小学的奥数几何五大模型燕尾模型

燕尾定理：

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积.

通过一道例题 证明燕尾定理：

如右图，D 是BC 1423:::S S S S BD DC == 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；

三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；

三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =； 综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC

的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

【解析】 方法一：连接CF ，

根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以55

12

12

DCEF ABC S S ==△

方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133

ABD ABC S S ==△△，

1121

2233

ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以

11

ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111

22323212

DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，

而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512

．

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，

由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是

一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103

ABE ABC S S ==△△，1152

ABD ABC S S ==△△．

例题精讲

燕尾定理

根据燕尾定理，

12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD

S CD

==△△, 所以17.54

ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=．

(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103

ABE ABC S S ==△△，

112

10223

BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以

11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232

DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，

而211032

CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且

:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等

于 ．

【解析】 连接CF ，

根据燕尾定理，

26

39

ABF ACF S BD S DC ===△△，

36

510

ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，545935

8

EFC S =⨯=+△份，3

10623

CDF S =⨯=+△份，

所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88

DCFE S =÷++⨯+=⨯+=

【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分

面积各占ABC △ 面积的几分之几

【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，

所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59

,,,30

30

6030

103020

+===

【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13

CQ CA =，BQ

与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． 【解析】 方法一：连接PQ ．

由于12CP CB =，13

CQ CA =，所以23ABQ

ABC S

S =，11

26

BPQ BCQ ABC S S S ==． 由蝴蝶定理知，21:::4:136

ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，

所以44122

6 2.455255

ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．

方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，

所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请

写出这4部分的面积各是多少

【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

1

21AEF S =

△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217

FDCE S +== 【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四

边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．

【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，2

3

ABF CBF S AE S EC ==△△,