答案第七章函数..

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《信号与系统》考研试题解答第七章系统函数

第七章系统函数一、单项选择题X7.1（浙江大学2004考研题）一个因果、稳定的离散时间系统函数)(z H 的极点必定在z 平面的。

（A ）单位圆以外（B ）实轴上（C ）左半平面（D ）单位圆以内 H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是。

（A ）指数增长信号（B ）指数衰减振荡信号（C ）常数（D ）等幅振荡信号 X7.3（浙江大学2003考研题）如果一离散时间系统的系统函数)(z H 只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h (k )应是。

（A ）ε(k ) （B ）)(k ε- （C ）)()1(k kε- （D ）1X7.4（浙江大学2002考研题）已知一连续系统的零、极点分布如图X7.4所示，1)(=∞H ，则系统函数H (s )为。

（A ）2+s （B ）1+s （C ）)2)(1(++s s （D ）1-s X7.5（西安电子科技大学2004考研题）图X7.5所示信号流图的系统函数H (s )为。

（A ）26132+++s s s （B ）2132++s s （C ）26132--+s s s （D ）1212-+s s X7.6（哈尔滨工业大学2002考研题）下列几个因果系统函数中，稳定（包括临界稳定）的系统函数有个。

（1）4312+--s s s （2）s s s 312++ （3）34234+++s s s （4）33223++++s s s s （5）1224++s s s （6）2421ss + （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4X7.7（哈尔滨工业大学2002考研题）下面的几种描述中，正确的为。

（A ）系统函数能提供求解零输入响应所需的全部信息；（B ）系统函数的零点位置影响时域波形的衰减或增长；（C ）若零极点离虚轴很远，则它们对频率响应的影响非常小；（D ）原点的二阶极点对应)(2t t ε形式的滤形。

通信原理课后答案第七章

7．5 设一个5位巴克码序列的前后都是+1码元，试画出其自相关函数曲线。

解：
7．6 设用一个7位巴克码作为群同步码，接收误码率为410−。

试分别求出容许错码数为0和1时的漏同步概率。

解：
0m =471(1)1(110) 6.9979e-004n e P P −=−−=−−=1m = 111(1)(1)n n e n P P C P P −=−−−−
474461(110)710(110) 2.0993e-007−−−=−−−××−=
7.8 设一个二进制通信系统传输信息的速率为100，信息码元的先验概率相等，要求假同步每年至多发生一次。

试问群同步码组的长度最小应设计为多少？若信道误码率为10，试问此系统的漏同步概率等于多少？
/b s 5−
解：设码组长度为n
① 每年收到的码元长度有 100365243600N =××× ，连续n 位的码组有个， 1N n −+即此中至多只有1钟和同步码组相同， 1N n −+对于n 位码组来说共有 2个组合。

n 所以，21
n N n ≥−+27n ⇒=
② 5271(110) 2.6996e-004e P −=−−=。

C语言程序设计第四版第七章答案-谭浩强

第七章函数7.1写两个函数，分别求两个整数的最大公约数和最小公倍数，用主函数调用这两个函数，并输出结果两个整数由键盘输入。

maxyueshu(m,n)int m,n;{ int i=1,t;for(;i<=m&&i<=n;i++){if(m%i==0&&n%i==0)t=i;}return(t);}minbeishu(m,n)int m,n;{int j;if(m>=n) j=m;else j=n;for(;!(j%m==0&&j%n==0);j++);return j;}main(){int a,b,max,min;printf("enter two number is: ");scanf("%d,%d",&a,&b);max=maxyueshu(a,b);min=minbeishu(a,b);printf("max=%d,min=%d\n",max,min);}7.2求方程的根，用三个函数分别求当b2-4ac大于0、等于0、和小于0时的根，并输出结果。

从主函数输入a、b、c的值。

#include"math.h"float yishigen(m,n,k)float m,n,k;{float x1,x2;x1=(-n+sqrt(k))/(2*m);x2=(-n-sqrt(k))/(2*m);printf("two shigen is x1=%.3f and x2=%.3f\n",x1,x2);}float denggen(m,n)float m,n;{float x;x=-n/(2*m);printf("denggen is x=%.3f\n",x);}float xugen(m,n,k)float m,n,k;{float x,y;x=-n/(2*m);y=sqrt(-k)/(2*m);printf("two xugen is x1=%.3f+%.3fi and x2=%.3f-%.3fi\n",x,y,x,y);}main(){float a,b,c,q;printf("input a b c is ");scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&c);printf("\n");q=b*b-4*a*c;if(q>0) yishigen(a,b,q);else if(q==0) denggen(a,b);else xugen(a,b,q);}7.3写一个判断素数的函数，在主函数输入一个整数，输出是否是素数的消息。

高中数学第七章三角函数7

7。

3.4 正切函数的性质与图像课后篇巩固提升基础巩固1。

y=tan x (x ≠kπ+π2,k ∈Z)的单调性为（）A .在整个定义域上为增函数B .在整个定义域上为减函数C 。

在(-π2+kπ,π2+kπ)(k ∈Z ）上为增函数D .在(-π2+kπ,π2+kπ)（k ∈Z ）上为减函数,C 选项正确.2.函数y=1tanx(-π4<x <π4)的值域为( ）A .（-1,1)B .（—∞，-1)∪（1，+∞)C 。

(-∞，1）D .(-1，+∞）-π4〈x 〈π4，∴-1〈tan x<1，故选B .3。

函数f （x )=tan2x tanx的定义域为( )A 。

{x |x ∈R ,且x ≠kπ4,k ∈Z}B 。

{x |x ∈R ,且x ≠kπ+π2,k ∈Z}C .{x |x ∈R ,且x ≠kπ+π4,k ∈Z}D .{x |x ∈R ,且x ≠kπ-π4,k ∈Z}2x ≠kπ+π2,x ≠kπ+π2,x ≠kπ,k ∈Z ,∴x ≠kπ4,k ∈Z .∴f (x ）的定义域为{x |x ≠kπ4,k ∈Z}.4。

要得到y=tan 2x 的图像,只需将y=tan (2x +π6)的图像（)A.向左平移π6个单位B 。

向左平移π12个单位C.向右平移π6个单位D.向右平移π12个单位5.（多选）若直线y=m (m 为常数)与函数f （x )=tan ωx （ω〉0）的图像的相邻两支相交于A ,B 两点,且|AB ｜=π4,则( )A .函数f (x )的最小正周期为π2B 。

ω=4C .函数f （x )图像的对称中心的坐标为(kπ8,0)(k ∈Z )D .函数|f (x ）|图像的对称轴方程均可表示为x=kπ2(k ∈Z ） |AB ｜=π4,则T=π4,∴ω=4。

故A 错,B 正确;令4x=12k π，k ∈Z ，∴x=18k π，k ∈Z 。

∴y=tan 4x 的图像的对称中心为(kπ8,0)（k ∈Z ）。

Python 试卷题目有答案第7章函数

7-1 形式参数和实际参数有哪些区别？答：❑形式参数：在定义函数时，函数名后面括号中的参数为“形式参数”，也称形参。

❑实际参数：在调用一个函数时，函数名后面括号中的参数为“实际参数”。

也就是将函数的调用者提供给函数的参数称为实际参数，也称实参。

根据实参的类型不同，可以分为将实参的值传递给形参，和将实参的引用传递给形参两种情况。

其中，当实参为不可变对象时，进行的是值传递；当实参为可变对象时，进行的是引用传递。

实际上，值传递和引用传递的基本区别就是，进行值传递后，改变形参的值，实参的值不变；而进行引用传递后，改变形参的值，实参的值也一同改变。

7-2 什么是位置参数和关键字参数？答：位置参数也称必备参数，必须按照正确的顺序传到函数中。

即调用时的数量和位置必须和定义时是一样的。

关键字参数是指使用形参的名字来确定输入的参数值。

通过该方式指定实参时，不再需要与形参的位置完全一致。

只要将参数名写正确即可。

这样可以避免用户需要牢记参数位置的麻烦，使得函数的调用和参数传递更加灵活方便。

7-3 为参数设置默认值有哪些注意事项？答：在定义函数时，指定默认的形参必须在所有参数的最后，否则将产生语法错误。

7-4 什么是可变参数？Python中提供了哪两种可变参数？答：在Python中，还可以定义可变参数。

可变参数也称不定长参数，即传入函数中的实际参数可以是零个、一个、两个到任意个。

定义可变参数时，主要有两种形式，一种是*parameter，另一种是**parameter。

7-5 如何为函数设置返回值？答：在Python中，可以在函数体内使用return语句为函数指定返回值。

该返回值可以是任意类型，并且无论return语句出现在函数的什么位置，只要得到执行，就会直接结束函数的执行。

return语句的语法格式如下：result = return [value]参数说明如下：❑result：用于保存返回结果，如果返回一个值，那么result中保存的就是返回的一个值，该值可以任意类型。

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）；（2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠；（3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解（1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解（1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解（1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解（1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解（1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

C语言在线实验第5次(第七章函数)-题目与答案

第五次实验题目-第七章函数教学目标31.一元二次方程的系数：a、b、c由主函数输入，编写函数求方程的根。

#include <stdio.h>#include <math.h>void root(double a, double b, double c){ double delta,x1,x2,m,n;if (fabs(a) <= 1e-6){if (fabs(b) <= 1e-6)puts("Not an equation");elseprintf("x=%.2lf",-c/b);return;}else{delta=b*b - 4*a*c;m = -b / (2*a);n = sqrt(fabs(delta)) / (2*a);x1 = m + n;x2 = m - n;if (fabs(delta) <= 1e-6)printf("x1=%.2lf, x2=%.2lf", x1, x1);else if (delta < 0)printf("x1=%.2lf+%.2lfi, x2=%.2lf-%.2lfi",m,n,m,n);elseprintf("x1=%.2lf, x2=%.2lf", x1, x2);}}int main( ){ double a,b,c;scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);root(a,b,c);return 0;}教学目标32.输入一串字符，统计其中英文字母的个数，编写统计英文字母个数的函数。

#include<stdio.h>int numberOfLetter(char str[]) {int i=0;int num = 0;//统计字母个数while (str[i]!=’\0’) {if ((str[i]>='A'&& str[i]<='Z')||( str[i]>='a'&& str[i]<='z')) num++;i++;}return num;}int main( ) {char str[100];int letterNum;printf("Enter a string: ");gets(str);letterNum = numberOfLetter(str);printf("Number of letters is %d.\n", letterNum);return 0;}教学目标33. 求100以内所有素数的和。

高等数学课后答案第七章习题详细解答

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-；（2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =；（4）z =；（5）z =（6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yzu x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

c程序设计第二版谭浩强课后答案

c程序设计第二版谭浩强课后答案C程序设计第二版是谭浩强教授编写的一本广泛使用的计算机程序设计教材，它以C语言为基础，深入浅出地介绍了程序设计的基本概念、语法规则和编程技巧。

这本书的课后习题对于加深理解C语言的知识点非常有帮助。

以下是部分课后习题的答案，供参考：第一章程序设计和C语言概述1. 问题一：简述程序设计的基本步骤。

- 答案：程序设计的基本步骤包括需求分析、设计、编码、测试和维护。

2. 问题二：C语言的主要特点是什么？- 答案：C语言的主要特点包括简洁高效、结构化、可移植性、丰富的运算符、灵活的数据类型和内存管理能力。

第二章 C语言程序的结构1. 问题一：C语言程序的基本结构是什么？- 答案：C语言程序的基本结构包括预处理指令、函数定义和主函数。

2. 问题二：什么是函数？C语言中函数的定义规则是什么？- 答案：函数是一段具有特定功能的代码块，可以被重复调用。

C 语言中函数的定义规则包括返回类型、函数名和参数列表。

第三章数据类型、运算符和表达式1. 问题一：C语言中的基本数据类型有哪些？- 答案：C语言中的基本数据类型包括整型（int）、字符型（char）、浮点型（float和double）。

2. 问题二：算术运算符有哪些？它们的优先级是怎样的？- 答案：算术运算符包括加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）和模（%）。

它们的优先级从高到低依次是乘除、模、加减。

第四章控制语句1. 问题一：C语言中的条件语句有哪些？- 答案：C语言中的条件语句包括if语句、if...else语句和switch语句。

2. 问题二：循环语句有哪些？它们的基本结构是什么？- 答案：C语言中的循环语句包括while循环、do...while循环和for循环。

它们的基本结构是初始化、条件判断和迭代。

第五章数组1. 问题一：什么是数组？数组的声明方式有哪些？- 答案：数组是相同数据类型元素的集合。

数组的声明方式包括在函数内部声明和全局声明。

第七章函数练习题(1)带答案

第七章函数练习题(1)一、选择题1. 一个完整的C源程序是【】。

A）要由一个主函数或一个以上的非主函数构成B）由一个且仅由一个主函数和零个以上的非主函数构成C）要由一个主函数和一个以上的非主函数构成D）由一个且只有一个主函数或多个非主函数构成2. 以下关于函数的叙述中正确的是【】。

A）C语言程序将从源程序中第一个函数开始执行B）可以在程序中由用户指定任意一个函数作为主函数，程序将从此开始执行C）C语言规定必须用main作为主函数名，程序将从此开始执行，在此结束D）main可作为用户标识符，用以定义任意一个函数3. 以下关于函数的叙述中不正确的是【】。

A）C程序是函数的集合，包括标准库函数和用户自定义函数B）在C语言程序中，被调用的函数必须在main函数中定义C）在C语言程序中，函数的定义不能嵌套D）在C语言程序中，函数的调用可以嵌套4. 在一个C程序中,【】。

A）main函数必须出现在所有函数之前B）main函数可以在任何地方出现C）main函数必须出现在所有函数之后D）main函数必须出现在固定位置5. 若在C语言中未说明函数的类型，则系统默认该函数的数据类型是【】A）float B）longC）int D）double6. 以下关于函数叙述中，错误的是【】。

A）函数未被调用时，系统将不为形参分配内存单元B）实参与形参的个数应相等，且实参与形参的类型必须对应一致C）当形参是变量时，实参可以是常量、变量或表达式D）形参可以是常量、变量或表达式7. 若函数调用时参数为基本数据类型的变量，以下叙述正确的是【】。

A）实参与其对应的形参共占存储单元B）只有当实参与其对应的形参同名时才共占存储单元C）实参与对应的形参分别占用不同的存储单元D）实参将数据传递给形参后，立即释放原先占用的存储单元9. 函数调用时,当实参和形参都是简单变量时，他们之间数据传递的过程是【】。

A）实参将其地址传递给形参，并释放原先占用的存储单元B）实参将其地址传递给形参，调用结束时形参再将其地址回传给实参C）实参将其值传递给形参，调用结束时形参再将其值回传给实参D）实参将其值传递给形参，调用结束时形参并不将其值回传给实参10. 若函数调用时的实参为变量时，以下关于函数形参和实参的叙述中正确的是【】。

高等代数第7章习题参考答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

高等数学教材第七章答案

高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。

1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。

高等数学第七章大作业答案解析

A. e x ( B0 B1 x); C. x 2e x ( B0 B1 x);
2
）
B. xe x ( B0 B1 x) D. Be x
特征方程 r 2r 1 0
C
特征根 r 1(二重根 )
1是特征根，而且是二重根，
所以特解形式为
x e ( B0 B1 x)
2 x
二、填空题
1. 已知连续函数 f ( x)满足关系式 f ( x)
f ( x)
2x 0
1 t f ( )dt , 则 x 2
1 2x t f ( x) f ( )dt x 0 2
1 f ' ( x) 2 x

2x
0
t 1 f ( )dt f ( x) 2 2 x
Y y y ' ( X x) 与y轴的截距为 y y' x
2 x 3a
2
( x, y )
梯形面积为（y y y ' x)
求一曲线，使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所围成的梯形面积等于常数 3a , 且过点（1，a ）（y y y ' x) x 3a 2 2 2 6a 2 整理得 y' y 2 且y(1) a 2 x x
分离变量，求解微分方程得
1 f ( x) x
f ( x) Cx
2.以y e2 x (3 cos x 4 sin x)为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
r 2 i为该方程的特征根
所以特征方程为
(r 2 i)(r 2 i) 0
即r 4r 5 0
2 2

(完整版)答案第七章函数..

第七章函数一、选择题1.以下函数声明正确的是： C 。

(02~03第一学期试题)A) double fun(int x, int y) B) double fun(int x; int y)C) double fun(int x, int y) ; D) double fun(int x , y)2.C语言规定，简单变量作实参，它与对应形参之间的数据传递方式是： B 。

（0级）A）地址传递；B）单向值传递；C）双向值传递；D）由用户指定传递方式3.以下关于Ｃ语言程序中函数的说法正确的是： B 。

（0级）Ａ）函数的定义可以嵌套，但函数的调用不可以嵌套；Ｂ）函数的定义不可以嵌套，但函数的调用可以嵌套；Ｃ）函数的定义和调用均不可以嵌套；Ｄ）函数的定义和点用都可以嵌套。

4.以下正确的函数形式是： D 。

（1级）A）double fun(int x,int y) B)fun (int x,y){z=x+y;return z;} {int z;return z;}C)fun(x,y) D)double fun(int x,int y){int x,y ; double z; {double z;z=x+y; return z;} z=x+y; return z;}5.以下说法不正确的是： B 。

（1级）C 语言规定A）实参可以是常量、变量或表达式B）形参可以是常量、变量或表达式C）实参可以是任意类型D）形参应与其对应的实参类型一致6.C语言允许函数值类型缺省定义，此时该函数值隐含的类型是 B 。

（0级）A) float型B) int 型C）long 型D）double 型7.以下错误的描述是 D 。

（0级）函数调用可以A)出现在执行语句中B)出现在一个表达式中C)做为一个函数的实参D）做为一个函数的形参8.若用数组名作为函数调用的实参，传递给形参的是 A 。

（0级）A）数组的首地址B）数组第一个元素的值C）数组中全部元素的值D）数组元素的个数9.以下正确的说法是 A 。

（完整版）答案第七章函数..

（完整版）答案第七章函数..第七章函数一、选择题1.以下函数声明正确的是： C 。

（0级）A）地址传递；B）单向值传递；C）双向值传递；D）由用户指定传递方式3.以下关于Ｃ语言程序中函数的说法正确的是： B 。

4.以下正确的函数形式是： D 。

（0级）A) float型B) int 型C）long 型D）double 型7.以下错误的描述是 D 。

（0级）A）数组的首地址B）数组第一个元素的值C）数组中全部元素的值D）数组元素的个数9.以下正确的说法是 A 。

《统计学》-第7章-习题答案

第七章思考与练习参考答案1 •答：函数关系是两变量之间的确定性关系，即当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值与之相对应；而相关关系表示的是两变量之间的一种不确定性关系，具体表示为当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在定的范围内变化。

2•答：相关和回归都是研究现象及变量之间相互关系的方法。

相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，但不能确定变量间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况；回归分析则可以找到研究变量之间相互关系的具体形式，并可变量之间的数量联系进行测定，确定一个回归方程，并根据这个回归方程从已知量推测未知量。

3•答：单相关系数是度量两个变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为：总体相关系数二样本相关系数，「一】。

复相关系数是多元线性回归分析中度量因变量与其它多个自变量之间的线性相关程度的指标，它是方程的判定系数R2的正的平方根。

偏相关系数是多元线性回归分析中度量在其它变量不变的情况下两个变量之间真实相关程度的指标，它反映了在消除其他变量影响的条件下两个变量之间的线性相关程度。

4.答：回归模型假定总体上因变量Y与自变量X之间存在着近似的线性函数关系，可表示为Y^ 11X t u t，这就是总体回归函数，其中u t是随机误差项，可以反映未考虑的其他各种因素对Y的影响。

根据样本数据拟合的方程，就是样本回归函数，以一元线性回归模型的样本回归函数为例可表示为：Y?=耳+弭x t。

总体回归函数事实上是未知的，需要利用样本的信息对其进行估计，样本回归函数是对总体回归函数的近似反映。

两者的区别主要包括：第一，总体回归直线是未知的，它只有一条；而样本回归直线则是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归直线。

第二，总体回归函数中的-0和-1是未知的参数，表现为常数；而样本回归直线中的'?Q和?i是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。

离散数学-第七章习题答案

第7章习题答案1．f（x）=2|x|+1是从整数集合到正整数集合的函数，它的值域是什么？解：它的值域是正奇数集合。

2．试问下列关系中哪个能构成函数？（1）{〈x，y〉|x，y∈N，x+y<10}（2）{〈x，y〉|x，y∈R，y=x2}（3）{〈x，y〉|x，y∈R，y2=x}解；（1）、（3）不满足函数的定义，只有（2）是函数。

3．下列集合能够定义函数吗？如果能，求出它们的定义域和值域。

（1）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈1,4〉〉,〈4,〈1,4〉〉}（2）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈3,2〉〉}（3）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈1,〈2,4〉〉}（4）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈2,3〉〉,〈3,〈2,3〉〉}解：(1)、(2)、(4)定义的是函数。

(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,4〉}(2)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈3,2〉}(4)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉}4．设f，g都是函数，并且有f⊆g和dom（g）=dom（f），证明f=g证明：假设f≠g，因为f⊆g和dom（g）=dom（f），则存在x1∈dom（g）和dom（f），使得〈x1,y1〉∈g但〈x1,y1〉∉f，因为f是函数，在定义域上处处有定义，所以必存在y2，使得〈x1,y2〉∈f，由f⊆g得〈x1,y2〉∈g，这与g是函数满足单值性矛盾。

故假设错误，必有f=g。

6．设X={0，1，2}，求出X X中的如下函数（1） f2（x）=f（x）（2） f2（x）=x（3） f3（x）=x解：（1）有10个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}f2（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f5（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f6（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,2〉}f7（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f8（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f9（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f10（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}（2）有4个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f2（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,0〉,〈2,2〉}（3）有3个函数，分别是：f 1（x ）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f 2（x ）={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,0〉}f 3（x ）={〈0,2〉,〈1,0〉,〈2,1〉}8．设f,g,h 是N → N 的函数, 其中N 是自然数集合，f(n)＝n ＋1, g(n)＝2n,⎩⎨⎧=是奇数若是偶数若n n n h 10)(试确定：f f ，f g ，g h ，h g 及(f g) h 。

高等数学课后习题答案--第七章

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11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;