高等数学绪论
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
高等数学课程学习指导(部分)
《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到大学要学习的第一门数学课，也是理工科院校大学生最重要的基础课之一。
在开始学习这门课程的时候，如果对该课程研究的对象是什么及研究的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！如果将学习这门课看作是对微积分这座神秘的科学殿堂的一次探索，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简单的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分研究的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。
一、教学内容微积分研究的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。
二、教学要求1．了解初等数学研究的对象是：常数或常量，简单的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学研究的对象是：变数或变量、函数，复杂的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。
2．初步理解微积分的基本研究方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。
3．导数是研究函数在一点处变化的快慢程度(变化率)。
在均匀变化情况下，需用除法计算的量，在非均匀变化的情况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是研究函数在某一区间内变化的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。
4．函数是微积分研究的对象，极取是微积分的理论基础。
5．学习方法的建议：(1) 培养自学的能力，在学习过程中特别要特别注重概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思考，敢于和善于发现问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培养自己的创新精神和创新能力。
(3) 培养应用数学的意识、兴趣和能力。
第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分研究的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依赖的关系；极限是刻画变量在变化过程中的变化趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在变化过程中的一个基本性态，连续函数是微积分研究的主要对象。
高等数学绪论
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
26
3.邻域: 点 x0 的 实 心 邻 域: U ( x0 , )
{x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为邻域的中心, 0, 为邻域的半径.
(x, y)
x
x
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为 函数y f ( x)的图形.
32
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 ， 并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”. 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
《高等数学习题全解指南》（上、下）同济大学数 学系 编
18
附：《高等数学》成绩考核与作业要求：
1、成绩考核:
平时成绩： 20% 期 末考试： 80% 2、作业要求：
总成绩：满分100分
1）独立完成全部作业，及时上交作业。全学期作业次数不 满三分之二，不准参加期末考试。 作业本或作业纸上写上 班级、姓名、学号
x0
x0
x0
x
点 x0 的 空 心 邻 域 ：U O ( x0 , )
{x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
x0
x0
x0
x
27
4.常用不等式:
绝对值 :
x R ,
x
x x
, ,
x0, x0.
1o. x R, x 0 .
y M
高等数学绪论
设函数
y f(u)的定义域为
D
,
f
函数
u(x) 的值域为 M ，若 Df M 非空，则称
x y yf[(x)]为复合函数。 其中 为自变量，
为因变量， u称为中间变量。
例： 判断下列各组函数是否可以复合
（1）yu2，usinx； 解：可以复合，得 ysin2x，xR （2）y u，u1x2；解：可以复合，得 y 1x2，x[1， 1] （ 3） yarcus， iu n2x2；解：不可以复合。
强大的内心将是 你人生最宝贵的财富!
认真
自信 坚持
学习要求
1、不缺课、遵守纪律、认真听课！
2、认真、独立完成作业！ 3、了解数学软件（如Mathematica, Matlab，Lingo 等。
高等数学(绪论)
微积分学的建立
一、十七世纪急需解决的四类科学问题 二、牛顿和莱布尼茨对微积分学的贡献
一 .十七世纪急需解决的四类主要科学问题：
正切函数
反正切函数
定义域 （- π /2,π/2） 值域 （-∞, +∞）
定义域 （-∞, +∞）
值域 （-π/2,π/2）
求下列反三角函数值:
(1) arctan0 (2) arctan 1
(3) arctan(-1) (4) arctan 3 (5) arctan(- 3 )
2. 复合函数;
定义 3
第一类是瞬时速度问题；第二类是求曲线的切线问题；
第三类是求最优值问题；第四类是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当 大的物体作用于另一物体上的引力。
二. 十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨分别独自研 究和完成了微积分的创立工作，其中牛顿着重于从 运动学来考虑，莱布尼茨侧重于从几何学来考虑。
高等数学讲义樊映川
绪论第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组§1．1 二阶行列式和二元线性方程组§1．2 三阶行列式§1．3 三阶行列式的主要性质§1．4 行列式的按行按列展开§1．5 三元线性方程组§1．6 齐次线性方程组§1．7 高阶行列式概念：第二章平面上的直角坐标、曲线及其方程§2．1 轴和轴上的线段：§2．2 直线上点的坐标·数轴：§2．3 平面上的点的笛卡儿直角坐标：§2．4 坐标变换问题：§2．5 两点间的距离：§2．6 线段的定比分点：§2．7 平面上曲线方程的概念：§2．8 两曲线的交点第三章直线与二元一次方程§3．1 过定点有定斜率的直线方程§3．2 直线的斜截式方程§3．3 直线的两点式方程§3．4 直线的截距式方程§3．5 直线的一般方程§3．6 两直线的交角§3．7 两直线平行及两直线垂直的条件§3．8 点到直线的距离§3．9 直线柬第四章圆锥曲线与二元二次方程§4．1 圆的一般方程§4．2 椭圆及其标准方程§4．3 椭圆形状的讨论§4．4 双曲线及其标准方程§4．5 双曲线形状的讨论§4．6 抛物线及其标准方程§4．7 抛物线形状的讨论§4．8 椭圆及双曲线的准线§4．9 利用轴的平移简化二次方程§4．1 0利用轴的旋转简化二次方程§4．1 1一般二元二次方程的简化第五章极坐标§5．1 极坐标的概念§5．2 极坐标与直角坐标的关系§5．3 曲线的极坐标方程§5．4 圆锥曲线的极坐标方程第六章参数方程§6．1 参数方程的概念§6．2 曲线的参数方程§6．3 参数方程的作图法第七章空间直角坐标与矢量代数§7．1 空间点的直角坐标§7．2 基本问题§7．3 矢量的概念·矢径§7．4 矢量的加减法§7．5 矢量与数量的乘法§7．6 矢量在轴上的投影·投影定理§7．7 矢量的分解与矢量的坐标§7．8 矢量的模·矢量的方向余弦与方向数§7．9 两矢量的数量积：§7．1 0两矢量间的夹角§7．1 1两矢量的矢量积§7．1 2矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程§8．1 曲面方程的概念§8．2 球面方程§8．3 母线平行于坐标轴的柱面方程·二次柱面§8．4 空间曲线作为两曲面的交线§8．5 空间曲线的参数方程§8．6 空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面与直线§9．1 过一点并已知一法线矢量的平面方程§9．2 平面的一般方程的研究§9．3 平面的截距式方程§9．4 点到平面的距离§9．5 两平面的夹角§9．6 直线作为两平面的交线§9．7 直线的方程§9．8 两直线的夹角§9．9 直线与平面的夹角§9．10 直线与平面的交点§9．11 杂例§9．12 平面束的方程第十章二次曲面§10．1 旋转曲面§10．2 椭球面§10．3 单叶双曲面§10．4 双叶双曲面§10．5 椭圆抛物面§10．6 双曲抛物面§10．7 二次锥面第二篇数学分析第一章函数及其图形§1．1 实数与数轴§1．2 区间§1．3 实数的绝对值·邻域§1．4 常量与变量§1．5 函数概念§1．6 函数的表示法§1．7 函数的几种特性§1．8 反函数概念§1．9 基本初等函数的图形§1．10 复合函数·初等函数第二章数列的极限及函数的极限§2．1 数列及其简单性质§2．2 数列的极限§2．3 函数的极限§2．4 无穷大·无穷小§2．5 关于无穷小的定理§2．6 极限的四则运算§2．7 极限存在的准则·两个重要极限§2．8 双曲函数§2．9 无穷小的比较第三章函数的连续性§3．1 函数连续性的定义§3．2 函数的间断点§3．3 闭区间上连续函数的基本性质§3．4 连续函数的和、积及商的连续性§3．5 反函数与复合函数的连续性§3．6 初等函数的连续性第四章导数及微分§4．1 几个物理学上的概念§4．2 导数概念§4．3 导数的几何意义§4．4 求导数的例题·导数基本公式表§4．5 函数的和、积、商的导数§4．6 反函数的导数§4．7 复合函数的导数§4．8 高阶导数§4．9 参数方程所确定的函数的导数§4．10 微分概念§4．11 微分的求法·微分形式不变性§4．12 微分应用于近似计算及误差的估计第五章中值定理§5．1 中值定理§5．2 罗必塔法则§5．3 泰勒公式第六章导数的应用§6．1 函数的单调增减性的判定§6．2 函数的极值及其求法§6．3 最大值及最小值的求法§6．4 曲线的凹性及其判定法§6．5 曲线的拐点及其求法§6．6 曲线的渐近线§6．7 函数图形的描绘方法§6．8 弧微分·曲率§6．9 曲率半径·曲率中心§6．10 方程的近似解第七章不定积分§7．1 原函数与不定积分的概念§7．2 不定积分的性质§7．3 基本积分表§7．4 换元积分法§7．5 分部积分法§7．6 有理函数的分解§7．7 有理函数的积分§7．8 三角函数的有理式的积分§7．9 简单无理函数的积分§7．10 二项微分式的积分§7．11 关于积分问题的一些补充说明第八章定积分§8．1 曲边梯形的面积·变力所作的功§8．2 定积分的概念§8．3 定积分的简单性质·中值定理§8．4 牛顿一莱布尼兹公式§8．5 用换元法计算定积分§8．6 用分部积分法计算定积分§8．7 定积分的近似公式§8．8 广义积分第九章定积分的应用§9．1 平面图形的面积§9．2 体积§9．3 曲线的弧长§9．4 定积分在物理、力学上的应用第二篇数学分析（续）第十章级数Ⅰ常数项级数10.1 无穷级数概念10.2 无穷级数的基本性质收敛的必要条件10.3 正项级数收敛性的充分判定法10.4 任意项级数绝对收敛10.5 广义积分的收敛性Ⅱ函数项级数10.7 函数项级数的一般概念10.8 一致收敛及一致收敛级数的基本性质Ⅲ幂级数10.9 幂级数的收敛半径10.10 幂级数的运算10.11 泰勒级数10.12 初等函数的展开式10.13 泰勒级数在近似计算上的应用10.14 复变量的指数函数尤拉公式第十一章富里哀级数11.1 三角级数三角函数系的正交性11.2 尤拉-富里哀公式11.3 富里哀级数11.4 偶函数及奇函数的富里哀级数11.5 函数展开成正弦或余弦级数11.6 任意区间上的富里哀级数第十二章多元函数的微分法及其应用12.1 一般概念12.2 二元函数的极限及连续性12.3 偏导数12.4 全增量及全微分12.5 方向导数12.6 复合函数的微分法12.7 隐函数及其微分法12.8 空间曲线的切线及法平面12.9 曲面的切平面及法线12.10 高阶偏导数12.11 二元函数的泰勒公式12.12 多元函数的极值12.13 条件极值—拉格朗日乘数法则第十三章重积分13.1 体积问题二重积分13.2 二重积分的简单性质中值定理13.3 二重积分计算法13.4 利用极坐标计算二重积分13.5 三重积分及其计算法13.6 柱面坐标和球面坐标13.7 曲面的面积13.8 重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分14.1 对坐标的曲线积分14.2 对弧长的曲线积分14.3 格林（Green)公式14.4 曲线积分与路线无关的条件14.5 曲面积分14.6 奥斯特罗格拉特斯基公式第十五章微分方程15.1 一般概念15.2 变量可分离的微分方程15.3 齐次微分方程15.4 一阶线性方程15.5 全微分方程15.6 高阶微分方程的几个特殊类型15.7 线性微分方程解的结构15.8 常系数齐次线性方程15.9 常系数非齐次线性方程15.10 尤拉方程15.11 幂级数解法举例15.12 常系数线性微分方程组。
绪论-高数
绪
论
罗素悖论只涉及几个最重要的集合论概念： 集合、元素、属于、
一个基本的集合论原则——概括原则 涉及到一向被认为极为严谨的两门科学： 数学与逻辑学 后果：戴德金（Dedekind） 放弃自己的观点 弗雷格（Frege） 拓扑学权威布劳威尔（Brorwer）—— 自己过去的工作全部是废话
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数学方法的主要基础：无穷小分析 抨击 某些概念含糊 英国大主教贝克莱 推理不严谨 达郎贝尔（法国，1717——1783） 极限的方法 柯西（法国，1789——1857）
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绪
小问题
论
问题1、阿基利追龟（芝诺悖论，Zero约公元前 496——430年）
问题2、飞着的箭永远射不到靶
26/30
绪
7/30
绪
论
公元前4世纪：希腊哲学家亚里士多德 数学是“量”的科学 16世纪：英国哲学家培根 处理完全与物质 和自然哲学公理相脱离的“量”的科学 19世纪：恩格斯 数学就是研究现实中数量关系与空间形式的 科学。简略地说，研究“数”和“形”的科 学。 近代：数学是研究现实世界中数与形之间 各种形式模型的结构的一门科学
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绪
论
2、学习高等数学（微积分）的两种用途 （1）工具——后续课程、考研（由100分 150分） 微积分对许多工程技术的重要性就象 望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样 微积分是学好其它理工课程（如大学物理、 力学、电工基础、经济学等）的基础，也是
学好专业课的工具（自动化专业的同学曾说
“到后来大家拼的是数学”）
大名鼎鼎的罗素，对 数学给出看来荒唐的 定义—— 数学可以定义为这样一 门学科，我们永远不知 道其中所说的是什么， 也不知道所说的内容是 否正确。
高等数学(同济第六版)课件第一章.绪论、第1节
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
高等数学《极限与连续-绪论》课件
2 x 2
. x0
3.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则 运算和有限次复合所构成的可用一个式
子表示的函数,称为初等函数.
4.双曲函数与反双曲函数（自学）
内容小结
1. 预备知识
2. 函数的定义
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 复合函数、初等函数
作业: P1 1.1 课后作业: 书上习题1.1
1 x sin
(1) y e 1x (2) y (arctan sin3 x )3 解 (1)由y eu , u sinv, v w , w 1 x 复合而成
1 x
(2) y u3 , u arctan v, v w , w t 3 , t sin x
复合而成.
例3 设 x2
若M2 , x X , 有 f ( x) M2成立, 则称f ( x)在X上有下界
可以证明（课后完成） f (x) 在 X上有界 f (x) 在 X上既有上界又有下界
如: y sin x 在 ,内有界.
例1: 试证
y 1 在1,2内有界,在0,1内无界.
x
证: (1) x 1, 2, 1 1 y 1 在1, 2内有界.
预习：数列的极限 、函数的极限
U(a, ) a ,a x x a
{x a x a }
a
a
a x
去心邻域: U 0 (a, ) x 0 x a , 0
3. 极坐标系
P
O称为极点, Ox称为极轴,
M
MM点点的的直极角坐坐标标记记为为MM((,x,y)或) (r, )
是射线OP上由O到M的距离
y tan x
余切函数
y cot x
高等数学绪论
在一切理论成就中,未必再有什么像17世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人
类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正在这
里。
恩格斯
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高 效率的管理。高技术的基础是应用科学，而 应用科学的基础是数学。高技术本质上是一 种数学技术。
常微分方程：是把微积分应用于解决实际问 题的桥梁，讨论常微分方程的可解性及解的 求法。
向量代数与空间解析几何：研究向量的概念 与运算，空间的平面、曲线、曲面的代数描 述及方程和函数的几何表示，是平面解析几 何的自然推广。
无穷级数：是有限和的推广，研究级数的收敛 性及函数的无穷级数展开问题。
高等数学与初等数学的主要区别在于研究的对 象和研究方法的不同：初等数学主要研究规则、 平直的几何图形和均匀、有限过程的常量；高 等数学主要研究不规则、弯曲的几何对象和非 均匀、无限过程的变量。
圆的切线 : 与圆只
有一个交点的直线
y x 3 2x 5在(0,5)
P
的切线是什么？
割线的极限位置
割线斜率：
y x3 2x 5
k PM
f (x) f (0) x0
x2 2
切线斜率k lim f ( x) f (0) 2
x0
x0
M
M
T
例2 曲边形的面积
求由x轴，x 1, y x 2所围图形的面积
微积分的创立者 及其先驱
笛卡尔、巴罗、
牛顿、莱布尼茨
0.1 数学发展概况
数学的萌芽时期：远古时代------公元前6世 纪。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题 的证明和演绎推理。
常量数学时期：公元前6世纪------17世纪上 半叶。比较系统的知识体系、比较抽象的并有 独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著 《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表 作。现在中学数学课程的主要内容基本上是这 一时期的成果。
《高等数学》绪论
教学大纲中要求，逐步培养学生具有： 教学大纲中要求，逐步培养学生具有： ①抽象概括问题的能力； 抽象概括问题的能力； ②逻辑推理能力； 逻辑推理能力； ③空间想象能力； 空间想象能力； ④自学能力； 自学能力； ⑤比较熟练的运算能力； 比较熟练的运算能力； ⑥综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
六、两个需要回答的问题？ 两个需要回答的问题？
你对上课迟到这一现象的看法。 1. 请你谈谈 — 你对上课迟到这一现象的看法。 2. 你有报考研究生的打算吗？ 为什么？ 你有报考研究生的打算吗？ 为什么？
七、社会只要“精品” 社会只要“精品”
当今的社会是一个竞争非常激烈的社会， 当今的社会是一个竞争非常激烈的社会，在激烈的 竞争中，优胜劣汰，合格品已经没有市场了， 竞争中，优胜劣汰，合格品已经没有市场了，精品才 是社会的需要。 是社会的需要。 “四年出精品，现在就努力。” 四年出精品，现在就努力。 四年出精品
一、《高等数学》学什么？ 高等数学》学什么？ 高等数学》培养学生那些能力？ 二、《高等数学》培养学生那些能力？ 如何考硕士研究生？ 三、如何考硕士研究生？ 四、全国大学生数学建模竞赛是怎么回事？ 全国大学生数学建模竞赛是怎么回事？ 五、怎样学好数学？ 怎样学好数学？ 第一次作业——两个需要回答的问题？ 两个需要回答的问题？ 六、第一次作业 两个需要回答的问题 社会只要“精品” 我们如果是“合格品” 七、社会只要“精品”，我们如果是“合格品”行 吗？ 八、也论“素质”——什么是“数学素质”？ 也论“素质” 什么是“ 什么是 数学素质” 强调上《高等数学》课的要求有那些？ 九、强调上《高等数学》课的要求有那些？
4. 提醒你们注意: 提醒你们注意:
《高等数学》课程教学大纲
《高等数学》教学大纲一、课程的性质和任务课程的性质：高等数学是高职高专各专业必修的一门重要基础课。
高等数学的思想、内容、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分,是提高学生文化素质,进一步学习有关专业知识,专业技术必不可少的工具。
主要任务：本着"服务专业,兼顾数学体系的原则"，重视数学的思想本质，倡导和发展数学的应用性，全面提高学生的数学素质；以必需、够用为度的原则。
使学生在高中文化的基础上，进一步学习和掌握一元微积分学、多元微积分学、微分方程、级数等内容。
三、课程教学内容第一章绪论了解本课程发展过程及思想方法。
第二章函数熟悉掌握函数的概念、基本初等函数、复合函数、初等函数；掌握函数的性质，反函数；了解分段函数。
重点：函数的定义和定义域。
难点：复合函数的概念。
第三章极限与连续熟悉掌握极限的概念，无穷小和无穷大概念，函数连续的概念；掌握无穷小和函数极限的关系、极限四则运算、两个重要极限，间断点分类和初等函数的连续性；了解无穷小的比较、等价无穷小、连续函数和、差、积、商的连续性及反函数与复合函数连续性。
重点：函数极限的概念、无穷小、极限四则运算、函数在某一点连续的概念。
难点：函数极限的概念、求应用问题中的最值判定函数在某点连续性。
第四章导数与微分熟悉掌握导数的概念、几何意义、求导公式和导数的四则运算，复合函数求导法则；掌握变化率问题、反函数求导法、隐函数求导法，求函数的微分；能理解微分的定义及几何意义，会求参数方程导数、高阶导数和使用对数求导法；运用微分公式和运算法则，了解可导与连续的关系。
重点：导数的定义、导数的四则运算、复合函数求导法则、基本初等函数的导数公式。
难点：导数的定义、复合函数求导法则。
第五章一元函数微分学的应用熟练掌握拉格朗日定理和罗必塔法则；能判定函数的单调性并求其极值，讨论曲线的凹凸，求其拐点，求渐近线和作函数的图象，应用最值解决一些实际问题；了解柯西定理。
重点：拉格朗日定理、判定函数的单调性并求其极值、求应用问题中的最值。
高等数学绪论
1.函数的表示法
(1)解析法:用等式表示两个变量间的函数关系.
(2)列表法:列表表示两个变量间的函数关系.
(3)图像法:用图像表示两个变量间的函数关系.
2.函数的特性
1)单调性 在函数有定义的一个区间上,如果对于自变量x
的任意两个值x1、x2,当x1 <x2 时, 都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)
图0-1
2)奇偶性
如果f(x)的定义域关于原点对称,对定义域内任意x,都有
f(-x)=-f(x),那么 f(x)是奇函数,如图0-2(a)所示;对定义域内任意
x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函数,如图0-2(b)所示.
奇函数 的 图 像 关 于 原 点 对 称 (见 图 0-2(a)),偶 函 数
则可得x4 -8x2y2 +16y4 =(x2 -4y2)2,再与 x2 -4y2 相乘就可以应
用公式了,即
例0-3 已知x +y=4,xy=-12,求(x -y)2 的值.
解
二、 因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式,称为多项式的
因式分解.因式分解时应注意以下几个问题:
(1)因式分解是对多项式而言的,因为单项式本身已经是
(3)两点式:用直线所经过的其中两点坐标(x1,y1)和(x2,y2)
表示的直线方程
−1
2 −1
=
−1
,但不包括垂直于坐标轴的直线.
2 −1
例0-8 已知一条直线过点(2,5)且斜率为3,试写出该直线
的方程.
解 由题意可知该直线可用点斜式表示为
即
也可化为一般式,即
4)二次函数
函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,且a≠0)称作二次
高等数学(绪论)
(3)函数的周期性;
x自变量
y 因变量
D x
f
M y
f 对应法则
D 定义域
记为 y f(x)，xD
练习：P5，习作题
(4)函数的有界性（详细讲解）.
• (4) 函数的有界性
• 设函数在区间I上有定义，如果存在正常数M，使得对于区间I内
所有x，都有
f（x）M
• 则称函数f(x)在区间I上有界。 如果这样的M不存在, 则称函数
y x 乘客乘车的费用 (元)与乘车里程 (km)
之间的数量关系为
10,
0x3
y 102.6(x3), 3x15
102.6(153)5.2(x15), x15
练习(作业)：
1．某工厂有电子产品1000只，每只定价为130 元，销售量在700以内时按原价出售，超过700 只时，超过部分打9折出售，试将销售总收益与 总销售量表示成函数关系。
f(x)在区间I上无界。
y
M
yM
• 在所讨论的区间上有界函数
的图像夹在平行于轴的两条直
线之间。
o
x
例如：由于 |sinx|≤1,
M
因此，函数 y=sinx 是有界函数。
y M
练习：判断下列函数是否有界
（1）y 3x5;
（2）y 1 x2;
无界
（3）y有界3sin（2x3）;
无界
（4） y cos3x;
价八折优惠。
广州至长
(1)
求运价
y（元）
和里程
x
（公里）之间的函数关系；
沙为707 公里
(2) (2) 现有2万吨广式月饼，从广州运往长沙，问共需多少运 费？
(3) (3) 现有2万吨广式月饼，从广州运往北京，问共需多少运
高等数学绪论课讲稿
高等数学绪论课讲稿首先，很荣幸由我来给大家上高数课，不出意外的话，我将会陪大家走过大一一年的时间。
下面我先作一下自我介绍。
0 自我介绍我叫XXX，XXX年生，XXXX人。
XXXX年XX大学XX系本科毕业，随后考入XX大学理学院XX专业硕士，XX年硕士毕业来到XX大学XX系XX教研室，现已从教XX年。
爱好是喜欢运动，特别是打篮球。
今天第一节课我们上一节绪论课，主要是介绍以下三部分内容：（1）为什么要学习高等数学？（2）高数有哪些内容及解决哪些问题？（3）怎么学好高等数学？1为什么学习高等数学？1.1高等数学的基础性和工具性首先给大家列举这样一个事实，就是高数数学是所有高等院校经济类、理工类专业学生的一门重要的必修课，甚至一些文科类专业也把高等数学作为选修课。
课程都是安排在大学的第一年。
也就是说踏进大学的校门，首先必须要学习的就是高等数学这门课程。
从这个角度就可以一定程度上反映出来高等数学的重要性。
当然，这里主要体现在它的基础性和工具性。
第一，高等数学是后续数学课程的基础，对所有理工类、经济类的学生来说，大一学完高等数学，后面还要学习线性代数、概率论和数理统计。
而高数是这两门课的基础。
第二，高数也是其他学科的基础和工具。
大学期间后续还要学习大学物理、理论力学、电工电子技术与基础，计算机程序语言、飞机空气动力学、航空理论等课程，这些都需要扎实的数学基础，如果高数学不好，那么会直接影响这些后续课程的学习。
1.2 高等数学的思维训练和数学素养培养功能高等数学（或者说数学）的主要特点：追求精确、逻辑严密、高度抽象，通过高数的学习可以培养我们的理性思维、逻辑思维以及抽象思维等等。
这里给大家举几个例子，给大家展示一下用数学的思维去看我们日常生活中的一些问题。
(1) 先有鸡？先有鸡蛋？对这样的问题，数学的思维是先问一问什么是鸡，什么是鸡蛋，它们之间有什么联系。
只要概念清楚了，问题自然迎刃而解。
这里我们从鸡蛋入手，什么是鸡蛋呢？鸡蛋的概念必须与鸡有关，否则问题就没有意义了。
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重大转变 新的抉择 学会学习 成功之本
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你对下列问题将给出怎样的答案？ 1. 数列极限与函数极限有什么关系？ 2. 极限有多少种？最终可以归为几类？ 3. 如何描述极限的特征？ 4. 如何数量化地给出极限的准确定义？ 5. 给出生活中涉及极限的实例？
科学的基本态度——实事求是； 科学的基本方法——观察、实验和推理； 科学的基本精神——理性精神、
怀疑和批判、探索和创新。
17
历史已经证明，而且将继续证明，一种 没有相当发达的数学的文化是注定要衰落 的，一个不以掌握数学作为一种文化的民 族也是注定要衰落的。
数学水平是一个民族的文化修养与智力 创新力发展的度量。环顾世界，所有的经 济大国和科技大国，必然也是数学强国。
9
4. 数学提供了独特的思考方式 抽象化 ——从众多不同的现象抽象出共
有的性质来研究；
符号化 ——把自然语言扩充深化为简明、
紧凑的符号语言，这是自然科学 公有的阐述方式，以数学为最；
公理化 —— 从前提、从数据、从图形，
从不完全和不一致的原始资料进 行推理。归纳与演绎并用。
10
最优化 —— 考虑所有的可能性, 从中寻
因为数学是研究量化模式的具有普 遍性的科学，而不是各种特殊的物质运 动形态的科学，当今学术界人士才普遍 认识到在科学分类法中，应当把数学与 自然科学、社会科学（人文科学）、技
术科学相并列，称之为数学科学。
13
6. 数学与美
科学研究的任务有两条, 正如庄子所说: “判天地之美，析万物之理”.
美是艺术家所追求的一种境界, 同样也 是数学界公认的一种评价标准.
数学文化——以理性的精神对待人与社 会、及人与自然的关系。
“李约瑟难题” ? —— 数学与思想解放.
15
谈谈数学素质
数学素质是指: 人认识和处理数形规律、 逻辑关系及抽象事物的悟性和潜能，指人 通过数学教育而获得的一种理性思辩意识 和能力、理性的思维模式和研究精神.
16
大学数学教育目的在使大学生养成
23
微积分基本上是牛顿、 莱布尼茨发现 的, 它分为微分学和积分学两大部分, 微 积分学基本定理使两部分沟通成一整体;
微积分的创立主要源于以下四类问题： 1. 力学的求瞬时速度、加速度等问题; 2. 几何求曲线在一点处的切线问题; 3. 求函数的最大、最小值问题; 4. 求积问题：面积、体积、弧长，功等.
高等教育出版社. 7. 高隆昌著《 数学及其认识》高教出版社. 8. 王青建编《 数学史简编》 科学出版社. 9. 毛京中主编《 高等数学竞赛与提高》
北京理工大学出版社.
29
数学软件：Math-4, Maple-7, MatLab-6 总学时安排: 168学时,讲课与习题课 作业要求、答疑安排； 考核与成绩评定: 平时、作业，期中考查
求最优解。
模型化 —— 对现实现象进行分析, 从中
找出数量关系, 并化为数学问题。 应用这些思考方式形成的悟性和经验 — 数学能力.
数学技术 — 数学思想和方法与计算技术
的结合已经形成了一种关键性的可实现的 技术，称为数学技术 。
11
数学技术本质上是数学内容的物化, 成
为计算机的软件及硬件、多种技术的一个
高等数学
配套课件
绪论
2005.8
1
贺同学们
1. 告别应试教育 2. 走向独立人
2
绪论
一、什么是大学及大学文化 ？ 二、话说数学 —— 数学是什么？ 三、话说微积分 (Calculus) 四、在大学学数学 五、教学安排与要求
3
一、什么是大学及大学文化 ？
前清华大学校长 (1931.10__1948.12 任国立清华大学校长 )
梅贻琦 《大学一解》
《礼记》的《大学》篇开章明义之数语 即曰，“大学之道，在明明德，在新民， 在止于至善”.
若论其目，则格物，致知，诚意，正心， 修身，属明明德； 而齐家，治国，平天下, 属新民。
4
大学文化是一种追求真理的文化, 大学文化是一种追求理想和人生
抱负的文化, 大学文化是一种崇尚学术的文化, 大学文化是一种严谨求是的文化, 大学文化是一种具有强烈批判精神
核心组成部分。 数学成为一种技术、而
且是关键的、有自主知识产权的技术。数
学可以成为产品、 而且是高科技的产品，
能真正、直接转化为生产力，创造财富。
历史上从未有象现在这样认识到数学
的价值， 而它的直接体现是数字化世界。
高新技术本质上是一种数学技术 — 这一
观点已为越来越多的人所认同。
12
5. 数学应该称为 “ 数学科学 ”
21
计算数学 (Computation mathematics) 运筹与控制 (Operations & control) 概率论与数理统计 ( Probability
& mathematical statistics)
3. 现代数学发展的新趋向
数学的现代发展不仅表现在现代数学的 的新领域和高层次中，而且表现在数学向 一切学科与社会部门的渗透和应用。现代 数学研究的对象越来越复杂，其表现为：
22
从单变量到多变量, 从低维到高维; 从线性到非线性; 从局部到整体, 从简单到复杂; 从连续到间断, 从稳定到分岔; 从精确到随机、到模糊; 计算机的使用.
4. 我们要学的微积分 ( Calculus )
微积分是人类智慧最伟大的成就之一, 被恩格斯评价为 “人类精神的最高胜利 ” ;
数—— 代数：数量关系的科学, 有序思 维占主导, 培养逻辑推理能力；
形—— 几何：空间形式的科学, 空间想 象、形象思维占主导, 培养直觉 能力和洞察力.
7
2. 数学是关于模式和秩序的科学
人类的心智和文化为模式的识别、分类
和利用建立的一套规范化的思想体系，
被称之为数学.
数学的处理对象分为三类： 数据，测量，观察资料； 推断，演绎，证明； 自然现象, 人类行为, 社会系统的各 种模式。
2. 几个悖论
进了大学可以松口气了，怎么也能让你 毕业；
大学上不上课没人说，反正上课我也听 不懂，不是只要考试及格就行吗，我自 己抠吧；
26
不考试, 数学我不会学, 答疑我也提不出 问题，作业不抄我又没办法，因有分呀， 抄一回算一回吧。
中学我数学学得那么好, 怎么现在我就不 行了呢? 准是工大的过 或者 就赖老师。
数学是艺术: 思维的艺术、抽象的艺术. 数学求真, 就是求美, 真就是美.
美学的四种中心构架： 史诗、音乐、 造型、 数学.
14
Poincare 把数学美的基本特征概括为： 简洁、对称、完备、统一、和谐与奇异.
7. 数学科学与人类文明
数学与人类文明同样古老, 数学是构筑 当代物质文明的基石。
数学水平
熟练使用初等数学， 熟悉公理化几何
懂微积分和统计 能处理经济问题
能使用高等微积分、 近世代ห้องสมุดไป่ตู้和统计
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技术水平 职业
生物化学师 心理学家 律师 经济分析师 会计 公司董事 计算机推销员 税务代理人
私人经纪人
2. 职业要求
语言水平
6 6 6 4 5 4 4 6 5
数学水平
6 5 4 5 5 5 4 4 5
24
微积分最基本的概念是导数和积分; 微积分的理论基础是极限论—所谓分析； 高等数学的核心是微积分, 外加级数和
微分方程。
四、在大学学数学 1. 与以往学数学的几点不同
动力 (兴趣、进取、理智、进学、压力);
25
讲课法 (讲授，量、进度、参考书) ; 学法 (自主、自由、复习、作业、答疑) ; 考核 (平时、作业、期末考试 ) ;
参考书: 1. 清华大学《微积分》等
2. 李心灿等编《高等数学一题多解200例》 机械工业出版社 .
3. 龚升著《话说微积分》, 科大出版社 . 4. 张顺燕编《数学的源与流》 高教出版社.28
5. 张顺燕编两本《 数学的思想、方法和应用》 《数学的美与理》北京大学出版社. 6. 李心灿编《 微积分的创立者及其先驱》
20
三、话说微积分 (Calculus) 1. 数学的三大核心领域
代数 (Algebra) 几何 (Geometry) 分析 (Mathematical Analysis)
2. 数学科学按内容可分成五大学科
纯粹数学 (Pure mathematics) 应用数学 (Applied mathematics)
8
3. 数学的三大基本特征
研究对象的高度抽象性; 论证方法的演绎性与逻辑的严谨性; 应用的极其广泛性.
正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的 —
宇宙之大, 粒子之微, 火箭之速, 化工之巧, 地球 之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在. 缺少 了数学就不能准确地刻画客观事物的变化,更不 能由已知数据推出其它数据,因而就减少了科学 预见的可能性，减弱了科学预见的精确度.
的文化.
5
大学的英文是 University ，
它跟宇宙 (Universe) 是同一个字根。 试想，如果宇宙中只有一种物质形态，不就 完结了吗 ？群星灿烂、变幻无穷才能称之为 宇宙。而大学就应该是观念的宇宙、知识的 宇宙、人才的宇宙。
6
二、话说数学 —— 数学是什么？
1. 数学是关于数和形的学问
微分几何大师陈省身对中国在21世纪成 为数学强国充满了无限的期望。
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数学水平与就业
1999年美国出版了一本教材:《理解数学》 书中第三页列出了如下的就业表.
1. 技术水平
能力要求 等级
语言水平
4
写报告、总结、摘要，参加辩论
5
读科技杂志、经济报告、法律 文件，写社论、评论文
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