高等数学绪论

——《数学文化》顾沛著，高等教育出版社。
例：微软公司招考员工的一道面试题： 一个屋子里 有50个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一 部分病狗。假定有如下条件：a.狗的病不会传染， 也不会不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的 狗是否有病，只能看别人的狗，从而推理发现自 己的狗是否有病；c.一旦主人发现自己的狗是一只 病狗，就会在当天开枪打死这条狗；d.狗只能由它 的主人开枪打死。结果，第一天没有枪声，第二 天没有枪声，……，第十天发出了一片枪声，问 有几条狗被打死？
★ 亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学 看作是相同的。”
★ 欧几里得：“点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度。” ——《几何原本》
★ 牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说， 他把这本书“作为哲学的数学原理的著作”， “在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。
2、数学是一种语言， 一切科学的共同语言
二、数学的历史
第一阶段：数学萌芽时期（远古时代---公元前5世纪） ★形成了数的概念，产生了数的运算方法。 ★几何学有了初步发展。
第二阶段：常量数学时期 （公元前6、7世纪---17世纪中叶） ★数学形成了一门独立的、演绎的科学 ★这个时期的基本成果，已构成现在中学数 学课本的主要内容。
▲ 本阶段特征： 第一个特征：其所研究的对象是不变的量（常量）
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★伽利略（Galeleo）说：“展现在我们眼前的宇宙 像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语
言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。”
★ 1965年获得了Nobel奖的物理学家费格曼（Richard Fegnman）曾说：“若是没有数学语言，宇宙似乎是 不可描述的。”
求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；
例：图中阴影的面积、 曲线的长度、 阴影绕坐标轴的旋转的 立体的体积及表面积。
求曲线的切线； 求运动物体的速度； 求一些问题的极大、极小值。
例. 不规则图形面积
y
y
Oa
x1 xi1 xi
O a x1 xi1 xi
i
n
n
A

lim
0
i1
Ai
马克思说：“一门科学只有当它达到能够 成功地运用数学时，才算真正发展了。”
4、数学是一种工具，一种思维的工具
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★ 人体器官的三维图像(一维数学模型) ★ 数据压缩技术(小波分析) ★ 数学在工程学、经济学、管理学、心理 学、政治科学诸领域也有重要的作用，产生 了很多交叉学科，如 数理经济学、数理语言 学、数学心理学、数学政治科学、对策论等。
科学大门的钥匙”。
★没有Maxwell方程就不可能有电磁波理论，就不会有 现代的通讯技术；
★没有Riemann几何，不可能产生广义相对论； ★没有Navier-Stokes方程，就不会有流体力学的理论
基础，也不可能产生航空学；
★没有数理逻辑和量子力学，就没有现代的计算机；
★ 诺依曼（Von Neumann）认为：“数学处于 人类智能的中心领域……数学方法渗透、支配 着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成为 衡量成就的主要标志。”
兴趣是最好的老师！ 没有兴趣的学习是痛苦的折磨。
2.多加练习。
听数学不如读“数学”，读数学不如做“数学”
3.掌握规律
复习----学习新知识----练习----总结 学习中要抓住三个问题：基本概念，基本原 理，典型范例。
要求：基本概念要准确； 基本理论要清楚； 基本运算技能要熟练。
4.要勤于思考，勤于提问
2、微积分的涵义
●微积分学是微分学和积分学的总称。
●它是一种数学思想： “无限细分”就是微分，“无限求和”就是积 分无。限就是极限，极限的思想是微积分的基础， 它是用一种运动的思想看待问题。
如：子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，
子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分 的概念
微积分是从四个方面的问题来的：
◆喜欢数学的爱上数学 ◆讨厌数学的喜欢上数学
例：趣味数学题
(1) 割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之 又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣” ——刘徽
(2) 截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
(3) s等于多少悖论：
设 s 111111 则：
(1) s (11) (11) (11) 0 (2) s 1 (11) (11) 1
★ 15种“数学的定义”
1）哲学说 2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说
9）结构说（关系说） 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说 15）万物皆数说
——《数学文化导论》
1、数学是一种哲学
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博雷尔：数学是我们确切知道我们在说什么， 并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题类” 而 最前面的命题p是否对，却无法判断，因此 “数学是我们永远不知道我们在说什么，也 康不知托道:数我学们的说本的质是在否于对它的的一自门由学。科在。数”学领域， 提出问题的艺术比解决问题的艺术更为重要。
●狭义——《高等数学》课程。 理论基础：极限理论。 主要内容：极限和连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、 级数理论、空间解析几何和简单微分方程等。
《高等数学》课程的重要性
高等数学 ↓
其它数学课程 推动 ↓ 支持 物理学、天文学、工程技术、管理学、 经济学、信息科学……
《大学物理》、《计算机理论基础》、 《控制理论基础》等
Ⅲ. 逐步培养学生应该具有的能力与素质：
①抽象概括问题的能力；
例:(七桥问题) 科尼斯堡有条布勒格尔河上有 七座桥，“能否在一次散步中每座桥都走一次， 而且只走一次最后又回到出发点？”
②逻辑推理能力；
例：某外企招考员工的一道题：有三个筐，一个筐里 装着橘子，一个筐里装着苹果，一个筐里混装着橘 子和苹果，装完后封好。然后做“橘子”、“苹 果”、“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上。 由于马虎，结果全贴错了。请想一个办法，只许从 某一个筐里拿出一个水果，就能够纠正所有的标签。
⑧具有进行逻辑推理和选择计算方法的能力；
⑨具有判断计算和推理结果正确性的能力；
例：某公司的一个岗位三年聘期，提供了两种 薪酬支付方式， A：月薪1000，每月加薪100； B：季薪6000，每季度加薪300， 若你在这个岗位上，请问你选择哪种支付方式？
四、如何学习高等数学？
听懂、练会、考好、用活
1.培养兴趣。
——《数学文化》，顾沛著，高等教育出版社。
③空间想象能力；
④自学能力；
⑤比较熟练的运算能力；
⑥综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力；
例：证明：①在凸凹不平的地面上，将四条腿 桌子旋转调整几次，一定可以使其放稳。
②金属环加热过程中，环上必存在具有相同 温度的关于圆心对称的两点.
⑦具有处理数据和图一门艺术，一门创造性艺术
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★简洁美
★和谐美
★对称美
★奇异美
两个黑洞的斗争
分形现象
蝴蝶吸引子
结语:
数学不仅是一种重要的工具和方法，同时是 一种思维模式，即“数学思维”；不仅是一种知识， 而且是一种素质。
数学努力的目标是： 将杂乱整理为有序， 使经验升华为规律， 使复杂演变为简单。
(3) s=1-s 解得s=1/2 这个问题据说曾令众多大师为难,莱布尼茨都 认为答案为1/2.
主要是当时还没有级数收敛的概念.
(4) 芝诺悖论：
“飞矢不动” “矢”指的是弓箭中的箭。如果我们截取“飞矢” 的 每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。既然每 个一瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是
恩格斯指出：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了 变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学； 有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……。
★牛顿、莱布尼茨创立微积分.
★这个时期的基本成果是解析几何、微积分、 微分方程等，它们是现今高等院校中的基础 课程。
第四阶段：现代数学阶段 （19世纪至今） ★ 主要分支：非欧几何、群论、泛函分析、拓扑学、
lim 0 i1
f (i )xi
解决问题的思想和方法：
微分
分割
化整为零
求近似
求和 取极限
积零为整
取极限
精确值 积分
3、《高等数学》课程的作用 Ⅰ. 为其他后续数学课程奠定良好的数学基础。
《线性代数》、《概率论与数理统计》、 《复变函数与积分变换》、《数值分析》等
Ⅱ. 为同学们学习相关基础课程及本专业的专业 课程奠定数学基础。
★ Nobel物理学奖获得者温伯格（Steven Weinberg） 说过：“这是不可思议的，当一个物理学家得到一个
思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。”
3、数学是一把钥匙， 一把打开科学大门的钥匙
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F.培根说：“知识就是力量” “数学是打开
静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。
“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等 同 于零。
(4) 芝诺悖论：
“阿基里斯追不上乌龟”
阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。 芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微 领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那 一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距 离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
函数逼近论、常微分方程定性理论、数理逻辑等.