中考综合型问题集二

31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，且与y 轴交于D （0，3），直线l 是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过点A （－1，0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式； （3）点P 在抛物线的对称轴上，⊙P 与直线AB 和x

轴都相切，求点P 的坐标．

32．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（－2，2），平行四边形OABC 的顶点A 、B 在此抛物线上，AB 与y 轴相交于点M ．已知点C 的坐标是（－4，0），点Q （x ，y ）是抛物线上任意一点． （1）求此抛物线的解析式及点M 的坐标； （2）在x 轴上有一点P （t ，0），若PQ ∥CM ，试用x 的代数式表示t ；

（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得△BAQ 的面积是△BMC 的面积的2倍？若存在，求此时点Q 的坐标．

33．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，1），平移抛

物线y ＝x

2

，使平移后的抛物线过A 、B 两点． （1）求平移后抛物线的函数表达式；

（2）设（1）中抛物线的顶点为C ，D 为y 轴上一点，且S △ABD

＝S △ABC

，求点D 的坐标； （3）请在图2上用尺规作图的方式探究（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

图1

图2

34．如图，抛物线y ＝－

1

4

x 2

＋4交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，连接AC 、BC ，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连接BF ，交DE 于点P ．

（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）求证：BF ⊥AB ；

（3）连接CP ，记△CPF 的面积为S 1，△CPB 的面积为S 2，若S ＝S 1－S 2，试探究S 的最小值．

35．已知抛物线y ＝－x

2＋2mx －m

2

－m ＋3． （1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？

（2）若抛物线与x 轴交于M 、N 两点，当|OM |·|ON |＝3，且|OM |≠|ON |

时，求抛物线的解析式；

（3）若（2）中所求抛物线顶点为C ，与y 轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点A ，点P 为抛物线对称轴上一动点，PD ⊥AC 于D ．是

否存在点P ，使S △P AD

＝

1

4

S △ABC

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

36．如图，已知点F 的坐标为（0，1），过点F 的直线与抛物线y ＝

1

4

x 2

交于A 、B 两点，直线y ＝－1与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ． （1）判断以线段AB 为直径的圆与直线y ＝－1的位置关系并说明理由；

（2）若以AB 为直径的圆与y 轴交于C （3－

21 2

，0）、

D （3＋

21 2

，0）两点，求直线AB 对应的函数解析式；

（3）求证：∠ACF ＝∠BCF ；

（4）△ABC 的面积是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

37．如图，已知抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 经过点A （2，3）、B （6，1）、C （0，－2）．

（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；

（2）点P 是抛物线对称轴上的动点，当AP ⊥CP 时，求点P 的坐标； （3）设直线BC 与x 轴交于点D ，点H 是抛物线与x 轴的一个交点，

点E （t ，n ）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S ．当S 取何

值时，满足条件的点E 只有一个？当S 取何值时，满足条件的点E 有两个？

38．已知抛物线y 1＝x

2

＋4

x ＋1的图象向上平移m 个单位（m ＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．

（1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成y 2＝a (

x －h

)2

＋k 的形式；

（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象，请写出这个图象对应的函数y 的解析式，并在所给的平面直

角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在－3＜x

≤－

3

2

时对应的函数值y 的取值范围； （3）设一次函数y 3＝nx ＋3（n ≠0），问是否存在正整数n 使得（2）中函数的函数值y ＝y 3时，对应的x 的值为－1＜x

＜0，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．

39．如图，已知抛物线y ＝x

2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．

①当线段PQ ＝

3

4

AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．