§3-4 区间估计

0 - 1 分布： = E( X i ) = p
由标准正态分布上 分位点的定义，得 P{u / 2 n Xp u / 2 } 1 p (1 p )
2

2
= D( X i ) = p (1- p )
P{ap bp c 0} 1 由中心极限定理，得 经整理，得
W W (T )
（枢轴变量法）
二．正态总体均值与方差的置信区间
注 记
a W b 1 α 中 a, b 的 （2）概率等式 P
确定方法： ◆ 当 W 的分布为对称时，可取 a = - b ，使得
P b W b 1 α
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点。 ◆ 当 W 的分布为非对称时，可取a, b ，使得
X 的样本，试求参数 ² 的置信水平为1- 的单侧置信上限。
( n 1) S σ 2 χ n 1 (1 α )
2
*2
（ n > 50 ），试求参数 p 的置信水平为 1-
的置信区间。
回顾
中心极限定理
Yn
X
i 1
n
i
nμ… ，Xn ，… 相互独立，服从 同一分布，且具有相同的数学期望和方差： E( X i ) = ， n 2 … D( X i ) = （ i = 1，2， ），则随机变量之和 X i 的 标准化变量：
P{θ T1} 1 α
则称随机区间 (T1 , ∞ ) 是 的置信水平为1- 的单侧置信 区间， T1 称为置信水平为 1- 的单侧置信下限。
四．单侧置信区间
单侧置信区间（2）
单侧置信上限 设总体 X ~ F ( x; )， ，其中未知参数 。 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的一个样本。如果对给定 的 （0 < < 1）,存在一个统计量T2 = T2 ( X1, X2, …, Xn )
σ σ uα / 2 , X uα / 2 X n n
二．正态总体均值与方差的置信区间
注 记
σ σ 通常写成 （1） 区间估计 X u , X u α/2 α/2 n n σ X u α/2 n
σ σ 的长度 （2） 区间估计 X u , X u α/2 α/2 n n
即,区间的长度的均值 E (T2 T1 ) 要尽可能小。
一．区间估计的概念
置信区间
设总体X ~ F ( x; )， ，其中参数 未知， 是
可能取值的范围。 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的一个
样本。 如果对给定的 （0 < < 1）， 存在两个统计量 T1 = T1 ( X1, X2, …, Xn ) 和 T2 = T2 ( X1, X2, …, Xn ) 满足 则称随机区间(T1, T2 )是 的置信水平为1-的置信区间，
P{T1 θ T2 } 1 α
T1,和T2 分别称为置信水平为 1- 的双侧置信区间的置信
下限和置信上限，1- 称为置信水平。
一．区间估计的概念
注 记
（1） 置信水平 1- 表达了置信区间的可靠程度。 置信区间的长度的均值 E (T2 T1 ) 表达了 置信区间的精确程度。 （2）满足关系式 P{T1 θ T2 } 1 α 的置信区间 不是唯一的。 （3）求置信区间的基本思想： 在保证区间估计的可靠程度达到一定要求 的前提下，尽量使区间估计的精确程度提高。 （4）概率等式 P{T1 θ T2 } 1 α 的频率解释。
2 2 (n 1) S * (n 1) S * , 2 2 ( ) (1 ) χ n 1 χ n 1 2 2
三．（0-1）分布参数的置信区间
三．（0-1）分布参数的置信区间
问题 3
设总体 X 服从参数为 p 的 0 - 1 分布， p 未知，( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的样本
P W a α / 2
P W b α / 2
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点， a 为随机变量 W 的 上1 - /2 分位点。
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 1
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 ² >0已知，
未知，( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的样本，试求 参数的置信水平为 1- 的置信区间。
（2）对于给定的置信水平1- ，定出两个常数a,b，使
Pa W b 1 α
（3）利用不等式的同解变形，求得未知参数的置信水平
为 1- 的置信区间。
a W b
T1 θ T2
二．正态总体均值与方差的置信区间
注 记
（1） 通常从 的一个点估计 T 出发构造 W ：
进而，得P{ p1 p p2 } X μ n ~ N (0,1) σ b b 2 4ac a n u 2 其中p1 /2 Xp 2a 2 即 n ~ N (0,1) b ( 2 n X u ) 2 / 2 p(1 p) b b 4ac
2σ L uα / 2 n 反映了此区间估计的精度，它与 ，n， 等有关。
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 2
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 与
² > 0均未知，( X1, X2, …, Xn)是抽自总体 X 的样本，试分别求参数 ²的置信水平 为 1- 的置信区间。
注 记
基本事实 样本容量固定时，两个要求是矛盾的。
（1）区间估计 (T1, T2 ) 是一个随机区间。 （2）一个“好”的区间估计应该满足两个要求： ● 区间估计的可靠程度要尽可能高。
即，区间(T 1, T2 ) 包含参数 真值的概率
P{T1 θ T2 } 要尽可能大。
● 区间估计的精确程度要尽可能高。
二．正态总体均值与方差的置信区间
二．正态总体均值与方差的置信区间
求置信区间的方法
（1）寻求一个样本( X1, X2, …, Xn )的函数：
W=W( X1, X2, …, Xn ; ) ▲ W 只包含待估参数 ，而不含其它未知参数。
▲ W 的分布已知且不依赖于任何未知参数。 （当然不依赖于待估参数 ）
p2 2a
c nX 2
四．单侧置信区间
四．单侧置信区间
单侧置信区间（1）
单侧置信下限 设总体 X ~ F ( x; )， ，其中未知参数 。 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的一个样本。如果对给定的
（0 < < 1），存在一个统计量T1 = T1 ( X1, X2, …, Xn )满足
i 1
Yn

X
i 1
n
i
nμ
nσ
X μ n ~ N (0,1) σ
的分布函数 FYn(x) ，对于任意 x ，有
lim FYn ( x ) Φ( x ) Y ~ N (0, 1) n n
三．（0-1）分布参数的置信区间 设总体 X 服从参数为
问题 3
p 的 0 - 1 分布， p 未知，( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的样本 （ n > 50 ），试求参数 p 的置信水平为 1- 的置信区间。
满足
P{θ T2 } 1 α
则称随机区间(-∞, T2)是 的置信水平为1- 的单侧置信 区间， T2 称为置信水平为 1- 的单侧置信上限。
四．单侧置信区间
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 与
问题 4
² > 0均未知，( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体
。( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的一个样本，
T1 = T1 ( X1, X2, …, Xn ) 和 T2 = T2 ( X1, X2, …, Xn ) 为 两个统计量，满足T1≤ T2 ，用(T1, T2 )去估计参数
真值可能存在的范围，称为 的区间估计。
一．区间估计的概念
§3-4
区间估计
一．区间估计的概念
二．正态总体均值与方差的置信区间 三．（0-1）分布参数的置信区间 四．单侧置信区间
一． 区间估计的概念
有了点估计，为什么还要引入区间估计？ 什么是区间估计？ 如何寻找一个“好”的区间估计？
一．区间估计的概念
区间估计
设总体X ~F ( x; )， ，其中参数 未知，