质量专业理论与实务-知识点(前三章)

第一章概率统计基础知识

一、概率基础知识

1 掌握随机现象与事件的概念

随机现象有两个特点：

●随机现象的结果至少有两个；

●至于哪一个出现，事先并不知道。

事件

●对立事件：例如在一次检查中，事件至少有一个疵点的对立事件是没有疵

点

●事件的并：事件a和b至少有一个发生。A∪B

●事件的交：事件a和事件b同时发生。A∩B

●事件的差：A-B

2 熟悉事件的运算——对立事件、并、交及差

事件的运算具有如下性质：

●交换律：A∪B=B∪A；A∩B= B∩A

●结合律：A∪（B∪C）=(A∪B)∪C; A∩（B∩C）=(A∩B) ∩C

●分配律：A∪（B∩C）=(A∪B) ∩（A∪C）; A∩（B∪C）=(A∩B)∪（A∩C）;

●对偶率：A∪B的对立事件=A的对立事件∩B的对立事件

A∩B的对立事件=A的对立事件∪B的对立事件

3 掌握概率是事件发生可能性大小的度量的概念

随机事件的发生与否带有偶然性，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

4 熟悉概率的古典定义及其简单计算

概率的古典定义：

●所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；

●每个样本点出现的可能性相同；

●若被考察的时间A中含有k个样本点，则事件A的概率为：

排列：从n中不同元素中任取r个元素排成一列称为一个排列

重复排列：从n个不同元素中每次出去一个做记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，这种重复排列共有个。

组合：从n个不同元素中任取r个元素组成一组，称为一个组合。

5 掌握概率的统计定义

●与事件a有关的随机现象是可以大量重复实验的

●若在n次重复试验中，事件a发生次，则时间a发生的频率为：

能反映事件a发生的可能性大小

●频率将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定。

6 掌握概率的基本性质

●性质1：概率是非负的，其数值介于0与1之间。

●性质2：若b是a 的对立事件，则P(A)+P(B)=1

●性质3：若A B，则P(A-B)=P(A)-P(B)

●性质4：事件A与B的并的概率为P（A∪B）=P（A）+P(B)-P(AB)

●性质5：对于多个互不相容的事件A1、A2,有

P(A1∪A2…)=P(A1)+P(A2)+…

●条件概率及概率的乘法法则：,P(A/B)为在b事件发生的条件

下，事件a发生的概率。（条件概率）

●性质6：对于任意两个事件A与B，有P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)

●性质7：假如两个事件相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)

●性质8：假如两个事件相互独立，则在事件b发生的条件下，事件a的条

件概率等于事件a的概率。

7 掌握事件的互不相容性和概率的加法法则

8 掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则

二、随机变量及其分布

表示随机现象结果的变量称为随机变量

离散随机变量的分布可用分布列表示。

连续随机变量X的分布可用概率密度函数p（x）表示

●p（x）一定位于x轴的上方

●p（x）与x轴所加的面积恰好为1，即

●连续随机变量x在区间[a，b]上的取值的该频率为概率密度曲线下，区间

[a，b]上所夹曲边梯形的面积

●随机变量x取一点的概率为零，因为在一点上的积分永远为零

●,这是因为p（x=b）为零。

●可用其概率密度函数来求得,即

F(x)=P(X)=

反之，

随机变量X的分布有几个重要的特征数，用来表示分布的集中位置和散步程度，均值用来表示分布的中心位置，用E(X)表示。方差用来表示分布的散步程度，用Var（X）表示，方差大意味着分布的散步程度大，

Var（X）=

-----X的标准差

随机变量的均值与方差的运算有以下性质：

●设X为随机变量，a与b为任意常数，则有

E(aX+b)=aE（X）+b

Var(aX+b)=a2Var（X）

●对任意两个随机变量x和y，则有E（x+y）=E（x）+E（y）

●设随机变量x和y独立，则有Var（x+y）=Var（x）+ Var（y）

二项分布

X 0 1

P 1-p P

E(X)=p Var（X）=p（1-p）

泊松分布：一个铸件上的缺陷数，一平方的玻璃上的气泡的个数，若表示某特

定单位的平均点数，，又令X表示某特定单位出现的点数，则X取x值的

概率为：

E(X)=Var（X）=

超几何分布：从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。

设N个产品组成的总体，其中含有M个不合格品，若从中随机不放回取n个产品，则不合格品的个数X是一个离散随机变量，可以求得X=x的概率是：

E(X)=Var（X）=

正态分布：概率密度函数为

，-

标准正态分布，

●标准正态分布函数用来计算形如：

●

●

●

●

有关正态分布的计算

●设X~N(),则U=

●设X~N(),对任意实数a，b有：，，

均匀分布：

均匀分布在两端点a与b之间有一个恒定那个的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数。

当，p（x）=

E(X)=Var（X）=

对数正态分布：如化学反应时间，绝缘材料被击穿事件等，

指数分布：

E(X)=Var（X）=

中心极限定理：

●随机变量的独立性

●正态样本均值的分布，设X1,X2,X3是n个相互独立的同分布的随机变量，设

其共同分布为正态分布，则样本均值仍为正态分布。其均值为，即正态样本均值

●非正态样本均值的分布，设X1,X2,X3是n个相互独立的同分布的随机变量，

设其共同分布不为正态分布，但其均值为

正态样本均值

三，统计基础知识

总体

样本

频数、频率直方图