垂线段最短、点到直线的距离练习题
垂线--垂线段、垂线段最短、点到直线的距离
5.1.2(2)垂线--垂线段、垂线段最短、点到直线的距离一．【知识要点】1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，读作"AB垂直于CD"（或"CD垂直于AB"）。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二．【经典例题】1.如图，能表示点到直线的距离的线段共有（）A．2条B．3条 C．4条 D．5条2.如图，PA＝5 cm，PB＝4 cm，PC＝3 cm，则点P到直线l的距离( )．A．等于3 cm B．大于3 cm，小于4 cmC．不大于3 cm D．小于3 cm3.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,C，D分别是位于公路AB两侧的村庄.(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近,行驶到D′位置时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′，D′的位置(保留作图痕迹)；(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近？(只叙述结论,不必说明理由)三．【题库】【A】1.如图1,AC⊥BC,CD⊥AB, 垂足为D,图中共有___个直角,它们是__________________,图中线段_______的长表示点C到AB的距离，线段________的长表示点A到BC的距离.2.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．【B】1.直线m外的一点P,它到直线m上三点A,B,C的距离分别是6cm,3cm,5cm,则点P到直线m 的距离为( )A.3cmB. 5cmC. 6cmD. 不大于3cm【C】1.下列说法正确的有（）①相等的角的是对顶角；②两条直线相交所成的4个角中，若有一个角是90度，那么这两条直线互相垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．A.1个B.2个C.3个D.4个【D】。
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线a的距离≤PC，即点P到直线a的距离不大于3cm．故选：D．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A．垂线段B．垂线C．垂线的长度D．垂线段的长度【分析】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．对照定义进行判断．解：根据定义，点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度．故选D．【点评】此题主要考查了点到直线的距离的定义．3．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，则图中表示点A到直线BC的距离的线段是（）A．AD B．AB C．AC D．CD【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案．解：AC⊥BC，垂足为点C，则点A到BC的距离是线段AC的长度，故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度．4．如图，在长方形ABCD中，点E在边BC上．则点A到直线BC的距离是线段（）A．AD的长度B．AC的长度C．AE的长度D．AB的长度【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．解：∵AB⊥BC于B，∴点A到直线BC的距离是线段AB的长度，故选：D．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．。
中考数学专题练习点到直线的距离(含解析)
中考数学专题练习点到直线的距离（含解析）备战2019中考数学专题练习-点到直线的距离（含解析）一、单选题1.如图所示，点P到直线l的距离是（）A. 线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD的长度2.在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（）A. 2条B.3条线段）的距离的线段有（）A. 五条B. 二条C. 三条D. 四条5.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（）的长．A. POB. ROC. OQD. PQ6.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D.57.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．A. 1或3B. 0、1或C. 0、1或2D. 0、1、2或38.如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB=4，AC=5，则下列说法正确的是（）A. 点B到直线l1的距离等于4B. 点A到直线l2的距离等于5C. 点B到直线l1的距离等于5D. 点C到直线l1的距离等于59.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段的长．（）B. ROC. OQD. PQ10.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A. 点A到BC的垂线段为ADB.点C到AD的垂线段为CDC. 点B到AC的垂线段为ABD.点D到AB的垂线段为BD11.在下列语句中，正确的是（）A. 在平面上，一条直线只有一条垂线B. 过直线上一点的直线只有一条C. 在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D. 垂线段就是点到直线的距离二、填空题12.如图所示，若∠ACB=90°，BC=8cm，AC=6cm，则B点到AC边的距离为________ cm．13.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________ cm，点A到BC的距离是________ cm，C到AB的距离是________ cm．14.如图，过A点画与直线BC垂直的线段，A点到BC的距离是线段________的长，过B点画直线AC的垂线段，B点到AC的距离是线段________的长．15.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是________，理由________；三、解答题16.如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？四、综合题17.如图所示，在正方形ABCD的对角线AC上有一只蚂蚁P从点A出发，沿AC匀速行走，蚂蚁从A点到C点行进过程中：（1）所经过的点P到AD，BC边的距离是怎么变化的？（2）所经过点P到CD，BC边距离有何数量关系？为什么呢？18.阅读理解：已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离，可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】点到直线的距离【解析】【解答】解：∵PB⊥直线l于点B∴点P到直线l的距离是线段PB的长度故答案为：B【分析】根据点到直线的距离（直线外一点到这条直线的垂线段的长度）的定义，即可求解。
知识点248垂线段最短(填空题)
1．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．2．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．3．如图，AB⊥BC，则AB＜AC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。
分析：把BC看作直线，点A为直线BC外一点，根据垂线段定理进行判断．解答：解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知AB＜AC，其理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．4．如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：这种方案的设计根据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．点评：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．5．如图，现有一条高压线路沿公路l旁边建立，某村庄A需进行农网改造，必须要从这条高压线上架接一条线路去村庄A，为了节省费用，请你帮他们规划一下，并说明理由．理由是从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
点到直线的距离150题及解析
【解析】解：∵OQ⊥PR，
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选：C．
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．
本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键．
9.下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
故选：A．
根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记性质并能灵活过应用是解题关键．
10. 如图，点A到线段BC所在直线的距离是线段（ ）
A.AC的长度
B.AD的长度
C.AE的长度
D.AB的长度
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离有关知识，根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案.
D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直符合垂直的性质，故本选项正确．
故选：D．
根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是点到直线的距离，熟知从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离是解答此题的关键．
14.下列说法正确的是（ ）
A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
12.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
2022-2023学年人教版数学四年级上册点到直线的距离练习题含答案
2022-2023学年人教版数学四年级上册点到直线的距离练习题学校:___________姓名：___________班级：_______________一、解答题1．下面图形中哪两条线段互相平行？哪两条线段互相垂直？二、填空题2．在长方形中有( )组对边是平行的，两条邻边互相( )。
3．在下图中，线段AB，AC，AD，AE中最短的一条线段是( )。
4．在一个长方形中，相邻两边互相( )，相对两边互相( )。
5．在连结两点的所有线中，( )最短。
6．在括号里填上相应的序号。
互相垂直的有( )，互相平行的有( )。
三、判断题7．公路上有三条小路通往笑笑家，它们的长度分别是243米、187米、205米，其中有一条小路与公路垂直，这条小路长187米。
( )8．如果两条直线平行，那么这两条直线就相等。
( )9．平面内三条直线相交最多有两个交点。
( )10．同一平面内有三条直线a、b、c，已知a⊥b，b⊥c，那么a⊥c。
( )四、选择题11．下面说法中正确的有（）个。
⊥两条平行线之间的距离处处相等。
⊥两个锐角的和不一定大于直角。
⊥两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，则商为32。
A．1B．2C．312．下面说法正确的是（）。
A．一个正方形中有4组平行线B．过一点可以做无数条已知直线的垂线C．一组平行线之间的距离都相等D．过一点可以做无数条已知直线的平行线五、作图题13．分别过点A画BC的垂线。
14．在下图中，过P点分别画出已知直线的垂线和平行线。
15．王刚家新建了房子，要把自来水从主管道引到自己家，怎么做最节省？请画图表示。
参考答案：1．见详解【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。
【详解】图一：a与c、d与e互相平行，a与e、a与d、c与d、c与e互相垂直。
图二：l与k互相平行，m与l、m与k互相垂直。
“垂线段最短”日常应用四、五例
“垂线段最短”日常应用四、五例贵州省罗甸县第二中学小武哥通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它。
这样可使有些复杂问题变的比较简单，因此其应用较为广泛。
接下来我给同学们举几个例子：例1：如图（1），若计划把河中的水引到水池C进行蓄水，应怎样开渠最短？请在图上画出来，并说明理由。
解:过C点画直线AB的垂线,设垂足为O,﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏从点O处开始,沿线段OC挖渠,就能使水渠长﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏最短。
理由是：点到直线的距离中，垂线段最 A D B短.·C例2: （1）如图（2），运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为DA = 4.56米，DB = 4.15米，AC = 4.70米,则黎明的跳远成绩应该为_________米。
解：黎明的跳远成绩应为4.15米。
因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点，所以AC和DA是明显错误的,线段DB的长度才是黎明跳远的正确成绩。
例3：如图(3)，A、B两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C，若由B厂独家兴建，并考虑B厂的利益，则要求货物离B厂最近，请在图（3）中做出此时货场C的位置，并说出这样做的道理。
解:如图所示，过点B作公路所在直线的垂线B·垂足就是所求货场C的位置；理由是：点A·公路到直线的距离中,垂线段最短。
C例4：（3）如图（4），一两小汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于AB两侧的村庄，若小汽车行驶到公路AB上的点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近。
请在图中分别画出P、Q的位置。
解:过点M、N分别作直线AB的垂线,垂足分别为P、Q。
垂线段最短问题专项训练
垂线段最短问题专项训练1．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：四个方案中，管道长度最短的是B．故选：B．2．如图，点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，AC＝4，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥4．故选：A．3．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【答案】C【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ 的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】B【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，∴CQ的最小值为1．故选：B．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．4B．4.5C．4.8D．5【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：AB•PC＝AC•BC，∴PC＝．故选：C．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】D【解答】解：如图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故选：D．8．如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值为，故选：B．9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．【答案】2.4【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案为：2.4．10．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝10，则PE+PF的最小值是．【答案】【解答】解：作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，∴EP＝GP，∴EP+FP＝PG+PF≥FG，当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是菱形的一条对称轴，∵E是AB的中点，∴G点是BC的中点，∴EG＝AC，∵AC＝10，∴EG＝5，连接EF，∵F是AD的中点，BD＝8，∴EF＝BD＝4，在Rt△EFG中，GF＝，∴PF+PE的最小值为，故答案为：．11．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为．【答案】【解答】解：作B点关于EC的对称点F，连接AF交EC于点P，连接BP，过F点作FG⊥BC交BC的延长线于点G，BF交EC于点H，∴BP＝FP，∴AP+BP＝AP+PF≥AF，当A、F、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AF，∵E点是AD的中点，∴ED＝AD，∵正方形ABCD的边长为5，∴ED＝，∴tan∠ECD＝，∵BH⊥EC，∴∠BHC＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠HBC＝∠ECD，∴tan∠HBC＝，∴2HC＝BH，在Rt△BCH中，BC＝5，∴BH＝2，∴BF＝2BH＝4，在Rt△BGF中，BG＝2FG，∴GF＝4，BG＝8，过点F作FM⊥AB交于M，∴MF＝8，AM＝1，在Rt△AFM中，AF＝，∴AP+BP的最小值为，故答案为：．12．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为．【答案】6【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为．【答案】12【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM＝＝5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为．【答案】3【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，∵CF＝BE，∴△ABE≌△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形三线合一的性质，可得BG＝MG，∴点M关于AE的对称点为点B．过点B作BN'⊥AM，交AE于点P'，则PM+PN的最小值即为BN'的长．∵正方形ABCD的对角线相互垂直且平分，∴BN'＝AC，∵AB＝BC＝6，∴AC＝6，∴BN'＝3．故答案为：3．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为；（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为．4【答案】，【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠ABP＝∠BCP，∴∠BCP+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P是在以BC为直径为圆上．∵点B，P，E在同一条直线上，∴△ABE∽△PCB，∴，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD的中点，∴AE＝4，BE＝．∴，∴．（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，则BE+PE＝B'E+PE．∴当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，此时即为B'P的最小值．∴B'P＝B'0﹣OP．在Rt△OBB'中，B'O＝＝．∴B'P＝4．∴BE+PE的最小值为4．16．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△P AD，则P A+PD的最小值为．【答案】4【解答】解：如图所示，过P作直线l∥AD，作点A关于l的对称点A'，连接AA'，交l 于E，交BC于F，连接A'P，则A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，∴AP+PD＝A'P+PD，当A'，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于A'D的长，∵AB＝6，∠ABC＝60°，∴BF＝AB•cos60°＝3，AF＝3，又∵S△PBC＝S△P AD，∴AE＝AF＝2，∴AA'＝2AE＝4，∵BC＝8，∴AD＝8，Rt△AA'D中，A'D＝＝＝4，∴P A+PD的最小值为4，故答案为：4．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为．【答案】【解答】解：如图所示，延长CD到点G，使CG＝AC，连接FG，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCG，又∵AE＝CF，∴△ACE≌△CGF（SAS），∴CE＝GF．如图，当G，F，B三点共线时，BF+GF的长最小，此时BF+CE的值也最小，最小值等于BG的长．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝，∴CG＝，Rt△BCG中，BG＝＝＝，∴BF+CE的最小值等于，故答案为：．18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：（1）延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，∴AP＝PM，连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，∴AP+PE＝PM+EP＝EM，过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E为CD的中点，∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC+CN＝6，∴ME＝＝＝10，∴PE+AP的最小值为10，故答案为：10；（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，∴EQ＝FQ，∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，此时GQ+QE的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四边形APQG是平行四边形，∴AP＝GQ，∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ的值最小即可，设CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴＝，∴＝，∴x＝，∴当CQ＝时，四边形APQE的周长最小，故答案为：．。
垂线段最短100题
垂线段100题含解析一、选择题（本大题共39小题，共117.0分）1.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A. 垂直的定义B. 两点之间线段最短C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线【答案】C【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可．此题考查了垂线段最短，在点与直线的所有连线中垂线段最短．2.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】【分析】本题考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题关键．根据垂线段的性质，可得到答案．【解答】解：由题意得，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，故选B．3.下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【解答】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C．4.下列说法中正确的个数有（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A、B、C三点在同一直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据垂线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义一一判断即可.【解答】解：①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；③A、B、C三点在同一直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点，正确；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．正确；故选C．5.已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，当CD⊥AB时CD取得最小值，此时CD===，当点D与点A重合时CD取得最大值，最大值为4，则≤x≤4，故选：C．由CD⊥AB时CD取得最小值、点D与点A重合时CD取得最大值求解可得．本题主要考查垂线段最短，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．6.如图是小亮跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线l于点B处成直角，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A. 垂线段最短B. 过两点有且只有一条直线C. 两点之间线段最短D. 过一点可以做无数条直线【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选A．7.如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（）A. 两点确定一条直线B. 两点之间直线最短C. 两点之间线段最短D. 垂线段最短【答案】D【解析】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；故选：D．利用垂线段最短求解．本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．8.如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（）A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短C. 两点之间线段最短D. 三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：B．根据垂线段的性质解答即可．此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点之间段最短．9.下列四种说法：①线段AB是点A与点B之间的距离；②相等的角是对顶角；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中正确的是（） .A. ④B. ①④C. ③④D. ①③④【答案】A【解析】解：①线段AB的长是点A与点B之间的距离，错误；②相等的角不一定是对顶角，错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；故选：A．根据平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质解答．本题考查了平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质，熟记公理、推论是解题关键．10.如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（）A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 过一点有无数条直线D. 直线比曲线和折线短【答案】B【解析】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确，故选：B．根据线段的性质，可得答案．本题考查了线段的性质，两点之间线段最短．11.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（）A. 垂线最短B. 过一点确定一条直线与已知直线垂直C. 垂线段最短D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故选：C．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．12.如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A. 两点之间，线段最短B. 过两点有且只有一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线【答案】C【解析】解：这样做的理由是垂线段最短．故选：C．垂线段的性质：垂线段最短．考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．13.如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：B．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．14.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A. 5B. 6C. 4D. 4.8【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选D．15.如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC=2AB，P在线段BC上连结AP．若AB=3，则线段AP的长不可能是（）A. 3.5B. 4C. 5.5D. 6.5【答案】D【解析】解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC=2AB，P在线段BC上连结AP，AB=3，∴AC=6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5，故选：D．直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案．此题主要考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题关键．16.如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的小路，过点A作AH⊥PQ于点H，则这样做的理由是（）A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．故选：C．17.给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若AB=BC，则点B为线段AC的中点；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确说法的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：棱柱的上、下底面的形状相同，故①正确；相等的角不一定是对顶角，如图：∠1=∠2，但是两角不是对顶角，故②错误；如图：AB=BC，但是点B为线段AC的中点，故③错误；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④正确；即正确的个数是2个，故选：B．根据棱柱、对顶角、线段的中点的定义、垂线的性质逐个判断即可．本题考查了棱柱、对顶角、线段的中点的定义、垂线的性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18.下列说法中，正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，垂线最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本小题错误；③两点之间，线段最短，故本小题错误；④若AB=BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故本小题错误，综上所述，正确的是①共1个．故选A．根据直线的性质，两点间的距离的定义，垂线段最短对各小题分析判断后即可得解．本题考查了垂线段最短，直线的性质，两点间的距离，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．19.马龙同学沿直线将一三角形纸板剪掉一个角，发现啊下纸板的周长比原纸板的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A. 经过一点有无数条直线B. 两点之间，线段最短C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 垂线段最短【答案】B【解析】解：某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．故选：B．根据两点之间，线段最短进行解答．此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．20.平面直角坐标系中，点A（-3，2），B（1，4），经过点A的直线L∥x轴，点C直线L上的一个动点，则线段BC的长度最小时点C的坐标为（）A. （-1，4）B. （1，0）C. （1，2）D. （4，2）【答案】C【解析】解：如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短．∵A（-3，2），B（1，4），AC∥x轴，∴BC=2，∴C（1，2），故选：C．如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短；本题考查坐标与图形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A. 4B. 1C. 3D. 2【答案】D【解析】解：作PH⊥OM于M，如图，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PH=PA=2，∴点P到OM的距离为2，∴Q点运动到H点时，PQ最小，即PQ的最小值为2．故选：D．作PH⊥OM于M，如图，根据角平分线定理得到PH=PA=2，根据垂线段最短，则Q点运动到H点时，PQ最小，于是得到PQ的最小值为2．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．22.如图，在三角形ABC和三角形ABD中，∠ABC=∠ADB=90°，则边AC，AB，CB，AD中最长的是（）A. ACB. ABC. BCD. AD【答案】A【解析】解：∵∠ABC=∠ADB=90°，∴AB⊥BC，AD⊥BD，∴AC＞AB＞AD，AC＞BC，∴边AC，AB，CB，AD中最长的是AC，故选：A．根据垂直的定义得到AB⊥BC，AD⊥BD，根据垂线段最短即可得到结论．本题考查了垂直的定义，垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键．23.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A. 1.5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=3，∴PQ≥PA=3．故选：C．根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出PQ≥PA，此题得解．本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出PQ的最小值是解题的关键．24.下列说法错误的是（）A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等B. 在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】A【解析】解：A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等，错误，符合题意；B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意；C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意；故选：A．分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案．此题主要考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键．25.如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC=3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥3．故选：A．利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断．本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．26.如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴3≤AP≤5，故选：A．利用勾股定理列式求出AB，然后根据AC≤AP≤AB求出AP的范围，再选择答案即可．本题考查了勾股定理，垂线段最短的性质，求出AP的取值范围是解题的关键27.如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到点D的最短距离是（）A. 6B. 8C.D.【答案】D【解析】解：当CD⊥AB时，点C到点D的距离最短，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴•AC•CB=•CD•AB，=10×CD，解得：CD=4.8，故选：D．当CD⊥AB时，点C到点D的距离最短，再根据直角三角形的面积公式可得=10×CD，再解出CD的值即可．此题主要考查了垂线段最短，以及三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积的两种算法．28.若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）A. 0＜d＜3B. 0≤d＜3C. 0＜d≤3D. 0≤d≤3【答案】C【解析】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，当d=3时此时PA⊥l故选：C．根据垂线段最短即可求出答案．本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．29.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5B. 3.5C. 4D. 5【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，点P在边BC上运动，∴AB≥AP≥AC，又∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AP的长不可能是2.5，故选：A．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案．本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．30.在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】解：根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．根据垂线段最短得出结论．本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．31.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A. 4.5B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：∵在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，∴AC⊥BC，∴根据垂线段最短，可知AP的长不可小于5，故选：A．利用垂线段最短分析AP最小不能小于5，由此判断即可．本题主要考查了垂线段最短，解答此题的关键是熟练掌握垂线段最短．32.点A为直线l外的一点，点B在直线l上，若AB=5cm，则点A到直线l的距离A. 大于5cmB. 大于等于5cmC. 小于5cmD. 小于等于5cm 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离.根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短进行作答即可.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，垂线段最短.根据概念，答案可得．【解答】解：根据同一平面内垂线段最短的性质可知：点A到直线l的距离最多为5cm．故选D．33.下列说法中，正确的个数有：（）①同旁内角互补；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④平行线间的距离处处相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：①两直线平行时，同旁内角互补，故说法①错误；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故说法②正确；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法③正确；④平行线间的距离处处相等，故说法④正确．故选：C．依据平行线的判定，垂线段的性质，点到直线的距离的概念进行判断即可．本题主要考查了平行线的判定，垂线段的性质，点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．34.如图，点P在直线l外．点A，B在直线l上，PA＝3，PB＝6，点P到直线l的距离可能是A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】A【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离和垂线段最短的应用，此题属于基础题，掌握好点到直线的距离和垂线段最短的应用是解题关键.【解答】解：当时，点P到直线l的距离是PA=3，当PA不垂直于AB时，点P到直线l的距离小于PA.故选A.35.如图是测量嘉琪跳远成绩的示意图，直线l是起跳线，以下线段的长度能作为嘉琪跳远成绩的是（）A. BPB. CPC. APD. AO【答案】D【解析】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短，符合题意的垂线段是AO；故选：D．利用垂线段最短求解．本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．36.如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】解：如图，PB是点P到a的垂线段，∴下列线段中最短的是PB．故选：B．根据垂线段最短进行解答．本题主要考查了垂线段最短的性质，需要熟记．37.下列说法正确的是（）A. 经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 两个相等的角是对顶角C. 互补的两个角一定是邻补角D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】D【解析】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．故选：D．根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题．38.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm则PD的长可以是（）．A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6 cm【答案】D【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键. 过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可.【解答】解：作PD⊥OA于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选D.39.运动会上,一位跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示,测量该运动员跳远成绩的依据是( )A. 两点之间,线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用垂线段最短求解.本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短.【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短,故ABD错误，C正确.故选C.二、填空题（本大题共28小题，共84.0分）40.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．41.如图，OC平分，点P是OC上一点，于点M，点N是射线OA上的一个动点，若，则PN的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．【解答】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为5．42.如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是______，理由______．【答案】PN垂线段最短【解析】解：因为PN⊥MQ，垂足为N，则PN为垂线段，根据垂线段最短，故填空为：PN，垂线段最短．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知搭建方式最短的是PN，理由垂线段最短．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．43.在直角坐标系中，点A（-1，2），点P（0，y）为y轴上的一个动点，当y= ______ 时，线段PA的长得到最小值．【答案】2【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，坐标与图形性质，作出图形更形象直观．属于基础题. 作出图形，根据垂线段最短可得PA⊥y轴时，PA最短，然后解答即可．【解答】解：如图，PA⊥y轴时，PA的值最小，所以，y=2．故答案为：2．44.如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．【答案】垂线段最短【解析】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；故答案为：垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案．本题考查了垂线段，利用垂线段的性质是解题关键．45.如图，拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是______ ．【答案】垂线段最短【解析】【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【解答】解：拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是垂线段最短.故答案为：垂线段最短．46.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．。
垂线段最短、点到直线的距离练习题新选
垂线段最短、点到直线的距离练习题一．填空题（共11小题）1．如图，AB⊥BC，则ABAC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是．（1）（2）2．如图，为得到小明在体育课上进行立定跳远时的成绩，老师只需要测量线段AB的长度，这样做的数学根据是3．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：①BM的长是点B到CE的距离；②CE的长是点C到AB的距离；③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离．其中正确的是．（3）（4）4．如图，BC⊥AC，CB=4cm，AC=3cm，AB=5cm，则点C到AB 的距离．5．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到BC的距离是线段CA的长度是_________ 点到直线_________ 的距离．（5）6．平面上两点A、B的距离为a+b（a、b＞0，且为定值），又点A、B到某直线的距离分别为a、b，则这样的直线共有 _________ 条．7．已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段的长．（7）（8）8．如图，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长．9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段_________ 的长．（9）（10）10．如图点B到直线a的距离是线段的长度．11．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段B 到CD边的距离是线段图中的直角有∠A的余角有和∠A相等的角有．（11）（12）12．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由．13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．最新文件仅供参考已改成word文本。
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垂线的专项练习30题有答案ok
垂线专项练习30题（有答案）1．如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，②过点P作PE⊥AB，垂足为E，③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，④连P、Q两点，⑤P、Q两点间的距离是线段_________的长度，⑥点Q到直线AB的距离是线段_________的长度，⑦点Q到直线AC的距离是线段_________的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段_________的长度．2．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到_________的距离，_________是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）3．（1）画出表示点B到直线CD的距离的线段，结论：_________（2）A、C两点之间的距离为线段_________的长；（3）画出表示两条平行线AD、BC之间的距离的线段，结论：_________．4．如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的距离．5．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？6．如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A到直线BC的距离为_________，点B到直线AC的距离为_________，A、B间的距离为_________，AC+BC＞AB，其依据是_________，AB＞AC，其依据是_________．7．如图所示，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的路线图．8．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．9．如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达学校？为什么？10．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）11．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．12．如图，计划在河边建一水厂，可过C点引CD⊥AB于D，在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这种设计的依据是_________．13．如图，点P处有一个工厂，现拟修一条通往大路口a的公路，应如何修才能使所修之路最短，试说明理由．14．如图，直线AD和BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=60°，求∠AOB的度数．15．如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数．16．如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，（1）若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；（2）若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；（3）由（1）、（2）你能得出什么结论？说说其中的道理．17．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数．18．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOD的平分线，OF⊥CD，如果∠BOD=30°．求：（1）∠AOF的度数；（2）∠POF的度数．19．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，求∠BOD和∠AOC的度数．20．已知：如图，直线AB、CD、EF相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°．求∠2的度数．21．说出日常生活现象中的数学原理：日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短要用两个钉子把毛巾架安装在墙上桥建造的方向通常是垂直于河两岸人去河边打水总是垂直于河边方向走22．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，（3）线段PH的长度是点P到_________的距离，线段_________是点C到直线OB的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）24．已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂直？试判断并说明理由．25．如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD．26．你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗？27．先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A、∠E折叠，使A′B与BE′重合，则BC与BD有什么关系？说明理由．28．分别过点P作线段MN的垂线．29．如图，∠AOE与∠BOF互余，那么AO与BO是否垂直？试说明理由．30．对于平面上垂直的两条直线a和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？参考答案：1．①②③④作图如图所示：⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点间的距离是线段PQ的长度，⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度，⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度，故答案为PQ，QD，QF，PE．2．（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC3．（1）过B点作DC的垂线，交CD的延长线于E点，如，则线段BE的长为点B到直线CD的距离；所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段长就是这个点到直线的距离；（2）A、C两点之间的距离为线段AC的长；（3）过C点作AD的垂线，垂足为F点，如图，则线段CF的长即为两条平行线AD、BC之间的距离．故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长就是这个点到直线的距离；AC；两条平行线之间的距离就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．4．∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∵DE∥BC，∴四边形DHFG是平行四边形，∴DH=GF=4cm，∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm，即点A到BC的距离是8cm．5．过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．可得AE的长度即为点A到BC的距离．答：AE的长度即为点A到BC的距离．6．∵∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，∴点A到直线BC的距离为4，点B到直线AC的距离为3，A、B间的距离为5，AC+BC＞AB，其依据是三角形任意两边之和大于第三边长度，AB＞AC，其依据是直角三角形中斜边长度大于直角边长度．7．如图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的路线图．8．如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．9．根据垂线段定理，可知王林先到达学校．因为从他家到学校是垂线段，路程最短．10．如图：（1）过点C画一平行线平行于AB．（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．然后用尺子量CD的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．11．如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．12．∵CD⊥AB，∴线段CD的长度就是点C到直线AB的最短距离．故答案为：垂线段最短．13．如图，过点P作PD⊥a于D，则由点P沿着PD修路，能使所修之路最短．14．∵已知∠COD=90°，∠COE=60°，∴∠DOE=90°﹣60°=30°，又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，∴∠AOB=∠DOE=30°．15．∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，∴∠AOC=130°．∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠FOC=65°．∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°．∴∠BOE=180°﹣∠AOF﹣∠EOF=180°﹣65°﹣90°=25°16．（1）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=45°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=45°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=65°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=65°；（3）∠AOC=∠BOD，等角的余角相等．17．∵OE平分∠BON，∴∠BON=2∠EON=40°，∴∠COM=∠BON=40°，∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣40°=50°．18．（1）∵∠AOC=∠BOD=30°，OF⊥CD，∴∠AOF=90°﹣30°=60°；（2）∵OP是∠AOD的平分线，∴∠AOP=∠AOP=（180°﹣∠BOD）=（180°﹣30°）=75°，∴∠POF=∠AOP﹣∠AOF=75°﹣60°=15°19．∵OE为∠BOD的平分线，∴∠BOE=∠BOC，即∠BOD=2∠BOE=2×15°=30°；∵OA丄OB，OC丄OD，∴∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣30°=150°．20．∵∠1=20°，∠BOC=90°，∴∠BOE=∠BOC﹣∠1=90°﹣20°=70°，∴∠2=∠BOE=70°．21．这几种实际问题用数学原理解释分别是：两点确定一条直线；夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．22．连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC 就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．23．（1）如图（2）如图，（3）直线0A、PC的长．（4）PH＜PC＜OC．24．相互垂直．理由：∵GF⊥AB，∴∠2+∠4=90°，而∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=180°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠COD=360°﹣（∠1+∠2）﹣∠AOB=360°﹣180°﹣90°=90°，∴OC⊥OD26．先沿已知直线折一下，再在已知点处对折即可．27．垂直；根据题意可得∠ABC=∠A′BC，∠FBE=∠FBE′，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BF+∠FBE=180°，∴∠A′BC+∠E′BF=90°，∴BC⊥FB28．①延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．②延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．③过点P作NM所在直线的垂线．④延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．29．AO与BO垂直．理由如下：∵∠AOE与∠BOF互余，∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，∴∠AOB=90°，∴AO⊥BO，即AO与BO垂直30．当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多．答案是100对．。
5.1.2 垂线100题(含解析)
绝密★启用前一、单选题1．如图，能表示点到直线的距离的线段共有()A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】D【解析】根据点到直线的距离定义，可判断：AB表示点A到直线BC的距离；AD表示点A到直线BD的距离；BD表示点B到直线AC的距离；CB表示点C到直线AB的距离；CD表示点C到直线BD的距离．共5条．故选D．2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是()A．垂直的定义B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【解析】【分析】根据垂线段最短的性质解答．【详解】老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．3．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．70°【答案】C【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选C．考点：1．余角和补角；2．垂线．4．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35°B．40°C．45°D．60°【答案】A【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.5．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【分析】根据垂线段最短即可得．【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，掌握体育常识和垂线段公理是解题关键．6．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B【分析】由垂线段最短可解．【详解】由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．7．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】A【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选A ．【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．8．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，∠BOD ＝45°，则∠COE 的度数是( )A ．125°B ．135°C ．145°D ．155° 【答案】B【解析】试题解析：,OE AB ⊥90,AOE ∴∠=又45,BOD ∠=︒45,AOC ∠=︒∴4590135.COE AOC AOE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故选B.9．如图，要把河中的水引到水池A 中，应在河岸B 处（AB ⊥CD ）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）A ．两点之间线段最短B ．点到直线的距离C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短【答案】D【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【详解】 要把河中的水引到水池A 中,应在河岸B 处(AB ⊥CD )开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选D.【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短.10．如图，直线AD，BE 相交于点O，CO⊥AD 于点O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°【答案】A【分析】由CO⊥AD 于点O，得∠AOC=90︒，由已知∠AOB=32︒可求出∠BOC的度数，利用OF 平分∠BOC可得∠BOF=1BOC2∠，即可得∠AOF 的度数.【详解】∵CO⊥AD 于点O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.【点睛】本题考查垂线，角平分线的定义.11．如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC 长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（）A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】【分析】根据方位角的定义，结合平行线，可得∠ABG＝48°再结合∠CBE＝42°，可得∠ABC＝90°；再根据点到直线的距离，可以得到线段AB的长度就是点A到BC的距离，由此可以确定选项.【详解】由分析可得∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°∴A到BC的距离就是线段AB的长度.∴AB＝8千米【点睛】本题主要考查方位角的知识和平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE＝36°，则∠BOD＝（）A．36°B．44°C．50°D．54°【答案】D【解析】试题分析：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，又∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠AOE=36°，∴∠BOD=54°，故选D．考点：垂线．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是( )A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．15．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据垂线段最短得出结论．【详解】根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3．故选C．本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．16．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )A．30°B．34°C．45°D．56°【答案】B【解析】试题分析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．考点：垂线．17．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=30°，则∠BOC=（）A．150°B．140°C．130°D．120°【答案】D【分析】运用垂线，邻补角的定义计算。
中学数学 平面几何最短路径 练习题(含答案)
平面图形上的最短路径问题知识点：1.两点之间，线段最短2.垂线段最短3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考题型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短题型一两点在直线同侧（将军饮马）题型二相交直线之间一点或两点题型四费马点（二）根据垂线段最短题型五和最小（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等题型六差最小（四）根据三角形任意两边之差小于第三边题型七差最大题型一两点在直线同侧例题1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．3B．6解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），∴E和B关于直线AD对称，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’即BM+MN B．巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，R t△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为____ _____．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小．∵DP=P A，∴P A+PC=PD+PC=CD．∵B（3，∴AB OA=3，∠B=60°．由勾股定理得：OB OA×AB OB×AM，∴AM AD．∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°．∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°．∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°．∴AN由勾股定理得：DN C（1，0），∴CN=3-1在R t△DNC中，由勾股定理得：DC∴P A+PC题型二相交直线之间一或两点例题2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30 解：设∠POA =θ，则∠POB =30°﹣θ，作PM ⊥OA 与OA 相交于M ，并将PM 延长一倍到E ，即ME =PM ． 作PN ⊥OB 与OB 相交于N ，并将PN 延长一倍到F ，即NF =PN ． 连接EF 与OA 相交于Q ，与OB 相交于R ，再连接PQ ，PR ， 则△PQR 即为周长最短的三角形．∵OA 是PE 的垂直平分线， ∴EQ =QP ；同理，OB 是PF 的垂直平分线， ∴FR =RP ， ∴△PQR 的周长=EF ． ∵OE =OF =OP =10，且∠EOF =∠EOP +∠POF =2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF 是正三角形，∴EF =10，即在保持OP =10的条件下△PQR 的最小周长为10，故选A ．巩固练习：如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =5，ON =12，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是 ．解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M’N’，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM’=OM =5，ON’=ON =12， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°，∴在Rt M ON ''中，''13M N = 故答案为：13．题型三 造桥选址例题3：荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B点路径最短？解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作B G⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=G E’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短巩固练习：如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.解：①如图所示，AA’=1km，则MN为架桥位置A B===②过点B作BE⊥AA’，交其延长线于点E。
初中数学《点到直线的距离》练习题 (10)
初中数学《点到直线的距离》练习题
1．下列说法正确的是（）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．互相垂直的直线一定相交
C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是3cm，则点P 到直线L的距离是3cm．
【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同一平面内的直线的位置关系；点到直线的距离定义；垂线段最短进行分析即可．
【解答】解：A、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
B、互相垂直的直线一定相交，说法错误，应为同一平面内，互相垂直的直线一定相交；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，说法错误，应为从直线外一
点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
D、直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是3cm，则点P
到直线L的距离是3cm．说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，同一平面内的直线的位置关系，垂线的性质，垂线段的性质，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
1。
垂线的专项练习30题有答案ok
垂线在平面几何中的应用
第六章
垂线在三角形中的应用
定义：垂线是指与给定直线垂直的直线 性质：垂线与给定直线相交于一点，这一点称为垂足 判定：在同一平面内，过一点与给直线垂直的直线有且仅有一条 应用：在三角形中，垂线可以用于证明角平分线、高线、中线等性质
垂线在四边形中的应用
垂线在矩形中的应用：利用垂线性质证明矩形的性质和定理。 垂线在菱形中的应用：利用垂线性质证明菱形的性质和定理。 垂线在正方形中的应用：利用垂线性质证明正方形的性质和定理。 垂线在等腰梯形中的应用：利用垂线性质证明等腰梯形的性质和定理。
● 答案：$\frac{y-1}{x-1} = \frac{0-1}{2-1} \Rightarrow y = -x + 2$
● 题目：已知直线$l$经过点$A(3,0)$和点$B(4,5)$，则直线$l$的方程为多少？ 答案：$\frac{y0}{x-3} = \frac{5-0}{4-3} \Rightarrow y = 5x - 15$
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汇报人：XX
● A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ B.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ D.$\left(-3,-4\right)$
2019-2020年四年级上册第四单元《两点间的距离及点到直线的距离》基础练习
2019-2020年四年级上册第四单元《两点间的距离及点到直线的距离》基础练习1.填空。
（1）两点之间（）最短。
点到直线的距离就是点到这条直线所画的（）的长度。
（2）从直线外一点到已知直线，可以画（）条线段，可以画（）条垂直线段。
2.画一画，量一量，然后填空。
（1）A、B两点间的距离是（）厘米。
（2）A点到直线的距离是（）厘米。
3.从张庄挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？请你在图中画出来，并说明原因。
4.从学校到少年宫有三条路可走，你会选择那条路？为什么？附送：2019-2020年四年级上册第四单元《交通中的线——平行与相交》单元分析一、教学目标1．结合生活情境，了解平面上两条直线的位置关系——平行和相交（包括垂直），能用工具画出一组平行线和已知直线的垂线。
2．在测量活动中，体会“两点之间线段最短”“点到直线的垂线段最短”，理解两点间的距离和点到直线的距离，初步体会平行线和垂线的一些特性。
3．在知识探究活动中，培养观察、想象、动手操作能力，发展初步的空间观念。
二、教学内容本单元共安排三个信息窗。
教材以“交通中的线”为线索，第一个信息窗呈现的是一些常用的交通设施中的线，借助问题“图中的几组线有怎样的位置关系？”通过感知生活中两条直线的平行和相交（包括垂直）现象，体会平面内两条直线间的位置关系，在识别直线相交和不相交的基础上认识平行线。
借助“你能画出一组平行线吗？”这个问题，教学平行线的画法。
第二个信息窗呈现的是生活中常见的交通标志，借助问题“这几组直线有什么特点？”让学生感知生活中两条直线互相垂直的现象，学习垂线。
借助“你能画出两条互相垂直的线吗？”教学如何画出已知直线的垂线。
第三个信息窗呈现的是交通中常见的隧道，通过问题“为什么要修隧道呢？”学习两点间的距离和点到直线的距离，结合生活情境感受数学学习的价值。
本单元教材编写的基本结构如下：三、教材解读及学与教建议（一）单元教材解读本单元是在学生初步认识了立体图形、平面图形以及线段、直线、射线和角的基础上进一步研究两条直线的位置关系，是学生进一步学习平面图形、立体图形等图形与几何知识的基础。
垂线 习题 (含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
2021年春中考数学一轮复习小专题突破训练：垂线段最短问题(附答案)
2021年春中考数学一轮复习小专题突破训练：垂线段最短问题（附答案）1．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短2．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（）A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm3．如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C 路线，用数学知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边4．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点B．B点C．C点D．D点5．如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（）A．3.5B．4C．5.5D．6.56．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线7．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（）A．B．C．D．9．如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（）A．垂线段最短B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，直线最短10．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）11．如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB＝a，CD＝b，则AC的取值范围（）A．大于b B．小于aC．大于b且小于a D．无法确定12．如图，要把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥l，垂足为点B，沿AB挖水沟，水沟最短，理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．14．如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：．15．如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．16．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短．理由是．17．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段P A，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是，理由是18．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO ⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是．19．如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是．20．如图，为了把河中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是．21．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段搭建最短，理由是．22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是．23．如图，要把池中的水引到D处，可过D点作CD⊥AB于C，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：．24．如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD 周长的最小值为．参考答案1．解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：A．2．解：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短），2＜4＜5，∴点P到直线l的距离小于等于2，即不大于2，故选：C．3．解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：B．4．解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．5．解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC＝2AB，P在线段BC上连结AP，AB＝3，∴AC＝6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5，故选：D．6．解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．7．解：这样做的理由是垂线段最短．故选：C．8．解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：B．9．解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故选：A．10．解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y＝x的距离．过A点作垂直于直线y＝x的垂线AB，∵直线y＝x与x轴的夹角∠AOB＝45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC＝BC＝．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．11．解：∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB＝a，CD＝b，∴CD＜AC＜AB，即b＜AC＜a．故选：C．12．解：从题意：把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥l，垂足为点B，沿AB挖水沟，可知利用：垂线段最短．故选：C．13．解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．14．解：要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．故答案为：垂线段最短．15．解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；故答案为：垂线段最短．16．解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．17．解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．故答案是：PC；垂线段最短．18．解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．19．解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．20．解：过D点引CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．21．解：∵PM⊥MN，∴由垂线段最短可知PM是最短的，故答案为：PM，垂线段最短．22．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：•AB•PC＝•AC•BC，∴PC＝，故答案为．23．解：过D点引CD⊥AB于C，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，根据垂线段最短．24．解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．∴AE＝3，BE ＝，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF＝BC＝AD＝7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6＝20，故答案为：2011 / 11。
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垂线段最短、点到直线的距离练习题
一．填空题（共11小题）
1．如图，AB⊥BC，则ABAC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是．
（1）（2）2．如图，为得到小明在体育课上进行立定跳远时的成绩，老师只需要测量线段AB的长度，这样做的数学根据是
3．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：①BM的长是点B到CE的距离；②CE的长是点C到AB的距离；③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离．其中正确的是．
（3）（4）
4．如图，BC⊥AC，CB=4cm，AC=3cm，AB=5cm，则点C到AB 的距离．
5．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到BC的距离是线段CA的长度是_________ 点到直线_________ 的距离．
（5）
6．平面上两点A、B的距离为a+b（a、b＞0，且为定值），又点A、B到某直线的距离分别为a、b，则这样的直线共有 _________ 条．
7．已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段的长．
（7）（8）
8．如图，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长．
9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段_________ 的长．
（9）（10）
10．如图点B到直线a的距离是线段的长度．
11．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段B 到CD边的距离是线段图中的直角有∠A的余角有和∠A相等的角有．
（11）（12）
12．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由．
13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．。