第四章生成排列组合
排列组合的生成
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详细描述
该算法从第一个位置开始，将元素逐个插入到已排序的序列中，每次插入后都重新对整个序列进行排序，直到所 有元素都插入完毕。这种方法简单易懂，但效率较低，时间复杂度为O(n^2)。
递归法
总结词
通过递归调用自身来生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，对于给定的n个元素，先考虑第一个元素，将其与其他元素进行全排列，然后 再考虑第二个元素，将其与剩余的元素进行全排列，以此类推，直到所有元素都被考虑完毕。这种方 法思路简单，但实现起来较为复杂，需要处理递归终止条件和回溯。
密钥管理
在密钥管理中，排列组合可用于生成唯一的密钥， 确保通信双方的安全通信。
加密算法
排列。
数据加密
数据加密标准
排列组合可用于实现数据加密标 准（DES），通过对数据进行一 系列的置换和组合操作，确保数
据的机密性和完整性。
排列组合的生成
目录
• 排列组合的基本概念 • 排列的生成算法 • 组合的生成算法 • 排列组合的应用场景 • 排列组合的优化策略
01
排列组合的基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0≤m≤n），按照一定的顺序排成 一列，称为从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。
排列的表示
迭代法
总结词
通过迭代的方式生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，从第一个元素开始，依次将每个元素放到当前位置，然后对剩余 的元素进行全排列，直到所有元素都被考虑完毕。这种方法需要使用额外的数据结构来
保存中间结果，但时间复杂度较低，为O(n!)。
03
组合的生成算法
_9第四章生成排列组合
如此插入，可得到所有123的排列。
求出所有1234的排列： 1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4 3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 43 1 2 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 1 4 2 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4
其前元素是 a1 ...ar- 2，第r 1元素 ar -1
1 a1a2 ...ar 后面有C n a 个r 组合，
r
其前元素是 a1 ...ar- 1，第r元素 ar
r r 1 2 1 所以，序号为 Cr C C ... C C n n a n a n a n a
例5
8阶格雷码中
t=4, 改末位
10100110 的下一个是 00011111 的下一个是 01010100 的下一个是 01010100 的前一个是 10100110 的前一个是
10100111 00011101 01011100 01010101 10100010
t=5, 改前位
t=3, 改前位
{1，2，3，4字典序重排2-组合 12，13， 14， 23，24，34，
1、 r –组合的字典序
例2 12345 56789 12349 12389 12789 16789 S={1，2，…,8，9} 第一个5-组合 最后一个5-组合 下一个5-组合是 下一个5-组合是 下一个5-组合是 下一个5-组合是 12356 12456，12457，12458 12459，12467，…… 13456，13457，…… 23456，23457，……
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
第四章 生成排列和组合
逆序列通过独立的选择代替相关的选择
主要内容
生成排列 排列中的逆序 生成组合 生成r-组合
组合与二进制数
生成{1, 2, 3, ……,n}的组合，就是生成 所有从000…0到111…1的2n个二进制数
∅ {x0} {x1} {x1, x0} {x2} {x2, x0} {x2, x1} {x2, x1, x0} 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7
1234 1243 1423 4123 4132 1432 1342 1324 3124 3142 3412 4312 4321 3421 3241 3214 2314 2341 2431 4231 4213 2413 2143 2134
问题
生成{1, 2, 3, ……,n}的n!个排列必须先 生成并保存{1, 2, 3, ……,n-1}的(n-1)!个 排列??
算法缺点
字典序相邻组合的差别可能很大 例如：{x6,x4,x2,x1,x0} 与 {x6,x4,x3}
能否以不同的顺序生成n个元素集合的 组合，使得一个组合的直接后继与这个 组合尽可能小地不同？
举例
∅ {x0} {x1, x0} {x1} {x2, x1} {x2, x1, x0} {x2, x0} {x2} 000 001 011 010 110 111 101 100
第四章 生成排列和组合
主要内容
生成排列 排列中的逆序 生成组合 生成r-组合
主要内容
生成排列 排列中的逆序 生成组合 生成r-组合
排列的个数
{1, 2, 3, ……,n}的排列共有n!个
n n!≈ 2πn e
n
15！比1,000,000,000,000还大！
生成排列和组合
– 求出使得aj=0旳最小整数j – 用1替代aj – 并用0替代aj-1,…,a1,a0 旳每一种
• 当an-1…a1a0=1…11时结束
• n阶反射Gray码定义
– 1阶是0和1 – n>1时且n-1阶已构造好，则对n阶旳构造如下： – 先把0添到每个n-1元组旳开头，然后以n-1阶旳
• 逆序列构造算法一 • 考虑bn-k。假如bn-k =0，n-k必须放在已得到
旳全部数旳前面；假如bn-k =1，n-k放在前 两数之间；bn-k =k，那么n-k放在最终。
• 逆序列构造算法二
• bk个整数在k旳前面，而且这些整数还没有 被插进来，所以必须给这些数留出bk个空 位置。
4.3 生成组合
Step 3. 变化全部比m大旳数上方旳箭头; 然后转向Step 1.
4.2 排列中旳逆序
• aj等于在排列中先于j但不小于j旳整数旳个 数；它度量j反序旳程度
• 数值序列a1,a2,…,an叫做排列i1i2…in旳逆 序列
• 31524旳逆序列是1，2，0，1，0
4.2 排列中旳逆序
• ：令b1,b2,…,bn是满足0≤ b1≤ n-1, 0≤ b2≤ n2,…, 0≤ bn-1≤ 1, bn=0旳整数序列，那么，存 在{1,2,…,n}旳唯一一种排列，它旳逆序列 是b1,b2,…,bn
⑥ 上述算法对每个正整数n产生n阶反射 Gray码
• 例：8阶反射Gray码中，拟定10100110， 00011111和01010100旳后继
4.4 生成r组合
• 令a1a2…ar是{1,2,…,n}旳一种r组合。在字 典序中，第一种r组合是12…r，最终一种r 组合是(n-r+1)(n-r+2)…n。设a1a2…ar ≠ (nr+1)(n-r+2)…n。令k是满足ak<n且使得ak+1 不同于a1,a2,…,ar旳任一种数旳最大整数。 那么，在字典序中， a1a2…ar 旳直接后继r 组合是a1…ak-1 (ak+1)(ak+2)…(ak+r-k+1)
组合数学之排列组合生成算法
我们可以如下建立序列与排列的对应:
(an-1,an-2, ,a2,a1)满足条件(2.1). 则它所对应的排列为(p)=p1p2pn, 其 中ai 可以看作是排列(p)中数i+1所在位 置后面比i+1小的数的个数. 要说明这种对应的合理性, 必须清楚. 如何由序列产生出它所对应的排列. 我们通过一个具体的例题说明思想方 法.
a3a2a1 200 201 210 211 220 221 300 301 310 311 320 321
p1p2p3p4
1423 2413 1432 2431 3412 3421 4123 4213 4132 4231 4312 4321
14
比如其中的序列(221)所对应的排列:
先由a3=2决定4的位置 再由a2=2决定3的位置 再由a1=1决定2的位置
12
利用序列得到相应排列是关键,
可以设 想为给n个格子中填写1,2,…,n. 如上面 的例题:
4 2 1 3
例2.2 设集合S=1,2,3,4, 用序数法生成S 的全部排列. 解 用序数法, 由各个序列对应生成的排 列, 如表2.1所示.
13
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
17
例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式 排序, 它的下一个排列是谁? (q) =2764135. (1) 2763541 [找最后一个正序35] (2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数] (3) 2764531 [交换3,4的位置] (4) 2764135 [把4后面的531反序排列为 135即得到最后的排列(q)]
3 4
2
1
满足条件(2.1)的n!个序列很容易产生
排列组合的生成
3.计数Counting3.1排列Permutations（置换）3.1.1乘积集合Product Sets,卡氏积Cartesian Product设A,B是两个集合，元素a∈A, b∈B，称(a,b)为一个序对，或序偶ordered pair。
(a,b)=(c,d)当且仅当a=c∧b=d定义乘积集合A⨯B ={(a,b)| a∈A,b∈B }定理1 乘法原理Multiplication Priciple|A⨯B|=|A|⨯|B|假设依次实行T1,T2两种任务，如果做T1有n1种不同的办法, 做T2有n2种不同的办法, 则共有n1⨯n2种方法完成任务T1T2。
定理2 乘法原理推广|A1⨯A2⨯…⨯A k|=|A1|⨯|A2|⨯…⨯|A k|假设依次实行任务T1, T2, ……,T k,如果做T1有n1种不同的办法, 做T2有n2种不同的办法,…做T k有n k种不同的办法, 则共有n1⨯n2⨯…⨯n k种方法完成任务T1T2…T k。
例1．a) 用1，2，3，4，5可以组成多少个不同的三位数？b)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个不同的三位数？解a) 第一位有5种取法，第二位，第三位也都有5种取法，共组成53=125个不同的三位数。
b) 第一位有5种取法，第二位，第三位有6种取法，共组成5⨯62=180个不同的三位数。
例2．n个元素的集合A共有多少个子集？解 由第一章知可以用n 个1的数组表示A, A 的子集可以用长度为n 的0，1序列表示。
每一位可以取0或1，两种取法，共有2⨯2⨯2⨯…⨯2=2n 种不同的01串，对应2n 个不同的子集。
定理3. 从n 个元素的集合A 中可重复地取出r 个元素排成一列，共有n r 种不同的取法。
定理4. 从n 个元素的集合A 中不重复地取出r 个元素排成一列，共有n(n-1)…(n-r+1)种不同的取法。
简称n 个元素中取r 个元素的排列Permuations 有r n P 种，排列rn P= n(n-1)…(n-r+1)=)!(!r n n -=[]rn全排列 从n 个元素的集合A 中不重复地取出n 个元素排成一列，共有n!种不同的取法。
组合数学之排列组合生成算法
利用序列得到相应排列是关键,
可以设 想为给n个格子中填写1,2,…,n. 如上面 的例题:
4 2 1 3
例2.2 设集合S=1,2,3,4, 用序数法生成S 的全部排列. 解 用序数法, 由各个序列对应生成的排 列, 如表2.1所示.
13
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7
因为满足条件
0aii, 1in-1 （2.1） 的序列 (an-1, an-2, , a2, a1) 共有n!个, 这恰好与0到n!-1的n!个整数一 一对应. 需要建立满足条件(2.1)的n!个序列 (an-1, an-2, , a2, a1)和n元集合S的 全部排列之间的一一对应关系.
3
1. 序数法
序数法基于一一对应概念. 先在排列和一种特殊的序列之间建立
一种一一对应关系 , 然后再给出由序列 产生排列的方法 因为序列的产生非常方便 , 这样我们就 可以得到一种利用序列来生成排列的方 法. 如何建立这种一一对应?
4
思路类似数的10进制、2进k 0
a
m 1 k 0
k
10 , 0 a k 9;
k
n a k 2 , 0 a k 1;
k
n a k p , 0 a k p 1.
k k 0
5
m 1
这相当于自然数与某种序列之间建立
了一一对应关系. 可以利用置换来表示整数: n!=n(n-1)! =(n-1+1)(n-1)! = (n-1) (n-1)!+(n-1)! (n-1)!= (n-2) (n-2)!+(n-2)! n!= (n-1) (n-1)!+ (n-2) (n-2)! + (n-3) (n-3)!+ +2•2!+1•1!+1
排列组合ppt课件
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
《排列组合的生成》课件
通过具体的实例，如排队、物品的排列组合等，深入解析排列的概念，以及其在日常生活和工 作中的应用。
组合实例解析
总结词
通过实例解析组合的概念和应用
详细描述
通过具体的实例，如抽屉原理、彩票中奖概率等，深入解析组合的概念，以及 其在数学和实际生活中的应用。
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过实例解析排列与组合的综合 应用
统计推断
排列组合在统计推断中也 有应用，例如在贝叶斯推 断和马尔科夫链蒙特卡洛 方法中。
数据分析
排列组合在数据分析中也 有应用，例如在处理离散 数据和分类数据时。
04
排列组合的数学原理
排列的数学原理
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
机器学习和数据挖掘
排列组合在计算机科学的数据结构和 算法中广泛应用，如动态规划、回溯 算法等。
排列组合在机器学习和数据挖掘中也 有应用，例如在特征选择和分类算法 中。
离散概率模型
排列组合可用于构建离散概率模型， 用于模拟和研究随机事件和系统行为 。
统计学中的应用
01
02
03
概率分布
排列组合可用于研究概率 分布，如二项分布、泊松 分布等，以及它们的性质 和计算方法。
排列与组合的联系与区别
01
联系
当m=n时，排列转化为组合，即P(n,n)=C(n,n)。
02
区别
当m<n时，排列与组合的公式不同，排列与组合 的顺序有关，而组合与顺序无关。
02
排列组合的生成方法
排列的生成方法
定义
按照一定顺序取出n个元素所组成的排列 。
排列组合生成算法
《组合数学》第二讲排列组合生成算法1一. 排列生成算法z排列生成有几种典型算法, 这些算法都很有成效. 它们在实际中具有广泛应用价值.1.序数法2.字典序法3.邻位互换法(Johnson-Trotter)4.轮转法31. 序数法z序数法基于一一对应概念.z先在排列和一种特殊的序列之间建立一种一一对应关系, 然后再给出由序列产生排列的方法z因为序列的产生非常方便, 这样我们就可以得到一种利用序列来生成排列的方法.z如何建立这种一一对应?45z 思路类似数的10进制、2进制和p 进制表示.;90,1010≤≤=∑−=k m k k k a a n;10,210≤≤=∑−=k m k k k a a n.10,1−≤≤=∑−=p a p a n k m k kkz这相当于自然数与某种序列之间建立了一一对应关系.z可以利用置换来表示整数:n!=n(n-1)! =(n-1+1)(n-1)!= (n-1)(n-1)!+(n-1)!(n-1)!= (n-2)(n-2)!+(n-2)!n!= (n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+ (n-3)(n-3)!+…+2•2!+1•1!+16z n!-1=(n-1) (n-1)!+(n-2) (n-2)!+(n-3) (n-3)!+ …+2•2!+1•1!z可以证明, 从0到n!-1之间的任何整数m 都可唯一地表示为:m=a n-1 (n-1)!+a n-2 (n-2)!+…+a2•2!+a1•1!其中0≤a≤i, i=1,2, …,n-1.iz m与序列(a n-1,a n-2 ,…a2,a1)一一对应z书中有确定这些系数的方法.z例如：10＝1⋅3!＋2⋅2!＋0⋅1!7z因为满足条件0≤a≤i, 1≤i≤n-1 （2.1）i的序列(a, a n-2, …, a2, a1)n-1共有n!个, 这恰好与0到n!-1的n!个整数一一对应.z需要建立满足条件(2.1)的n!个序列(a, a n-2, …, a2, a1)和n元集合S的n-1全部排列之间的一一对应关系.89z 还需要给出一种办法, 由每个满足条件(2.1)的序列(a n -1,a n -2, …,a 2,a 1)可生成唯一的一个排列.z 这样我们就可以产生出所有的排列. z 怎么样由一个满足条件(2.1)的序列产生一个n 阶排列?z 如何把1,2,…,n 的一个排列与一个满足条件(2.1)的序列建立起直接的关系?10z 行列式定义中有逆序数的概念, 就是一个排列中违反自然顺序的数对: 比如12354的逆序数为1, 而43215的逆序数为6.z 设p 1p 2…p n 是任意一个n 元排列, 则i +1后面比i +1小的数字的个数a i 总不超过i , 即a i ≤i , i =1,2,…,n -1.z 这样自然由一个排列得到一个序列(a n -1,a n -2,…,a 2,a 1), 而且满足条件(2.1).11z 我们可以如下建立序列与排列的对应:z 设序列(a n -1,a n -2, …,a 2,a 1)满足条件(2.1).则它所对应的排列为(p)=p 1p 2…p n , 其中a i 可以看作是排列(p)中数i +1所在位置后面比i +1小的数的个数.z 要说明这种对应的合理性, 必须清楚. 如何由序列产生出它所对应的排列.z 我们通过一个具体的例题说明思想方法.12例2.1(1) 4213→(301)4后面比4小的数的个数a 3=3; 3后面比3小的数的个数a 2=0; 2后面比2小的数的个数a 1=1.(2) (301) →4213由a 3=3知1,2,3都在4的后面; 由a 2=0知1,2都在3前面; 由a 1=1知1在2后面.(3) (4213)↔(a 3a 2a 1)=(301).2. 字典序法对给定的字符集中的字符规定了一个先后关系，在此基础上规定两个全排列的先后是从左到右逐个比较对应的字符的先后。
排列组合生成算法
组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件
![组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件](https://img.taocdn.com/s3/m/3730f42819e8b8f67d1cb97c.png)
2020/12/10
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§4.2 生成组合
生成组合
4.2.1 基2算法 若S是n个元素的集合，元素为{xn-1,...,x1,x0}， 则生成组合就是生成S的所有2n个子集。 任一子集可以描述成：
(an-1,...,a1,a0)=an-1...a1a0 其中，ai为1或0，表示xi在或不在子集中。
于是S的全部子集可以用0~2n-1的整数来描 述，只要生成这些整数，也就得到了所有组合。
其中，0表示空集，2n-1表示S本身。
全排列生 成算法
2020/12/10
6
3. 直接生成全排列的算法
全排列生 成算法
[定义]对排列中的每个元素k，赋予其一
个方向：k 或 k 。如果一个整数k的箭头 指向一个与其相邻但比它小的整数，则
称k是活动的。
例如，对于：263154
只有6、3、5是活动的。
2020/12/10
7
显然：
全排列生 成算法
a1+a2+...+an 度量了排列的无序程度。
2020/12/10
11
全排列生
[例]31524的逆序列是1,2,0,1,0。 成算法
[结论]对于逆序列，显然有0≤ak≤n-k。且 任何一个排列都可确定一个逆序列。
[定理]若b1,b2,...,bn是满足0≤bk≤n-k的整数 序列，则存在{1,2,...,n}的唯一的一个排 列，其逆序列为b1,b2,...,bn 。
21
2020/12/10
4
{1,2,3}的排列
全排列生
1 2 3 成算法 2 31 31 2 32 1 13 2 2 13
2020/12/10
5
排列组合的生成
3.计数Counting3.1排列Permutations（置换）3.1.1乘积集合Product Sets,卡氏积Cartesian Product设A,B是两个集合，元素a∈A, b∈B，称(a,b)为一个序对，或序偶ordered pair。
(a,b)=(c,d)当且仅当a=c∧b=d定义乘积集合A⨯B ={(a,b)| a∈A,b∈B }定理1 乘法原理Multiplication Priciple|A⨯B|=|A|⨯|B|假设依次实行T1,T2两种任务，如果做T1有n1种不同的办法, 做T2有n2种不同的办法, 则共有n1⨯n2种方法完成任务T1T2。
定理2 乘法原理推广|A1⨯A2⨯…⨯A k|=|A1|⨯|A2|⨯…⨯|A k|假设依次实行任务T1, T2, ……,T k,如果做T1有n1种不同的办法, 做T2有n2种不同的办法,…做T k有n k种不同的办法, 则共有n1⨯n2⨯…⨯n k种方法完成任务T1T2…T k。
例1．a) 用1，2，3，4，5可以组成多少个不同的三位数？b)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个不同的三位数？解a) 第一位有5种取法，第二位，第三位也都有5种取法，共组成53=125个不同的三位数。
b) 第一位有5种取法，第二位，第三位有6种取法，共组成5⨯62=180个不同的三位数。
例2．n个元素的集合A共有多少个子集？解 由第一章知可以用n 个1的数组表示A, A 的子集可以用长度为n 的0，1序列表示。
每一位可以取0或1，两种取法，共有2⨯2⨯2⨯…⨯2=2n 种不同的01串，对应2n 个不同的子集。
定理3. 从n 个元素的集合A 中可重复地取出r 个元素排成一列，共有n r 种不同的取法。
定理4. 从n 个元素的集合A 中不重复地取出r 个元素排成一列，共有n(n-1)…(n-r+1)种不同的取法。
简称n 个元素中取r 个元素的排列Permuations 有r nP 种，排列rn P= n(n-1)…(n-r+1)=)!(!r n n -=[]rn全排列 从n 个元素的集合A 中不重复地取出n 个元素排成一列，共有n!种不同的取法。
排列组合的生成
3.计数Counting3.1排列Permutations（置换）3.1.1乘积集合Product Sets,卡氏积Cartesian Product设A,B是两个集合，元素a∈A, b∈B，称(a,b)为一个序对，或序偶ordered pair。
(a,b)=(c,d)当且仅当a=c∧b=d定义乘积集合A⨯B ={(a,b)| a∈A,b∈B }定理1 乘法原理Multiplication Priciple|A⨯B|=|A|⨯|B|假设依次实行T1,T2两种任务，如果做T1有n1种不同的办法, 做T2有n2种不同的办法, 则共有n1⨯n2种方法完成任务T1T2。
定理2 乘法原理推广|A1⨯A2⨯…⨯A k|=|A1|⨯|A2|⨯…⨯|A k|假设依次实行任务T1, T2, ……,T k,如果做T1有n1种不同的办法, 做T2有n2种不同的办法,…做T k有n k种不同的办法, 则共有n1⨯n2⨯…⨯n k种方法完成任务T1T2…T k。
例1．a) 用1，2，3，4，5可以组成多少个不同的三位数？b)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个不同的三位数？解a) 第一位有5种取法，第二位，第三位也都有5种取法，共组成53=125个不同的三位数。
b) 第一位有5种取法，第二位，第三位有6种取法，共组成5⨯62=180个不同的三位数。
例2．n个元素的集合A共有多少个子集？解 由第一章知可以用n 个1的数组表示A, A 的子集可以用长度为n 的0，1序列表示。
每一位可以取0或1，两种取法，共有2⨯2⨯2⨯…⨯2=2n 种不同的01串，对应2n 个不同的子集。
定理3. 从n 个元素的集合A 中可重复地取出r 个元素排成一列，共有n r 种不同的取法。
定理4. 从n 个元素的集合A 中不重复地取出r 个元素排成一列，共有n(n-1)…(n-r+1)种不同的取法。
简称n 个元素中取r 个元素的排列Permuations 有r n P 种，排列rn P= n(n-1)…(n-r+1)=)!(!r n n -=[]rn全排列 从n 个元素的集合A 中不重复地取出n 个元素排成一列，共有n!种不同的取法。
第四章生成排列和组合
第四章生成排列和组合4.1 生成排列算法一: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)基本思想是递归地对集合{1,2,…,n-1}的(n-1)!个排列的每一个排列, 通过把n插入到首、尾和任两个数的中间共n个位置，产生集合{1,2,…,n}的n个排列，从而产生n (n-1)!=n!个集合{1,2,…,n}的排列。
算例：排列n=1: 1n=2: 1 22 1n=3: 1 2 31 3 23 1 23 2 12 3 12 1 3n=4:1 2 3 41 2 4 31 42 34 1 2 34 1 3 21 4 3 21 3 4 21 32 43 1 2 43 14 23 4 1 24 3 1 24 3 2 13 4 2 13 24 13 2 1 42 3 1 42 3 4 12 43 14 2 3 14 2 1 32 4 1 32 1 4 32 13 4n=5:、、、算法结束，生成全部排列。
算法二: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)定义:对任一给定整数k, 其上加一个箭头表示移动方向,k 或k . 对于集合{1,2,…,n}的任一个排列,其中每一个整数都有一个箭头指出其移动方向, 若整数k 的箭头指向与其相邻但比它小的整数, 称k 是活动的.算法:从1 2 3 …n 开始, 当不存在活动的整数时,算法结束.(1) 求出最大的活动整数m;(2) 交换m 和它箭头所指的相邻数;(3) 改变所有满足p>m 的整数p 的方向.算例: (n=4)4.2 排列中的逆序定义：令i 1 i 2 …i n 是集合{1,2,…,n}的一个排列，如果 0≤ k < L ≤n, 且i k >i L , 称数对（i k ，i L ）是排列的一个逆序。
例：31524的逆序定义：令a j表示排列i1 i2…i n中数j的逆序数，称a1, a2,…, a n为排列i1 i2…i n的逆序列。
例：排列31524的逆序列逆序列的性质：(1) 0≤a1≤n-1, 0≤a2≤n-2, …, 0≤a n-1≤1, a n =0。
排列组合课件
将需要排列的元素按照一定的顺序排 列，如果元素之间没有间隔，则它们 是相邻的。
复杂排列组合问题解析
排列组合的顺序性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的顺序，不同的顺序会 产生不同的结果。
排列组合的可重复性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的重复使用，不同的重 复方式也会产生不同的结果。
常见排列组合问题解析
排列特点
与元素的顺序有关，是"有序"的。
组合定义与特点
组合定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元 素的一个组合。
组合特点
与元素的顺序无关，是"无序"的。
排列与组合的联系与区别
联系
都是从n个不同元素中取出m个元 素的不同方式。
区别
排列注重的是取出元素后，元素 的顺序是否相同；组合则不考虑 取出元素后的顺序。
排列组合课件总结
排列组合基础知识
排列组合课件应涵盖排列组合的 基本概念、公式和定理，帮助学
生建立正确的排列组合思维。
排列组合问题解析
通过典型例题的解析，让学生掌握 解决排列组合问题的方法和技巧， 提高解题能力。
排列组合应用实例
引入实际应用场景，让学生了解排 列组合在生活、科技、经济等领域 中的应用，增强学习的兴趣和动力 。
组合数公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等学科中，也是解 决实际问题的有力工具。
排列组合综合公式
排列组合综合公式定义
排列组合综合公式表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列和组合的个数，用符号 P(n,m)表示。
排列组合综合公式计算方法
排列组合综合公式可以表示为P(n,m)=A(n,m)+C(n,m)，即P(n,m)=n!/(n-m)!+C(n,m)。
生成排列和组合
第四章生成排列和组合4.1 生成排列算法一: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)基本思想是递归地对集合{1,2,…,n-1}的(n-1)!个排列的每一个排列, 通过把n插入到首、尾和任两个数的中间共n个位置，产生集合{1,2,…,n}的n个排列，从而产生n (n-1)!=n!个集合{1,2,…,n}的排列。
算例：排列n=1: 1n=2: 1 22 1n=3: 1 2 31 3 23 1 23 2 12 3 12 1 3n=4:1 2 3 41 2 4 31 42 34 1 2 34 1 3 21 4 3 21 3 4 21 32 43 1 2 43 14 23 4 1 24 3 1 24 3 2 13 4 2 13 24 13 2 1 42 3 1 42 3 4 12 43 14 2 3 14 2 1 32 4 1 32 1 4 32 13 4n=5:、、、算法结束，生成全部排列。
算法二: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)定义:对任一给定整数k, 其上加一个箭头表示移动方向,k 或k . 对于集合{1,2,…,n}的任一个排列,其中每一个整数都有一个箭头指出其移动方向, 若整数k 的箭头指向与其相邻但比它小的整数, 称k 是活动的.算法:从1 2 3 …n 开始, 当不存在活动的整数时,算法结束.(1) 求出最大的活动整数m;(2) 交换m 和它箭头所指的相邻数;(3) 改变所有满足p>m 的整数p 的方向.算例: (n=4)4.2 排列中的逆序定义：令i 1 i 2 …i n 是集合{1,2,…,n}的一个排列，如果 0≤ k < L ≤n, 且i k >i L , 称数对（i k ，i L ）是排列的一个逆序。
例：31524的逆序定义：令a j表示排列i1 i2…i n中数j的逆序数，称a1, a2,…, a n为排列i1 i2…i n的逆序列。
例：排列31524的逆序列逆序列的性质：(1) 0≤a1≤n-1, 0≤a2≤n-2, …, 0≤a n-1≤1, a n =0。
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2.逐次生成排列的实例 1
1 2
添加2
添加3
2 1
添加3
1 2 2 1 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 1 3
如此插入，可得到所有123的排列。
求出所有1234的排列： 1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4 3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 43 1 2 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 1 4 2 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4
t偶？
No
找最后1 的位置j 改变末位的值 改j+1位的值
No
K=100…0?
yes
Stop
例4
生成3阶格雷码。 000 001 011 010
t=0, 改末位
t=1, 改前位
t=2, 改末位 t=1, 改前位
110 111 101 100
t=2, 改末位 t=3, 改前位 t=2, 改末位 停 止
Even 算法：
1 2 n
求最大活动m
交换m和箭指数
交换p>m的方向
1 234 1 243 1 423 4 1 23 4 1 32 1 432 1 342 1 324
3 1 24 3 1 42 34 1 2 43 1 2 432 1 342 1 324 1 32 1 4
集合{1,2,‥‥,n}的 全部排列数也为n!
0 an- 1 1
是否一一 对应？
an 0
定理4.2.1 任意给定逆序列 证明： 见构造法
b1 , b2 ,, bn
则集合{1,2, ‥‥,n} 存在唯一的一个排列， 其逆序列恰好是
b1 , b2 ,, bn
构造法I
写出n
0 bn-1 1
其前元素是 a1 ...ar- 2，第r 1元素 ar -1
1 a1a2 ...ar 后面有C n a 个r 组合，
r
其前元素是 a1 ...ar- 1，第r元素 ar
r r 1 2 1 所以，序号为 Cr C C ... C C n n a n a n a n a
1 2 r 1 r
§4.5 1、关系
偏序关系与等价关系
2、关系的5个属性 3、等价关系 4、偏序关系 、全序关系、严格偏序关系 习题 （第3版、第四版相同）
6，7，15，23，27
1 2 r 1
则r - 组合 a1a2 ...ar 在字典序中的位置号是
r
例4 S={1,2,…,7,8}的4-组合中，组合1258排在字典序 的什么位置？ 解：n=8,组合1258在字典序的位置为
4 4 1 4 2 4 3 C4 C C C C 8 8 1 8 2 8 5 8 8 4 3 2 1 C4 C C C C 8 7 6 3 0 12
构造法II
1： b1个 1的数放在1 之前 1放在第b1 1个空位置 2： b2个 2的数放在2之前 2放在第b2 1个空位置
k： bk 个 k的数放在k之前 k放在bk 1空位置
n： n放在最后一个空位置
例2. S={ 1,2,3,4,5,6,7,8 }，
则a1a2 ...ar的下一个 r 组合是
a1 ...ak 1 (ak 1)(ak 2)...(ak r k 1)
2、字典序生成r-组合的算法：
123…r
例3 生成{1,2,…,5,6}的 所有4-组合。
找出能加1的最大ak： ak<n, ak+1不出现在原组合中
改变ak及以后的值，新组合为: …(ak+1)(ak+2)…(ak+r-k+1)
23 1 4 234 1 243 1 423 1 42 1 3 24 1 3 2 1 43 2 1 34
§4.2
排列中的逆序（反序） 反自然顺序排列的数对 （31),(32),(52),(54) 唯一没有逆序的排列 排在j前>j的整数个数，记 a j
bn- 1 0 (n 1)n bn- 1 1 n(n 1)
0 bn-2 2
bn- 2 0 (n 2)在n、n 1之前 bn- 2 1 n 2在n 1、n之间 bn- 2 2 n 2在n 1、n之后
0 bn-k k
{1，2，3，4}的所有2-组合 12，13，23，14，24，34， 按照字典序重排2-组合 12，13， 14， 23，24，34，
1、 r –组合的字典序
例2 12345 56789 12349 12389 12789 16789 S={1，2，…,8，9} 第一个5-组合 最后一个5-组合 下一个5-组合是 下一个5-组合是 下一个5-组合是 下一个5-组合是 12356 12456，12457，12458 12459，12467，…… 13456，13457，…… 23456，23457，……
例5
8阶格雷码中
t=4, 改末位
10100110 的下一个是 00011111 的下一个是 01010100 的下一个是 01010100 的前一个是 10100110 的前一个是
10100111 00011101 01011100 01010101 10100010
t=5, 改前位
t=3, 改前位
n=4 n=3
110 111
n=2
10 11
010
011 100
001
0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100
1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
递归表示
n=3 加0
n=4 倒排，加1
000 001 011 010 110 111 101 100
4 8 6 2 5 1 3 7
§4.3
生成组合
1、基二字典序（压缩序）
S {xn-1 , xn-2 ,, x1 , x0 }
S的任何组合对应一个二进制数。 S的全部组合对应全部 n 位二进制数。 例1. S {x2 , x1 , x0 } 000 001 010 011
x0 x1 x1 , x0
给定逆序：5,3,4,0,2,1,1,0,求排列。 解：1 2 3 4 5 6 7 8
b1 5 b2 3
1 2 3 4 5 6 7 8
b5 2 4
b6 1 4
b7 1 4
1 2 2 1 1 3
2 5 1 3 6 2 5 1 3 6 2 5 1 3 7
b3 4
b4 0
4
2
1 3
(n-r+1)…n?
yes
No
1234 1235 1236 1245 1246 1256 1345 1346
1356 1456 2345 2346 2356 2456 3456
Stop
定理4.4.2 （r –组合的字典序号）
设 S {1,2 ,...,n},
r r 1 2 1 Cr C C ... C C n n a n a n a n a
原t偶, 改末位
原t奇, 改前位
§4.4
生成 r - 组合
S {x1 , x2 ,, xn1 , xn}
为方便，设 S {1, 2, 3,, n}
考虑S的所有 r-组合，从小到大排列. 从S的所有组合中按照二进制字典序挑出所有 r-组合,它们的排列顺序却不一定是字典序排 列的.
例1 从{1，2，3，4}中挑出 所有字典序2-组合（二进制字 典序排列）. 观察这些组合的排列顺序。
bn-k 0 n k 放在已排好数字之前 bn-k 1 n k 放在已排好数字第二位 bn-k 2 n k 放在已排好数字第三位 bn-k k n k 放在已排好数字之后
0 b1 n 1
b1 0 1 放在已排好数字之前 b1 1 1放在已排好数字第二位 b1 2 1放在已排好数字第三位 b1 k 1放已排数字第k 1位
1.逆序： 31524 12345 逆序数 逆序列
a1 , a2 ,, an
a1 a2 an 度量一个排列的无序程度。
31524 的逆序列为：1，2，0，1，0
2、逆序与排列 逆序数满足： 集合{1,2,‥‥,n}的 全部可能逆序数为n!
0 a1 n 1 0 a2 n 2 0 a3 n 3
K=111…1?
No
yes Stop
1 2 12 3 13 23 123 4 14 24 124 34 134 234 1234
引进2 引进3
引进4
3、格雷码
组合排序时，期望两相邻的组合只差一个元素（或进或出）
Gray码排序 （Frank Gray,1953,贝尔实验室）
几何表示 n=1
0 1
{x4 , x3 , x2 , x0} {x6 , x5 , x3 , x2}
{x6 , x5 , x3 , x1 , x0}
2、生成组合的基2算法：
K=000…0 选最小的0位 j j位换为1 j以下各位归0
S {4, 3, 2, 1}
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
唯一确定了一个排列。