第23章图形的相似单元测试卷及参考答案

图（3）8 开4 开对开MNEABCD第23章 图形的相似单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,把△ABC 沿AB 边平移到△'''C B A 的位置,它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半,若2=AB ,则此三角形移动的距离是 【 】 （A ）12- （B ）22 （C ）1 （D ）21图（1）C'B'ABC A' yx图（2）EABD CO2. 如图（2）所示,A 、B 是反比例函数xy 2=的图象上的两点,AC 、BD 都垂直于x 轴,垂足分别为点C 、D ,AB 的延长线交x 轴于点E .若C 、D 的坐标分别为( 1 , 0 )、( 4 , 0 ),则△BDE 的面积与△ACE 的面积的比值是 【 】 （A ）21 （B ）41 （C ）81 （D ）1613. 如图（3）所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依次类推.如果各种开本的矩形都相似,那么ADAB等于 【 】 （A ）0. 618 （B ）22（C ）2 （D ）24. 如图（4）所示,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BDAB 的值为【 】 （A ）524 （B ）534 （C ）825 （D ）23220 图（4）l 3l 2l 1DABC 图（5）MEODB CA5. 如图（5）,在□ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 为BC 上一点,2:1:=EC BE ,则=OD MO BM :: 【 】 （A ）3:2:2 （B ）4:3:2 （C ）2:1:1 （D ）5:3:26. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定图（6）D FOBCAE图（7）7. 如图（7）所示,四边形ABCD 是矩形,点E 和点F 是矩形ABCD 外两点,CFAE ⊥于点H ,︒=∠===90,25,4,3EDF DE DC AD ,则DF 的长是 【 】 （A ）815 （B ）311 （C ）310 （D ）516图（12）EDABC8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为3 , 4 , x 的三个正方形,则x 的值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12图（8）图（9）FGHCAD9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于点H ,若2=DF AF ,则BGHF的值为 【 】 （A ）32 （B ）127 （C ）21 （D ）12510. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）522 （B ）2029 （C ）423 （D ）524 图（10）NMEFDA BC图（11）EO DBCA二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且32=AD AB ,则=ACAE_______. 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则=EF _________. 13. 如图（13）所示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=∆ACE S ,143=∆BDE S ,则=AC _________. 图（13）图（14）C BD EA图（15）C 3C 2C 1B 3B 2B 1...CBD14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在AB 、AC 上,若4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S _________.15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.三、解答题（共75分）16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF . （1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.图（16）17.（20分）如图,在△ABC 中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:BCEFAD AH =; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;（3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图（17）18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,31=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图2,在原题条件下,若)0(1>=n nAB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程. （3）拓展迁移在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△ABC 的边长为a ,,b ABAE=则CD 的长为______________ （用含b a ,的代数式表示）.图 1DEA C图 2DEAC19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若,1=DEAE 求CF AF的值. （1）尝试探究在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CFAF的值是_________. （2）类比延伸如图2,在原题的条件下,若)0(>=m m DEAE ,则CF AF的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程. （3）拓展迁移如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若)0,0(,>>==b a b DEAE a DC BD 则CF AF的值是________（用含b a ,的代数式表示）.图 1F EBCA图 2EBCAFE图 3BCAD F第23章 图形的相似单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 4312.5 13. 2 14. 9 15. 1225-n n部分选择题、填空题答案解析4. 如图（4）所示,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B、C分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BDAB的值为 【 】 （A ）524 （B ）534（C ）825 （D ）23220 图（4）32l 1解析:作3l AE ⊥于点E ,交2l 于点F .∴3,1==EF AF ∴4=+=EF AF AE ∵32//l l∴△ADF ∽△ACE ∴41==AE AF AC AD ∴AD BC AC 4== 设x AD =,则x BC AC 4== ∴x CD 3=在Rt △ABC 和Rt △BCD 中,分别由勾股定理得:()()x x x AB 244422=+= ()()x x x BD 54322=+=∴524524==x x BD AB ∴选择答案【 A 】.6. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定图（6）解析:连结AO 、DO .∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点 ∴BC AO EF DO ⊥⊥,︒=∠=∠60ABO DEO ∴︒=∠=∠90AOB DOE3tan tan =∠=∠ABO DEO∴AOE AOB AOE DOE ∠+∠=∠+∠ ∴BOE AOD OBOAOE OD ∠=∠==,3 ∴△AOD ∽△BOE ∴3===OBOAOE OD BE AD 即=BE AD :1:3 ∴选择答案【 A 】.8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为 3 , 4 ,x 的三个正方形,则x 的值为 【 】（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12图（8）解析:4,3-=-=x GM x EF 不难证明:△DEF ∽△GMH∴MH EFGM DE =∴4343-=-x x 解之得:7=x （0=x 舍去） ∴选择答案【 C 】.9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于点H ,若2=DF AF ,则BG HF的值为【 】 （A ）32 （B ）127（C ）21 （D ）125图（9）FGHCAD解析:∵四边形ABCD 是菱形 ∴AD AB CD AB =,//∴△DFH ∽△AFB ,△DGH ∽△EGB ∴EBDHBG HG AB DH BF HF AF DF ===,设x FG =∵2=DFAF∴21,21=+===x BG HF AB DH AF DF BF HF ∴()x BG HF +=21∵DF AE =∴AE DF DF AF AB AD 33==+== ∴AB AE BE 322== ∴4321232332=⨯=⋅===ABDH AB DH BGHG EBDH ∴43=+BG x HF ∴()x x BG x HF BG 4214443++⨯=+= ∴x BG 6=∴()x x x HF 27621=+=∴127627==x xBG HF ∴选择答案【 B 】.10. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）522 （B ）2029 （C ）423 （D ）524 图（10）解析:作AD MH ⊥,交AD 于点H ∴AE MH //∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD BC AD //,3== ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN∵FC BF 2= ∴232==BC BF ∴︒=∠=∠=45,FAD AFB BF AB ∴MH AH =在Rt △ABF 中,由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF∵△ADN ∽△FBN ∴23==FB AD FN AN ∴526225353=⨯==AF AN 设x MH =,则x DH x AH -==3, ∵点E 为AB 的中点 ∴121==AB AE . ∵AE MH // ∴△DHM ∽△DAE∴331,xx DA DH EA MH -== 解之得:43=x∴43==MH AH在Rt △AHM 中,由勾股定理得:42343432222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=MH AH AM ∴2029423526=-=-=AM AN MN ∴选择答案【 B 】.解析二:如图所示,延长DC ,交AF 的延长线于点G .∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD CD AB CD AB //,2,//== ∵FC BF 2= ∴232==BC BF ,123=-=FC ∴︒=∠=∠=45,G BAF BF AB ∴1==GC FC在Rt △ABF 和Rt △GCF 中,分别由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF2112222=+=+=GC FC GF∴23=+=GF AF AG ∵点E 为AB 的中点 ∴121==AB AE . ∵CD AB // ∴DG AE // ∴△AEM ∽△GDM ∴31121=+==GM AM GD AE ∴42943,3===AG GM AM GM ∴4252429=-=-=GF GM FM ∵BC AD // ∴BF AD //∴△ADN ∽△FBN∴23==FB AD FN AN ∴524225252=⨯==AF FN 2029524425=-=-=FN FM MN . ∴选择答案【 B 】.解析三:如图所示,作AD FH ⊥于点H ,交DE 于点G .∴AB FH AE GH //,//∴△DHG ∽△DAE ,△AEM ∽△FGM ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD // ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN ∵FC BF 2= ∴232==BC BF ∴123,2=-==DH AH ∵点E 为AB 的中点∴121==AB AE .∵△DHG ∽△DAE∴131,HGAE HG DA DH == ∴35312,31=-==FG HG在Rt △ABF 中,由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF∵△AEM ∽△FGM∴53351===FG AE FM AM ∴425228585=⨯==AF FM ∵△ADN ∽△FBN ∴23==FB AD FN AN ∴524225252=⨯==AF FN 2029524425=-=-=FN FM MN ∴选择答案【 B 】.11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且32=AD AB ,则=ACAE_______. 图（11）解析:作AC BF //,交DE 于点F . 易证:△BOF ≌△COE ∴CE BF =∵32=AD AB ∴31=AD BD ∵AC BF // ∴AE BF // ∴△BDF ∽△ADE∴31==AD BD AE BF ∴31=AE CE ∴43=AC AE . 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则=EF _________.图（13）B图（12）解析:根据题目所给条件,不难证明: △AOE ≌△COF ∴OF OE = ∴OE EF 2=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:52422222=+=+=BC AB AC∴521==AC OA 易证:△AOE ∽△CBA ∴452,==OE CB AO BA OE ∴25=OE∴52==OE EF . 13.如图（13）所示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=∆ACE S ,143=∆BDE S ,则=AC _________.解析:作BC EH AC EF ⊥⊥, ∴CD EF //易证明四边形EFCH 是正方形 ∴x EH CF EF === ∵76=∆ACE S ,143=∆BDE S ∴4=∆∆BDEACES S ∴42121==⋅⋅BD ACEH BD EFAC ∴BD AC 4= ∵BC AC =∴BD CD BD BC 3,4== ∵CD EF // ∴△AFE ∽△ACD∴BDxBD AF DC EF AC AF 34,== ∴x AF 34=∴x x x CF AF AC 3734=+=+=∵76=∆ACE S∴763721=⨯⨯x x 解之得:76=x （76-=x 舍去）∴27637=⨯=AC .14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在AB 、AC上,若4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S ___.图（14）分析:图中△ADE ∽△ABC ,△ADE 的面积已知,根据相似三角形的性质:相似三角形的面积之比等于相似比的平方,只需求出△ADE 和△ABC 的相似比即可,又根据相似三角形的性质:相似三角形对应边上的高之比等于相似比,求出AGAH即可. 解析:作BC AG ⊥,交DE 于点H . ∵四边形DEFM 是正方形 ∴GH DE BC MF DE =,//// ∴DE AH ⊥,△ADE ∽△ABC ∴222AG AHAG AH S S ABC ADE =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆ ∵4=DEFM S 正方形 ∴2==GH DE ∵1=∆ADE S∴1221=⨯⨯AH ∴1=AH ,3=+=GH AH AG ∴911=∆ABCS ∴9=∆ABC S .15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.图（15）C 3C 2C 1B 3B 2B 1...CBD分析:本题属于规律探究题,解决问题的关键在于从有限的结果中（事实）去发现无限的变与不变的规律,最后获得一个能概括和刻画所有结果的通项公式.解析:我们分别计算一下矩形C C AB 11、矩形122C C AB 、矩形233C C AB 的面积: 由勾股定理得:5122222=+=+=CD AD AC由题意可知:251,11==AB AD AC AB AB∴251=AB∴2552511=⨯=CC AB S 矩形 由勾股定理得:()25255221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AC 由题意可知:52525,2112==AB AC AC AB AB ∴452=AB ∴32258252545122==⨯=C C AB S 矩形 同法可以求出:532532125233==C C AB S 矩形 把三个面积写成一行如下:533225,25,25 可以发现分母的指数的规律是:12-n∴矩形1-n n n C C AB 的面积为1225-n n.三、解答题（共75分）16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF .（1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.图（16）解:（1）△BMN 是等腰直角三角形. ……………………………………2分理由如下:∵,AC AB =点M 是BC 的中点∴BC AM ⊥,BAC ∠=∠211 ……………………………………4分 ∴︒=∠90BMN ∴△BMN 是直角三角形……………………………………5分 ∵BN 平分ABE ∠ ∴ABE ∠=∠212 ∵BD AC ⊥∴︒=∠+∠90ABE BAC ∵21∠+∠=∠BNM……………………………………6分 ∴()︒=∠+∠=∠4521ABE BAC BNM ……………………………………7分∴︒=∠=∠45BNM NBM ∴MN BM =∴△BMN 是等腰直角三角形; ……………………………………8分 （2）△MFN ∽△BDC .……………………………………9分 理由如下:∵点F 、M 分别是AB 、BC 的中点∴AC MF AC MF //,21=……………………………………10分 ∵BD AC =∴BD MF 21= ∴21=BD MF ………………………11分 ∵MN BM =,BC BM 21=∴BC MN 21=∴21=BC MN ………………………12分 ∴BC MN BD MF =……………………13分 ∵AC MF // ∴FMB ACB ∠=∠ ∵︒=∠+∠90CBD ACB︒=∠+∠90NMF FMB ∴NMF CBD ∠=∠……………………………………14分∵BC MNBD MF =,NMF CBD ∠=∠ ∴△MFN ∽△BDC .……………………………………15分 17.（20分）如图,在△ABC中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:BCEFAD AH =; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图（17）（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴PQ EF // ∴BC EF // ∴△AEF ∽△ABC .……………………………………3分 ∵BC AD ⊥ ∴EF AH ⊥ ∴BCEFAD AH =; ……………………………………4分（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写）（2）由（1）可得:108xAH =∴x AH 54=……………………………………5分 ∴x AH AD DH EQ 548-=-== ……………………………………6分 ∴x x x x EQ EF S EFPQ8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=矩形……………………………………7分 配方得:=EFPQ S 矩形()205542+--x ……………………………………9分 ∴当5=x 时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;……………………………………10分 （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知:4,5===PF EQ EF ……………………………………11分 ∵︒=∠45C∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴4==PC PF ∴9=+=PC PQ QC 分为三种情况:①如图1,当0≤t ＜4时,设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角三角形图 1∴t FN MF ==22120t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形∴20212+-=t S ;……………………………………14分 ②当4≤t ＜5时,如图2所示,图2Ft QC t ME -=-=9,5∴()()[]28449521+-=⨯-+-=t t t S ; ……………………………………17分 ③当5≤t ＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则t QC QK -==9. ∴()()22921921-=-=t t S ……………………………………19分图 3F综上所述, S 与t 的函数关系式为:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=959215428440202122t t t t t t S……………………………………20分说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .注意:当4=t 时,如图4所示;当5=t 时,如图5所示;当9=t 时,面积S =0,故在这里不再给出图形.图 4(P )图 5F18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,31=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图2,在原题条件下,若)0(1>=n nAB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程.（3）拓展迁移在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△ABC 的边长为a ,,b ABAE=则CD 的长为______________（用含b a ,的代数式表示）.图 3解:（1）316,==CD BD AE ; ……………………………………6分 解析:如图1所示.图 1∵△ABC 是等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABC A ∴︒=∠1202 ∵EF ∥BC∴︒=∠=∠=∠60A ABC AEFDCE ∠=∠1∴△AEF 是等边三角形 ∴︒=∠=60,AFE FE AE ∴︒=∠1203 ∴32∠=∠ ∵EC ED = ∴DCE D ∠=∠ ∴1∠=∠D在△BDE 和△FEC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC DE D 321 ∴△BDE ≌△FEC （AAS ） ∴FE BD =∵FE AE = ∴BD AE =∵31=AB AE ,314=AE ∴34=AE∴34=BD∴316434=+=+=BC BD CD .（2）m n m+;……………………………………9分解:∵m AB n AB AE ==,1∴nm AE 1=∴n mAE =………………………11分由（1）可知:BD AE =∴nmBD =………………………13分 ∴m n mBC BD CD +=+=.……………………………………16分 （3）a ab -或ab a -.……………………………………20分 解析:注意题目中的条件:“点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上”,据此分为两种情况:①当点D 在线段BC 上时,如图3所示.过点E 作EF ∥AC ,交B C 的延长线于点F .∵△ABC 是等边三角形 ∴△EBF 也是等边三角形 ∴∠B =∠F =60° ∵ED =EC ∴∠EDC =∠ECD ∴∠BDE =∠FCE 在△BDE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FE BE FCE BDE F B ∴△BDE ≌△FCE (AAS) ∴BD =CF ,BD =FC =AE ∵AB =a ,b ABAE= ∴AE =BD =ab∴ab a BD BC CD -=-=;②当点D 在BC 的延长线上时,作和①同样的辅助线,如图4所示.图 4同理可证:△BCE ≌△FDE (AAS) ∴BC =FD =a∵求出AE =CF =ab ∴a ab DF CF CD -=-=;（可以排除点D 在线段CB 的延长线上）.综上所述,CD 的长为ab a -或.a ab - 19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若,1=DEAE求CFAF的值. （1）尝试探究在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CFAF的值是_________. （2）类比延伸如图2,在原题的条件下,若)0(>=m m DEAE ,则CF AF的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若)0,0(,>>==b a b DE AE a DC BD 则CF AF的值是________（用含b a ,的代数式表示）.解:（1）21,BD AG =;……………………………………8分 提示:如图所示.图 1∵1=DEAE∴DE AE =易证:△AEG ≌△DEB ∴BD AG = ∵点D 是BC 的中点∴BC BD AG 21==∴21=CB AG ∵AG ∥BC ∴△AFG ∽△CFB∴21==CB AG CF AF ; （2）2m ;……………………………………12分 解:如图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G .∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB图 2∴m DEAEDB AG == ∵点D 是BC 的中点 ∴DB CB 2= ∴22mDB AG CB AG == ……………………………………15分∵△AFG ∽△CFB ∴2mCB AG CF AF ==; ……………………………………16分 （3）1+a ab. ……………………………………20分图 3提示:如上图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G . ∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB∴b DE AEDB AG == ∵a DC BD= ∴()DC a CB aDC BD 1,+==∴BD aa CB 1+= ∴111+=⋅+=+=a abDB AG a a DB aa AG CB AG ∵△AFG ∽△CFB∴1+==a abCB AG CF AF .。