：在第k个2和第k+1个2之间有2k+1个1（k∈N*），即12111211111211111112，则该数的前2021个数字之和为（）A．2063B．2064C．2065D．206610．已知正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在11．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）12．已知函数，g（x）＝（e是自然对数的底数），若对∀x1∈（0，1），∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为（）A．B．1C．D．二、填空题（共4小题）.13．计算cos xdx＝．14．点（x，y）满足，则的取值范围为．15．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则sin2φ＝．16．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．18．已知函数f（x）＝（sinωx+cosϖx）cosωx﹣（x∈R，ω＞0）．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．19．已知a为实数，函数f（x）＝．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；（2）若f'（﹣1）＝0，对任意x1，x2∈[﹣1，0]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1﹣2S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设函数x，b n＝f（a1）+f（a2）+…+f（a n），T n＝，求证：T n＜2．21．已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y＝f（x）+h（x）在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．选做题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣x．（1）解不等式f（x）＞g（x）；（2）若存在实数x，使不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈R）能成立，求实数m的最小值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z＝2﹣i，若i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据复数的代数形式运算法则，计算即可．解：由复数z＝2﹣i，所以＝＝＝＝+i．故选：B．2．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】分别解关于A，B的集合，求出A，B的交集即可．解：＝{x|0≤x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}，故选：C．3．已知f（﹣1）＝2x+3，则f（6）的值为（）A．15B．7C．31D．17【分析】可根据原函数解析式求出f（x）的解析式，从而带入x＝6即可求出f（6）的值．解：；∴f（x）＝4x+7；∴f（6）＝4×6+7＝31．故选：C．4．数列{a n}满足：点（n，a n﹣1）（n∈N，n≥2）在函数f（x）＝2x的图象上，则{a n}的前10项和为（）A．4092B．2047C．2046D．1023【分析】利用已知条件推出数列的递推关系式，然后判断数列的特征，求解数列的和即可．解：数列{a n}满足：点（n，a n﹣1）（n∈N，n≥2）在函数f（x）＝2x的图象上，可得a n﹣1＝2n，（n∈N，n≥2），数列是等比数列，首项为4，公比为2，所以{a n}的前10项和为：＝212﹣4＝4092．故选：A．5．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）【分析】该函数的导数为二次函数，所以只需导数有两个互异的实数根即可，利用判别式大于零即可求出a的范围．解：易知x∈R，f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）．因为f（x）有极大值和极小值，所以只需f′（x）＝0有两个互异的实数根即可，即△＝4a2﹣4×3×（a+6）＞0，整理得a2﹣3a﹣18＞0，解得x＜﹣3，或x＞6．故选：D．6．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除CD，由lnπ＜2，可排除B，由此得出正确选项．解：因为y＝﹣cos x•ln|x|为偶函数，定义域为{x|x≠0}，故排除C，D；当x＝π时，y＝lnπ＜2，排除B；故选：A．7．给出下面结论：（1）命题p：“∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”；（2）若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；（3）“M＞N”是“lnM＞lnN”成立的充分不必要条件．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0【分析】直接利用命题的否定，充分条件和必要条件和对数的运算的应用判断（1）（2）（3）的结论．解：对于（1）命题p：“∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”故正确；（2）若￢p是q的必要条件，即q⇒￢p⇔p⇒￢q，则p是￢q的充分条件，故正确；（3）“M＞N”是“lnM＞lnN”成立的必要不充分条件，故错误．故选：B．8．向量＝（cosθ，sinθ），＝（，1），则的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据向量模的公式，算出||＝1且||＝2，结合向量的三角形不等式，即可算出当cosθ＝﹣，sinθ＝﹣时，的最大值为4．解：∵向量＝（cosθ，sinθ），＝（，1），∴||＝＝1，||＝＝2根据向量的三角形不等式，得≤|2|+||＝4当且仅当cosθ＝﹣，sinθ＝﹣时，即θ＝﹣+2kπ时，k∈Z的最大值为4故选：B．9．一个数的规律如下：在第k个2和第k+1个2之间有2k+1个1（k∈N*），即12111211111211111112，则该数的前2021个数字之和为（）A．2063B．2064C．2065D．2066【分析】找出数列的规律，判断数字，2021个，中有多少1，多少个2，然后求解即可．解：设第k个2之后，第k+1个2之前的1的个数为a n＝2n+1，则第k个2之前所有数的个数为1+3+……+（2k﹣1）+k＝k2+k个，令k2+k≤2021，解得k≤44，即第44个2之前所有1的和为442＝1936，因为该数共有2021个数位，故第44个2之后还有41个1，所以所有数的和为1936+44×2+41＝2065．故选：C．10．已知正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a7＝a6+2a5，可得，化简解得q＝2．由存在两项a m，a n，使得，可得＝4a1，化为：m+n＝6．又m，n∈N*，即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7＝a6+2a5，∴，化为q2﹣q﹣2＝0，q＞0，解得q＝2．∵存在两项a m，a n，使得，∴＝4a1，化为：m+n＝6．则m＝1，n＝5；m＝2，n＝4；m＝3，n＝3；m＝4，n＝2；m＝5，n＝1．则当m＝2，n＝4时，的最小值为．故选：A．11．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）【分析】不妨设a＜b＜c，利用f（a）＝f（b）＝f（c），结合图象可得a，b，c的范围，即可1求出解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），则0＜2a＜1，1＜2b＜2，16＜2c＜32，2a+2b+2c∈（17，35）故选：C．12．已知函数，g（x）＝（e是自然对数的底数），若对∀x1∈（0，1），∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为（）A．B．1C．D．【分析】求出g（x）在[1，3]上的最小值3，于是问题转化为f（x）≥3在（0，1）上恒成立，分离参数可得k≥3x﹣，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．解：g′（x）＝，故当1≤x＜e时，g′（x）＜0，当e＜x≤3时，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，e）上单调递减，在（e，3]上单调递增，∴g（x）在[1，3]上的最小值为g（e）＝3．∵f（x）＝+≥3在（0，1）上恒成立．即k≥3x﹣在（0，1）上恒成立．设h（x）＝3x﹣（0＜x＜1），则h′（x）＝3﹣＝，令h′（x）＝0可得x＝1﹣或x＝1+（舍去），∴当0＜x＜1﹣时，h′（x）＞0，当1﹣＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上的最大值为h（1﹣）＝3﹣﹣＝4﹣2．∴k≥4﹣2．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算cos xdx＝．【分析】利用微积分基本定理即可求出．解：原式＝＝．故答案为．14．点（x，y）满足，则的取值范围为[，]．【分析】利用分式的几何意义结合直线斜率的定义将转化为直线斜率问题，利用数形结合进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，＝，设k＝，则k＞0，＝＝＝，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OB的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即A（1，2），由得，即B（2，1），则OB的斜率k＝，OA的斜率k＝2，即≤k≤2，设f（k）＝k+，则函数在≤k≤1上递减，在1≤k≤2上递增，则最小值为f（1）＝1+1＝2，f（2）＝2+＝，f（）＝2+＝＝f（2），则2≤f（k）≤，则2≤k+≤，则≤≤，即的取值范围为[，]，故答案为：[，]15．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则sin2φ＝．【分析】先求出平移后的函数的解析式，然后根据正弦函数的对称性即可求解．解：函数向左平移个单位后所得函数的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），因为函数f（x）关于原点对称，则+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，k∈Z，所以sin2φ＝sin（2kπ﹣）＝﹣，（k∈Z），故答案为：﹣．16．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是9＜a＜625．【分析】根据题意可得函数f（x）的图象向左平移2个单位，但函数值依次减半，作出函数图象得，解得a的取值范围．解：因为函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x）所以函数f（x）的图象向左平移2个单位，但函数值依次减半，且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1），因为函数f（x）图象关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数f（x）在（﹣∞，0]上的部分图象，再作出f（x）＝log a x关于原点对称的图象，如图所示，当0＜a＜1时，对称后的图象不可能与f（x）在（﹣∞，0]的图象有3个交点，当a＞1时，要使函数f（x）关于原点对称后得图象与所作的图象有3个交点，则满足，解得9＜a＜625，即实数a的取值范围是（9，625）．故答案为：（9，625）．三、解答题（共70分）17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可．（2）根据复合命题真假关系进行转化求解．解：（1）p：﹣2≤x≤3；又￢q是￢p的必要不充分条件，则p是q的必要不充分条件，则，得m≤1，又m＝1时p⇔q，所以0＜m＜1．（2）当m＝2时，q：﹣4≤x≤4，￢p：x＞3或x＜﹣2．因为￢p∧q是真命题，所以，则x∈（3，4]∪[﹣4，﹣2）．18．已知函数f（x）＝（sinωx+cosϖx）cosωx﹣（x∈R，ω＞0）．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．【分析】（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）＝sin（2ωx+），通过已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．（2）根据正弦定理及（2a﹣c）cos B＝b cos C，求出cos B，进而求出B．得到A的范围．把A代入f（x）根据正弦函数的单调性，求出函数f（A）的取值范围．解：（1），∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，∴，∴∵，，∴∴．19．已知a为实数，函数f（x）＝．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；（2）若f'（﹣1）＝0，对任意x1，x2∈[﹣1，0]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．【分析】（1）先求出函数的导数，因为函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，所以导数等于0有实数解，利用判别式△＞0，即可求出a的范围．（2）根据f'（﹣1）＝0解出a的值，得到函数f（x）的解析式，因为对任意x1，x2∈[﹣1，0]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m恒成立，所以对任意x1，x2∈[﹣1，0]，m大于等于|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，再用导数求出x∈[﹣1，0]时，f（x）的最大值和最小值，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，就可求出m的范围．解：（1）∵∴．由题意知f'（x）＝0有实数解．∴△＝∴，即或．故．（2）∵f'（﹣1）＝0∴即.，令f'（x）＝0得．当x∈[﹣1，0]时，∴．故x1，x2∈[﹣1，0]时，所以，即m的最小值为．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1﹣2S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设函数x，b n＝f（a1）+f（a2）+…+f（a n），T n＝，求证：T n＜2．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解通项公式；（2）利用数列与函数的关系，求出b n，然后利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】（1）解：因为a n＝1﹣2s n，所以a n﹣1＝1﹣2s n﹣1（n≥2），所以a n﹣a n﹣1＝2s n﹣1﹣2s n＝﹣2a n（n≥2），所以又a1＝1﹣2s1，所以．所以数列{a n}为首项为，公比为的等比数列，所以：．（2）证明：因为，所以＝＝．因为，所以＝＝．21．已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y＝f（x）+h（x）在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．【分析】（1）根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）方法一：记g（x）＝（x﹣2）e x﹣x2+2≥0在R上恒成立，由g′（1）＝﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立．由此利用导数性质能求出a能取得的最大整数．方法二：g（x）＝（x﹣2）e x﹣x2+2≥0，当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，即（x﹣1）e x≥x﹣2，先证明∀x∈R，e x≥x+1，由此利用导数性质能求出a能取得的最大整数．解：（1）f（x）＝（x﹣2）e x，f'（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，令f'（x）＝0，得x＝1，当x＞1时，f'（x）＞0；当x＜1时，f′（x）＜0，∴x＝1是f（x）的唯一的极小值点，无极大值点，故f（x）的极小值为﹣e，无极大值，（2）方法一：记，由题意知g'（x）＝（x﹣1）e x﹣ax+2≥0在R上恒成立，由g'（1）＝﹣a+2≥0，可得g'（x）≥0的必要条件是a≤2，若a＝2，则g'（x）＝（x﹣1）e x﹣2x+2＝（x﹣1）（e x﹣2），当In2＜x＜1时，g'（x）＜0，故a＜2，下面证明：当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，令h（x）＝（x﹣1）e x﹣x+2，则h'（x）＝xe x﹣1，记H（x）＝xe x﹣1，则H（x）＝（x+1）e x，从而（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，故a能取得的最大整数为1，方法二：记由题意知g'（x）＝（x﹣1）e x﹣ax+2≥0在R上恒成立，∵g'（1）＝﹣a0，+2≥0∴g'（x）≥0的必要条件是a≤2，若a＝2，则g'（x）＝（x﹣1）e x﹣2x+2＝（x﹣1）（e x﹣2），当In2＜x＜1时，g'（x）＜0，故a＜2，下面证明：当a＝1时，不等式（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，即（x﹣1）e x≥x﹣2，先证明∀x∈R，e x≥x+1，令k（x）＝e x﹣x﹣1，则k'（x）＝e x﹣1，当x＞0时，k'（x）＞0，k（x）单调递增；当x＜0时k'（x）＜0，k（x）单调递减．∴k（x）min＝k（0）＝0，∴e x≥x+1恒成立，当x≥1时，（x﹣1）e x≥（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1＞x﹣2，当x＜1时，由e x≥x+1得e﹣x≥﹣x+1＞0，即，∴，综上所述，（x﹣1）e x﹣x+2≥0恒成立，故a能取得的最大整数为1．选做题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做按所做的第一题计分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）由sin2α+cos2α＝1，能求出曲线C1的普通方程，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）依题意设A（），B（），将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，求出ρ1＝3，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2＝7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2＝1，∴把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入（x﹣1）2+y2＝1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2＝1，化简，得ρ＝2cosθ．（Ⅱ）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3＝0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3＝0，解得ρ1＝3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝3﹣．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣x．（1）解不等式f（x）＞g（x）；（2）若存在实数x，使不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈一、选择题）能成立，求实数m的最小值．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为m≥（|x﹣2|+|+1|）min，根据绝对值的性质求出m的最小值即可．解：（1）由题意不等式f（x）＞g（x）可化为|x﹣2|+x＞|x+1|，当x＜﹣1时，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；当x＞2时，x﹣2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3，综上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．（2）由不等式m﹣g（x）≥f（x）+x（m∈R）可得m≥|x﹣2|+|x+1|，∴m≥（|x﹣2|+|+1|）min，∵|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|＝3，∴m≥3，故实数m的最小值是3．。
安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测(10月)英语试题(原卷版)
马鞍山二中2023-2024学年高二年级阶段检测(10月)英语试题英语第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What will the speakers probably do?A. Have a walk.B. Ride a bike.C. Go swimming.2. Who is the man talking to?A. His doctor.B. His teacher.C. His classmate.3. Why does the woman prefer to go by car?A. It is convenient.B. It is cheap.C. It is fast.4. What time does it probably get dark in summer according to the man?A. At5:00 p. m.B. At 6:00 p. m.C. At 7:00 p. m.5. What are the speakers talking about?A. The long working hours.B. An accident near the bridge.C. Traffic problems caused by construction.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟：听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
2020-2021学年安徽省亳州一中高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省亳州一中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4} 2．设P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在一次函数y＝﹣x+1的图像上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c4．已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若A∪B＝B，则m＝（）A．1B．2C．3D．55．已知命题p“∃x∈N，x2≤0”，则￢p为（）A．∃x∉N，x2≤0B．∃x∈N，x2＞0C．∀x∉N，x2＞0D．∀x∈N，x2＞0 6．已知x＞2，则函数的最小值是（）A．6B．8C．12D．167．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|﹣2≤x≤2} 8．当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合中有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{﹣1，，1}．B＝{x|ax2＝1，a≥0）．若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为（）A．{1}B．{1，4}C．{0，1，4}D．{0，1，2，4}二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）9．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}，下列关系正确的是（）A．（1，2）∈B B．A＝B C．0∉A D．（0，0）∉B 10．已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（）A．﹣2B．C．D．11．设a＞b＞c，使不等式恒成立的充分条件是（）A．m≤4B．m≤3C．m≥4D．m≤512．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.分）13．已知集合A＝{1，a，3}，B＝{a+1，a+2，a2﹣1}，若3∈A∩B，则实数a＝．14．已知命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．15．已知命题“∀x∈R，ax2+4x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是．16．已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）若正数a，b满足+＝1，求a+b的最小值；（2）若正数x，y满足x+y+8＝xy，求xy的最小值．18．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，非空集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩（∁R A）的元素中只有两个整数，求实数m的取值范围．19．（1）已知a，b，c均为正数，求证：++≥3．（2）已知正数x，y满足+＝1，若a≤x+y恒成立，求a的取值范围．20．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3（w+）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为（4+）元/件．（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？21．已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．（1）若不等式y＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值；（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围．22．设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝a﹣，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）求不等式y＜（2a+2）x﹣b﹣2的解集．参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4}【分析】利用全集求出M的补集，然后求出与N的交集．解：全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则∁U M＝{3，4}，所以（∁U M）∩N＝{3}．故选：B．2．设P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在一次函数y＝﹣x+1的图像上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用点与直线的关系即可判断出结论．解：“x＝2且y＝﹣1”⇒“点P在一次函数y＝﹣x+1的图像上”，反之不成立，例如取P（﹣1，0），∴“x＝2且y＝﹣1”是“点P在一次函数y＝﹣x+1的图像上”的充分不必要条件，故选：A．3．设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵b＜a，d＜c，∴设b＝﹣1，a＝﹣2，d＝2，c＝3选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项C，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立故选：A．4．已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若A∪B＝B，则m＝（）A．1B．2C．3D．5【分析】可求出集合A＝{2，3}，根据A⊆B即可得出m＝3．解：∵集合A＝＝{2，3}，且B＝{m，2，8}，A∪B＝B，∴m＝3，故选：C．5．已知命题p“∃x∈N，x2≤0”，则￢p为（）A．∃x∉N，x2≤0B．∃x∈N，x2＞0C．∀x∉N，x2＞0D．∀x∈N，x2＞0【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p“∃x∈N，x2≤0”，则￢p为：∀x∈N，x2＞0．故选：D．6．已知x＞2，则函数的最小值是（）A．6B．8C．12D．16【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：因为x＞2，所以x﹣2＞0，所以y＝＝+8+8＝16，当且仅当即x＝3时取等号，故选：D．7．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|﹣2≤x≤2}【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合∁R N中，又在集合∁R M中，即∁R N∩∁R M．又M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴图中阴影部分表示的集合是：∁R N∩∁R M＝{x|﹣2≤x≤2}∩{x|x＜1，或x＞3}＝{x|﹣2≤x＜1}，故选：A．8．当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合中有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{﹣1，，1}．B＝{x|ax2＝1，a≥0）．若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为（）A．{1}B．{1，4}C．{0，1，4}D．{0，1，2，4}【分析】根据A与B构成“全食”，或构成“偏食”，即可求出a的值．解：∵B＝{x|ax2＝1，a≥0}，∴若a＝0，则B＝∅，满足B⫋A，此时A与B构成“全食”．若a＞0，则B＝{x|x2＝，a≥0}＝{，﹣}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4．综上：a＝1或a＝4或a＝0．故a的取值集合为{0，1，4}．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）9．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}，下列关系正确的是（）A．（1，2）∈B B．A＝B C．0∉A D．（0，0）∉B 【分析】先求出集合A，集合B，再根据元素与集合的关系进行判断．解：∵集合A＝{y}y≥1}＝[1，+∞），∴C正确，∵集合B是由抛物线y＝x2+1上的点组成的集合，∴A正确，B错误，D正确，故选：ACD．10．已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（）A．﹣2B．C．D．【分析】求解一元二次方程化简p，由p是q的必要不充分条件，可得方程ax+1＝0的解集是方程x2+x﹣6＝0的解集的非空真子集，由此求解实数a的值．解：由x2+x﹣6＝0，得x＝﹣3或x＝2，即p：x＝﹣3或x＝2；q：ax+1＝0，∵p是q的必要不充分条件，∴方程ax+1＝0的解集是集合{2，﹣3}的非空真子集，则＝2，或，即a＝或a＝．故选：BC．11．设a＞b＞c，使不等式恒成立的充分条件是（）A．m≤4B．m≤3C．m≥4D．m≤5【分析】欲求不等式+≥恒成立的实数，m的取值范围，只需将m分离，然后利用基本不等式求出另一侧的最值，从而可求出所求．解：∵a＞b＞c，则使不等式+≥恒成立，∴即m≤（a﹣c）（+）＝[（a﹣b）+（b﹣c）]×（+），∵a＞b＞c，∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，∴[（a﹣b）+（b﹣c）]×（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝，即a+c＝2b时取等号，∴m≤4，故使不等式≥恒成立的充分条件是{m|m≤4}或它的子集即可．故选：AB．12．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.分）13．已知集合A＝{1，a，3}，B＝{a+1，a+2，a2﹣1}，若3∈A∩B，则实数a＝﹣2．【分析】由A，B，以及A与B的交集确定出3为B中的元素，确定出a的值即可．解：∵A＝{1，a，3}，B＝{a+1，a+2，a2﹣1}，且3∈A∩B，∴a+1＝3或a+2＝3或a2﹣1＝3，解得：a＝2或a＝1或a＝﹣2，当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{3，3，4}，根据元素互异性检验，不合题意；当a＝1时，A＝{1，1，3}，根据元素互异性检验，不合题意；则实数a＝﹣2，故答案为：﹣214．已知命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（0，3）．【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断解：q：x2﹣4x＜0，即为0＜x＜4，∵p是q的充分不必要条件，∴．解得0＜a＜3，故答案为：（0，3）15．已知命题“∀x∈R，ax2+4x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是{a|a≤﹣4}．【分析】由题意首先讨论a＝0的情况，然后利用命题为真命题时实数a的取值范围即可确定实数a的取值范围．解：很明显，当a＝0时命题为假命题，当a≠0时，若命题“∀x∈R，ax2+4x+1＞0”为真命题，则：，解得：a＞4，故命题“∀x∈R，ax2+4x+1＞0”为假命题时实数a的取值范围是a≤4．故答案为：{a|a≤4}．16．已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为．【分析】变形利用基本不等式即可得出．解：∵正实数x，y满足xy+2x+y＝4，∴（0＜x＜2）．∴x+y＝x+＝＝（x+1）+﹣3﹣3＝﹣3，当且仅当x＝时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）若正数a，b满足+＝1，求a+b的最小值；（2）若正数x，y满足x+y+8＝xy，求xy的最小值．【分析】（1）利用“1”的代换将a+b表示为，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）利用基本不等式结合已知的等式，建立关于的不等式，求解即可得到答案．解：（1）因为a＞0，b＞0且+＝1，则a+b＝＝≥＝18，当且仅当a＝6，b＝12时取等号，所以a+b的最小值为18；（2）因为x＞0，y＞0，且x+y+8＝xy，则，即，即，解得，所以xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，所以xy的最小值为16．18．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，非空集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩（∁R A）的元素中只有两个整数，求实数m的取值范围．【分析】将充分必要条件的问题转化为集合间关系．解：（1）因为B≠∅，所以2m＜1，解得m＜，若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B⊆A，因为A＝{x|﹣1⩽x⩽2}，所以2m≥﹣1，解得，综上所述，实数m的取值范围是．（2）因为A＝{x|﹣1⩽x⩽2}，所以∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|2m＜x＜1}，若（∁R A）∩B中只有两个整数，则元素必然是﹣2，﹣3，所以﹣4≤2m＜﹣3，则﹣2，综上所述，m的取值范围是19．（1）已知a，b，c均为正数，求证：++≥3．（2）已知正数x，y满足+＝1，若a≤x+y恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求证．（2）根据已知条件，结合“乘1法”和基本不等式的公式，求出x+y的最小值，令a≤（x+y）min，即可求解．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数，∴，，，将以上三式相加可得，，∴，∴++≥3，即得证．（2）∵+＝1，∴x+y＝x+1+y+2﹣3＝＝＝＝，当且仅当，+＝1，即x＝，y＝，等号成立，∵a≤x+y恒成立，∴，故a的取值范围为（﹣∞，]．20．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3（w+）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为（4+）元/件．（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据利润公式得出y关于x的函数；（2）利用基本不等式得出最大利润解：（1）由题意知y＝（4+）w﹣3（w+）﹣x＝w+30﹣﹣x＝﹣﹣（0≤x≤5）．（2）∵y＝﹣﹣＝33﹣[（x+3）+]≤33﹣•2＝27（0≤x ≤5）．当且仅当x＝3时，上式取“＝”∴当x＝3时，y取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元．21．已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．（1）若不等式y＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值；（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围．【分析】（1）利用一元二次不等式与对应方程的关系，即可求出a、b的值；（2）解法一、不等式化为x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立，利用判别式△≤0，列不等式求出m的取值范围．解法二、不等式化为3m2﹣2m≥﹣2x2+2x+4恒成立，求出右边最小值，转化为关于m的不等式，求出解集即可．解：（1）y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，由不等式y＞b的解集为（0，3），即方程﹣3x2+a（6﹣a）x+12﹣b＝0的两根为0和3；由根与系数的关系知，，；经检验知，a＝3，b＝12时，不等式y＞b的解集为（0，3）；所以a＝3，b＝12；（2）解法一：当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得﹣3x2+6x+12≤9m2﹣6m，即x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立；又二次不等式对应的函数为y＝x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m开口向上，只需△＝4﹣4（﹣4+3m2﹣2m）≤0，化简得3m2﹣2m﹣5≥0，解得m≤﹣1或m≥；综上知，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．解法二：当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得9m2﹣6m≥﹣3x2+6x+12，即3m2﹣2m≥﹣x2+2x+4恒成立，又﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，即3m2﹣2m≥5，解得m≤﹣1或m≥；所以m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．22．设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝a﹣，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）求不等式y＜（2a+2）x﹣b﹣2的解集．【分析】（1）由题意可得y＝ax2+x﹣a+，分类讨论，即可求出a的值；（2）不等式转化为（ax﹣1）（x﹣2）＜0，分类讨论即可求出不等式的解集．解：当b＝a﹣时，y＝ax2+x﹣a+，因为集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，①当a＝0时，x＝﹣，此时满足题意，②当a≠0时，令ax2+x﹣a+＝0，则△＝1+4a（a﹣）＝0，解得a＝1或，综上所述，a的取值集合为{0，，1}；（2）由y＜（2a+2）x﹣b﹣2可得ax2﹣（2a+1）x+2＜0，即：（ax﹣1）（x﹣2）＜0，1°当a＞0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，①若0＜a＜，则＜2，此时不等式解集为（2，）；②若a，则＜2，此时不等式解集为（，2）；③若a＝，此时不等式解集为∅．2°当a＝0时，不等式即﹣x+2＜0，此时不等式解集为（2，+∞）；3°当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x﹣2）＞0，此时不等式解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）；综上所述：当a＜0时，不等式解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）；当a＝0时，不等式解集为（2，+∞）；当0＜a＜时，不等式解集为（2，）；当a＝时，不等式解集为∅；当a＞时，不等式解集为（，2）．。
树德中学2020-2021学年高一上学期10月阶段性测数学试题(PDF版)
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分 10 分）已知U 1,2,3,4,5,6,7,8, A 3,4,5, B 4,7,8，
求：
，
20．(本小题满分 12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝x2＋x＋nxm＋1. (1)求 m，n 的值，并用定义证明 f(x)在(－1,1)上为增函数；
(2)若 f(x)≤a3对 x∈－13，13恒成立，求 a 的取值范围．
21 ． ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 定 义 在 I 2 , 0 0 , 2上 的 函 数 f x ， 对 任 意 x, y I ， 都 有 f xy f x f y 2，且当 0 x 1时， f x 2 .
f
x 的定义域为
R，对任意的 x1, x2 1, x1
x2 ，有
f
x2
x2
f x1
x1
0 ，且函数
f
x 1
为偶函数，则（ ）
A． f 1 f 2 f 3
B． f 3 f 2 f 1
C． f 2 f 3 f 1
D． f 2 f 1 f 3
11 ． 对 于 函 数 y f (x)(xI), y g(x)(x I ), 若 对 于 任 意 x I, 存 在 x0 , 使 得 f (x) f (x0 ),
，故
，选 C.
10．【答案】C【详解】因为对任意的 x1, x2 1, x1
x2 ，有
f
(x2 ) f (x1) x2 x1
0，
所以对任意的 x1, x2 1, x1 x2 ， x2 x1 与 f (x2 ) f (x1) 均为异号，所以 f x 在[1, )上单调
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考数学(理)试题
安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．11a b <C ．||||a b >D ．22a b > 2．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ）A ．40B ．81C ．121D ．2423．在ABC ∆中，060A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定 4．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．12- D ．13- 5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．60︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒6．对于下列三个函数，①y=②1sin ,0,sin 2y x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，③1y x x =+，其中最小值为2的有（ ）A ．一个B ．两个C ．三个D ．没有 7．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 8．要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移 12个单位D ．向右平移12个单位 9．若正实数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A ．245B ．125C ．5D ．2510．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A ．3 B．2 C．2 D．11．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．675 12．在△ABC 中，若223cos5cos 422A B C -+=，则tan C 的最大值为（ ） A ．34- B ．43- C．4- D．-二、填空题13．设a 3(,sin )2α=，b 1(cos ,)3α=，且a b ，则锐角α为 ．14．若数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则1210a a a ++⋯+=________. 15．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为16．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．三、解答题17．已知函数2()1,f x ax ax a R =+-∈其中．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()0f x <的解集为R ，求实数a 的取值范围．18．在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边， 2C A =，3cos 4A =. （1）求cos ,cos B C 的值；（2）若272BA BC ⋅=，求边 AC 的长. 19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC的面积，且222a b c =+.（1）求A ；（2）设a =3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值.20．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，285,,a a a 成等差数列.（1）求等比数列{}n a 的公比q ；（2）判断396,,S S S 是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由.21．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，当且仅当5n =时n S 取得最大值.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式.参考答案1．D【分析】根据指数函数的单调性以及特殊值验证的方法，逐项判断即可.【详解】A 选项，由题意，不妨令1a =，2b =-，此时满足a b >，但不满足22a b >，故A 错；B 选项，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但不满足11a b<，故B 错； C 选项，若1a =，2b =-，此时满足a b >，但不满足||||a b >，故C 错；D 选项，因为2x y =单调递增，所以，由a b >可得22a b >，即D 正确.故选：D.2．C【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q --===--， 故选：C.3．A【解析】试题分析：由正弦定理得：3sin sin sin a b A B B =⇒=，解得sin 14B =>，因为[]sin 1,1B ∈-，所以角B 无解，即此三角形的情况无解，故选A.考点：正弦定理的应用.4．C【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可.【详解】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--， 利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x x f x x x x==--， 所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.5．B【分析】 设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ=256449258+-⨯⨯=12， 易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B ．6．A【分析】根据基本不等式的性质，当0,0m t >>时，m t t +≥，当且仅当m t t =，即t =等号成立；依次分析三个函数即可.【详解】对于①：令)0t t =>，则12y t t=+≥，当且仅当1t =时等号成立，满足题意.对于②：令()sin 01t x t =<<，则12y t t =+≥，当且仅当1t =时等号成立，又01t <<，所以最小值不为2，不满足题意；对于③：当0x <时，1y x x=+为负数，最小值不为2，不满足题意； 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．B【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B.【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N+=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=. 8．C【解析】y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)，选C 项．9．C【分析】 先利用35x y xy +=得到13155y x +=，()13343455x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可.【详解】 正数x ，y 满足35x y xy +=， 则13155y x+=，()13312131334345555555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,2x y ==时取等号. 故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．C【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由()226c a b =-+，整理得22226c a ab b =-++，即22226a b c ab +-=-，又因为3C π=，由余弦定理可得222261cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得6ab =，所以三角形的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：C .【点睛】 本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得6ab =是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.11．A【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】 当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦. 12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩. 因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=； 故选：A.【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.12．B【分析】在△ABC 中，化简条件可得()3cos 5cos 0A B C -+=，1tan tan 4A B =，再利用基本不等式求得tan tan A B +的最小值，求得()tan tan C A B -=+的最小值，可得tan C 的最大值.【详解】在△ABC 中，223cos 5cos 422A B C -+=， 即()1cos 1cos 35422A B C +-+⨯+⨯=， 化简可得：()()()3cos 5cos 03cos 5cos 0A B C A B A B -+=⇒--+=，所以()()3cos cos sin sin 5cos cos sin sin 0A B A B A B A B +--=，即cos cos 4sin sin A B A B =， 所以1tan tan 4A B =， 显然tan ,tan A B 同号，又在△ABC 中，tan ,tan A B 最多有一个小于0，所以tan ,tan A B 均为正数，所以tan tan 1A B +≥=， 当且仅当1tan tan 2A B ==时取等号； 又()tan tan C A B =-+，所以()tan tan 14tan tan 11tan tan 314A B C A B A B +-=+=≥=--， 所以4tan 3C ≤-， 则tan C 的最大值为43-. 故选：B.【点睛】思路点睛：先利用三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式得到1tan tan 4A B =，再利用基本不等式得到tan tan A B +的最值，最后利用()tan tan C A B =-+.13．4π 【解析】 由//a b 得311sin cos sin 2,sin 21232αααα⨯=== ()0,2,24ππαπαα∈∴==14．15 【分析】首先求出当n 为奇数时1n n a a ++的值，然后求出当1,3,5,7,9n =时的和即可. 【详解】解：数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15. 【点睛】本题考查数列求和，关键是要发现当n 为奇数时13n n a a +=+，考查计算能力，是基础题. 15．1 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大是1，故答案为1． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 16【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以c =2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥所以cos C考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C的表达式，还用到用均值不等式求出2231422a b ab +≥=，再算出结果来.17．（Ⅰ）11|22x x ⎧+-+⎪-<<⎨⎪⎪⎩⎭（Ⅱ）{}|40a a -<≤【详解】试题分析：（Ⅰ）解一元二次不等式，首先找到与不等式对应的方程的两个根，然后结合二次函数图像得到不等式的解集；（Ⅱ）将解集为全体实数即恒成立问题转化为函数最值问题，结合函数图像寻找满足的条件试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x <化为2222102210x x x x +-<+-=的两根为1122+--，因此不等式解集为|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭（Ⅱ）当0a =时()10f x =-<恒成立，当0a ≠时需满足0{400a a <∴-<<∆< 综上实数a 的取值范围为{}|40a a -<≤考点：1．一元二次不等式的解法；2．二次不等式与二次函数的转化 18．（1）18，916（2）5b = 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由余弦的倍角公式可得21cos cos 22cos 18C A A ==-=，再由三角形的内角和及和角的余弦公式可得cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-=916；（Ⅱ）由向量的数量积公式可得24ac =，由正弦定理sin sin a cA C=，解得4a =，6c =，再由余弦定理可得2222cos 25b a c ac B =+-=，从而解得5b =，即边AC 的长为5.此题主要是考查三角恒等变换和解三解形.试题解析：（Ⅰ）∵2C A =，3cos 4A =， ∴2231cos cos 22cos 12()148C A A ==-=⨯-=. 3分∴sin 8C =，sin 4A =， 4分∴cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-=3194816-⨯= 6分（Ⅱ）∵927cos 162BA BC ca B ac ⋅===，∴24ac =； 8分 又由正弦定理sin sin a c A C=，得32c a =，解得4a =，6c =， 10分∴2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =，即边AC 的长为5. 12分 考点：1.三角恒等变换；2.正、余弦定理的应用 19．（1）56π；（2）最大值3，B ＝12π.【分析】（1）利用余弦定理结合条件222a b c =+可求解出cos A 的值，由此可求解出A 的值；（2）根据三角形的面积公式将S 表示为1sin 2ab C ，利用条件化简S 的表达式，最后根据两角差的余弦公式求解出对应最大值，并确定B 的值. 【详解】(1)由余弦定理得222cos 222b c a A bc bc +-===-. 又因为0A π<<，所以56A π=.(2)由(1)得1sin 2A =.又由正弦定理及a =11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S ab C a C B C A==⋅⋅=，因此，()()3cos cos 3sin sin cos cos 3cos S B C B C B C B C +=+=-. 所以，当B C =，即212AB ππ-==时，3cos cos S B C +取最大值3.【点睛】关键点点睛：求解3cos cos S B C +的最大值的关键处理是将S 表示并化简为3sin sin B C .20．（1）1q =或q =（2）当1q =时，不成等差数列，理由见解析；当q =成等差数列，证明见解析. 【分析】（1）先利用等比数列的通项公式得到741112a q a q a q =+，因为10a q ≠，求解6321q q=+即可得出结果；（2）分1q =和q =. 【详解】（1）由题意有：8252a a a =+，所以741112a q a q a q =+，因为10a q ≠， 所以6321q q =+， 即63210q q --=，解得31q =或312q =-，所以 1q =或q =（2） ①当1q =时，因为9362S S S ≠+， 所以1q =时396,,S S S 不成等差数列；② 当1q ≠时，知q =所以911192(1)29921184(1)a q a a S q q q -==⋅=---3611136(1)(1)9114(1)a q a q a S S q q q --+=+=---.所以 9362S S S =+，所以q =396,,S S S 成等差数列.综上：当1q =时396,,S S S 不成等差数列；当q =396,,S S S 成等差数列. 【点睛】易错点睛：等比数列求前n 项和时，要讨论公比1q =以及1q ≠两种情况.21．（1）163n a n =-；（2）13(133)nn -.【分析】（1）根据条件列出关于d 的不等式，再根据2a 为整数确定出d 的值，从而{}n a 的通项公式可求；（2）先计算出{}n b 的通项公式，然后采用裂项相消的方法求解出{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意可知50a >，且60a <， ∴13401350d d +>⎧⎨+<⎩，解得131345d -<<-， ∵2a 为整数，∴3d =-，∴{}n a 的通项公式为163n a n =-. （2）∵111111()(163)(133)3133163n n n b a a n n n n+===-----， ∴12n n T b b b =+++111111111[()()()()]3101371047133163n n=-+-+-++--- 111()31331313(133)n n n =-=--. 【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式： （1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（31=-（4）()()1121121212121n n n nn ++=-----.22．（1）123n n a -=⋅；（2）134n n b -=+.【分析】（1）先利用312n n S a =-解出1a ，然后利用()12n n n a S S n -=-≥可推出13n n a a -=，可证明数列{}n a 是等比数列，从而得出n a ；（2）利用累加求通项和等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）当n =1时，11312a a =-， ∴ a 1=2. 当2n ≥时，∵312n n S a =- ① 1131(2)2n n S a n --=-≥ ② ①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列.∴123n n a -=⋅.（2）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅13223b b =+⋅ 02123b b =+⋅相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-.当n =1时，111345b -+==，∴ 134n n b -=+.【点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a (n+1)=a n +f (n )或者a (n+1)-a n =f (n )的关系式，其中f (n )可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n 的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法.。
2020-2021学年安徽省皖西南联盟高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年安徽省皖西南联盟高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i2．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7} 3．函数f（x）＝sin4x cos4x的最小正周期与最小值分别为（）A．B．C．D．4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为（）A．B．C．D．5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）A．a＜b＜a+b B．a＜a+b＜b C．b＜a+b＜a D．a+b＜b＜a6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（）A．32名B．33名C．34名D．35名7．若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．已知一个扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2．若tanβ＝2，则tan（α+2β）＝（）A．B．7C．D．﹣79．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，C1四点共面；②平面ACE⊥平面BDD1B1；③FC1∥平面ADD1A1；④FC1与平面ABCD所成角为60°．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．设x，y满足约束条件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．64B．81C．100D．12111．设函数f（x）＝sin x﹣log3x，g（x）＝3x﹣log0.5x，h（x）＝sin x﹣log0.5x的零点分别为a，b，c，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c12．已知点P（m，n）是抛物线上一动点，则的最小值为（）A．4B．5C．D．6二、填空题（共4小题）.13．若从集合{1，2，3，5，7，8，10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为．14．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．15．已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为，四面体BCEF外接球的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：{a n}是等比数列．（2）求数列{log3a n}的前n项和．18．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5（m＝1，2，3，4，5），投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．19．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．（1）证明：BG∥平面ACE；（2）求三棱锥B﹣ACE的体积．20．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．21．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0．（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求|PA|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若f（x）的最小值为4，且，证明：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．2．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}解：∵A＝{x|﹣12＜x＜7}，B＝{x|x＞﹣6}，∴A∩B＝{x|﹣6＜x＜7}．故选：B．3．函数f（x）＝sin4x cos4x的最小正周期与最小值分别为（）A．B．C．D．解：，则，可得．故选：C．4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为（）A．B．C．D．解：因为正八边形的内角和为（8﹣2）π＝6π，所以与的夹角为，故选：B．5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）A．a＜b＜a+b B．a＜a+b＜b C．b＜a+b＜a D．a+b＜b＜a解：，当，f'（x）＞0，当或时，f'（x）＜0，故的极大值点与极小值点分别为，，则，，所以b＜a+b＜a，故选：C．6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（）A．32名B．33名C．34名D．35名解：由题意可知，第二天需要完成的订单数为800+1000＝1800，因为．所以至少需要志愿者35名．故选：D．7．若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的标准方程为，依题意可得，解得，则．故选：C．8．已知一个扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2．若tanβ＝2，则tan（α+2β）＝（）A．B．7C．D．﹣7解：因为tanβ＝2，所以，又扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2，可得：，所以．故选：A．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，C1四点共面；②平面ACE⊥平面BDD1B1；③FC1∥平面ADD1A1；④FC1与平面ABCD所成角为60°．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：如图，因为AF与EC1异面，所以A，E，F，C1四点不共面，故①错误．在正方体中，AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD、BB1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BDD1B1，故②正确．因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，且FC1⊂平面BCC1B1，所以FC1∥平面ADD1A1，故③正确．因为FC1与平面ABCD所成角为∠C1FC，且tan∠C1FC＝2，故④错误，所以正确的命题个数为2个，故选：B．10．设x，y满足约束条件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．64B．81C．100D．121解：作出约束条件表示的可行域如图，∵a＞0，b＞0，∴当直线z＝ax+by经过点（5，6）时，z取得最大值，则5a+6b＝1，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为121．故选：D．11．设函数f（x）＝sin x﹣log3x，g（x）＝3x﹣log0.5x，h（x）＝sin x﹣log0.5x的零点分别为a，b，c，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c解：设函数f1（x）＝sin x，f2（x）＝log3x，f3（x）＝log0.5x，，则a是f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标，b是f3（x）与f4（x）图象交点的横坐标，c是f1（x）与f3（x）图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的图象，如图所示．由图可知a＞c＞b．故选：A．12．已知点P（m，n）是抛物线上一动点，则的最小值为（）A．4B．5C．D．6解：由，得x2＝﹣4y．则的焦点为F（0，﹣1）．准线为l：y＝1．几何意义是：点P（m，n）到F（0，﹣1）与点A（4，﹣5）的距离之和，根据抛物线的定义点P（m，n）到F（0，﹣1）的距离等于点P（m，n）到l的距离，所以的最小值为1﹣（﹣5）＝6．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若从集合{1，2，3，5，7，8，10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为．解：题中的集合里共有7个元素，其中4个是奇数，故所求概率为．故答案为：．14．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．解：因为＝，可得cos C＝，又sin2C+cos2C＝1，所以，因为，AC＝2，由正弦定理得，可得．故答案为：．15．已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是．解：依题意可作出f（x）在[﹣4，5]上的图象，如图所示．因为a＜a+，由图可知，解得﹣≤a＜0，故a的取值范围是．故答案为：．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为，四面体BCEF外接球的表面积为14π．解：因为平面CEF与平面CDD1C1的交线为CD1，所以截面为四边形CEFD1，而四边形CEFD1为等腰梯形，且，，故其面积为．设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，则OG⊥平面BCE．设球O的半径为R，则R2＝OG2+EG2＝AG2+（OG﹣AF）2．因为，所以，从而，故球O的表面积为4πR2＝14π．故答案为：；14π．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：{a n}是等比数列．（2）求数列{log3a n}的前n项和．【解答】（1）证明：当n≥2时，，又a1＝S1＝9，所以{a n}的通项公式为．因为，所以{a n}是首项为9，公比为3的等比数列．（2）解：因为，所以log3a n＝n+1，所以数列{log3a n}的前n项T n＝2+3+…+n+1＝＝．18．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5（m＝1，2，3，4，5），投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．解：（1）由散点图可得，，，＝，，则y关于x的线性回归方程为；（2）当m＝6时，n＝1.7×6﹣0.5＝9.7（万元），当x＝6时，（万元）．∵9.7＞8，∴A项目收益更好．19．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．（1）证明：BG∥平面ACE；（2）求三棱锥B﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，BD1，则BD1∥OE．∵BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴BD1∥平面ACE．∵ED1∥CF，ED1＝CF，∴四边形D1ECF为平行四边形，∴D1F∥EC．又∵D1F⊄平面ACE，EC⊂平面ACE，∴D1F∥平面ACE．∵BD1∩D1F＝D1，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，∴平面BD1F∥平面ACE，∵BG⊂平面BD1F，∴BG∥平面ACE．（2）解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°，则AC边上的高为1，，∴．又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，，∵V B﹣ACE＝V E﹣ABC，∴．20．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．解：（1）依题意可知，解得a＝2，b＝2，c＝4故C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则△＝300m2﹣64（5m2﹣20）＞0，解得﹣8＜m＜8．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，原点到直线l的距离，则△AOB的面积，当且仅当m2＝32，即时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2．21．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12x+9，则f′（0）＝9，故曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y＝9x+1；（2）证明：令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，故f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，∵f（）＞f（3）＝1，故f（x）在（，+∞）上的最小值是f（3）＝1，设函数g（x）＝x+1﹣lnx，则g′（x）＝（x＞0），令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，故g（x）在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）≥g（1）＝2；从而（x+1﹣lnx）f（x）≥2，但由于f（x）≥1与g（x）≥2的取等条件不同，故（x+1﹣lnx）f（x）＞2，∵2cos x≤2，∴（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0．（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求|PA|的取值范围．解：（1）由曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），得x2+（y﹣a）2＝16，即x2+y2﹣2ay＝16﹣a2，因为曲线C经过坐标原点O，所以16﹣a2＝0，又a＜0，所以a＝﹣4．故C的极坐标方程为ρ2+8ρsinθ＝0，即ρ+8sinθ＝0（或ρ＝﹣8sinθ）．（2）因为l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0，即4ρcosθ﹣12ρsinθ﹣12＝0，所以l的直角坐标方程为x﹣3y﹣3＝0．令y＝0，得x＝3，则A的直角坐标为（3，0），由（1）知，曲线C表示圆心为C（0，﹣4），半径为4的圆且|AC|＝5，故|PA|的取值范围为[1，9]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若f（x）的最小值为4，且，证明：．【解答】（1）解：当a＝1时，由f（x）＜6，得|x﹣1|+|x+3|＜6．当x≤﹣3时，﹣2x﹣2＜6，则﹣4＜x≤﹣3；当﹣3＜x＜1时，4＜6，则﹣3＜x＜1；当x≥1时，2x+2＜6，则1≤x＜2．故不等式f（x）＜6的解集为（﹣4，2）．（2）证明：因为f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|≥|x﹣a3﹣（x+3a）|＝|a3+3a|，且a＞0，所以f（x）的最小值为a3+3a＝4．因为函数g（a）＝a3+3a为增函数，且g（1）＝4，所以a＝1．从而，因为m＞0，n＞0，所以由柯西不等式得，即，所以（当且仅当，时等号成立）。
2020-2021学年高一数学课时同步练习第四章第5节函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数 第5节 函数的应用（二）一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数ln y x =的零点是（ ） A ．(0,0) B ．0x =C ．1x =D ．不存在【答案】C【解析】函数ln y x =的零点等价于方程ln 0x =的根，∴函数ln y x =的零点是1x =，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 【答案】C【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．50y x = B ．50y x =C ．50x y =D ．()*50log y x x N=∈【答案】C 【解析】随x 的增大，指数函数的增长速度最快，∴50x y =的增长速度最快，故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：3()360,0T t t t t =-+=表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为（ ）A ．8℃B ．78℃C ．112℃D ．18℃【答案】B【解析】将3t =的值代入解析式可得：3(3)3336078T =-⨯+=， 故选：B.5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t =B ．2t y =C ．2log y t =D ．3y t =【答案】C【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C ：2log y t =满足题意.故选C. 6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.96[学3.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间 （ ）A ．（0.6，1.0）B ．（1.4，1.8）C ．（1.8，2.2）D ．（2.6，3.0）【答案】C【解析】构造f (x )＝2x －x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 7．（2020·浙江高一课时练习）设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点 【答案】D【解析】由题可知：1()ln (0)3f x x x x =-> 则113()33-'=-=x f x x x若()0,3x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减 若(3,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)e 单调递减，又1111ln 1033f e ee e ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，(1)031f =>，1()103f e e =-< 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，在(1,)e 有零点8．（2020·陕西新城�西安中学高二期末（文））若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)eD ．(3,4)【答案】B【解析】解：�()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， �函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.10．（2020·黑龙江松北�哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．()1x f x e =- B ．1()f x x x=+ C ．2()f x x x =- D ．22()f x x x=- 【答案】C【解析】根据函数奇偶性的概念可判断A 选项与D 选项所给函数不具有奇偶性； 对于B 选项，1()f x x x=+为奇函数，但不存在零点；对于C 选项，2()f x x x=-为奇函数，且(0f =； 故答案选：C.11．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，()()g x f x ax a =-+，若()g x 恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A．0,B ．(],2-∞C ．[]1,2D ．[)1,+∞【答案】D【解析】()g x 恰有1个零点即()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，y ax a =-恒过()1,0点， 由ln y x =得'1y x=，所以曲线ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为1， 由2yx x 得'21y x =-，所以曲线2yx x 在点()1,0处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，()g x 恰有1个零点当且仅当1a ≥. 故选：D12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者90018 50=名.故选：B13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（）A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【答案】D【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选：D.14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)�x2�f2(x)�4x�f3(x)�log2x�f4(x)�2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)�x2B．f2(x)�4x C．f3(x)�log2x D．f4(x)�2x【答案】D【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =�故选D�15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式22log 2xx x <<一定成立的x 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】作出2log y x =、2y x （红色）、2xy =图像由图像可知，当4x >时，22log 2xx x <<16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝,x A xx A A<≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【答案】D【解析】由题意可得：f （A ）A =15，所以A f （4）4=30， 可得出15A2=30A ，可得A=16从而 故答案为D17．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1,2,1,x a m x f x x a m x ⎧⋅->=⎨+-≤⎩其中0a >且1a ≠，若m ∃∈R ，使得函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()0,11,2C ．()()0,12,⋃+∞D ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令()0f x =，()2,1,2,1,x a x g x x a x ⎧⋅>=⎨+≤⎩，则()g x m =，故问题转化为()y g x =，y m =的图像有两个交点， 显然当01a <<时，()y g x =，y m =的图像有两个交点； 当1a >时，只需22a a +>，解得12a <<； 综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,2，故选：B.18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数()34f x x x =-，过点()2,0A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．()1,8-B ．()()1,88,-⋃+∞C ．()()2,88,-⋃+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】函数()34f x x x =-，可得()()()322420f -=--⨯-=，设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()()()32422k x x x x x x +=-=+-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，即8k ≠， 由220--=x x k 的>0∆，可得440k +>，解得1k >-� 则k 的范围是()()1,88,-⋃+∞.19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x-=+，所以其的定义域为R ， A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x ，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，即()1(0)0-⋅<gg ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；20．（多选题）（2019·山东枣庄�高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD【解析】A. 设幂函数()f x x α=，代入12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到1121()2f x x αα=∴=-∴=，11(3)32f =<故A 不成立；B. 由于x y a =恒过定点(0,1)，因此令10x -=，即1x =时，恒有(1)2f =，即图象恒过定点(1,2)，故B 正确；C.转化212()1log 0f x x x =--=为2121=log x x -函数21y x =-与12log y x =在同一直角坐标系下的图像如图：两个函数只有一个交点，故函数()f x 只有一个零点，C 选项不正确. D.函数2()24f x x x =-+的图像如图所示，(0)(2)4,(1)3f f f ===数形结合，可得若函数在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]，D 选项正确. ��：BD二、拓展提升1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f （x ）＝；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋4；【解析】（1）令3x x +＝0，解得x ＝－3，所以函数f （x ）＝3x x+的零点是x ＝－3． （2）令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f （x ）＝x 2＋2x ＋4不存在零点．2．（2020·全国高一）函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g （x ）＝ax 2－bx －1的零点．【解析】因为函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，所以123122a a b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨-=⨯=-⎩⎩， 所以g （x ）＝3x 2＋2x －1，令()0g x =，解得1x =-或13， 故函数g （x ）的零点为－1和13． 3．（2020·上海浦东新�华师大二附中高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P 万件满足P ＝3﹣21x +（其中0≤x ≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本（10+2P ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+20P ）万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当促销费用为x 万元时， 付出的成本是：210231x x ⎛⎫++- ⎪+⎝⎭ 销售收入是：220342131x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-+⎝⎭， 故220234102321131y x x x x ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪-+⎝⎭ 整理可得4161y x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，0≤x ≤2. （2）根据（1）中所求，416111611y x x ⎛⎫⎛⎫=-++-≤- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭16313=-=，当且仅当1x =时取得最大值.故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.5．（2019·浙江高一期中）已知函数()()(23)6f x x a x =-+-（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在[3,0]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）若1a =-，则22549()(1)(23)62532()48f x x x x x x =++-=+-=+-， 因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为：54x =-；又[3,0]x ∈-， 所以函数()f x 在53,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,04⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增； 因此min 549()()48f x f =-=-；又(3)0f -=，(0)3f =-， 所以max ()(3)0f x f =-=；（Ⅱ）由关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，可得方程22(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根， 则2(32)8(38)032023802a a a a ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪>⎨-⎪-+⎪>⎪⎩，解得5823a <<． 26．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数221,2()121.2x x x f x x x a x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++- ⎪⎪⎝⎭⎩（1）若1a =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 在[)1-+∞，上为增函数，求a 的取值范围. 【解析】（1）当12x >时，由20x x-=，得x =；当12x ≤时，由220x x +=得0x =或2x =-.∴1a =时，函数()f x 的零点为-2，0. （2）函数()g x x x 2=-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，且1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 函数()221h x x x a =++-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，且1124h a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若()f x 在[-1，+∞）上为增函数，则1742a +-，∴154a -.。
安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高二(上)第二次阶段性测试理科数学试题
【全国百强校】安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高二（上）第二次阶段性测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若命题p 的逆命题是q,命题q 的否命题是r,则p 是r 的( ) A ．逆命题 B ．逆否命题 C ．否命题 D ．以上判断都不对2．命题p ：a 1=是命题q ：a 1=成立的( )条件 A ．充分必要 B ．必要不充分 C ．充分不必要D ．既不充分也不必要3．已知命题“若m 1x m 1-<<+，则1x 2<<”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是( ) A ．()1,2B ．[)1,2C ．(]1,2 D ．[]1,24．已知点P 4=，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线5．若椭圆22x y 1(k 0)40k+=>的焦距为6，则k 的值为( )A ．31B ．31或49C ．4D ．4或766．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN =，则直线l 的斜率为（ ）A ．32±B ．23C ．34±D ．43±7．命题“若，则ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．0B ．3C ．2D ．18．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(−6,8)重合，则与点(−4,2)重合的点是( ) A ．(4,−2)B ．(4,−3)C ．(3,32)D ．(3,−1)9．如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中BM //①平面ADE ；CN //②平面ABF ；③平面BDM//平面AFN ；④平面BDE //平面NCF ．以上四个命题中，真命题的序号是( )A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④10．过抛物线2x 2py(p 0)=>焦点F 作倾斜角为30的直线，与拋物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则()AF FB=A ．13B ．25 C ．12D ．3511．（2020-2021学年山东省曲阜市高三上学期期中考试）已知函数()4f x x x=+,()2x g x a =+,若[]121,1,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12f x g x ≥,则实数a 的取值范围是 A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．2a ≤D ．2a ≥12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F 、2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PFF 是以1PF 为底边的等腰三角形.若1PF 12=，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e ⋅的取值范围是( ) A ．1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭B ．1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1,9∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题13．命题“()0x 0,∞∃∈+，00lnx x 1=-”的否定是______．14．中心在原点，实轴在y 轴上，一个焦点为直线3x 4y 240-+=与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是______．15．如图所示，在三棱锥A SBC -中，BSC 90∠=，ASB ASC 60∠∠==，SA SB SC ==，则直线SA 与平面SBC 所成的角为______．16．已知矩形ABCD 的两边AB 3=，AD 4=，PA ⊥平面ABCD ，且4PA 5=，则二面角A BD P --的正切值为______．三、解答题17．设2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知两条直线1l ：3x 4y 20+-=与2l ：2x y 20++=的交点P ．()1求过点P 且过原点的直线方程；()2求过点P 且垂直于直线3l ：2x y 20++=的直线l 的方程．19．已知一个圆C 和y 轴相切，圆心在直线1l ：x 3y 0-=上，且在直线2l ：x y 0-=上截得的弦长为，求圆C 的方程．20．已知ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆22x 5y 5+=的左，右焦点，且三角形三内角A ，B ，C 满足1sinB sinA sinC 2-=， ()1求AB ；()2求顶点C 的轨迹方程．21．已知椭圆2222x y 1(a b 0)a b +=>>的离心率e 2=，一条准线方程为x 2.=过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ．()1求椭圆的方程；()2若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．22．已知定点()F 1,0，动点P(异于原点)在y 轴上运动，连接FP ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM PF 0⋅=，PN PM =．()1求动点N 的轨迹C 的方程；()2若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若OA OB 4⋅=-且AB ≤≤，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据命题间的关系可直接得出结论. 【详解】根据题意，将命题q 取逆命题后再否定，即可得到命题r ，所以其关系为逆否命题. 故选B. 【点睛】本题考查四种命题之间的关系，熟练掌握定义，根据定义推导即可. 2．C 【解析】 【分析】由绝对值方程的解法得：命题q ：a 1=±，由充分必要条件得：“a 1=”是“a 1=±”的充分不必要条件，得解． 【详解】解绝对值方程a 1=得：a 1=±，又“a 1=”是“a 1=±”的充分不必要条件，即命题p ：a 1=是命题q ：a 1=成立的充分不必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解法及充分必要条件，属简单题． 3．D 【解析】 【分析】求出命题的逆命题，结合不等式的关系进行求解即可． 【详解】命题的逆命题为：若1x 2<<，则m 1x m 1-<<+成立，则{m 12m 11+≥-≤得{m 1m 2≥≤，得1m 2≤≤， 即实数m 的取值范围是[]1,2， 故选D ． 【点睛】本题主要考查四种命题的关系，结合逆命题的定义求出命题的逆命题是解决本题的关键． 4．B 【分析】利用双曲线的定义，直接判断． 【详解】点P 4=，∴动点()P x,y 到()A 1,1和()B 3,3--的距离之差等于4，()A 1,1和()B 3,3--两点间的距离为AB =∴动点P 的轨迹方程是双曲线的一支．故选B ． 【点睛】本题考查椭圆的定义，是基础题，解题时要熟练掌握两点间距离公式． 5．B 【解析】 【分析】分椭圆的焦点在x 轴、y 轴两种情况加以讨论，结合椭圆基本量的平方关系解关于k 的方程，即可得到实数k 的值． 【详解】椭圆22x y 1(k 0)40k+=>的焦距为6，c 3∴=当椭圆的焦点在x 轴上时，2a 40=，2b k =，c 3∴==，解之得k 31=；当椭圆的焦点在y 轴上时，2a k =，2b 40=，c 3∴==，解之得k 49=．综上所述，得k 的值为31或49． 故选：B ． 【点睛】本题给出椭圆方程，在已知焦点坐标的情况下求参数k 的值.着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 6．D 【解析】试题分析：不妨设()()()1111220? 0? M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.选D.考点：直线与抛物线位置关系 7．C 【详解】试题分析：逆命题为“若ABC 是直角三角形,则090C ∠=”,也可以其它角为直角,为假命题；否命题“若090C ∠≠，则ABC 不是直角三角形”也可以其它角为直角，为假命题． 逆否命题为“若ABC 不是直角三角形，则090C ∠≠”是真命题． 考点：本题主要考查四种命题的转化． 8．A 【解析】试题分析：折叠后的对应点的连线相互平行，8−0−6−10=−12，−2−24−(−4)=−12，因此与点(−4,2)重合的点为(4,−2)，故选A ． 考点：折叠问题．【名师点睛】折叠问题与光线反射问题在数学上都是轴对称问题，反射问题中入射角和反射角相等，它们分别是入射光线和反射光线与法线的夹角，折叠问题中对应的点关于折叠线对称，折叠线是对称轴．9．A【解析】【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA﹣EFMN，得出BM∥平面ADNE，判断①正确；由平面DCMN∥平面ABFE，得出CN∥平面ABFE，判断②正确；由BD∥FN，得出BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，证明平面BDM∥平面AFN，判断③正确；由BD∥FN，BE∥CN，且BD∩BE＝B，证明平面BDE∥平面NCF，判断④正确．【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA﹣EFMN，如图1所示；对于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM⊂平面BCMF，∴BM∥平面ADNE，①正确；对于②，平面DCMN∥平面ABFE，CN⊂平面DCMN，∴CN∥平面ABFE，②正确；对于③，如图2所示，BD∥FN，BD⊄平面AFN，FN⊂平面AFN，∴BD∥平面AFN；同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，∴平面BDM∥平面AFN，③正确；对于④，如图3所示，BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，且BD、BE⊂平面BDE，∴平面BDE∥平面NCF，∴④正确．综上，正确的命题序号是①②③④．故答案为：A．【点睛】本题考查了直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质的应用问题，也考查了几何体的折叠与展开以及空间想象能力，是中档题． 10．A 【解析】 【分析】点斜式设出直线l 的方程，代入抛物线方程，求出A ，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出12py AF 2pFB y 2+=+，即可得出结论． 【详解】设直线l的方程为：p x y 2⎫=-⎪⎭，()11A x ,y ，()22B x ,y ，由p x y 2⎫=-⎪⎭，代入2x 2py =，可得2212y 20py 3p 0-+=，1p y 6∴=，23p y 2=， 从而，12p y AF 12p FB 3y 2+==+． 故选：A ． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，得出12py AF 2pFB y 2+=+是解题的关键． 11．A 【解析】因为[]121,1,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12f x g x ≥,所以()().min min f x g x ≥因为函数()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()()1 5.min f x f == 因为函数()2xg x a =+在[]2,3x ∈ 上单调递增,所以()()2 4.min g x g a ==+所以54a ≥+，得 1.a ≤ 12．B 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，由条件可得m 12=，n 2c =，再由椭圆和双曲线的定义可得1a 6c =+，2a 6c =-，(c 6)<，运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，(m n)>，由于12PFF 是以1PF 为底边的等腰三角形.若1PF 12=，即有m 12=，n 2c =， 由椭圆的定义可得1m n 2a +=， 由双曲线的定义可得2m n 2a -=， 即有1a 6c =+，2a 6c =-，(c 6)<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c 2c 12+>， 可得c 3>，即有3c 6<<．由离心率公式可得2122122c c c 1e e 36a a 36c 1c ⋅=⋅==--，由于23614c<<，则有2113631c >-．则12e e ⋅的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．13．()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；故答案为()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．22y x 18-=【解析】【分析】由题意，c 6=，22a 36=，2a 18=，即可得出结论．【详解】由题意中心在原点，实轴在y 轴上，一个焦点为直线3x 4y 240-+=与坐标轴的交点， 令x=0,解得y=6,故得到c 6=，22a 36=，2a 18∴=，∴所求等轴双曲线方程是22y x 18-=，故答案为22y x 18-=．【点睛】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．15．45【分析】取SA 2x =，作AO ⊥平面SBC ，OD SB ⊥，OE SC ⊥，则ASO ∠为SA 与平面SBC所成的角，求出SO ，SA ，即可求SA 与平面SBC 所成的角的大小．【详解】取SA 2x =，作AO ⊥平面SBC ，OD SB ⊥，OE SC ⊥，则四边形SDOE 是矩形，则ASO ∠为SA 与平面SBC 所成的角．由题意，AD =，AE =，SD SE x ==，DE SO ∴==，SO cos ASO SA 2∠∴==， ASO 45∠∴=，SA ∴与平面SBC 所成的角为45．故答案为45．【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16．13【解析】【分析】过A 作AO BD ⊥，交BD 于O ，连结PO ，推导出POA ∠是二面角A BD P --的平面角，由此能求出二面角A BD P --的正切值．过A 作AO BD ⊥，交BD 于O ，连结PO ，矩形ABCD 的两边AB 3=，AD 4=，PA ⊥平面ABCD ，且4PA 5=，BD 5∴==，PO BD ⊥，POA ∠∴是二面角A BD P --的平面角， 11BD AO AB AD 22⨯⨯=⨯⨯， AB AD 12AO BD 5⨯∴==， 4PA 15tan POA 12AO 35∠∴===． ∴二面角A BD P --的正切值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用不等式的解法求解出命题p ，q 中的不等式范围，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a 的取值范围.【详解】由题意得，命题1:|12p A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，命题:{|1}q B x a x a =≤≤+， p ⌝是q⌝的必要不充分条件，p ∴是q 的充分不必要条件，11a ∴+≥且12a ≤， 102a ∴≤≤， 故实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，以及根据必要不充分条件求参数的问题，解答时注意等价转化思想的运用.18．（1）x y 0+=；（2）x 2y 60-+=.【解析】【分析】()1联立3x 4y 202x y 20+-=⎧++=⎨⎩，求出两条直线1l ：3x 4y 20+-=与2l ：2x y 20++=的交点()P 2,2.-利用两点式方程能求出过点()P 2,2-且过原点()0,0的直线方程；()2设过点()P 2,2-且垂直于直线3l ：2x y 20++=的直线l 的方程为2y x c 0-+=，把()P 2,2-代入，能求出过点P 且垂直于直线3l ：2x y 20++=的直线l 的方程．【详解】() 1联立3x 4y 202x y 20+-=⎧++=⎨⎩， 解得两条直线1l ：3x 4y 20+-=与2l ：2x y 20++=的交点()P 2,2-．∴过点()P 2,2-且过原点()0,0的直线方程为：y 2x 2=-，即x y 0+=． ()2设过点()P 2,2-且垂直于直线3l ：2x y 20++=的直线l 的方程为2y x c 0-+=， 把()P 2,2-代入，得：42c 0++=，解得c 6=-，∴过点P 且垂直于直线3l ：2x y 20++=的直线l 的方程x 2y 60-+=．【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【分析】设出圆心C 的坐标为（a ，b ），半径为r ，根据圆心C 在直线x-3y=0上，列出关于a 与b 的关系式，用b 表示出a ，同时根据圆C 与y 轴相切，得到圆的半径r=|a|，由直线y=x 与圆相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心C 到直线y=x 的距离d ，根据弦长的一半，弦心距d 及圆的半径r 构成直角三角形，利用勾股定理列出关于b 的方程，求出方程的解得到b 的值，进而得到a 与半径的值，写出圆C 的方程即可.【详解】设圆C 的标准方程为（x-a ）2+（y-b ）2=r 2，此时圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b ，又圆C 与y 轴相切，∴r=|a|，由圆心C 到直线y=x 的距离d 、弦长的一半为、半径，根据勾股定理得：2b 2+7=a 2=9b 2，解得b=±1， 若b=1，a=3，r=3，此时圆C 的标准方程为（x-3）2+（y-1）2=9；若b=-1，a=-3，r=3，此时圆C 的标准方程为（x+3）2+（y+1）2=9，综上，圆C 的标准方程为（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.20．（1）4；（2）()22y x 1x 13-=≥. 【分析】()1椭圆22x 5y 5+=化为22x y 1.5+=可得2a 5=，b 1=，2c 4.=即可得到()A 2,0-，()B 2,0，AB ；()2由1sinB sinA sinC 2-=，由正弦定理可得：1CA CB AB 2AB.2-==<即可得到顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 【详解】() 1椭圆22x 5y 5+=化为22x y 15+=．可得2a 5=，b 1=，2c 4=．()A 2,0-，()B 2,0，AB 4=．()12sinB sinA sinC 2-=， 由正弦定理可得：1CA CB AB 2AB 2-==<． ∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 其方程为()22y x 1x 13-=≥． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（1）2x2y 12+=；（2）mn 为常数2. 【分析】 ()1利用c a 2=，2a 2c =，及其b =()2证法一：设P 点坐标为()11x ,y ，则Q 点坐标为()11x ,y .-可得AP k ，直线AP 的方程为11y 1y x 1.x -=+令y 0=，解得m.同理可得n.再利用()11x ,y 在椭圆2x2y 12+=上，即可得出mn ；解法二：设直线AP 的斜率为()k k 0≠，则AP 的方程为y kx 1=+，令y 0=，得m.联立221x y 12y kx =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得P ，则可得Q 点的坐标.可得AQ k ，可得直线AQ 的方程，可得n ，即可得出．【详解】()c 21a 2=，2a 2c =， 解得a =c 1=，b 1∴==．故椭圆的方程为2x2y 12+=． ()2证法一：设P 点坐标为()11x ,y ，则Q 点坐标为()11x ,y .- 11AP 11y 1y 1k x 0x --==-， ∴直线AP 的方程为11y 1y x 1x -=+． 令y 0=，解得11x m y 1=--． 11AQ 11y 1y 1k x 0x --+==--， ∴直线AQ 的方程为11y 1y x 1x +=-+． 令y 0=，解得11x n y 1=+． 21112111x x x mn y 1y 11y ∴=-⨯=-+-． 又()11x ,y 在椭圆2x2y 12+=上， 2211x y 12∴+=，即2211x 1y 2-=， mn 2∴=．∴以mn 为常数，且常数为2．解法二：设直线AP 的斜率为()k k 0≠，则AP 的方程为y kx 1=+，令y 0=，得1m k=-． 联立221x y 12y kx =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2212k x 4kx 0++=，解得A x 0=，P 24k x 12k =-+，2P P 212k y k x 112k -∴=⨯+=+， 则Q 点的坐标为2224k 12k ,.12k12k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭ 22AQ 212k 1112k k 4k 2k 12k ---+∴==-+， 故直线AQ 的方程为1y x 12k=+． 令y 0=，得n 2k =-，()1mn 2k 2k ⎛⎫∴=-⨯-= ⎪⎝⎭． mn ∴为常数，常数为2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，求出交点坐标或利用韦达定理来求解．22．（1）2y 4x(x 0)=> ；（2）][11[1,22--⋃ 1]． 【分析】()1设出动点N ，则M ，P 的坐标可表示出，利用PM PF ⊥，PM PF k k 1=-，求得x 和y 的关系式，即N 的轨迹方程；()2设出直线l 的方程，A ，B 的坐标，根据OA OB 4⋅=-，推断出1212x x y y 4+=-进而求得12y y 的值，把直线与抛物线方程联立消去x 求得12y y 的表达式，进而气的b 和k 的关系式，利用弦长公式表示出2|AB |，根据AB 的范围，求得k的范围．【详解】()1设动点()N x,y ，则()M x,0-，y P 0,(x 0)2⎛⎫> ⎪⎝⎭，PM PF ⊥，PM PF k k 1∴=-，即y y 221x 1⋅=--， 2y 4x(x 0)∴=>即为所求．()2设直线l 方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点()11A x ,y 、()22B x ,y ，则由OA OB 4⋅=-，得1212x x y y 4+=-，即221212y y y y 416⋅+=-，12y y 8∴=-， 由2y 4x y kx b =⎧=+⎨⎩可得2ky 4y 4b 0(-+=其中k 0)≠，124b y y 8k ∴==-，b 2k =-， 当()21616kb 1612k0=-=+>时， (22222212112222211k 1k 16|AB |1(y y )[y y )4y y 32k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎤=+-=⋅+-⋅=+ ⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭．由题意，AB ≤， 可得2221k 16166321630k k +⎛⎫⨯≤⋅+≤⨯ ⎪⎝⎭， 即424k 3k 104228k 3k 10--≤⎧⎪--≥⎨⎪⎩，解得21k 14≤≤， 1k 12∴≤≤，或11k 2-≤≤-． 即所求k 的取值范围是][111,,122⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用分析几何的方法分析问题和解决问题的能力，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，根据弦长公式计算可得参数范围．。
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一(理实验班)上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一（理实验班）上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知R 为实数集，集合{1}A xx =>∣，{2}B x x =≥∣，则()R C B A ⋂=（ ） A ．(1,2) B ．(1,2]C ．(,1]-∞D ．[2,)+∞【答案】A【分析】先利用补集的运算和交集运算求解.【详解】因为{2}B xx =≥∣， 所以{2}RB x x =<∣，所以(){12}RB A x x ⋂=<<∣，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知,a b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由函数33,x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<，可得答案【详解】由函数33,x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<， 所以“33a b <”是“33a b <”的的充要条件， 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题， 3．下列命题中正确的是 A ．若m a n =，则log a m n = B ．若10x e =，则lg10x = C ．若24log 1x =，则2x = D ．若2log a b c =，则2c a b =【答案】D【分析】根据指对数的互化逐个辨析即可.【详解】对A ，若m a n =，则log a m n =，故A 错误. 对B ，若10x e =，则ln10x =，故B 错误. 对C ，若24log 1x =，则24,2x x ==±.故C 错误. 对D ，若2log a b c =，则2c a b =成立. 故选：D【点睛】本题主要考查了指对数的互化与计算，属于基础题. 4．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A【分析】将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】解：3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>， 所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)， 故选：A.【点睛】本题考查对零点存在性定理的理解和应用，是基础题. 5．设0.31.7a =，0.5log 1.1b =，sin1c =，则（ ）． A ．c b a << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】B【分析】根据指数，对数，三角函数的性质，分别和特殊值比较，再判断,,a b c 的大小. 【详解】0.301.7 1.71a =>=，0.5log 1.10b =<，0sin1sin 12π<<=，所以b c a <<. 故选：B6．设tan160k ︒=，则sin160︒=（ ） A ．B C D【答案】B【分析】根据同角的平方关系与商关系求解即可． 【详解】解：∵tan160k ︒=，则0k <，∴sin160cos160k ︒=︒，即sin160cos160k︒︒=，又22cos 160sin 1601︒+︒=，∴222sin 160sin 1601k ︒+︒=，即222sin 1601k k ︒=+， 又160︒为第二象限角， ∴sin160︒=21k k-+，故选：B ．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题．7．已知0abc <，则在下图的四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是．A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】A 中，0,0,002ba c abc a-∴； B 中，0,0,002ba c abc a >-<<∴<； C 中，0,0,002ba c abc a>-∴>； D 中，0,0,002ba c abc a-∴； 所以选B.8．若函数()211()2422x xf x x x m --=-++有且仅有一个零点，则m =（ ）．A ．0B ．2C ．1D ．-1【答案】C【分析】函数只有一个零点，可转化为方程只有一个解的问题，进而转化为两图象的交点问题即可.【详解】由()211()2422x xf x x x m --=-++有且仅有一个零点，可知方程()2112422x x x x m --+-=+只有一个解，令1t x =-，则转化为方程()22222t tt m --+=+只有一个解，即曲线222y t =-+与()22t ty m -=+的图像只有一个交点， 又因曲线222y t =-+与()22t ty m -=+都为偶函数，故要使曲线222y t =-+与()22t ty m -=+的图象只有一个交点， 只需满足0t =为方程()22222t tt m --+=+的解即可，代入计算得1m =. 故选：C.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数相等，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．下列函数中，最小值为2的有（ ）．A ．1y xx=+ B ．y =+C ．22y x x -=+ D ．1sin ((0,))sin y x x xπ=+∈ 【答案】BCD【分析】利用基本不等式求解判断. 【详解】A.当0x <时， 10y x x=+<，故错误；B. 2y =+≥=，=即0x =时，等号成立，故正确；C. 222y x x -=+≥=，当且仅当22x x ，即1x =±时，等号成立，故正确；D. 1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当1sin sin x x =，即2x π=时，等号成立，故正确； 故选：BCD【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值. 10．下列命题是假命题的是（ ）． A ．若sin 0α<，则α是第三或四象限的角 B ．lg sin 4y x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为572,244k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，k ∈Z ； C ．函数sin 34y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是6D．sin 12α⎛⎫<⎪⎝⎭72266k k πππαπ+<<+，k ∈Z 【答案】AD 【分析】对A ，由3sin102π=-<可判断；对B ，满足sin sin 044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且单调递增即可；对C ，可直接求得最小正周期；对D ，由不等式可得1sin 2α>，再结合三角函数性质可解得. 【详解】对A ，当32πα=时，sin 10α=-<，此时α不是第三或四象限的角，故A 错误；对B ，需满足sin sin 044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且单调递增，令322,42k x k k Z πππππ+<-≤+∈，解得5722,44k x k k Z ππππ+<≤+∈，故lg sin 4y x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为572,244k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，k ∈Z ，故B 正确； 对C ，函数sin 34y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是263T ππ==，故C 正确； 对D，由1sin 211222α⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1sin 2α>，解得522,66k k k Z πππαπ+<<+∈，故D 错误.综上，AD 为假命题. 故选：AD.11．已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（ ）A ．120x x π-≤<≤B ．120x x π≤<≤C ．12x x >D ．2212x x < 【答案】AC【分析】分析得出函数的奇偶性与单调性，再结合性质即可求出答案． 【详解】解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减， 则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >， 故选：AC ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足()2(2)f x f x =+，且当[2,0)x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的值可以是（ ）．A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】CD【分析】根据()2(2)f x f x =+得1()(2)2f x f x =-，进一步求出其他区间的函数表达式，再结合图形和不等式即可求解.【详解】由()2(2)f x f x =+得1(2)()2f x f x +=，则1()(2)2f x f x =-. 当[2,0)x ∈-时，()f x 在(2,1)--上递增，在(1,0)-上递减，所以max ()(1)2f x f =-=. 当2[2,0)x -∈-时，2211()(2)[2(21)2](1)122f x f x x x =-=⨯--++=--+，其最大值为1，同理当[2,4)x ∈时，max 1()2f x =,依此类推，可知当2x ≥时，8()9f x ≤恒成立.又[0,2)x ∈时，2()(1)1f x x =--+，当8()9f x =时，得23x =或43x =，结合图象，知423x ≤<.所以8()9f x ≤恒成立时43m ≥，故选项C ，D 正确.故选：CD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过迭代求函数的最值，然后再结合图形解不等式.三、填空题13．()sin 690cos 240tan 540︒︒︒--+的值为________．【答案】0【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】()()()sin 72030cos 302700sin 690cos 240tan 540︒︒︒-=---+-+sin 30sin 300=-+=.故答案为：0.14．已知命题p ：x ∀∈R ，都有20x ax a ++≥是真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0,4]【分析】由于x ∀∈R ，都有20x ax a ++≥，所以0∆≤，从而可求出实数a 的取值范围【详解】解：因为命题p ：x ∀∈R ，都有20x ax a ++≥是真命题， 所以0∆≤，即240a a -≤，解得04a ≤≤， 所以实数a 的取值范围为[0,4]， 故答案为：[0,4]15．已知函数2019sin ,01()log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是________．【答案】(2,2020)【分析】画出函数图象，即可得出()1,1,2019a b c +=∈，即可求得. 【详解】画出()f x 的函数图象，如图所示， 由()()()f a f b f c ==，不妨设a b c <<， 由图可得,a b 关于12x =对称，12019c <<， 则()12,2020a b c c ++=+∈. 故答案为：(2,2020).【点睛】关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，数形结合求解.16．已知函数cos y a x ω=+，[],x ππ∈-（其中，a ，ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则a 的值为_______，ω的取值范围是_______. 【答案】1- [)2,4【分析】函数cos y a x ω=+在[π-,]π上为偶函数,根据偶函数的性质可知0x =必为函数的一个零点,由此求得1a =-,再根据三角函数的图象性质,求得ω的取值范围. 【详解】函数cos y a x ω=+在[π-,]π上为偶函数,且函数有且仅有3个零点, 故必有一个零点为0x =, cos00a ∴+=,1a ∴=-;所以函数cos 1y x ω=-,[x π∈-,]π的零点个数,等价于函数cos y x ω=与直线1y =的图象在[π-,]π上交点的个数,而函数cos y x ω=相当于函数cos y x =纵坐标不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的1(0)ωω>倍,当1ω=时,函数cos y x =与直线1y =在[π-,]π上仅有一个交点,则1ω>; 当2ω=时,函数cos 2y x =与直线1y =在[π-,]π上恰有3个零点,如下图所示,故2ω;当4ω=时,函数cos 2y x =与直线1y =在[π-,]π上恰有5个零点,如下图所示,故4ω<;综上所述,ω的取值范围是[2,4). 故答案为:1-;[2,4).【点睛】本题考查三角函数的图象及性质,考查数形结合思想及逻辑推理能力,属于中档题.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OP OQ ⊥，求3sin 4cos ββ-的值． 【答案】（1）117；（2）75-． 【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数，代入求值；（2）由条件可知，2παβ-=，利用诱导公式，结合三角函数的定义，求函数值. 【详解】解：（1）由题得3cos 5α=-，4sin 5α，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-． （2）由题得2παβ-=，∴2παβ=+，∴cos sin αβ=-，sin cos αβ=，∴3sin 5β=，4cos 5β=，∴91673sin 4cos 555ββ-=-=-． 18．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，直线8x π=是其图象的一条对称轴．（1）求ϕ的值；（2）用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象，并由此写出函数在[0,]π上的单调减区间．【答案】（1）34πϕ=-；（2）作图见解析；减区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）根据直线8x π=是函数()y f x =的图象的一条对称轴，由sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭求解；（2）由3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用五点作图法，列表，连线画出函数图象； 【详解】（1）∵直线8x π=是函数()y f x =的图象的一条对称轴，∴sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭． ∴42k ππϕπ+=+，k ∈Z ．∵0πϕ-<<，34πϕ∴=-． （2）由3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭列表如下 ：故函数()y f x =在区间[0,]π上的图象如图：由图象知：在区间[0,]π上的减区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 19．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放(04a a <≤且)a R ∈个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()()()3023727xx f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b 个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值. 【答案】（1）4天；（2）2086-【分析】（1）营养液有效则需满足y ≥4，由分段函数，对x 讨论，解不等式即可得到结论；（2）通过化简、利用基本不等式可知()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b 的最小值．【详解】（1）已知()()()3,0237,27xx f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，当2a =时，()()()()32,022327,27xx y f x x x x +⎧⨯≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩要使营养液有效，则需满足y ≥4，则023243x x x⎧⎪+⎨⋅≥⎪-⎩或()27274x x <≤⎧⎨-≥⎩，即为1≤x ≤2或2＜x ≤5，解得1≤x ≤5，所以营养液有效时间可达4天； （2）当4≤x ≤7时，y ＝14﹣2x +b •()()34434x x +-≥--在[4，7]上恒成立，∴()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，令[]13,6t x =-∈，则b ≥﹣2（t +24t）+20，又﹣2（t +24t ）+20≤﹣2•＝20﹣ 当且仅当t ＝24t，当t＝1x =时，取等号；∵[]14,7x =∈，∴20b ≥-，b的最小值为20-．所以，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20-． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数()9()log 31()xf x kx k =++∈R 为偶函数．（1）求k 的值；（2）函数()()991f x kx x g x m -=+⋅-，[0,1]x ∈最小值为0，求实数m 的值． 【答案】（1）14-；（2）13-．【分析】（1）根据函数()9()1031()xf xg kx k =++∈R 为偶函数，由()()f x f x =-，利用对数的运算求解；（2）由（1）知()g x 93x x m =⋅+，[0,1]x ∈，令3x t =，将函数转化为2y m t t =⋅+，分0m =，0m >时，106m >≥-，1126m -<<-，1164m ->>-，1142m ->>-，利用二次函数的性质讨论求解.【详解】（1）因为函数()()()931x f x log kx k =++∈R 为偶函数， 所以()()f x f x =-，即()()99log 31log 31()x xkx k x -++=++-， 也即()()99log 31log 312x xkx -+-+=-，故()931log2133x x xkx +=-+，所以9log 32xkx =-，即9log 32x kx =-， 即9log 32k =-，所以93311log 31log 3229log 4k =-=-=-． （2）由（1）知()4()991xf x xg x m +=+⋅-，()9log 3199193x x x x m m +=+⋅-=⋅+，[0,1]x ∈，令3x t =，因为[0,1]x ∈，所以[1,3]t ∈， 则2y m t t =⋅+，当0m =时，y t =在[1,3]上是增函数，min 1y =不合题意， 当0m >时，对称轴102x m=-<， 2y m t t =⋅+在[1,3]上是增函数，min 10y m =+=，1m =-矛盾，当0m <时，对称轴102x m=->，2y m t t =⋅+， 若132m ≤-，即106m >≥-时，y 在[1,3]上是增函数，min 10y m =+=，1m =-矛盾， 若112m ≥-，即12m ≤-时，y 在[1,3]上是减函数，min 930y m =+=，13m =-矛盾，若1132m<-<，即1126m -<<-时， 若122m -≥-，即1164m ->≥-时，min 10y m =+=，1m =-矛盾， 若122m -<，即1142m ->>-时，min 930y m =+=，13m =-， 综上所述，m 的值为13-．【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 21．函数()cos()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）解关于x 的不等式()1f x ≥． 【答案】（1）3()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）44|,3933x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由图可知2A =，再由(0)2cos 3f ϕ==||2ϕπ<，得到ϕ，然后由33102249T T πππωω=<<=，结合10,09π⎛⎫⎪⎝⎭是上升中的零点求解； （2）由31()1cos 262x f x π⎛⎫≥⇔-≥⎪⎝⎭，利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）由图可知2A =，(0)2cos 3f ϕ=3cos 2ϕ=， ∵||2ϕπ<， ∴6π=ϕ或6π-∵33102249T T πππωω=<<=， 解得279205ω<<， 因为10,09π⎛⎫⎪⎝⎭是上升中的零点， 所以10292k ππωϕπ⋅+=-，k ∈Z 当6π=ϕ时，93134,55123k k ω⎛⎫=-⇒∈ ⎪⎝⎭，与k 为整数矛盾，舍去； 当6πϕ=-时，93117,510126k k ω⎛⎫=-⇒∈ ⎪⎝⎭，故1k =，32ω=，所以3()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）31()1cos 262x f x π⎛⎫≥⇔-≥⎪⎝⎭， 3223263x k k πππππ⇔-≤-≤+解得443933k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ,所以不等式()1f x ≥的解集是44|,3933x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0>ω. （1）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式； （2）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（3）在（1）的条件下的函数()y g x =的图像，区间[,]a b (,a b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.【答案】（1）()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）30,4⎛⎤⎥⎝⎦；（3）433π 【分析】（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得()g x ；（2）利用x 范围可求得x ω的范围，根据单调性可得不等式组2422232k k ωπππωπππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解不等式组求得3034k ω<≤+；由2342T ππ+≤可求得2411ω≤，两个范围取交集得到最终结果；（3）令()0g x =可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若b a -最小，知,a b 均为零点，此时在[](),a m a m Nπ*+∈恰有21m +个零点，从而得到在(]14,a b π+至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到,a b 满足的条件，进而求得所求的最小值.【详解】（1）()()2sin 2f x x = 2sin 263f x x ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2163f x x ππ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）0ω> ∴当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,43x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2422232k k ωπππωπππ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤+⎪⎩，k Z ∈，解得：3034k ω<≤+，k Z ∈又211234122T ππππω+=≤= 2411ω∴≤ 304ω∴<≤ 即ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（3）令()0g x =得：1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 72236x k πππ∴+=+或112236x k πππ+=+，k Z ∈解得：512x k π=π+或34x k ππ=+，k Z ∈∴相邻两个零点之间的距离为3π或23π若b a -最小，则,a b 均为()g x 的零点，此时在区间[],a a π+，[],2a a π+，…，[](),a m a m N π*+∈分别恰有3,5,,21m ⋅⋅⋅+个零点∴在区间[],14a a π+恰有214129⨯+=个零点 (]14,a b π∴+至少有一个零点()143b a ππ∴-+≥，即431433b a πππ-≥+=检验可知，在5543,12124πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，满足题意b a∴-的最小值为43 3π【点睛】本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题.。
2020-2021学年安徽省池州市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年安徽省池州市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥ D ．x R ∀∈，2210x x -+<【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题20",210"x R x x ∃∈-+<的否定是“2,210x R x x ∀∈-+≥”.本题选择C 选项.2．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）. A ．()31f x x =- B ．()3f x x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =【答案】C【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()31f x x =-在R 上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B ，()3f x x =在R 上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C ，()f x x =，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；对于D ，()ln f x x =在(0,)+∞上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； 故选C ．【点睛】本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件． 3．集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分A =∅和{}1A =两种情况讨论，得出关于a 的不等式或方程，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}{}201A x x ax a =++=⊆，A ∴=∅或{}1A =.①若A =∅，则240a a ∆=-<，解得04a <<； ②若{}1A =，由韦达定理得1111aa+=-⎧⎨⨯=⎩，无解.综上所述，()0,4a ∈. 故选：B.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 4．已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈，对任意实数x 都有()()11f x f x +=-成立，当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．()2,+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．(),1-∞-【答案】C【分析】先根据条件“对任意实数x 都有()()11f x f x +=-成立”得到对称轴，求出a ，再研究函数()f x 在[]1,1-上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可. 【详解】解：因为对任意实数x 都有()()11f x f x +=-成立， 所以函数()f x 的对称轴为12ax ==，解得2a =， 又因为函数()f x 开口向下， 所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增， 而()0f x >恒成立，所以()()2min 120f x f b b =-=-->，解得1b <-或2b >. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑. 5．设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=（ ） A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+-【答案】D【分析】先根据已知求出lg21lg31b a b =-=-+，，再求的值. 【详解】2312a lg lg b lg =+⎧⎨=+⎩ ，2131lg b lg a b =-⎧∴⎨=-+⎩ ，则2lg31log 3lg21a b b -+==-. 故选D【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知函数||()||x f x e x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题意可得()f x 是偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，即1|21|3x -<，从而得到答案.【详解】由||()||()x f x e x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()xf x e x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得：1233x <<.故选：A .【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.7．设0x >，0y >，且220x y +=，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．50 B ．2C ．1lg5+D ．1【答案】C【分析】利用基本不等式求出xy 的最大值，利用对数的运算性质可得出结果. 【详解】0x，0y >，由基本不等式可得20222x y xy =+≥，可得50xy ≤，当且仅当2y x =时等号成立，则lg lg lg lg501lg5x y xy +=≤=+， 因此，lg lg x y +的最大值是1lg5+. 故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.8．若910a b =，则下列不可能成立的是（ ） A ．0a b >> B ．0a b << C ．0a b D ．0b a >>【答案】D【分析】设(9)100abk k =>=,化为对数式,根据k 的不同取值进行判断,选出正确答案.【详解】设(9)100a bk k =>=,则有910lg lg log ,log lg9lg10k ka kb k ====, 当1k =时,有0a b ；当1k >时,有0a b >>； 当01k <<时,有0a b <<. 故选：D【点睛】本题考查了两个指数式相等判断指数大小的问题,考查了指数式和对数式的互化,考查了数学运算能力. 9．函数ln ||()xx f x e=的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数在(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞上()0f x >排除CD ，根据奇偶性排除B 得到答案.【详解】易知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，0x e >.又因为当(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时，ln ||0x >，所以()0f x >，排除选项CD ； 又()f x 不是偶函数，排除选项B. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的识图能力和应用能力. 10．若2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得1,1a b >>，1c >，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出,a c 的大小关系，,a b 分别与中间值32比较，得出312a b >>>，,b c 分别与中间值54比较，得出54b c >>，综合即可选出答案.【详解】解：由题意，22log 3log 21>=，33log 4log 31>=，44log 5log 41>=， 即1,1a b >>，1c >，212422221log 5log 5log 5log 5log 52c =====而225log 3log a =>1a c >>，222log l 332og 2a =>=，而332log 4l 3og 33b ==<， 即312a b >>>， 又5544335log l 3og 43==，4434log 4log b ==，而4543>，则33l g log o >54b >，同理，54445log log 44==445og l log c == 而5445>，则44l g log o >54c >， 综上得：35124a b c >>>>>， 所以c b a <<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，与中间值1，32，54比较，以及运用公式log log log mn a a a mb b n==行化简是解题的关键，考查学生的化简运算和推理能力.11．若θ为ABC 的一个内角，且1sin cos 8θθ⋅=-，则sin cos θθ-=（ ）A ．±BC ．D 【答案】D【分析】先分析得到sin θcos θ0，再求2(sin cos )θθ-再开方即得解.【详解】因为1sin cos 0,(0,)8θθθπ⋅=-<∈， 所以(,)2πθπ∈，所以sin 0,cos 0,sin cos 0θθθθ><∴->.215(sin cos )12sin cos 144θθθθ-=-=+=, 所以5sin θcos θ2. 故选：D【点睛】结论点睛：看到sin cos ,sin cos θθθθ±，要联想到2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±解题.12．已知函数()22(1)2ln(1),(1)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()22()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为（）A．2657,, 333⎛⎤⎛⎫⋃+∞⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦B．267,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．()265,2,3⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()t f x=，做出()f x函数图像，分析()t f x=的实根情况，方程220(0)3t at t-+=≠有两个不等实数根12,t t，且满足(]12,0,1t t∈，或12,2t t>，或1201,2t t<<>；然后讨论计算得出结果即可.【详解】解：根据函数()22(1)2ln(1),(1)xxf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，做出其图像如下：设()t f x=，根据函数图像有：当2t>时，方程()t f x=有2个实数根；当12t<≤时，方程()t f x=有3个实数根；当01t<<时，方程()t f x=有2个实数根；当0t=时，方程()t f x=有1个实数根；当0t<时，方程()t f x=没有实数根；当若()()22()3F x f x af x=-+的零点个数为4个时，方程220(0)3t at t -+=≠有两个不等实数根12,t t ， 且满足(]12,0,1t t ∈，或12,2t t >，或1201,2t t <<>； 设函数22()3h t t at =-+； 则(0)00012(1)0h a h >⎧⎪∆>⎪⎪⎨<<⎪⎪≥⎪⎩，0(2)002h a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪>⎩，(0)0(1)0(2)0h h h >⎧⎪<⎨⎪<⎩，解得533a <≤，或73a >，故选：A.【点睛】本题考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于较难题型；解题方法就是先令()t f x =，再根据()f x 的图像得出不同t 取值时，()t f x =的实根个数，然后构造方程220(0)3t at t -+=≠，求出当函数有四个零点时的t 的组合，再构造方程求解即可；解题的关键点是数形结合求出()t f x =在t 取不同值时的实根个数.二、填空题 13．如果函数()1f x +定义域为[]0,3，则函数()2x f 的定义域为__________．【答案】[]0,2【分析】由[]0,3x ∈得出114x ≤+≤，然后解不等式124x ≤≤，即可得出函数()2x y f =的定义域.【详解】对于函数()1y f x =+，该函数的定义域为[]0,3，即03x ≤≤，得114x ≤+≤. 对于函数()2xy f =，则有124x≤≤，解得02x ≤≤.因此，函数()2xy f =的定义域为[]0,2.故答案为[]0,2.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，需要注意以下两个问题： （1）函数的定义域为自变量的取值范围；（2）求解抽象函数的定义域要注意中间变量的取值范围要一致. 由此列不等式进行求解，考查计算能力，属于中等题.14．已知函数())ln 22f x x =+，则()1lg 5lg 5f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】4【分析】先研究函数())ln 22f x x =+的性质，然后利用对称性求解.【详解】解：令)()ln 2g x x =函数)()ln2g x x =的定义域为R ，)))1()ln2ln2ln2()g x x xx g x --===-=-，所以函数)()ln2g x x =为奇函数，故()()()()()1lg 5lg lg 5lg 5lg 52lg 525f f f f g g ⎛⎫+=+-=++-+ ⎪⎝⎭()()lg5lg544g g =-+=.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.15．若函数()212log 42y ax x a =-+-值域为R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】0,1⎡⎣【分析】根据题意只需242ax x a -+-能取到()0,∞+上所有实数即可，然后分类讨论求解.【详解】若函数()212log 42y ax x a =-+-的值域为R ，则242ax x a -+-能取到()0,∞+上所有实数，显然当0a =时，24242ax x a x -+-=--可以取到()0,∞+上所有实数，当0a ≠时，只需满足()016420a a a >⎧⎨∆=--≥⎩，解得01a <≤综上所述：01a ≤≤+故答案为：0,1⎡⎣.【点睛】本题考查根据函数的值域求解参数的取值范围，考查对数函数的值域问题，难度一般.16．函数2()4f x x x m =--在区间[]0,4上的最大值为5，则m =_______.【答案】5-或1【分析】将()f x 配方，求得(0)(4)f f =、(2)f ，由二次函数的最值取得，可能在顶点或端点处取得，分别计算即可得到所求的值.【详解】()2()24f x x m =---，对称轴为2x =可得，(0)(4)f f m ==，(2)4f m =+，由函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为5，当(2)5f =即45m +=，得1m =或9m =-，由于9m =-时()22()4925f x x x x =-+=-+，因为[]0,4x ∈，4x =或0时()f x 有最大值9，不符合条件，舍去；当(0)5f =即5m =，得5m =或5m =-，由于5m =时()22()4529f x x x x =--=--，因为[]0,4x ∈，2x =时()f x 有最大值9，不符合条件，舍去，综上所述，5m =-或1m =. 故答案为：-5或1.【点睛】方法点睛：本题考查函数最值的求法，关键点是算出(0)(4)f f =、(2)f ，二次函数的最值取得可能在顶点或端点处取得，本题考查分类讨论思想，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力.三、解答题17．（1）计算71log 23log lg 25lg 473+++++.（2）已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-，求t 和cos θ的值；【答案】（1）674+（2）t =cos θ=. 【分析】（1）根据指对数的运算性质化简计算即可；（2）由终边上点坐标(1,)P t ，求出||==r OP sin yrθ=，cos x r θ=求解即可.【详解】（1）71log 23log lg 25lg 47+++++714log 23log lg52l 32g 277-++=+⨯127421⨯=++-+674=+（2）因为点(1,)P t 在角θ的终边上，所以||==r OP又sin 3===-y r θ，解得22t =又sin 0θ<，所以t =r =所以cos3===x r θ3==t θ. 18．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤ （1）若q 是真命题，求对应x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）[1,4].【分析】（1）由q 是真命题，利用含参二次不等式分类讨论进行求解； （2）由p 是q 的必要不充分条件，得利用集合的思想分类讨论.【详解】（1）化简得到:(2)()0--≤q x x a ，讨论2,2,2a a a >=<三种情况 当2a >时，2x a ≤≤； 当2a =时，2x =； 当2a <时，2a x ≤≤.（2）:|25|3-≤p x 即|25|3-≤x ，解得14x ≤≤，p 是q 的必要不充分条件，当2a >时，:2q x a ≤≤，故满足4a ≤，即24a <≤； 当2a =时，:2q x =，满足条件；当2a <时，:2q a x ≤≤，故满足1a ≥，即21a >≥. 综上所述：[1,4]∈a .19．（1）已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数())f x x a =+的图像上，求不等式()3g x >的解集；（2）已知121log 1x -≤≤，求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 【答案】（1）()3,+∞；（2）min 1y =，max 54y =. 【分析】（1）结合指数函数性质首先求a 的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A 的坐标为()2,2， ∴)22a =+解得1a =.∴()221x g x -=+.∴由()3g x >得，2213x -+>. ∴222x ->. ∴21x ->. ∴3x >.∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞.（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则142t ≤≤， 221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.∴当12t =，即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =， 当14t =，即1124x⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．20．某化工厂一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少13，记过滤次数为x （*x ∈N ）时溶液杂质含量为y.（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.1%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？（参考数据：lg20.301=，lg30.477=）【答案】（1）12503xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，*x ∈N .（2）8次.【分析】（1）根据题意得到每次过滤后所含的杂质是前一次的23，从而列出函数关系式；（2）根据题意得到0.1%y ≤，解不等式，得到答案. 【详解】（1）因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少13， 所以每次过滤后所含的杂质是前一次的23， 所以得到1122%13503xxy ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*x ∈N .（2）设至少应过滤x 次才能是产品达到市场要求，则120.1%503x⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭， 即21320x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以1lg1lg 2207.42lg3lg 2lg 3x +≥=≈-， 又*x ∈N ，所以8x ≥.即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.【点睛】本题考查由指数函数模型解决实际问题，解指数不等式，属于中档题. 21．已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2a =-，证明见解析（2）13k >-【分析】(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.(2)先根据奇偶性化简为22(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.此时,221()12121x x x f x -=-=++, 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数, 所以2a =-．任取12,x x ∈R,且12x x <,则1222x x <,因为 122112211222()()(1)(1)21212221212(22)0,(21)(21)x x x x x x x x f x f x -=---++=-++-=<++所以12()()f x f x <, 所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空, 所以22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空, 又()f x 在R 上单调递增, 所以2222t t k t -<-的解集非空, 即2320t t k--<在R 上有解,所以0∆>得13k >-.【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -,若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式,若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a<⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a>⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.22．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）当4a =，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦有两个不等的实数根，求a 的取值范围.【答案】（1）{1<3x x -或}0x >；（2）()()()2,33,44,a ∈⋃⋃+∞. 【分析】()1当4a =时,原不等式可化为:()21log 40f x x ⎛⎫=+>⎪⎝⎭,解得答案. ()2若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦,可化为()()24510a x a x -+--=,对a 进行分类讨论即可得到答案.【详解】解：1（）当4a =时，()21log 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()0f x >得221log 40log 1x ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，141x ∴+>得130x x+>，即()130x x +>，解得0x >或1<3x -，∴当4a =时，不等式()0f x >的解集为{1<3x x -或}0x >. 2（）由题意得()()221log log 425f x a a x a x ⎛⎫=+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，该问题等价于 ()101425a xa a x a x⎧+>⎪⎪⎨⎪+=-+-⎪⎩①②，化简得()()2145100a x a x a x ⎛⎫-+--=+> ⎪⎝⎭，即()()141100a x x a x ⎛⎫--+=+>⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭当4a =时，1x =-，不合题意，舍去； 当3a =时，121x x ==-，不合题意，舍去. 当3a ≠且4a ≠时，121,14x x a ==--且12x x ≠. 由110a x +>，得0a >(3a ≠且4a ≠)；由210a x +>，得1a >(3a ≠且4a ≠. 依题意，若原方程由两个不等的实数根，则2a >(3a ≠且4a ≠). 故所求a 的取值范围为()()()2,33,44,a ∈⋃⋃+∞. 【点睛】解题关键在于，根据题意得()()221log log 425f x a a x a x ⎛⎫=+=-+-⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭，把问题转化为()101425a xa a x a x⎧+>⎪⎪⎨⎪+=-+-⎪⎩①②，进而求解，属于较难的题目。
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2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一（创新实验班）上学期阶段检测数学试题一、单选题1．设集合{}1,0A =-，{,B t t y x x A ==-∈且}∈y A ，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D【分析】根据集合元素的性质确定集合{}1,0,1B =-，接着运算交集即可. 【详解】由于：()()101,011,11000--=---=---=-=，故由题意可知：{}1,0,1B =-，结合交集的定义可知：{}1,0A B ⋂=-. 故选：D【点睛】本题考查集合元素的性质，交集的运算，属于基础题. 2．不等式(1)20x x -+≥的解集是( ) A ．{|1}x x >B ．{|1}x x ≥C ．{|21}x x x ≥-≠且D ．{|21}x x x =-≥或【答案】D 【解析】本题考查不等式的解法由算术平方根的定义知20x +≥，所以2x ≥-；①② 又20x +≥，所以由有1020x x -≥⎧⎨+≥⎩解得1≥x ② 由①②得1≥x 又当2x =-时也满足条件，故正确答案为D 3．已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax ++>，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】分别由命题p,q 求得a 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解不等式114a >可得04a <<， 对于命题q ，当0a =时，命题明显成立；当0a ≠时，有：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<， 即命题q 为真时04a ≤<， 故p 成立是q 成立的充分不必要条件. 故选A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}25x x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．1125x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}52x x -<<- D ．1125x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】根据一元二次不等式20ax bx c ++>的解集求出a 、b 、c 的关系，代入不等式20cx bx a ++>化简求解即可．【详解】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<， 所以0a <，且2，5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根， 所以257b a -=+=，2510ca=⨯=， 所以7b a =-，10c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++>化为21070ax ax a -+>，即210710x x -+<，解得1152x <<． 因此不等式的解集为11{|}52x x <<．故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系应用问题，5．已知正数x ，y 满足2340xy y +-=，则35x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【分析】将2340xy y +-=，变形为43=+x y y，再代入35x y +，利用基本不等式求解.【详解】因为正数x ，y 满足2340xy y +-=，所以43=+x y y，所以4353448+=++=+≥=x y x y y y y ， 当且仅当44=y y，即1y =时，取等号，所以35x y +的最小值为8 故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 6．已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足22(23)()5tf x x f x -+-<+的x 的取值范围（ ）A ．(1,)+∞B ．(]0,1C ．(D ．⎡⎣【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得.【详解】因为函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，所以320t -+-=，5t =， 所以函数()f x 是定义在[]3,3-上的偶函数，()()f x f x ∴=，又在[]3,0-上单调递减，则()f x 在[]0,3上单调递增所以22(23)()5tf x x f x -+-<+等价于22(23)(1)f x x f x -+<+， 即2202313x x x ∴≤++<≤-，12x <.故选: C.【点睛】本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题. 7．设0x >，0y >，且不等式11()9ax y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥ B ．02a <≤ C ．04a <≤ D ．2a ≥【答案】A【分析】利用题设条件和基本不等式求得11()()ax y x y++的最小值，即可得到21)9，解出a 的取值范围即可．【详解】0x ，0y >，0a >，211()()1121)y ax ax y a a x y x y ∴++=+++++（当且仅当y ax x y=时取等号)，又11()()9ax y x y ++恒成立，21)9∴+，解得：4a ，故选：A ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素, N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素, N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素, N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素, N 没有最小元素 【答案】C【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．二、多选题9．已知集合{}23100A x Z x x =∈+-<，{}22240B x x ax a =++-=.若A B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】BD【分析】化简集合,A B ，根据AB 中恰有2个元素，列式可解得结果.【详解】{}23100A x Z x x =∈+-<{|52}x Z x =∈-<<{4,3,2,1,0,1}=----，{}22240B x x ax a =++-={2,2}a a =---+，因为2(2)4a a -+---=，且AB 中恰有2个元素，所以2024a a --=⎧⎨-+=⎩或2321a a --=-⎧⎨-+=⎩，解得2a =-或1a =.故选：B D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合的交集中元素个数求参数，属于中档题.10．（多选题）已知集合{}|4A x Z x =∈<，B N ⊆，则（ ） A ．集合B N N ⋃= B ．集合AB 可能是{}1,2,3C ．集合AB 可能是{}1,1-D ．0可能属于B【答案】ABD【分析】根据集合Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【详解】∵B N ⊆，∴B N N ⋃=，故A 正确．∵集合{}4A x Z x =∈<，∴集合A 中一定包含元素1，2，3， ∵B N ⊆，∴集合AB 可能是{}1,2,3，故B 正确；∵1-不是自然数，∴集合AB 不可能是{}1,1-，故C 错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合B ，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了集合Z ，N 的概念及集合元素的特点，属于基础题．11．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，【答案】AB【分析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件. 【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞， 故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.12．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.三、填空题13．若定义在R 上的奇函数()f x 单调递减，则不等式()2(21)40f x f x ++->的解集为________． 【答案】(3,1)-【分析】根据()f x 为R 上的奇函数原不等式化为2(21)(4)f x f x +>-，再根据()f x 在R 单调递减，便有2214x x +<-，解该不等式即可得出原不等式的解集．【详解】()f x 是R 上的奇函数，且单调递减；∴由2(21)(4)0f x f x ++->得：2(21)(4)f x f x +>-；2214x x ∴+<-；解得31x -<<；∴原不等式的解集为(3,1)-．故答案为：(3,1)-．14．已知集合2{|5140}A x x x =--≤，集合{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(],4-∞【分析】求得集合{|27}A x x =-≤≤，根据B A ⊆，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合2{|5140}{|27}A x x x x x =--≤=-≤≤ 当B φ=时，则121m m +≥-，解得2m ≤；当B φ≠时，若B A ⊆，如图所示：则满足12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得24m <≤．综上，m 的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视B φ=是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知条件2:340p x x --；条件22:690q x x m -+-≤，若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m ≥或4m ≤-【分析】分别计算条件,p q ，再计算q ￢和p ￢，根据范围大小得到答案.【详解】∵条件2:340p x x --；∴:14p x -≤，∴:4p x ⌝>或1x <-，∵条件22:690q x x m-+-，，∴:3q x m ⌝>+或x 3m <-， 若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则31434m m m ⎧--⎪⇒≥⎨+⎪⎩，解得：4m ≥或4m ≤-故答案为4m ≥或4m ≤-【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力. 16．已知3a b +=，且,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】[]4,1-【分析】根据,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立，先利用基本不等式求得4042404220192020a b +++的最小值，再利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为,0a b ∀>，3a b +=， 所以201920204042a b +++=， 所以4042404220192020201920202019202020192020a b a b a b a b +++++++=+++++，2020201922420192020b a a b ++=++≥+=++当且仅当2020201920192020b a a b ++=++，即2,1a b ==时，取等号，又,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立， 所以234x x +≤， 所以2340x x +-≤， 即()()410x x +-≤， 解得41x -≤≤， 故答案为：[]4,1-【点睛】本题主要考查基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题 17．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 【答案】(1) a ＝6，b ＝9，c ＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0即得c ＝－8. 因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b 的值.(2)先求出P ＝－≤x ≤1}，再求集合P ∩Z. 【详解】(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8. (2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－≤x ≤1， 所以P ＝－≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝－≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}分析得到A ＝{3}.18．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与命题q 一真一假，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤..【分析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）先求出命题q 为真时，m 的范围.根据p ，q 一真一假，结合（1），即可求出m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-， 所以234m m -≥-，∴13m ≤≤.（2）对于命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min 210x x m -+-≤， 而()2min 212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题， p 为假命题，则1m <或3m >，q 为真命题，则2m ≤所以1m <.综上：1m <或23m <≤.【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.19．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()4f x x x =-+． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若函数()y f x =在区间(,1)t t +上是单调函数，求t 的取值范围．【答案】（1）224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；（2）3-t 或2t 或21t -. 【分析】（1）利用已知，任取(,0)x ∈-∞，可得(0,)x -∈+∞，则2()()4f x f x x x =--=+，从而可得答案．（2）由（1）知：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；画出图象，由图象求解函数的单调区间，再根据包含关系列不等式求解即可．【详解】（1）当[0x ∈，)+∞时，2()4f x x x =-+，又因为()y f x =为奇函数，则任取(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，2()()4f x f x x x =--=+， 所以224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩； （2）由（1）知：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；由图可知，()y f x =在(,2)-∞-，(2,)+∞上递减， 在()2,2-上递增，因为函数()y f x =在区间(,1)t t +上是单调函数，当12t +-，即3-t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减；当2t -，且12t +，即21t -时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递增； 当2t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减．综上， 3-t 或2t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减；当21t -时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递增.即t 的取值范围是：3-t 或2t 或21t -.【点睛】本题考查函数的解析式的求解以及单调性的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，是中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．20．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【答案】（1）1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<；（2）[3,4]；（3）外周长的最小值为.【解析】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用x或y表示，根据梯形面积的计算得到x和y的等式，从而解出y，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得18310.52xyx=+≤，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：⑴1()2AD BC h=+，其中22xAD BC BC x=+⋅=+，=h x，∴1(22BC x x=+，得182xBCx=-，由{182h xxBCx=≥=->，得26x≤<∴1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<；6分⑵18310.52xyx=+≤得34x≤≤∵[3,4][2,6)⊂∴腰长x的范围是[3,4]10分⑶1832xyx=+≥=1832xx=，即[2,6)x=时等号成立．∴外周长的最小值为16分【考点】函数的应用、基本不等式、函数的最值.21．关于x的不等式22(1)ax x-<恰有2个整数解，求实数a的取值范围是？【答案】4332a<，或3423a-<-【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围．【详解】由题22(1)ax x-<恰有2个整数解，即22(1)0[(1)1][(1)1]0ax x a x a x--<⇔+---<恰有两个解，(1)(1)0a a ∴+->，即1a >，或1a <-．当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-， 11(0,)12a ∈+，恰有两个整数解即：1，2， 1231a ∴<-，22133a a -<-，解得：4332a <； 当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-， 11(12a ∈--，0)，恰有两个整数解即：1-，2-， 1321a ∴-<-+，2(1)13(1)a a -+<-+，解得：3423a -<-， 综上所述：4332a <，或3423a -<-． 【点睛】此题主要考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论．分类讨论思想的常见类型 ：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.22．设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。