等差数列求和公式Sn
等差数列求和公式Sn
等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1得2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：等差数列求是求数列中所有项的和若m、n、p、q∈N①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq②若m+n=2q，则am+an=2aq二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公约数。
解：∵（30，60，75）=5×3=15这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。
解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180和300的公约数。
等差数列求和公式原理
等差数列求和公式原理等差数列是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要概念，而其中的求和公式更是解决很多数学问题的关键利器。
那咱们就来好好唠唠等差数列求和公式的原理。
先来说说啥是等差数列。
比如说，1，3，5，7，9 这样的一组数，每一项和前一项的差值都一样，这个差值我们叫做公差。
在这个例子里，公差就是 2。
等差数列的求和公式是：Sn = n(a1 + an) / 2 ，这里的 Sn 表示前 n 项的和，n 是项数，a1 是首项，an 是末项。
那这个公式到底是咋来的呢？咱举个例子感受一下。
假设一个等差数列：3，5，7，9，11。
要求它前 5 项的和。
我们可以把这 5 个数两两配对相加，3 + 11 = 14，5 + 9 = 14，7 落单先不管。
发现没？两两相加的和都一样！那一共有几组这样的和呢？因为一共有 5 个数，两两配对，所以一共是 5÷2 = 2.5 组，但是组数得是整数呀，所以实际上是 2 组完整的，还剩下一个 7。
那前 5 项的和就是 2×14 + 7 = 28。
我们再从一般情况来推导一下。
对于一个有 n 项的等差数列，首项是 a1，末项是 an 。
我们把第一项和最后一项相加，a1 + an ；第二项和倒数第二项相加，a2 + an - 1 ，以此类推。
会发现每一组的和都相等，都是 a1 + an 。
那一共有多少组这样的和呢？因为是两两配对，所以组数就是n÷2 。
所以前 n 项的和 Sn 就等于组数×每组的和，也就是 n(a1 + an) / 2 。
在实际解题中，这个求和公式可好用啦！比如说，有一个等差数列，首项是 2，公差是 3，一共 10 项。
那末项 an = a1 + (n - 1)d = 2 + (10 - 1)×3 = 29 。
然后用求和公式，Sn = 10×(2 + 29) / 2 = 155 。
是不是很快就能算出答案啦！总之，等差数列求和公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多数学难题的大门。
等差数列求和公式运算
等差数列求和公式运算等差数列求和公式1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)__公差和=(首项+末项)__项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差数列求和解题技巧一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
等差数列中sn的公式
等差数列中sn的公式
等差数列中sn的公式：
1.什么是等差数列：
等差数列是一组有顺序的数字，以确定的公差按顺序排列的数列。
其中，最关键的一点就是，它们之间的公差都是一样的，也就是说，公差在数列的所有项中是恒定的。
2.sn的公式：
sn的公式可以表示为：sn=a1+（n-1）*d，其中，a1为等差数列的首项，n为等差数列的项数，d为该等差数列的公差。
3.sn所表达的意思：
sn所表达的意思：所求序列的前n项和，一般用Sn表示。
4.sn的计算方法：
(1)如果已知数列的首项a1，公差d和项数n，则用公式：sn=a1+（n-1）*d计算。
(2)如果已知数列的首项a1，末项an和项数n，则用公式：
sn=(a1+an)*n/2计算。
(3)如果已知数列的任意三个数a1,a2,a3，则用公式：
sn=(a1+a2+a3)*(n+1)/3计算。
5.sn的应用：
sn的应用非常广泛，比如在数学题型中，常见的数列求和、对数学问题进行求解、求几何图行中和等都会用到sn的公式来进行推算。
此
外，sn在工程中也用于统计成本，例如在加工过程中得计算总成本、计算出发价格等。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式
等差数列是指数列的相邻两项之差保持恒定的数列。
求和公式是用于计算等差数列的前n项和的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
根据等差数列的性质，我们可以推导出等差数列的求和公式：
1. 等差数列通项公式
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an 为数列的第n项。
2. 等差数列前n项和的公式
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为前n项和。
由等差数列的通项公式和前n项和的公式，我们可以推导出等差数列的求和公式：
Sn = n * (a1 + a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (2a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (a1 + (a1 + (n - 1) * d)) / 2
使用等差数列的求和公式，我们可以方便地计算等差数列的前
n项和。
这个公式在实际问题中经常被使用，例如计算连续数的和、计算累进的收入等。
需要注意的是，在应用等差数列求和公式时，我们需要确保等
差数列的首项、公差和项数的值是正确的。
总之，等差数列的求和公式是计算等差数列前n项和的有效工具，通过简单的数学运算，我们可以快速得出结果。
在实际问题中，我们可以根据该公式进行求和计算，减少繁琐的手工计算工作，提
高工作效率。
参考文献：
[1] 王福高，初等数学学科发展史，人民教育出版社，1999年。
[2] 李四华，高中数学教育理念研究，教材报刊杂志社，2005年。
数列求和公式的几种方法
数列求和公式的几种方法数列求和公式是数学中十分重要的内容之一，它是指由一系列的数按照一定规律排列而成的序列的和的计算方法。
在数列求和公式中，常见的有等差数列求和公式和等比数列求和公式等。
下面将介绍几种数列求和公式的计算方法。
1.等差数列求和公式：等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的求和公式为：Sn=(n/2)[2a₁+(n-1)d]其中n表示数列的项数。
例如，我们求等差数列2，5，8，11，14的和。
首项a₁=2，公差d=5-2=3，项数n=5代入公式Sn=(n/2)[2a₁+(n-1)d]可得：S₅=(5/2)[2*2+(5-1)*3]=(5/2)(4+12)=(5/2)*16=40所以，等差数列2，5，8，11，14的和为40。
2.等比数列求和公式：等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的求和公式为：Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)其中n表示数列的项数。
例如，我们求等比数列3，6，12，24，48的和。
首项a₁=3，公比q=6/3=2，项数n=5代入公式Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)可得：S₅=3(1-2⁵)/(1-2)=3(1-32)/(-1)=3(-31)/(-1)=93所以，等比数列3，6，12，24，48的和为933.平方和公式：平方和公式是指求1²+2²+3²+...+n²的和的公式。
平方和公式为：Sn=n(n+1)(2n+1)/6其中n表示数列的项数。
例如，我们求和1²+2²+3²+4²+5²的和。
项数n=5代入平方和公式Sn=n(n+1)(2n+1)/6可得：S₅=5(5+1)(2*5+1)/6=5(6)(11)/6=11*5=55所以，1²+2²+3²+4²+5²的和为554.等差数列差分求和法：等差数列差分求和法是一种利用等差数列的性质进行求和的方法。
小学奥数等差数列公式
小学奥数等差数列公式公式1：求和公式：等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2；公式2：通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d；公式3：项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。
上述三个公式必须掌握此外，还有一个中项定理，也掌握：中项定理：对于作意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
例1：建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2，d=4，利用公式求出an=2106，则：n=（an-a1）÷d+1=527这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.则中间一项为（a1+an）÷2=1054a1=2，d=4，an=2106，这堆砖共有1054×527=555458（块）.此题利用中项定理和等差数列公式均可解！例2：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+...+2000）-（1+3+5+ (1999)解法1：能够看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000.例3：100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？解：方法1：要求和，我们能够先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：由题可知：（首项+末项）×100÷2=8450，求出：（首项+末项）=169。
数列的求和公式
数列的求和公式数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的序列。
我们经常遇到需要计算数列的和的情况，而求和公式便是解决这一问题的重要工具。
本文将介绍数列的求和公式，并通过实例进行说明。
一、等差等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
其求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示项数，a1表示首项，an 表示末项。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以使用求和公式计算前4项的和：S4 = 4/2 * (1 + 9) = 20二、等比等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
其求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示首项，q表示公比。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，我们可以使用求和公式计算前3项的和：S3 = 2 * (1 - 2^3) / (1 - 2) = 14三、其他常见除了等差数列和等比数列，还有一些常见的数列求和公式：1. 平方数列的求和公式：Sn = n/6 * (2a1 + (n-1)d) * (a1 + (n-1)d)其中，Sn表示平方数列的前n项和，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差-等比数列的求和公式：Sn = (a1 - an) / (1 - r) * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等差-等比数列的前n项和，a1表示首项，an表示末项，r表示等差，q表示公比。
四、求和公式的应用实例以下是一个实际应用数列求和公式的例子：某班级有30名学生，他们每天自习，第一天每个学生自习30分钟，每天比前一天多自习5分钟。
请计算该班级连续自习7天的总自习时间。
首先，我们可以看出这是一个等差数列，首项a1为30，公差d为5，项数n为7。
根据等差数列的求和公式，我们可以计算出连续7天的总自习时间：Sn = 7/2 * (30 + 30 + (7-1)*5) = 7/2 * (30 + 30 + 6*5) = 7/2 * (30 + 30+ 30) = 7/2 * 90 = 315因此，该班级连续自习7天的总自习时间为315分钟。
等差数列求和公式
小结2：
本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。 方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
此方法应注意： 对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。
小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.
练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2, 然后利用“错位相减法”求和.
1 1 1 1 例2：求和 Sn= + + + …+ 2×5 5×8 8×11 (3n-1) (3n+2)
解：∵数列的通项公式为 1 1 1 1 an= = ( ) (3n-1) (3n+2) 3 3n-1 3n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ( - + - + - +…+ 3 2 5 5 8 8 11 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2 1 1 1 1 = ( )= 3 2 3n+2 6n+4
练习 2： 求和 1 1 + 1×4 4×7 1 (3n-2)×(3n+1)
1 + 7×10
+…+
1 1 1 1 分析： = an = ( ) (3n-2)×(3n+1) 3 3n-2 3n+1
接下来可用“裂项相消 法”来求和。
例 3：求和 1 1 1 1 1 1+(1+ )+(1+ + )+…+(1+ + +…+ 2 2 4 2 4 1 1 ) 1× （1- n ） 2n-1 1 1 1 2 1 =2- n-1 解：∵an=1+2 +4 +…+2n-1 = 1 2
等差数列求和的公式及证明
等差数列求和的公式及证明等差数列作为数学中常见的数列类型之一，其求和公式是我们在学习数学过程中经常接触到的。
在本文中，我们将介绍等差数列求和的公式，并进行相应的证明。
一、等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
通常用字母a 表示首项，d表示公差。
等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，...二、等差数列求和公式设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn。
则等差数列求和的公式如下：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)三、等差数列求和公式的证明为了证明等差数列求和公式，我们可以采用数学归纳法。
首先，当n=1时，即只有一项时，显然等差数列的和为首项本身，即Sn = a。
公式成立。
然后，假设当n=k时，等差数列求和的公式成立，即Sk = (k/2)(2a + (k-1)d)。
接下来，考虑n=k+1时的情况。
等差数列前k+1项和为：Sk+1 = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + kd)我们可以观察到，等差数列前k项和Sk可以表示为：Sk = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (k-1)d)两式相减可以得到：Sk+1 - Sk = (a + kd) - (a + (k-1)d) = d因此，我们可以得到如下的递推关系：Sk+1 = Sk + d = (k/2)(2a + (k-1)d) + d化简得到：Sk+1 = (k/2)(2a + (k-1)d) + 2d = (k/2 + 1)(2a + (k-1)d)由归纳法的假设可知，Sk = (k/2)(2a + (k-1)d)，将其代入上式有：Sk+1 = (k/2 + 1)(2a + (k-1)d) = (k+2)/2(2a + (k-1)d)即Sn的递推关系成立，从而根据归纳法，等差数列求和公式得证。
综上所述，我们介绍了等差数列求和的公式及其证明过程。
等差数列所有公式大全
等差数列所有公式大全
等差数列的所有公式包括：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
2.项数公式：n=(an-a1)/d+1。
这给出了等差数列的项数的计算方法。
3.求和公式：Sn=(a1+an)n/2或Sn=n/2*(a1+an-d)。
这用于计算等差数列的前n 项和。
4.项与项数关系公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
5.求和公式推导：an-a(n-1)=d，a(n-1)-a(n-2)=d…a2-a1=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。
这些公式可以用于求解等差数列的各种问题，包括求某一项或几项的和，判断一个数列是否为等差数列，等等。
在使用这些公式时，需要记住一些重要的参数，如首项、公差和项数。
数列的求和公式
数列的求和公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字构成。
在数学中，我们常常需要计算数列的和，这就需要使用求和公式。
在本文中，我们将介绍一些常见的数列求和公式，并给出一些实例来说明如何应用这些公式。
一、等差数列的求和公式等差数列是一种数列，其中相邻两项之间的差值是常数。
求等差数列的和，可以使用以下公式：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示尾项。
例子1：求等差数列1，4，7，10，13的和。
由题可知，首项a1=1，尾项an=13，公差d=4-1=3，共有5项。
将这些值代入公式中求解：S5 = 5/2 * (1 + 13) = 5/2 * 14 = 35二、等比数列的求和公式等比数列是一种数列，其中相邻两项之间的比值是常数。
求等比数列的和，可以使用以下公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)例子2：求等比数列2，4，8，16，32的和。
由题可知，首项a1=2，公比q=4/2=2，共有5项。
将这些值代入公式中求解：S5 = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 2 * (1 - 32) / (1 - 2) = 2 * (-31) / (-1) = 62三、等差数列的部分和公式除了求等差数列的全部和，我们还可以计算其部分和。
对于等差数列，求前n项的部分和可以使用以下公式：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
例子3：求等差数列3，6，9，12，15的前4项和。
由题可知，首项a1=3，第4项an=3 + 3*(4-1) = 12。
将这些值代入公式中求解：S4 = 4/2 * (3 + 12) = 4/2 * 15 = 30四、等比数列的部分和公式对于等比数列，求前n项的部分和可以使用以下公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)例子4：求等比数列1/2，1/4，1/8，1/16的前3项和。
数列sn所有公式大全
数列sn所有公式大全1. 等差数列的前n项和公式S_n- 公式一：S_n=frac{n(a_1 + a_n)}{2}，其中a_1是首项，a_n是第n项。
- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1 + a_n)}{2}。
- 公式二：S_n=na_1+(n(n - 1)d)/(2)，其中d是公差。
- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，把a_n代入S_n=frac{n(a_1 + a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1)d)/(2)。
2. 等比数列的前n项和公式S_n- 当公比q = 1时，S_n=na_1，因为此时数列是常数列。
- 当公比q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。
- 推导：S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1，qS_n=a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n，两式相减得(1 - q)S_n=a_1-a_1q^n，所以S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。
3. 一些特殊数列求和公式（可转化为等差数列或等比数列的数列）- 数列{n}的前n项和S_n=(n(n + 1))/(2)。
- 推导：这是一个首项为1，公差为1的等差数列，根据等差数列求和公式S_n=na_1+(n(n - 1)d)/(2)，这里a_1=1，d = 1，代入可得S_n=n×1+(n(n - 1)×1)/(2)=(n(n + 1))/(2)。
- 数列{n^2}的前n项和S_n=(n(n + 1)(2n + 1))/(6)。
- 数列{n^3}的前n项和S_n=<=ft[(n(n + 1))/(2)]^2。
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等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1得2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：等差数列求是求数列中所有项的和若m、n、p、q∈N①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq②若m+n=2q，则am+an=2aq二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公约数。
解：∵（30，60，75）=5×3=15这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。
解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.（120，180，300）=30×2=60∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60=2＋3＋5=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
［3，10，5］=5×3×2=30∴各道工序均应加130个零件。
30÷3=10（人）30÷10=3（人）30÷5=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。
例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
解：∵[2，3，4]=12∴参加会餐人数应是12的倍数。
又∵12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13（瓶），∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。
又∵65÷13=5，∴参加会餐的总人数应是12的5倍，12×5=60（人）。
答：参加会餐的总人数是60人。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是4 2或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴（除数×40+16）+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：2×70+3×21+2×15=233233-105×2=23符合条件的最小自然数是23。
例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2：[3，7]+2=2323除以5恰好余3。
所以，符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。
想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，又148＜210=[5，6，7]所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？2+3×2=8。
再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？8+[3，5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+[5，7]×1=37（个）∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，∴布袋中至少有小球37个。
例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。
但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。
反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答：∵三个整数被N除余数相同，∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，∴N是21和35的公约数。
∵要求N的最大值，∴N是21和35的最大公约数。
∵21和35的最大公约数是7，∴N最大是7。
习题四1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数.。