高等数学线性代数考研教材
考研数学练习册推荐
考研数学练习册推荐考研数学，是很多学子心中的一道高难关。
而解决这道关卡当然少不了大量的练习。
在众多的数学练习册中，有一些是备考考研的必备教材，今天我将为大家推荐一些不可错过的数学练习册。
首先，令人难以忽视的是《高等数学考研精讲精练》系列。
这套教材以全面系统的方式，对高等数学中的各种知识点进行了详尽讲解，并配以大量的实例和习题。
这套教材的特点是实用性强，对于复习数学基础知识起到了很好的辅助作用。
尤其是其中的习题部分，难度适中，覆盖了考研中常出现的题型，非常贴合考试要求。
通过反复练习这些习题，可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
其次，推荐《线性代数考研精讲精练》。
在考研数学中，线性代数是一个重点、难点，也是考察的频率最高的一个知识点。
这本教材对线性代数的各个章节进行了详尽的讲解，通过简明扼要的方式，将复杂的概念和定理解释得非常清晰。
同时，每章都配有大量的习题，这些习题不仅覆盖了各种题型，而且在难度上也相对均衡。
通过大量的练习，可以帮助考生理解线性代数的基本概念和方法，并培养解题能力。
另外，还推荐一本名为《概率论与数理统计考研精讲精练》的教材。
概率论与数理统计是考研数学中难度较高的一个知识点，但在考试中的分值却相对较高，因此备考过程中需要下大功夫。
这本教材以详细和系统的方式解释了概率论与数理统计的基本概念和方法，同时又配有丰富的习题，供考生练习。
这些习题不仅考察了基本的运算技巧，还引导考生运用概率论与数理统计的方法解决实际问题。
通过反复习题的练习，可以帮助考生掌握该知识点的核心内容，并提高解题的能力。
最后，我想推荐《高等数学分析教程》系列。
这套教材是一个不可多得的高层次数学教材，既适合考研备考，又可以作为进一步深入学习数学的基础。
该教材以严谨的数学推理和详细的数学定义和定理为特点，从数学分析的基本概念入手，逐步引入极限、导数、微分、积分等高级概念和方法。
此外，每章都有大量的例题和习题，习题包含了不同难度层次，从基础题到扩展题都有，使得学生可以从浅到深地掌握数学分析的思想和方法。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
高等数学相关教材
高等数学相关教材高等数学是大学数学的重要组成部分，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个方向。
相关教材的编写对于学生的学习至关重要，下面将介绍一些与高等数学相关的教材。
一、《高等数学》（第一册、第二册、第三册）《高等数学》是国内最常用的高等数学教材之一，由教育部主管并委托北京大学编写。
这套教材在国内外都有较高的影响力，深受广大学生和教师的喜爱。
该教材以清晰的逻辑结构和丰富的例题，系统地介绍了微积分、线性代数、概率统计等相关内容。
同时，该教材还附有习题和解析，供学生进行练习和巩固知识。
二、《高等数学导论》《高等数学导论》是一本综合性的高等数学教材，主要面向工科和理科学生。
这本教材由李乃成、于法求等教授编写，内容全面，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等重要知识点。
与传统教材相比，该书注重概念的引入和宏观的整体把握，帮助学生更好地理解高等数学的基本原理和方法。
此外，该教材还加入了一些实例和案例分析，帮助学生将数学知识应用到实际问题中。
三、《高等数学习题解析与讲义》《高等数学习题解析与讲义》是一本辅助性教材，适合作为习题集和参考书使用。
该书由刘同庆、罗春富主编，以解题过程和思路为主线，详细解析了高等数学中的典型题目。
该教材的特点是注重思维方法的讲解，通过解析典型题目，帮助学生培养数学思维能力和解题技巧。
此外，该书还提供了一些拓展性问题，用于激发学生对数学的兴趣。
四、《高等数学实用教程》《高等数学实用教程》是一本面向应用型专业学生的高等数学教材。
该教材由付才培、龚昌彤等编写，内容紧密结合实际应用，注重基本理论和方法的应用引导。
该书不仅介绍了高等数学的理论知识，还涵盖了工程数学、经济数学等专业的应用领域，为学生打下坚实的数学基础。
同时，该教材还提供了丰富的例题和习题，供学生进行练习和巩固。
五、《高等数学教程》《高等数学教程》是一本系统性的高等数学教材，由斯韦主编，内容全面，理论与实践相结合。
该教材的特点是注重概念的引入和发展，以及数学知识的严密性和逻辑性。
高等数学考研教材书目
高等数学考研教材书目高等数学是考研数学科目中必修的一门课程，它在数学基础知识的掌握和数学问题解决能力的培养上具有重要的作用。
选择一本合适的高等数学考研教材对于备考考研的学生来说至关重要。
在本文中，将介绍几本常用的高等数学考研教材，供考生参考。
1. 《高等数学》（同济大学版）《高等数学》（同济大学版）是一部经典的高等数学教材，被广大考生熟知和青睐。
该教材在内容覆盖、编排思路和讲解方法等方面都较为全面和系统。
它包含了高等数学的基本概念、性质和定理，并给出了详细的证明和解题思路。
每章的习题丰富多样，分类明确。
此外，该教材还有配套的习题解析和参考答案，供考生进行自我检测和巩固训练。
2. 《高等数学》（同济大学联合编辑部版）与同济大学版相比，这本《高等数学》教材在内容和结构上基本保持一致，但解题思路和难度稍有不同。
它广泛借鉴了各个高等院校的教材和经典教材，丰富了例题和习题的类型和难度。
这本教材在试题的编写上更贴近考研的实际要求，对于拓宽考生的思维视野和提高解题能力有一定的帮助。
3. 《高等数学》（人民教育出版社版）《高等数学》（人民教育出版社版）是一本通俗易懂的高等数学教材。
它以其简练明了的语言和直观的图表，帮助考生理解高等数学的基本概念和解题方法。
该教材在内容的层次安排上比较合理，思路清晰，且注重实际应用。
同时，它还提供了大量的例题和习题供考生练习和巩固。
4. 《试论高等数学考研教材》除了上述常用教材外，还有一本名为《试论高等数学考研教材》的参考书。
该书旨在为考生提供一种不同的学习方法和角度来理解和掌握高等数学的知识。
它从考研的角度出发，对高等数学中的重要知识点进行了深入的剖析和拓展，提供了一些高质量的例题和试题。
该书对于那些想在考研中有更高的发挥的考生来说，是一本不可多得的参考资料。
总结起来，选择一本适合自己的高等数学考研教材对于备考考研的学生来说非常重要。
不同的教材有不同的特点和优势，考生可以根据自己的学习习惯和需求进行选择。
考研数学(数学三)必备资料
考研数学(数学三)必备资料考研数学（数学三）必备资料考研数学（数学三）的难度相对较高，需要考生掌握一定的数学基础，并且切实掌握各个知识点，才能顺利通过考试。
下面列出一些考研数学（数学三）必备的资料，供考生参考。
1. 《高等数学》《高等数学》是数学三的基础教材，也是考研数学（数学三）的基础教材。
这本教材全面深入地介绍了高等数学的各个知识点，包括数列与级数、函数与极限、微积分、常微分方程等内容。
考生应该认真阅读这本教材，并逐个掌握其中的知识点。
2. 《数学分析》《数学分析》是一本经典的数学教材，其中的知识点与数学三的考点高度重合。
这本教材的重点在于它对于各个知识点的详细剖析和严谨证明，考生可以通过学习这本教材，加深对于各个知识点的理解，并且逐步提高证明能力。
3. 《数学分析习题集》这本习题集是一本非常好的练习材料，内含各个知识点的练习题，考生可以通过这本习题集自我检测和巩固对于知识点的掌握程度。
同时，这本习题集中还配有详细的题解以及解题思路，考生可以通过参照题解来提高自己的解题能力。
4. 《高等代数》《高等代数》是数学三中的一大重点，这本教材详细介绍了向量空间、线性变换、矩阵和行列式等知识点。
考生应该认真学习这本教材，并掌握各个知识点之间的相关性，才能更好地解决数学三中的代数问题。
5. 《线性代数及其应用》这本书是线性代数的经典教材，其中的知识点与数学三的范围高度重合。
这本书中详细介绍了矩阵、向量空间、特征值和特征向量等知识点，考生可以通过认真阅读这本教材，逐渐加强对于知识点的理解和应用能力。
6. 《数学物理方法》这本书是数学物理方程的经典教材，其中的知识点也与数学三的考点高度重合。
这本教材详细介绍了复分析、特殊函数、变分法和群论等知识点，考生可以通过认真阅读该教材，并牢固掌握其中的知识点，提高解决数学三中物理问题的能力。
总结：上述是考研数学（数学三）必备的资料，考生应该认真阅读这些教材，并逐个掌握其中的知识点。
考研高等数学教材
高等数学：同济大学编写的高等数学第6版高等教育出版社（绿色）最好别用第5版的，因为第6版的总复习题和考研题很接近，有的就是考研的真题，所以对你的前期复习有帮助。
线性代数：同济大学编写的线性代数第4版或第5版高等教育出版社（紫色）或清华大学居于马编写的线性代数第2版清华大学出版社（黄色）这两本都是教育部推荐的，同济的比较薄，内容紧凑；清华的比较厚，内容完整。
建议你水平高的选同济的，水平一般的选清华的。
另外线代的书，同济4版和5版都无所谓。
概率论与数理统计：浙江大学盛骤编写的概率论与数理统计第4版浙江大学出版社（蓝色）还有一本是经济数学吴传生的概率论，虽说是经济数学但内容也不错，你可以实地考察一下，一般的书店都有。
主要是吴传生这本书的习题，曾经有考题根据它改编过。
另外复习中还需要全书和题目，这个建议你去一些考研论坛看看别人的经验贴，我这里帮你把所有的辅导书列出来也没意思是吧，你根据自身的情况选一些适合自己的就可以了。
数学主要用李永乐的书，陈文灯的可以辅助一下。
高等数学：同济五版线性代数：同济六版概率论与数理统计：浙大三版推荐资料：1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类)2、李永乐《经典400题》3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》考研数学规划：课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题= KO复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。
经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。
李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错文都考研《高等数学》（上下册）第六版，同济大学数学系编，高等教育出版社出版;《高等数学过关与提高》（上下册），原子能出版社出版，适合理工类考生使用。
《微积分》吴传生主编，高等教育出版社出版;《微积分过关与提高》（上下册），原子能出版社出版，适合经济类考生使用。
《线性代数》第四版，同济大学数学系编，高等教育出版社出版;《线性代数过关与提高》，原子能出版社出版，适合所有考生使用。
研究生高等数学教材全套
研究生高等数学教材全套研究生高等数学教材全套是研究生数学教育中必不可少的重要资源。
它为研究生提供了深入学习高等数学领域知识的机会，帮助他们掌握数学的理论和方法，培养他们的数学思维和分析能力。
本文将探讨研究生高等数学教材的特点、内容和应用。
研究生高等数学教材的特点研究生高等数学教材相比本科教材更加深入和具有挑战性。
它们更注重理论的推导和数学方法的应用，涉及到更多的高级数学概念和定理。
研究生高等数学教材通常采用形式更为严谨、细致的叙述方式，以满足研究生对数学问题的求解和理论阐述的需求。
研究生高等数学教材的内容研究生高等数学教材内容涵盖了数学分析、线性代数、概率论、数值计算等多个领域。
它们从基础概念出发，逐步展示了数学的发展和应用，包括极限与连续、微分与积分、多元函数、级数、线性方程组、矩阵论、随机变量与随机过程等。
这些内容不仅帮助研究生建立坚实的数学基础，还为他们进一步开展专业研究和应用提供了支持。
研究生高等数学教材的应用研究生高等数学教材是培养研究生数学思维和分析能力的重要工具。
通过学习和应用教材中的数学理论和方法，研究生可以掌握解决各种数学问题的能力，提高自己的科研水平和创新能力。
除此之外，研究生高等数学教材也为研究生提供了广泛的应用场景。
研究生们可以将教材中的数学方法应用于工程领域、计算机科学、经济学、物理学等其他学科中，以解决实际问题。
通过将高等数学理论与实际应用相结合，研究生可以更好地理解和应用数学知识。
总结研究生高等数学教材全套是研究生数学教育中的重要资源。
它们具有严谨的叙述方式、深入的数学理论和挑战性的数学方法。
研究生高等数学教材内容广泛，涵盖数学分析、线性代数、概率论、数值计算等多个领域。
研究生们可以通过学习和应用教材中的知识，培养自己的数学思维和分析能力。
此外，研究生高等数学教材也为研究生们在不同学科中的实际应用提供了支持。
因此，研究生高等数学教材全套是研究生学习和研究的重要参考资料。
高等数学二线性代数教材
高等数学二线性代数教材一、矩阵与向量1.1 矩阵的定义1.2 向量的定义1.3 矩阵与向量的加法和数乘运算1.4 矩阵的乘法1.5 矩阵的转置和逆二、线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 齐次线性方程组与非齐次线性方程组2.3 线性方程组的解的存在唯一性问题2.4 线性方程组解的结构三、向量空间3.1 向量空间的定义3.2 向量空间的子空间3.3 线性相关性与线性无关性3.4 向量空间的基与维数3.5 向量空间的直和与直积四、线性变换4.1 线性变换的定义4.2 线性变换的表示矩阵4.3 线性变换的性质4.4 线性变换与矩阵的关系五、特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量的定义5.2 特征值与特征向量的性质5.3 对角线化与相似矩阵5.4 实对称矩阵的对角化六、内积空间6.1 内积空间的定义6.2 内积的性质6.3 正交和正交补6.4 标准正交基与正交投影七、二次型与正定性7.1 二次型的定义7.2 二次型的矩阵表示7.3 二次型的规范形7.4 正定二次型及其判定八、广义逆与最小二乘8.1 广义逆的定义8.2 最小二乘问题的最优解与广义逆的关系8.3 广义逆的计算方法九、特征值问题与奇异值分解9.1 特征值问题的定义9.2 特征值问题与特征向量的计算9.3 奇异值分解的定义9.4 奇异值分解的应用十、附录10.1 结论与证明10.2 习题及解答以上是《高等数学二线性代数教材》的主要内容概要。
该教材以系统全面的方式介绍了矩阵与向量、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量等相关知识点。
通过该教材的学习，读者将能够掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本技能，并能够运用线性代数的方法解决实际问题。
考研高等数学国外经典教材
考研高等数学国外经典教材高等数学对于考研来说是一个非常重要的科目，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等内容。
为了更好地备考高等数学，我们可以参考国外的一些经典教材，这些教材在讲解、练习以及应用方面有着广泛的应用和深入的研究。
本文将为大家介绍几本值得一读的考研高等数学国外经典教材。
一、《微积分》（Calculus）by James Stewart《微积分》是由James Stewart编写的经典教材，在国际上享有很高的声誉。
这本教材将微积分的理论和实际应用相结合，深入浅出地讲解了微积分的基本概念、公式和技巧。
此外，书中还有大量的习题和解答，供学生巩固所学知识。
该教材被广泛应用于世界各国的大学和研究机构，并被翻译成多种语言。
二、《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）by David C. Lay在考研高等数学中，线性代数是一个重要的部分。
《线性代数及其应用》这本教材由David C. Lay编写，以其简洁明了的讲解和丰富的实例在国际上享有很高的声誉。
该教材系统介绍了线性代数的基本概念、性质和应用，包括向量空间、线性变换、特征值与特征向量等内容。
此外，书中还包含了许多实际应用的示例和习题，有助于培养学生的应用能力。
三、《概率与统计》（Probability and Statistics）by Morris H. DeGroot概率统计是考研高等数学中的另一个重要内容，《概率与统计》这本教材由Morris H. DeGroot撰写，是一个经典的国外教材。
该教材详细讲解了概率论和统计学的基本原理和应用，包括随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等内容。
书中的例子丰富多样，易于理解，对于提高学生的概率统计分析能力非常有帮助。
四、《高等数学》（Advanced Engineering Mathematics）by Erwin Kreyszig《高等数学》这本教材是由Erwin Kreyszig编写的，旨在培养学生的数学建模和问题解决能力。
813高等代数参考书目
813高等代数参考书目
当涉及到高等代数的参考书目时，有许多优秀的选择供你选择。
以下是一些常见的高等代数参考书目：
1. 《高等代数》（作者，郑光中），这本书是中国大学生学习
高等代数的经典教材，内容系统全面，适合初学者入门。
2. 《高等代数学》（作者，霍尔德），这本书在国际上也是非
常有名的高等代数教材，内容深入浅出，适合深入学习和研究。
3. 《抽象代数》（作者，David S. Dummit, Richard M. Foote），这本书是一本经典的抽象代数教材，内容丰富全面，适合
对抽象代数有深入了解的读者。
4. 《线性代数及其应用》（作者，David C. Lay），这本书是
一本介绍线性代数及其应用的教材，内容通俗易懂，适合初学者入门。
5. 《矩阵分析与应用》（作者，Carl D. Meyer），这本书主
要介绍了矩阵理论及其在科学和工程中的应用，内容丰富，适合对
矩阵理论感兴趣的读者。
以上这些书籍都是在高等代数领域具有很高声誉的参考书目，它们涵盖了高等代数的各个方面，包括线性代数、矩阵理论、抽象代数等内容。
选择适合自己水平和学习需求的书籍进行学习，将有助于更好地理解和掌握高等代数的知识。
希望这些书目能够对你有所帮助。
考研高等数学二用什么教材
考研高等数学二用什么教材高等数学是考研数学中的重要一环。
选择适合的教材对于考生的学习至关重要。
考研高等数学二主要内容包括高等代数和数学分析，本文将从这两个方面探讨如何选择适合的教材。
一、高等代数高等代数是考研高等数学二的核心内容之一，它包括线性代数和群论。
在选择高等代数教材时，考生需要根据自身情况综合考虑多个因素。
首先，应该选择一本全面系统的教材，这样可以确保自己学到的知识点广泛且有条理。
该教材应该包括线性空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量等内容。
常见的高等代数教材有《高等代数》、《线性代数》等，考生可以根据自己的喜好和学习需求选择适合自己的教材。
其次，教材的难度也是考生需要考虑的因素。
考研高等数学二的难度较大，因此在选择高等代数教材时，考生应该选择难度适中的教材，并合理安排学习进度。
如果自己的数学基础较差，可以选择一些对初学者友好的教材，逐步提高自己的理解能力。
另外，考生还可以参考一些专业建议或者老师推荐的教材。
一些经验丰富的老师可能会有一些建议，可以帮助考生更好地选择适合自己的教材。
此外，还可以参考一些学习资料中的评价和推荐，了解不同教材的特点和适用对象。
二、数学分析数学分析是考研高等数学二的另一个重要部分，主要包括实数与数列、函数的极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学和级数等内容。
选择适合的教材可以帮助考生更好地掌握这些知识点。
在选择数学分析教材时，同样需要考虑多个因素。
首先，教材应该覆盖高等数学二的所有内容，内容详尽，不遗漏重要知识点。
常见的数学分析教材有《数学分析》、《数学分析教程》等，考生可以根据自己的学习需求选择合适的教材。
其次，教材的语言表达应该准确清晰，易于理解。
数学分析是一门较为抽象和理论性较强的学科，教材应该用通俗易懂的语言讲解，帮助考生更好地理解和掌握其中的知识点。
最后，考生还可以根据自己的学习风格和喜好选择合适的教材。
一些教材可能更注重理论证明和推导，适合喜欢深入研究数学原理的考生；而另一些教材则更注重应用和题型训练，适合注重实践和应试能力的考生。
线性代数考研讲义完整版(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,… … … …a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m ,其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i 都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m ⨯n 个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m ⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1nb 1A = a 21 a 22 … a 2n 和(A |)= a 21 a 22 … a 2n b 2… … … … … … …a m1 a m2 … a mn a m1 a m2 … a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等(记作A =B ),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成a 1(a 1,a 2,⋯ ,a n )或 a 2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n ⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为1,2,⋯ ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(1,2,⋯ ,n ).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m ⨯n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:① 加法交换律: A +B =B +A .② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A .④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A .⑤ c A =0⇔ c=0 或A =0.转置:把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作A T (或A ').有以下规律:① (A T )T = A .② (A +B )T =A T +B T .③ (c A )T =c A T .转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T 表示行向量,当是行向量时, T 表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s 为1,2,…,s 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量.(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E (或I ).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … .a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 0023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(nn n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |)→(E |η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 12 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 .3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 3 6 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A |=2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10).例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲 矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB . AB 的行数和A 相等,列数和B 相等. AB 的(i,j)位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a 11 a 12 … a 1n b 11 b 12 … b 1s c 11c 12 … c 1sA = a 21 a 22 … a 2nB = b 21 b 22 … b 2sC =AB =c 21 c 22 … c 2s… … … … … …… … …a m1 a m2 … a mn ,b n1 b n2 … b ns ,c m1c m2 … c ms ,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:① 矩阵乘法有条件.② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .② 数乘性质 (c A )B =c(AB ).③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T .2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h .② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … … … …0 0 … A k 0 0 … B k如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 .… … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为1,2,…,n ,B的列向量组为1,2,…,s , AB 的列向量组为1,2,…,s ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:i =A i ,i=1,2,…,s.即A (1,2,…,s )= (A 1,A 2,…,A s ).② =(b 1,b 2,…,b n )T ,则A = b 11+b 22+…+b n n .应用这两个性质可以得到:如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T ,则i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i 是A 的列向量组1,2,…,n 的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c 倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s 列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)② 如果A 和B 都可逆,则AB 也可逆,并且(AB )-1=B -1A -1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E (i,j)-1= E (i,j), E (i(c))-1=E (i(c -1)), E (i,j(c))-1= E (i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵① 计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.② 伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A 11 A 21 … A n1A *= A 12 A 22 … A n2 =(A ij )T .… … …A 1n A 2n … A mn请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时, A *和A -1有密切关系.基本公式: AA *=A *A =|A |E .于是对于可逆矩阵A ,有A -1=A */|A |, 即A *=|A |A -1.因此可通过求A *来计算A -1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc ≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB. (95四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n =A n-2+A 2-E . (2) 求A n .例4设A 为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33.求作矩阵B ,使得A (1,2,3)=(1,2,3)B . (2005年数学四)例5设3阶矩阵A =(1,2,3),|A |=1,B =(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B |.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A 是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P =(,A ,A 2)可逆,并且A 3=3A -2A 2.又3阶矩阵B 满足A =PBP -1.(1)求B .(2)求|A +E |.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A ,B 满足ABA *=2BA *+E ,其中A = 1 2 0 ,求|B |.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A = 1 -1 0 , A -1XA =XA +2A ,求X .-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A = -1 1 1 , A *X =A -1+2X ,求X .1 -1 1例11 4阶矩阵A ,B 满足ABA -1=BA -1+3E ,已知1 0 0 0A *= 0 1 0 0 ,求B . (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A = 2 1 0 , B = 0 0 0 , XA +2B =AB +2X ,求X 11.2 13 0 0 -1例13 设1=(5,1,-5)T ,2=(1,-3,2)T ,3=(1,-2,1)T ,矩阵A满足A 1=(4,3) T , A 2=(7,-8) T , A 3=(5,-5) T ,求A .2.概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵,满足A *=A T .证明:(1)|A |>0.(2)如果n>2,则|A |=1.例15 设矩阵A =(a ij )3 3满足A *=A T ,a 11,a 12,a 13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A 也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例 3 (1)提示:A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系 设1,2,…,s 是一个n 维向量组.如果n 维向量等于1,2,…,s 的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s 线性表示.如果n 维向量组1,2,…,t 中的每一个都可以可以用1,2,…,s 线性表示,就说向量 1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x 22+…+x s s =是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,则矩阵(1,2,…,t )等于矩阵(1,2,…,s )和一个s ⨯t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是i 对1,2,…,s 的分解系数(C 不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,而1,2,…,s 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则1,2,…,t 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.当向量组1,2,…,s 和1,2,…,t 互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s ≅1,2,…,t. 等价关系也有传递性.。
高等数学线性代数教材推荐
高等数学线性代数教材推荐高等数学作为一门基础学科，对于大多数理工科学生来说，是必修课程之一。
而在高等数学中，线性代数是一个重要的分支，它研究了向量空间和线性变换等概念，是许多科学和工程领域的基础。
因此，选择一本优秀的线性代数教材对于学生来说是非常重要的。
在本文中，我将向大家推荐几本经典的高等数学线性代数教材，希望能够帮助到正在学习这门课程的同学们。
1.《线性代数及其应用》（David y著）《线性代数及其应用》是一本经典的线性代数教材，由Davidy编写。
这本教材内容深入浅出，结构严谨，适合初学者使用。
书中以向量和矩阵的运算为基础，系统地讲解了线性方程组、行列式、特征值和特征向量等重要内容。
该书以应用为导向，通过丰富的实例和习题，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，培养学生的解决问题的能力。
2.《线性代数及其应用》（Strang G著）另一本经典的线性代数教材是由Strang G编写的《线性代数及其应用》。
这本教材在国际上具有广泛的影响力，被誉为线性代数必读的经典之一。
该书以向量和矩阵的观点为基础，通过几何直觉和实际例子引导学生理解抽象的线性代数概念。
书中的内容完整而全面，包括向量空间、线性变换、正交性等各个重要主题。
此外，该书还附带有大量的习题和实例，帮助学生巩固所学知识。
3.《线性代数及其应用》（Anton H著）Anton H编写的《线性代数及其应用》也是一本备受推崇的线性代数教材。
这本教材内容全面，且具有很高的可读性。
书中系统介绍了线性空间、线性变换、特征值与特征向量等重要知识点，并结合了许多实际应用问题进行阐述。
整本书逻辑严谨，语言简洁明了，同时还包含了大量的习题和例题，帮助学生进行巩固和拓展。
综上所述，以上这几本教材都是非常出色的高等数学线性代数教材。
无论是初学者还是进阶学习者，都可以从中找到适合自己的教材。
然而，选择教材时应根据自身的学习需求以及个人的学习风格做出合理选择。
希望本文提供的推荐能够对大家的学习有所帮助，让大家能够更好地掌握线性代数这门重要学科。
数学专业的经典教材与参考书目
数学专业的经典教材与参考书目数学专业作为一门基础学科，对于学生的学习以及未来的发展具有非常重要的意义。
而选择适合的教材和参考书目对于学生的学习效果也至关重要。
本文将介绍数学专业中的经典教材和参考书目，以帮助学生更好地选择适合自己的学习资料。
一、线性代数1.《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）这是一本经典的线性代数教材，由美国加州大学伯克利分校的Gilbert Strang教授撰写。
本书内容全面，结构严谨，对于线性代数的基本概念和理论进行了详细的介绍，并给出了大量的例题和习题供学生练习。
适合作为线性代数的入门教材。
2.《线性代数引论》（Introduction to Linear Algebra）这本教材由美国麻省理工学院的Gilbert Strang教授所编写，是一本经典的线性代数教材。
该书以简洁的语言和清晰的思路介绍了线性代数的基本概念和理论，并通过大量的实例和应用来加深学生对于线性代数的理解。
适合有一定数学基础的学生使用。
二、微积分1.《微积分学教程》（Calculus: A Complete Course）这本教材是由加拿大精算学会成员Robert A. Adams所著，是一本非常全面的微积分教材。
该书内容系统完整，涵盖了微积分的各个方面，从初等函数的微积分开始，逐步引导学生掌握微积分的核心概念和方法。
同时，书中也包含了大量的例题和习题，供学生进行实践和巩固。
2.《微积分学导论》（Calculus: An Intuitive and Physical Approach）这是一本由美国哈佛大学教授Morris Kline所写的微积分教材。
与传统的微积分教材不同，该书采用了更加贴近实际问题的讲解方式，旨在帮助学生建立对微积分的直观和物理的理解。
书中融合了大量的实例和历史背景知识，使得学习微积分变得有趣和易于理解。
三、概率论与数理统计1.《概率论与数理统计》（Probability and Mathematical Statistics）这是一本由中国科学院理论物理研究所的教授吴文俊、刘先琨等合著的概率论与数理统计教材。
考研610高等数学教材
考研610高等数学教材高等数学是考研数学科目中的一门重要课程，对于考生来说是必修内容。
由于考生在高等数学的学习中通常都会使用教材来进行系统的学习，本文将对考研610高等数学教材进行评析，并提供一些学习上的建议。
首先，我们来对考研610高等数学教材的结构进行分析和讨论。
该教材一般分为数学分析、线性代数和概率论三个部分。
数学分析部分主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和多重积分学等内容。
这些章节全面而系统地介绍了数学分析的基本概念、定理和方法，对于考生掌握高等数学的基础知识和分析方法具有重要意义。
线性代数部分涵盖了矩阵代数、线性方程组、向量空间和线性变换等内容。
这些章节介绍了线性代数的基本理论和应用，对于考生理解矩阵和向量空间的概念、熟悉线性代数的基本运算和性质非常有帮助。
概率论部分则主要介绍了概率的基本概念、随机变量与概率分布、数理统计等内容。
这些章节帮助考生了解概率论的基本原理和统计学的基本方法，为进一步学习概率与统计学习科目打下坚实的基础。
在学习考研610高等数学教材过程中，考生需要重视以下几个方面。
首先，理解概念的内涵和外延。
高等数学作为一门理论性较强的学科，概念的理解至关重要。
考生需要通过思考、归纳概括和举例说明等方式来加深对概念的理解。
其次，掌握基本原理和定理的证明。
高等数学教材中存在大量的基本原理和定理，考生需要仔细研读教材中的证明过程，理解推理思路和技巧，并尝试自行进行证明。
通过证明的过程，考生可以加深对数学知识的理解，提高数学分析和证明能力。
此外，进行练习和习题的解答也是学习过程中的重要环节。
教材中通常配有大量的练习和习题，考生应当结合教材内容，按照难易程度和知识点进行有针对性的练习。
在解答习题时，考生要注重思路的整理和方法的选择，培养解决问题的能力。
最后，与同学和老师进行交流和讨论。
数学学习是一个积极互动的过程，考生应当积极与同学和老师进行交流和讨论，分享思考和解题方法，互相促进进步。
高等数学分哪几类教材有
高等数学分哪几类教材有
高等数学分为以下几类教材：
1. 高等数学基础教材
高等数学基础教材主要涵盖了数学的基本概念、基本理论和基本方法。
它们通常适用于大学数学专业的本科生或研究生，并被广泛用作高等数学的入门教材。
这些教材的特点是对数学概念的系统化和严密性进行介绍，包括数列、极限、连续性、微分、积分等内容。
2. 高等数学应用教材
高等数学应用教材主要强调数学在工程、物理、生物、经济等学科中的应用。
这些教材将数学理论与实际问题相结合，介绍如何运用高等数学中的概念和方法解决实际的科学和工程问题。
这类教材通常包括微分方程、偏微分方程、线性代数、概率统计等内容。
3. 高等数学研究教材
高等数学研究教材是针对具有较高数学水平和研究兴趣的学生编写的。
它们通常深入探讨高等数学的各个领域，并引入更加抽象和深奥的数学概念和理论。
这些教材在内容上更加全面和广泛，包括了复变函数、泛函分析、复数域中的数解析、数论等内容。
4. 高等数学辅导教材
高等数学辅导教材主要用于自学或辅导课外学习。
它们通常涵盖了基础教材的主要内容，并通过大量的例题和习题帮助学生巩固知识、
提高解题能力。
这类教材的特点是注重实用性和指导性，在解题思路
和方法上提供较为详细的说明。
综上所述，高等数学分为基础教材、应用教材、研究教材和辅导教
材几个主要类别。
选择适合自己学习需求的教材对于打好数学基础、
提高解题能力和应用能力非常重要。
确保选择的教材内容准确、全面，结合实际应用和个人兴趣，有助于更好地学习和理解高等数学知识。
高等数学是哪一版教材的
高等数学是哪一版教材的高等数学是大学阶段的一门重要课程，它广泛应用于理工科领域，是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要工具。
对于高等数学，不同学校或学院可能采用不同版本的教材。
下面将介绍几种常见的高等数学教材版本。
一、《高等数学》（第九版）《高等数学》（第九版）是教育部推荐的高等学校教材之一，由李建中、孙乐平、李正元等人编写。
该教材结构清晰，内容准确，适合大多数高校使用。
它包含了数学分析、线性代数、概率论等多个章节，涵盖了大学阶段的基本数学知识。
二、《高等数学》（第十版）《高等数学》（第十版）是在第九版的基础上进行修订的，由同样的团队编写。
该版本相较于第九版增加了一些新的知识点和例题，更加贴近时代的需求。
第十版的教材内容全面、权威，是许多高校所采用的教材之一。
三、《高等数学》（考研复习版）《高等数学》（考研复习版）是针对考研学生编写的教材，主要用于考研数学复习。
该版教材在内容上进行了精简和归纳，突出重点和难点，便于考生快速掌握和复习。
这种教材常常用于考研班或者自学考研的学生。
四、其他教材版本除了上述的版本之外，还有一些其他版本的高等数学教材，如数学系列丛书、教辅资料等。
这些教材可能针对不同学校或学院的教学需求而编写，内容和难度可能有所差异。
综上所述，高等数学的教材版本多种多样，不同学校、不同学院可能采用不同版本的教材。
选择适合自己的教材是非常重要的，它将对学生的学习效果产生重要的影响。
因此，学生在选课之前应该了解所用教材的版本，以便更好地备课和学习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学线性代数考研教材
一、引言
在考研数学科目中，高等数学和线性代数作为必考内容，对于考生
来说是非常重要的。
教材的选择对于备考过程中的学习和理解起着至
关重要的作用。
本文将针对高等数学线性代数的考研教材进行分析和
评价，为考生提供选择参考。
二、教材一：《高等数学》
《高等数学》是中国数学教育领域的经典教材，也是考研数学备考
的重要参考书之一。
该教材分为上下两册，内容涵盖了高等数学的各
个分支，包括数列、极限、微分、积分、级数等。
教材内容结构合理，章节之间的衔接较为紧密，有助于学生全面系统地掌握数学知识。
三、教材二：《线性代数及其应用》
《线性代数及其应用》是线性代数学科的经典教材，覆盖了线性代
数的基本理论和应用。
该教材系统地介绍了向量空间、线性变换、特
征值、特征向量等重要概念和定理，并通过实例和应用案例对线性代
数的应用进行了深入阐述。
教材风格简明扼要，适合考生在有限时间
内进行复习和理解。
四、教材三：《高等代数》
《高等代数》是适用于高等数学和线性代数的综合性教材，也是一
本较为经典的考研教材。
该教材内容涵盖了数学分析、多项式代数、
线性代数等多个领域，对于高等数学和线性代数的复习和理解都具有
很高的参考价值。
教材中的例题和习题丰富多样，对于考生巩固知识
和提高解题能力具有很大帮助。
五、教材四：《数学分析教程》
《数学分析教程》是一本较为深入的高等数学教材，在考研备考中
也具备一定的参考价值。
该教材从数学分析的基本概念入手，逐步介
绍了极限、导数、微积分、级数等内容。
教材内容难度适中，适合考
生在对基本概念和理论掌握较好后进行更深入的学习和延伸。
六、教材五：《线性代数应该这样学》
《线性代数应该这样学》是一本面向初学者和自学者的线性代数教材，对于考研备考也具备一定的参考价值。
该教材内容生动有趣，通
过图文结合的方式进行阐述，帮助学生更好地理解和掌握线性代数的
基本概念和定理。
教材注重实际应用和计算方法，对于考生提高解题
能力有一定帮助。
七、总结
综上所述，高等数学和线性代数是考研数学备考中必不可少的内容，教材的选择对于备考过程中的学习和理解起着至关重要的作用。
考生
可根据自身情况选择适合自己的教材进行学习和复习，从而更好地备
战考研数学科目的难关。