全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

全国初中数学竞赛试题

一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.

1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,22||()||a a b c a b c ++-+可以化简为 ．

A 2c a -

B 22a b -

C a -

D a 1乙．如果22a =-+那么11123a

+

+

+的值为 ．

A 2- 2 C2 D 2

2甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =x

b

b ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为 ． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,2

2乙． 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的个数为 ． A10 B9 C7 D5

3甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． A1 B

214a - C 12 D 1

4

3乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,

△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为 ． A 23 B4 C 52 D4.5

4甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是 ．

O

A

B C

E

D

A1 B2 C3 D4

4乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 ．

A 5

B 6

C 7

D 8

5甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是 ．

A 0p

B 1p

C 2p

D 3p

5乙．黑板上写有1

11123100

，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是 ． A2012 B101 C100 D99

二、填空题共5小题,每小题6分,共30分

6甲．按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输

入一个值x ”到“结果是否>487 ”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 . 6

乙

.如

果a ,b ,c

是

正

数

,且满足9

a b c ++=,

11110

9

a b b c c a ++=+++,

那

么

a b c

b c c a a b

++

+++的值为 ． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215, E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB

分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .

7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作

矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、

BD 的长度差是 ; 8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +

4

3k 2－3k +9

2= 0的两个实数根分

别

为

x

y

O E

C

A

B

D

1x ,2x ,那么

2012

2

20111x x 的值为 ．

8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 . 9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 . 9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）

和111a b c （，，）

均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则a

c

的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O , AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD , 交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .

10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 ．

三、解答题共4题,每题15分,共60分

11甲．已知二次函数2

32y x m x m =+

+++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于9

10

-

．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x

轴正、负半轴

上

,

48,,sin 5

AO AB AC C ==∠AB =

;点D 在线段AB 上,连结CD 交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式;