层次分析法(AHP)建模

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Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
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计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
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权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1
c. 将w~i
归一化wi w~i / n w~i , w (w1, w2 ,..., wn )T
i 1
d.
计算
1
n
(
Aw)i
n w i1
i
,作为最大特征根的近似值
选择旅游景点
准
景
费
居
饮
旅
则(x) 层
色
用
住
食
途
方
案(y)
P1
P2
P3
层
层次分析法
解决问题的目的 (也叫总目标)
为实现总目标而采 取的各种措施和方
案
用于解决问题的各 种措施和方案
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层次分析法
2 构造成对比较矩阵(判断矩阵)
Байду номын сангаас
要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影响,可从x1,x2,…,xn中任取 xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重要性)大小.按照如下”1~9比例尺度”给xi/xj赋值.
尺度xij
1 3 5 7 9 2,4,6,8
1,1/2,…,1/9
含义
xi与xj的影响相同 xi与xj的影响稍强 xi与xj的影响强 xi与xj的影响明显地强 xi与xj的影响绝对地强 xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间 xi与xj的影响之比为上面aij的互反数
层次分析法
层次分析法应用领域 应用遍及经济计划和管理,能源政策和分配,行为科学,军事指挥,运 输,农业,教育,人才,医疗,环境等领域.
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Mathematical Contest in Modeling 二. 层次分析法的基本步骤
层次分析法
例1:(假日旅游) 有P1,P2,P3三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据有:景色,费用, 饮食,居住和旅途.
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Mathematical Contest in Modeling 一. 层次分析法简介
层次分析法简介
层次分析法(AHP: Analytic Hierarchy Process)是美国著名的运筹学家 T.L.Saaty等人于20世纪70年代提出的一种简便,灵活而又实用的 多准则决策方法.主要用于确定综合评价的决策问题.具备矩阵演 算知识即可理解和应用.
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层次分析法
做成对比较时得到
于是,所谓的权重即指各小石块在大石头中所占的比重,即各wi
一般地,如果一个正互反矩阵A满足 aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, … , n
则称A为一致性矩阵，简称一致阵.
一致阵的性质: 1. A的秩为1,A的唯一非零特征根为n; 2. A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量.
若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各 因素对上一层因素Z的权权向量,各分量即为各因素对于Z的权重!
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层次分析法
由对于一般的判断矩阵(即A不一定一致)如何计算各因素xi对上一层因素Z的
首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大;
一
般
的
思
其次,就每一准则将三个地点进行对比;
维
过
程
最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.
层次分析法的步骤
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Mathematical Contest in Modeling 1 建立层次结构模型
目 标(Z) 层
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得到:
A=(xij), xij>0,xji=1/xij
判断矩阵
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某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的 比较矩阵如下:
其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即日认 为费用更重要.其他类同.
对于目标Z的权i重1 ,
叫各因w素 (w1, w2 ,...,wn )T
注叫意 权,向x1量,.x2, … ,xn中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度,积极性之类.
设想: 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
小石块W1 小石块W2
… 小石块Wn
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3 0.587 0.324 0.089
精确值为 w (0.588,0.322,0.090)T , 3.010
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Mathematical Contest in Modeling 判断矩阵的一致性检验
层次分析法
判断矩阵通常是不一致的,但是为了能用它的对应于特征根的 的特征向量作为被