三次埃尔米特插值
三次埃尔米特插值
《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。
由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。
为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。
为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。
在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。
通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。
分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。
分段三次埃尔米特插值
分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数的导)(I x h 数是间断的，若在节点k x （k =0，1，…，n ）上除已知函数值外还给k f 出导数值k k m f ='（k =0，1，…，n ），这样就可构造一个导数连续的分段插值函数)(I x h ，它满足条件：（1）.[][]),(,)(I 11b a C b a C x h ∈代表区间一[]b a ,阶导数连续的函数集合. （2）k k h f x =)(I ,'')(I k k h f x -(k =0,1,…n ). （3）)(I x h 在每个小区间上是三次[]1,+k k x x 多项式.由两点三次插值多项式可以知道在)(I x h 区间上表达[]1,+k k x x 式为'21111211211)()(21*)()21()()(I k k k k k k k k k k k k k k k k k k h f x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x ---+--+--+--+--=++--++++）（+'1121)(+++---k k kk k f x x x x x x ）（.分段三次埃尔米特插值比分段线性插值效果明显改善，但这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一阶导数连续），改进这种以克服其缺点就导致三次样条插值的提出.三次样条插值上面讨论的分段插值函数都有一致收敛性，但光滑性比较差，对于像告诉飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数.早起工程师制图是，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由的弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上有分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从而数学上加以概括就得到数学样条这一概念.三次样条函数定义 若函数[]b a C x S ,)(2∈,并且在每个小区间上是[]1,+j j x x 三次多项式，其中是给定b x x x a n =<<<= 10节点，则称是节点)(x S 0x ，1x ，…，n x 上的三次样条函数.若在节点上j x 给定函数值)(j j x f y =（j =0，1，…，n ），并且成立j j y x S =)( （j =0，1，…，n ），（1.1） 则称为三次)(x S 样条插值函数.由定义知道要求出)(x S ，在每个小区间上要确定[]1,+j j x x 4个待定系数，一共有个小n 区间，所以应该确定4个参数n .根据在上二)(x S []b a ,阶导数的连续性，在节点j x （j =1，2，…，n -1）处应该满足连续性的条件)0()0(+=-j j x S x S ，)0()0(''+=-j j x S x S （1.2）)0()0(''''+=-j j x S x S .一共有3n -3个条件，再加上要满)(x S 足插值条件（1.1），共有4n -2个条件，因此还需要2个条件才能确定)(x S .通常可以在区间[]b a ,端点0x a =，n x b =上各加上一个条件（称为边界条件），可根据实际问题要求给定.常见的有以下3种;(1)已知两端的一阶导数值，即'00')(f x S =，;')(n n f x S =. (1.3)(2)两端的二阶导数已知，即''00'')(f x S =，'''')(n n f x S =， （1.4）其特殊情况为0)()(''0''==n x S x S . (1.5)（3）当)(x f 是以n x -0x 为周期的周期函数时，则要求也是)(x S 周期函数.这时边界条件应满足)0()0(0-=+n x S x S ，)0()0('0'-=+n x S x S ， )0()0(''0''-=+n x S x S . (1.6)而此时（1.1）中n y y =0.这样确定的样条函数称)(x S 为周期样条函数. 埃尔米特插值不少实际问题的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求插值的多项式就是埃尔米特（Hermi t e ）插值多项式.下面只讨论函数值与导数值个数一样的情况.设在节点上b x x x a n ≤<<<≤ 10，)(i i x f y =，)('j j x f m =（j =0，1，…，n ），要求插值多项式)(x H ，满足条件j j y x H =)(，j j m x H =)('（j =0，1，…，n ）. (1.1)这里给出了2n +2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n +1的多项式)()(12x H x H n =+，其形式为12121012)(++++++=n n n x a x a a x H .如果根据条件（1.1）来确定2n +2个系数0a ，1a ，…，12+n a ，显然非常复杂，因此，我们依旧采用拉格朗日插值多项式的基函数的方法.先求插值基函数)(x j α及)(x j β（j =0,1,…,n ）,一共有2n +2个，每一个基函数都是2n +1次多项式，且满足条件⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎩⎨⎧=≠==).,,1,0,()(,0)(;0)(,,1,,0)(''n k j x x x k j k j x jk k j k j k j jk k j δββαδα （1.2）于是满足条件（1.1）的插值多项式可以写成)()(12x H x H n +=用插值基函数表示的形式[]∑=-+=nj j j j j n x m x y x H 012)()()(βα. (1.3)由条件（1.2）可以知道，有k k n y x H =-)(12，kn m x H =+)('12，（k =0，1，…，n ）.下面的问题就是求满足条件（1.2）的基函数以)(x j α及)(x j β.所以，我们可以利用拉格朗日插值基函数)(x l j .令)()()(2x l b ax x a j j +=，由条件（1.2）有1)()()(2=+=j j j j j x l b ax x α，[]0)()(2)()()(''=++=j j j j j j j j j x l b ax x al x l x α,整理得⎩⎨⎧=+=+0)(21'j j j x l a b ax . 解出)(2'j j x l a -=，)(21'j j j x l x b +=.由于)())(()()())(()()(110110n j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- ，利用两边取对数再求导数，有∑≠=-=njk k kj j jx x x l 0'1)(，所以有)()1)(21()(20x l x x x x x a j njk k kj j j ∑≠=---=. (1.4)同理，可以得到)()()(2x l x x x j j j -=β. (1.5)同时还证明满足条件（1.1）的插值多项式是唯一的.用反证法，假设及都满)(12x H n +)(12x H n +足条件（1.1），所以有)()()(1212x H x H x n n ++-=ϕ在每个节点上均有二重根，即)(x ϕ有2n +2重根.但是是不高)(x ϕ于2n +1次的多项式，所以0)(≡x ϕ.唯一性得到证明.。
参数三次埃尔米特插值实例分析
2
公式推导
参数三次曲线，简称 PC 曲线，表示为： ������(t) = ������0 + ������1 t + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 , ������ ∈ [0,1] 确定四个系数矢量的方法是给定曲线两端点及其切矢。 对函数中参数 t 求导，得： ������������ ������′ (������) = = ������1 + 2������2 ������ + 3������3 ������ 2 ������������ 用������ = 0,1代入以上两式，得： ������0 = ������(0) ������0 + ������1 + ������2 + ������3 = ������(1) ������1 = ������′ (0) ������1 + 2������2 + 3������3 = ������′ (1) 写成矩阵形式： ������(0) 1 0 0 0 ������0 ������ ������(1) 1 1 1 1 1 [ ] [������ ] = ′ ������ (0) 0 1 0 0 2 ������ 0 1 2 3 3 [������′ (1)] 于是可得： ������0 1 0 0 0 ������(0) ������1 0 0 1 0 ������(1) [������ ] = [ ] 2 −3 3 −2 −1 ������′ (0) ������3 2 −2 1 1 [������′ (1)] 将上式代入函数方程，得： 1 0 0 0 ������(0) 0 0 1 0 ������(1) ������(t) = [1 ������ ������ 2 ������ 3 ] [ ] −3 3 −2 −1 ������′ (0) 2 −2 1 1 [������′ (1)] 上式即与标量形式的三次埃尔米特插值相对应的参数形式，即定义在区间������ ∈ [0,1]
数值分析实验六（分段三次Hermite插值）
数值分析实验六（分段三次Hermite插值）《数值分析》实验报告实验编号：实验六课题名称：分段三次Hermite插值一、算法介绍给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。
当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
其余的区间为H[0]=0。
h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3, (9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。
当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3,…,10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1 ])/(x[i]-x[i+1]))^2]。
其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。
当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。
构造函数H(x) =∑(y[i]*h[i]+y'[i]*H[i],(i=0,1,…,10)。
二、程序代码// testV iew.cpp : implementation of the CT estV iew class//#include "stdafx.h"#include "test.h"#include "testDoc.h"#include "testView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iewIMPLEMENT_DYNCREA TE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)// NOTE - the ClassWizard will add and remove mapping macros here.// DO NOT EDIT what you see in these blocks of generated code!//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CV iew::OnFilePrint) ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW,CView::OnFilePrintPreview)END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew construction/destructionCTestView::CTestV iew(){// TODO: add construction code here}CTestView::~CT estView(){}BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREA TESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying // the CREA TESTRUCT csreturn CV iew::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereint i,j,k;double x,y,p_x,p_y,l,xx[100],f[100],F[100],sum,p_sum;CPen MyPen,*OldPen;pDC->SetViewportOrg(400,400); //定义坐标原点for(i=-500;i<500;i++){pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0)); //画出坐标}pDC->TextOut(-210,5,"-1");pDC->TextOut(196,5,"1");//原函数MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义画笔颜色OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);x=-1.0,y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);for (x=-1.0;x<=1.0;x+=0.0001){y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();//分段三次Hermite插值MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0)); OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen); x=-1.0,y=1.0/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);x=-1.0;for(i=0;i<=10;i++){f[i]=1/(1+25*x*x);xx[i]=x;F[i]=-50*x/(1+25*x*x)/(1+25*x*x); //导数x+=0.2;}x=-1.0;for(j=0;j<=1000;j++){sum=0;for(i=0;i<=10;i++){if(x==xx[i]){sum=f[i];p_x=x*200,p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}if(xxx[i]){y=(1+2*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]))*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=f[i]*y;y=(1+2*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]))*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=f[i+1]*y;y=(x-xx[i])*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=F[i]*y;y=(x-xx[i+1])*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=F[i+1]*y;p_x=x*200;p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}}x+=0.002;}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertV alid() const{CView::AssertV alid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);CTestDoc* CT estV iew::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CT estD oc)));return (CT estDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew message handlers三、运算结果截屏红色的曲线为原函数图像，黑色曲线为分段三次Hermite插值曲线四、算法分析上述图像中黑色的曲线为分段分段三次Hermite插值多项式所对应的图像，由图像可看出黑色的分段三次Hermited插值函数图像和拉格朗日、分段线性插值相比与红色被逼近函数的重合度最好，说明分段三次Hermite插值在函数的各节点两边插值函数的导数是相等的，保证了在各节点的平滑性，且不会出现Runge现象。
两点三次埃尔米特插值余项证明
两点三次埃尔米特插值余项证明《两点三次埃尔米特插值余项证明》1. 概述在数值分析中，插值是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估算未知数据点的值。
而埃尔米特插值则是一种特殊的插值方法，可以通过已知点的函数值以及导数值来构造插值多项式，进而进行函数值的估算。
2. 两点三次埃尔米特插值在插值问题中，特别是在微积分和数值分析中，两点三次埃尔米特插值是一种常见且重要的技术。
它通过两个数据点的函数值和导数值，构造出一个三次多项式，可以更加准确地近似原始函数，并且可以保持更高的导数连续性。
这种方法在实际问题中具有很强的适用性，尤其是在需要对曲线进行平滑插值的情况下。
3. 余项证明在使用插值方法进行数据估算时，余项是一个重要的概念。
它代表了插值多项式与原函数之间的差距，可以用来评估插值的准确性和可靠性。
对于两点三次埃尔米特插值而言，余项的证明是一项关键的工作，它可以帮助我们理解插值多项式的误差情况，进而指导我们对插值结果的使用和解释。
4. 个人观点和理解作为一种高级的数值计算方法，两点三次埃尔米特插值在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在科学计算和工程领域。
通过对余项的详细证明和分析，我们可以更加深入地理解插值方法的原理和实际效果，进而更加灵活地应用这一技术解决实际问题。
5. 总结两点三次埃尔米特插值作为一种高级的插值方法，通过对已知点的函数值和导数值进行合理的处理，可以构造出一个更加精确的插值多项式，用于估算未知点的函数值。
在实际应用中，我们需要充分理解余项的证明和分析，以便更好地评估插值结果的准确性和可靠性。
通过以上文章内容的布局和深度处理，可以详细解释和讨论所提及的主题，从而全面了解和深入了解其背后的知识和原理。
6. 余项证明的数学推导在两点三次埃尔米特插值中，我们需要构造出一个三次多项式，以满足已知数据点的函数值和导数值。
设两个已知点为(x0, y0)和(x1, y1)，以及它们各自的一阶导数值y'0和y'1。
5.4 三次Hermite插值
其中a，b为待定系数。
1 . 由 0 ( x0 ) 1, 可得 a 2 ( x0 x1 ) 2 . ( x0 ) 0, 可得 b 由 0 3 ( x0 x1 )
将a，b代入得
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
2
三次Hermite插值多项式 H3 ( x) 的表达式为
H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
可以证明，其余项为
f (4) ( ) R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 , 4! 其中 介于 x0 , x1 之间。
0 0
1 ( x)
0
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
2
类似地，将 x0 , x1 互换，可得
x x1 x x0 1 ( x ) 1 2 x x x x 0 1 1 0
1
0 0 0
0 0
1 ( x)
0
P ( xi ) f ( xi ) f i P ( xi ) f ( xi ) f , i 0,1, ,n
P( x)可以是最高次数为 2n 1次的多项式
两个节点就可以用 2 1 1 3次多项式作为插值函数
(2) 同样, 若要求P( x)在[a, b]上具有m阶导数(m阶光滑度 ) 即P( x)在节点 x0 , x1 ,, xn处必须满足
并给出余项公式。
( x1 ) m1, (i 0,1,2), H3 ( xi ) yi , H3 H3 ( x) y00 ( x) y11( x) y22 ( x) m11( x)
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
(2n2)
( ) ( x x j )
j0
n
2
(3.4－11)
x x 0 x x1 h0 ( x ) 1 2 . x 0 x1 x 0 x1
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 2 h1 ( x ) 2 g 0 ( x ) m 1 g 1 ( x ) x 0 x 1 x 1 x 0 1 2 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 2( x 0) x 1 x0 m 1 ( x 1) 0 1 1 0
2
h 1 ( x ) 1 2 l 1 ( x 1 )( x x 1 ) l 1 ( x ),
2
g 0 ( x ) ( x x 0 ) l 0 ( x ), ( x ) ( x x 1 ) l 1 ( x ). g1
2 2Leabharlann Hermite插值余项定理 定理 假设函数f (x)在 x [ a , b ] 上具有(2n+1)阶连续导数，在 x [ a , b ] 内存在(2n+2)阶导数，那么对于x [ a , b ] ，必定存在一点 ( a , b ) 使 得下式成立：
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
h0 ( x 0 ) 0,
同理
x x 0 x x1 h0 ( x ) 1 2 x x . x 0 x1 0 1
有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用
π 2 （4），得：TH（i t）=
a
3
cos
π
2
t，a
3
sin
π
2
t
，它表示星形线，如图 5
所示，图中实线对应 t∈[0，1]，虚线对应 t∈[1，4]。
（4）令 qi=qi+1=（0，0），qi+2=（πa，0），qi+3=（0，-πa）（a≠0）及
摘 要：给出一种有理三次三角 Hermite 插值样条曲线，具有三次 Hermite 插值样条相似的性质。该样条含有三角函数和形状参
2
数，利用形状参数的不同取值可以调控插值曲线的形状，甚至不用解方程组，就能使曲线达到 C 连续。此外，选择合适的控制点和 形状参数，这种样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线。 关键词：三次插值样条；有理三次三角插值样条；超越曲线；星形线；四叶玫瑰线 DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.05.003 文章编号：1002－8331（2010）05-0007-03 文献标识码：A 中图分类号：TP391
π 2 （2）令 qi=qi+2=（a，a），qi+1=（0，0），qi+3=
-
πa 2
，0
（a≠0），及
π 2 μi=μi+1，代入式（4），得 TH（i t）=
a cos π 2
t，a
3
cos
π
2
t
，它表示一
条三次抛物线，如图 4 所示。
图 3 椭;2=（a，0），qi+1=qi+3=（0，a）（a≠0）及 μi=μi+1，代入式
XIE Jin，TAN Jie-qing，LI Sheng-feng，et al.Rational cubic trigonometric Hermite interpolation spline curves and appli－ puter Engineering and Applications，2010，46（5）：7-9.
三次Hermite插值
04 实例分析
CHAPTER
实例一：已知数据点的插值
总结词
利用已知数据点进行插值，可三次Hermite插值方法，利用已知的数据点来估计未知点的值。这 种方法能够更好地处理数据点的变化，并提高插值的精度。
CHAPTER
插值多项式的构造
定义
Hermite插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多 项式，使其能够准确地经过这些数据点，并尽可能地平滑地 连接这些点的方法。
构造方法
Hermite插值多项式由两个部分组成，一个是线性函数，另 一个是二次函数。线性函数部分用于确保插值多项式能够准 确地经过数据点，而二次函数部分则用于保证插值多项式的 平滑性。
实例二：未知数据点的插值
总结词
在未知数据点的情况下，可以通过三次 Hermite插值方法，预测并估计未知点的值。
详细描述
在数据点未知的情况下，可以利用三次 Hermite插值方法，根据已知的数据点来预 测和估计未知点的值。这种方法能够为后续 的数据分析和处理提供重要的参考依据。
实例三：复杂函数的插值
三次Hermite插值能够提供高精度的插值结果，特别是在处理
复杂函数时。
稳定性好
02
该方法在处理大数据集时表现出良好的稳定性，不易受到噪声
和异常值的影响。
易于实现
03
三次Hermite插值的算法相对简单，易于在计算机上实现和优
化。
三次Hermite插值的局限性
对初始数据敏感
三次Hermite插值的结果对初始数据的选择 较为敏感，不同的初始数据可能导致不同的 插值结果。
三次Hermite插值曲线的能量优化
下 面 讨 论 当 自 由 变 量 α1 α 2 β1 β 2 取 何 值 时 ， 曲线
p(u) 的能量函数 f (α1 α 2 β1 β 2) 最小。
之满足如下条件：
ì p(u i ) = p i , p(u i + 1/3) = α1, p(u i + 2/3) = α 2 , p(u i + 1) = p i + 1 í î p′(u i ) = T i , p′(u i + 1/3) = β1, p′(u i + 2/3) = β 2 , p′(u i + 1) = T i + 1 α1 、 α 2 、β1 和 β 2 是四个自由变量。 其中，
光顺性是一个在 CAGD 中应用很普遍又很重要的
概念， 国内外许多学者对此作了大量研究， 提出了很多 光顺方法， 如 Kjellander 法、 量法及最小二乘法等 [13]。其 中， 能量法是一种整体优化方法， 其光顺效果好， 为人们 普遍采用的一种曲线光顺方法。光顺法的关键是： 能量 函数的确定， 优化问题的求解。 对于曲线 p(u) ， 一般选用 ||p(u)″||2 du 和 p ‴(u)du 作 为曲线的能量函数。其中，p″(u) 为 p(u) 的二阶导数， 体现了曲线的曲率因素。 p ‴(u) 为 p(u) 的三阶导数， 体 现了曲线的挠率因素。由于上述两个能量函数不依赖 曲线的参数化， 能取得较好的光顺效果， 且计算量较小， 便于在计算机上实现， 故在曲线光顺优化中得到了普遍 的应用。
f (α1 α 2 β1 β 2) = u ||p″(u)||2 du = u
i
ui + 1
ui + 1 3
i
||p″(u)||2 du + ||p″(u)||2 ห้องสมุดไป่ตู้u
Hermite插值的若干问题研究毕业设计论文
毕业论文（设计）Hermite插值的若干问题研究Study of Hermite interpolation problems申请学位：学士院系：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学专业姓名：学号：指导老师：[摘要]本文主要是具体讨论Hermite插值的若干问题，主要介绍了二重Hermite插值在具体应用中出现的实际问题，并通过几个例子说明建立Hermite 插值多项式的方法、两点三次Hermite插值及其余项、Hermite插值公式的相关问题。
并编程计算来比较几种方法。
通过推导和证明得知三次Hermite插值已经较高，再高可能发生Runge现象。
关键词: 二重Hermite插值多项式，唯一性定理，误差定理[Abstract]This paper is detailed to discuss some problems of the Hermite interpolation, mainly introduced the double Hermite interpolation in the specific application of practical problems, and through several examples establish Hermite interpolation polynomial method, two point three times of Hermite interpolation and its remainder term, Hermite interpolation formula of the related problems. And the program calculation to compare several methods. By derivation and proof that cubic Hermite interpolation has been high, high Runge phenomenon may occur againKeywords: Double Hermite interpolation polynomial, the uniqueness theorem, the theorem of the error目录1、Hermite插值概述1.1 Hermite插值定义 (1)1.2 Hermite插值公式的推导 (2)1.3 几个重要的定理 (4)2、两点三次插值及其余项2.1 两点三次插值 (3)2.2 两点三次插值的余项 (4)2.3 三次埃尔米特插值多项式 (6)2.4 二重Hermite插值多式 (7)3、重节点插商与Hermmite插值3.1 重节点插商 (10)4、例题及其解答 (12)5、参考文献 (17)6、附录 (18)7、谢辞 (20)1 Hermite 插值概述1.1 Hermite 插值的定义理论背景：许多实际插值问题中，为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。
2点三次Hermite插值多项式
2
M 2 max | f ( x) |, h max | xi xi 1 |
a x b
证明：
在每个小区间 [ xi , xi 1 ](i 0,1,, n 1)
f ( i ) Ri ( x ) ( x xi )( x xi 1 ) 2! 在区间 [a , b]上
先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值 多项式P2 (x)，易得 设
1 2 3 P2 ( x) x x 2 2
P 4 ( x) P2 ( x) ( Ax B)( x 0)( x 1)( x 2)
其中A，B为待定系数. 利用两个导数条件确定系数 A、B.
•插值余项与节点的分布有关； •余项公式成立的前提条件是f ( x ) 有足够阶连续导 数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加， 这个条件一般很难成立； ( n 1) ( ) 可能会增大。 •随着节点个数的增加，f
随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 。取 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 构造辅助函数
F (t ) f (t ) H3 (t ) C( x)(t x0 ) (t x1 )
2
2
10
显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和x1也是
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
浅谈分段三次埃尔米特插值
H3 (x) y00 (x) y11 (x) m0 0 (x) m11 (x) 由上表可知 0 (x1) 0(x1) 0 可将它写成 0 (x) [a b(x x0 )](x x1)2
由
，得
再由
，得
，所以
同样由
，可令
再由
，
，
所以
即 l0 (x),l1(x) 为以 (x0 , y0 ), (x1, y1 ) 插值点 Lagrange 一次 基函数。
·71·
化的数据，但是通过插值法就可以将这些数据变成一个具有一定关系的函数表达式。在求解插值函数时希望的是能够无限靠
近离散数据，那么为了使插值函数能够更加与原函数吻合，不但要求节点处相等，更加要求其导数值也相等，这种插值就叫
做埃尔米特插值。文章通过介绍三次埃尔米特插值，对其唯一性和插值余项进行详细说明。
关键词 插值法；埃尔米特插值；插值余项
式 H3 (x) ,
使其满
足：
HH33'
(xi (xi
) )
yi mi
(i=0,1), H 3 (x) 称为三次
埃尔米特插值多项式。
下面的定理给出了插值多项式的存在唯一性。
定理 3 满足条件式
H 3 (xi )
yi
,
H
' 3
(
xi
)
mi
(i=0,1) 的三
次埃米尔特插值多项式存在且唯一。
构造方法：设三次埃尔米特插值多项式表达式如下:
1 三次埃尔米特插值多项式
问题描述：设 y=f(x)是区间[a, b]上的实函数， , 是
[a, b]上相异两点，且 ＜ , y=f (x)在 上的函数值和一阶导
. Al数l值分Ri别g为hty sf (Rxie) (si=e0,r1)v和emdi . f ' (xi ) (i=0,1)，求三次多项
2点三次Hermite插值多项式.
三次Hermite插值多项式的余项
定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一
个(a, b)（依赖于x）使
R3( x) f ( x) H3( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1
)2
9
证明: 由插值条件知
3 2
2B
0
P4(1)
1 2
(A
B)
1
解得A=1/4, B=-3/4
故
P4
(x)
1 2
x2
Hale Waihona Puke 3 2x
1 4
(x
3)x(x
1)(x
2)
1 4
x2
(x
3)2
第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
Rn1( x)
1 0
1(x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( (
x1 ) x0 )
0 1
0 (x1) 0
1(x0 ) 0
1 ( x1 1( x0
) )
0 0
1(x1) 1
3
两点三次Hermit插值（续2）
其中 0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
都是次数为3的多项式
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
分段三次Hermite插值
摘要用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域，但是在实际问题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。
如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式，是经常遇到的问题。
对于这类问题我们解决的方法为插值法，而最常用也最简单的插值方法就是多项式插值。
当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即假设给定了n+1个点的自变量的值以及函数值，近似函数必须要过这n+1个点。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求n次代数曲线y=P n（x）通过n+1个点作为f（x）的近似。
但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近似效果并不理想。
根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时，会出现龙格现象。
因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的。
但是当在每个小区间上用一次函数进行插值时，有很好的收敛性但是光滑度不够，因此本实验将用三次Hermite进行插值，做具体的讨论和学习。
关键词：龙格现象分段差值三次Hermite进行插值1、实验目的1)通过对分段三次Hermite插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2)体会分段三次Hermite插值比分段线性插值优越在哪里3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程分段线性插值多项式在插值区间上只能保证连续性，而不光滑。
要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite）插值，这里我们考虑在整个上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近。
一般的将带有导数的插值多项式称为Hermite插值多项式。
如果已知函数在节点处的函数的值和导数值：则在小区间上有四个插值条件：故能构造一个三次多项式，并称为三次Hermite插值多项式。
这时在整个上可以用分段三次Hermite插值多项式来逼近。
其中满足条件：关于的构造，我们可以通过基函数来进行，这时令其中、、和均为三次多项式，并称为三次Hermite 插值多项式的基函数。
分段三次 hermite 插值多项式的数学表达
分段三次 hermite 插值多项式的数学表达Hermite插值多项式是一种用于在给定的点集上进行插值的数学工具。
与其他插值方法不同的是，Hermite插值多项式不仅考虑了函数在各个插值点上的函数值，还考虑了函数在该点上的导数值。
这使得Hermite插值多项式能够更准确地拟合函数的曲线特征，特别是在存在函数奇点或不连续点的情况下。
要理解Hermite插值多项式的具体数学表达，首先需要了解插值点和插值条件的概念。
设给定的插值点集为{(x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ..., (xn, fn, f'n)}，其中xi为插值点的横坐标，fi为插值点的纵坐标，f'i为插值点的导数值。
我们的目标是构造一个多项式P(x)，满足以下条件：1.在每个插值点(xi, fi)处，多项式P(x)的函数值等于fi：P(xi) = fi；2.在每个插值点(xi, fi)处，多项式P(x)的导数值等于f'i：P'(xi) = f'i。
根据这些插值条件，我们可以得到Hermite插值多项式的数学表达式。
首先，我们需要定义一个Lagrange插值基函数Lk(x)，用于描述在插值点xi处的多项式P(x)的函数值。
Lagrange插值基函数可以通过以下公式计算得到：Lk(x) = Π(j ≠ k) [(x - xj) / (xk - xj)]其中Π是乘积符号，j和k分别表示插值点的索引。
然后，我们可以构造Hermite插值多项式Hk(x)，它的数学表达式可以通过Lagrange插值基函数和插值点的函数值、导数值得到：Hk(x) = [1 - 2(x - xi)L'i(xi)]Li(x)^2 + (x - xi)Li(x)^2 其中Li(x)表示第i个插值点处的Lagrange插值基函数，L'i(xi)表示第i个插值点处的Lagrange插值基函数的导数值。
分段三次Hermite插值(可编辑修改word版)
摘要用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域，但是在实际问题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。
如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式，是经常遇到的问题。
对于这类问题我们解决的方法为插值法，而最常用也最简单的插值方法就是多项式插值。
当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即假设给定了 n+1 个点的自变量的值以及函数值，近似函数必须要过这n+1 个点。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求 n 次代数曲线y=Pn （x）通过 n+1 个点作为 f（x）的近似。
但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近似效果并不理想。
根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时，会出现龙格现象。
因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的。
但是当在每个小区间上用一次函数进行插值时，有很好的收敛性但是光滑度不够，因此本实验将用三次 Hermite 进行插值，做具体的讨论和学习。
关键词：龙格现象分段差值三次Hermite 进行插值i i ‒ 1 i ‒ 1 i iH 2(x ),x ∈ [x 1,x 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ H n (x ),x ∈ [x n ‒ 1,x n ]1、实验目的1) 通过对分段三次 Hermite 插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2) 体会分段三次 Hermite 插值比分段线性插值优越在哪里 3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程分段线性插值多项式S (x )在插值区间[a ,b ]上只能保证连续性，而不光滑。
要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite ）插值，这里我们考虑在整个[a ,b ]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近f (x )。
一般的将带有导数的插值多项式称为 Hermite 插值多项式。
如果已知函数y = f (x )在节点a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b 处的函数的值 和导数值：y i = f (x i ),y ' = f '(x i ),i = 0,1,2,⋯,n则在小区间[x i ‒ 1,x i ]上有四个插值条件：y i ‒ 1 = f (x i ‒ 1),y i = f (x i )y ' = f '(x ),y ' = f '(x ) 故能构造一个三次多项式H i (x )，并称为三次 Hermite 插值多项式。
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《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。
由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。
为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。
为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。
在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。
通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。
分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。
二、算法设计2.1 分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来的逼近函数)(x f 。
设已知节点b x x x a n =<<= 10上的函数值,,,,10n f f f 记,1k k k x x h -=+,max k h h =求一折线函数)(x I h 满足：（1）];,[)(b a C x I h ∈（2）);,,1,0()(n k f x I k k h ==（3）)(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上是线性函数. 则称)(x I h 为分段线性插值函数。
由定义可知)(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上可表示为.1,,1,0,,)(11111-=≤≤--+--=+++++n k x x x f x x x x f x x x x x I k k k kk kk k k k h分段线性插值的误差估计可利用插值余项公式)()()()(11112x l y x l y x l y x L k k k k k k ++--++=得到|))((|max 2|)()(|max 1211+≤≤≤≤--≤-+=k k x x x h x x x x x x x M x I x f k k kx k 或228|)()(|max h M x I x f h bx a ≤-≤≤ 其中.|)(''|max 2x f M bx a ≤≤=由此还可得到)()(lim 0x f x I h h =→在],[b a 上一致成立，故)(x I h 在],[b a 上一致收敛到)(x f 。
2.2 分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数)(x I h 的导数是间断的，若在节点),,1,0(n k x k =上除已知函数值kf 外还给出导数值),,1,0('n k m f k k ==这样就可构造一个导数连续的分段插值函数),(x I h 它满足条件：（1）];,[')(b a C x I h ∈（2）),,1,0(')(',)(n k f x I f x I k k h k k h ===; （3）)(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上是三次多项式。
根据两点三次插值多项式可知，)(x I h 在区间],[1+k k x x 上的表达式为111211211)21()()21()()(+++++++--+--+--+--=k k x k k k k k k k k x k k h f x x x x x x x x f x x x x x x x x x I')()(')()(1121211+++++---+---+k k kk k k k k k k f x x x x x x f x x x x x x上式对于1,,1,0-=n k 成立。
利用三次埃尔米特插值多项式的余项可得误差估计],[|,)(|max 3841|)()(|1)4(41+≤≤∈≤-+k k z x x k h x x x x f h x I x f k k 其中k k k x x h -=+12.3功能框图程序可以通过输入插值函数，插值结点个数，来实现插值，还可以选择插值方式，具体框图如下三、例题计算1.插值函数为1xf=x)(2+输入6个节点的分段线性插值输入6个节点的分段三次埃尔米特插值请输入插值函数：x^2+1请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>> 1 请输入插值节点数N=6是否继续（1为继续）：1请输入插值函数：x^2请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>> 2 请输入插值节点数N=6是否继续（1为继续）：22.插值函数为)fx(xcos()输入节点为8的分段线性插值输入节点为8的分段三次埃尔米特插值请输入插值函数：cos(x)请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>> 1 请输入插值节点数N=8是否继续（1为继续）：1请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>> 2 请输入插值节点数N=83.插值函数为x e(x)f输入节点为10的分段线性插值输入节点为10的分段线三次埃尔米特插值请输入插值函数：exp(x)请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>> 1 请输入插值节点数N=10是否继续（1为继续）：1请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>> 2 请输入插值节点数N=10四、误差及结果分析4.1例题误差分析1. 1)(2+=x x f 误差n 值取8,由分段线性插值余项公式|))((|max 2|)()(|max 1211+≤≤≤≤--≤-+=k k x x x h x x x x x x x M x I x f k k kx k 可得误差限为25.18102)(''max =⨯x f 由插值图像和误差可知误差结果较大由分段三次埃尔米特插值余项公式],[|,)(|max 3841|)()(|1)4(41+≤≤∈≤-+k k z x x k h x x x x f h x I x f k k 可得误差限为00)(384141=⨯-+k k x x 误差为零因此分段三次埃尔米特插值较为精确2. )cos()(x x f =误差n 值取10，分段线性插值误差限为2110102)(''max =⨯x f 分段三次埃尔米特插值误差限为38411)(384141=⨯-+k k x x 由误差结果可知分段三次埃尔米特插值得到的结果更为精确3. x e x f =)(误差n 值取12，分段线性插值误差限为61.838812512102)(''max 5==⨯e x f 分段三次埃尔米特插值误差限为0.1864)65(3841)(384154541=⨯⨯=⨯-+e e x x k k 由误差结果可知分段三次埃尔米特插值得到的结果更为精确综上可知，同等条件下分段三次埃尔米特插值得到的结果更为精确4.2结点个数对插值结果的影响为了进一步研究误差与插值节点的关系，我们以例题3的分段三次埃尔米特插值为例n 值取4时，误差为15.0974，插值图像如下n值取5时，误差为6.1839，插值图像如下n值取6时，误差为2.9822，插值图像如下n值取8时，误差为0.9436，插值图像如下通过误差限和得到的图像可知，插值节点越多，得到的图像越精确。
五、总结及心得体会刚看到题目时，心里一片茫然不知该如何下手，因为计算方法的课程设计和之前做的课程设计有很大的不同，特别是不知论文该写哪些东西，后来通过查阅书籍和网络搜索同类论文了解了它的写作内容。
总是有很多的问题存在，只是大多时候都隐藏了起来，当我们发现问题时，应该以平常的心态去对待，着急是没有用的，我们要做的就是在最短的时间内找出解决的办法。
在学习计算方法课程的时候，发现它确实不好学，只是应付考试就尚且有些费劲，要想真正弄精就更是困难了，不过这也是没有办法的事，毕竟就是有很多东西很难理解甚至是理解不了的，要想比别人更厉害，就得花些时间在难以理解的问题上。
在做课设时有些同学做了界面现一想还急火攻心，开始自己也想着做一下界面，可是有难度，不得不佩服那些能人，既然那东西不会，就只能乖乖用自己会的了。
有时候我不得不再次钦佩自己的团队协作能力，同样又是和不同的人组队，依旧是碰撞出激情的火花，我只想说团结就是力量。
我们最大的敌人是我们自己，我一直深信，在做的过程中，脑海中一直在想别人做的怎么样了，是不是比自己做的更好，当静下心来时，才恢复过来，管别人干什么，尽自己最大的努力把东西最好不就可以了吗，相信自己一定能做好。
有一个伟人曾说过如果给他一把斧头用六个小时去砍柴，他会用四个钟头取磨这把斧头，课设前的准备是很重要的，还好，通过学习计算方法了解了许多计算方法的知识。
我们学习的知识有很多是模糊的，当在规定的时间去完成任务是，我们所要做的就是把可能用到的知识拾起来或是尽快学会一种方法来解决它，这是一种能力，是需要我们通过锻炼去提高的。
参考文献[1]李庆扬，王能超，易大义．数值分析（第5版）．北京：清华大学出版社，2008．[2]李庆扬，关治，白峰杉．数值计算原理．北京：清华大学出版社，2000．[3]李海，邓樱．MATLAB程序设计教程．北京：高等教育出版社，2002．[4]张学敏，倪虹霞. MATLAB基础及应用. 中国电力出版社，2009.[5]易大义, 沈云宝, 李有法. 计算方法[M]. 浙江大学出版社, 2002.源程序c=1;while(c==1)syms f x lx;f=input('请输入插值函数');B=input('请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：'); if B==1N=input('请输入插值节点数N=');xx=-5:10/N:5;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);endM = -5:0.01:5;output = zeros(1,length(M));n = 1;for i=2:N+1for x=-5:0.01:5if x<xx(i) && x>=xx(i-1)lx(1)=ff(i-1)*(x-xx(i))/(xx(i-1)-xx(i));lx(2)=ff(i)*(x-xx(i-1))/(xx(i)-xx(i-1));output(n) = lx(1)+lx(2);n = n+1;endendendezplot(f,[-5,5])hold onA =-5:0.01:5;plot(A,output,'r');endif B==2N=input('请输入插值节点数N=');f1=diff(f);xx=-5:10/N:5;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);ff1(i)=eval(f1);endM = -5:0.01:5;output = zeros(1,length(M));n = 1;for i=2:N+1for x=-5:0.01:5if x<xx(i) && x>=xx(i-1)lx(1)=ff(i-1)*(x-xx(i))^2/(xx(i-1)-xx(i))^2*(1+2*(x-xx(i-1))/(xx(i)-xx(i-1)));lx(2)=ff(i)*(x-xx(i-1))^2/(xx(i)-xx(i-1))^2*(1+2*(x-xx(i))/(xx(i-1)-xx(i)));lx(3)=ff1(i-1)*(x-xx(i))^2/(xx(i-1)-xx(i))^2*(x-xx(i-1));lx(4)=ff1(i)*(x-xx(i-1))^2/(xx(i)-xx(i-1))^2*(x-xx(i));output(n) = lx(1)+lx(2)+lx(3)+lx(4);n = n+1;endendendezplot(f,[-5,5])hold onA =-5:0.01:5;plot(A,output,'r');endif B~=1&&B~=2disp('输入有误，请重新输入')endc=input('是否继续（1为继续）：');closeend注：设计报告撰写说明一、正文内容要求：正文内容层次序号为：1、1.1、1.1.1……。