矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

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矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

(一)等价:

1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ,则称矩阵A 与B 等价,记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件:

A B ≅.{P Q A B ⇔同型,且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和,使得PAQ=B 成立

3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。

(二)合同:

1、概念,两个n 阶方阵A,B ,若存在可逆矩阵P ,使得A B ≅P T AP B =成立,则称A,B 合同,记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B 均为实对称矩阵,则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。

(三)相似

1、概念:n 阶方阵A,B ,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立,则称矩阵A,B 相似,记为~A B 。

2、矩阵相似的性质:

~A B 11~,~,~(,)

|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提,均可逆即有相同的特征值(反之不成立)

r(A)=r(B)

即的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件:

①充分条件:矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

(一)、矩阵相等与向量组等价的关系:

设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ,12(,,,)m B βββ=L

1、若向量组(12,,,m βββL )是向量组(12,,,n λλλL )的极大线性无关

组,则有m n ≤,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型,虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

2、若m=n ,两向量组(12,,,n λλλL )≅(12,,,m βββL )则有矩阵A,B

同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅;r()()A r B A B =⇒≅。

3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同,⇐两向量组等价,即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅L L

综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。

(二)、矩阵合同。相似,等价的关系。

1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、合同、相似、等价之间的递推关系

①相似⇒等价:~A B ⇒A,B 同型且()()r A r B A B =⇒≅

②合同⇒等价:,A B A B ⇒;同型且()()r A r B A B =⇒≅

③相似与合同之间一般情况不能递推,但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B 均为实对称矩阵,则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当

~A B 时,

||||E A E B λλ-=-⇒二次型()T f x X AX =与()T g x X BX =有相同的标准型,即二者有相同的正负惯性指数A B A B ⇒⇒≅;

即有~A B A B A B ⇒⇒≅;

Ⅱ、存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得T P AP B =即A B ;则有1~T B P AP P AP A B -==⇒ 即有~A B A B ⇒;

Ⅲ、若A,B 实对称,且存在一个正交矩阵P ,则

~A B 时有 ~A B A B A B ⇔⇔≅;

Ⅳ、~()()A B r A r B ⇒=、()()A B r A r B ⇒=;、()()A B r A r B ≅⇒=

下面讨论()()r A r B =时~,,A B A B A B ≅;成立的条件。

由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知

存在正交矩阵P 时,有1T P P -=,则

()()T r P AP r A =记T B P AP =则()()r A r B =

此时~A B A B A B ⇒⇒≅;

即P 为正交矩阵时,由()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅;

(三)

1、矩阵等价:①同型矩阵而言

②一般与初等变换有关

③秩是矩阵等价的不变量,同次,两同型矩阵相似的

本质是秩相等

2、矩阵相似:①针对方阵而言

②秩相等是必要条件

③本质是二者有相等的不变因子

3、矩阵合同:①针对方阵而言,一般是对称矩阵

②秩相等是必需条件

③本质是秩相等且存在惯性指数相等,即标准型同

由以上知,秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵相似的不变量;特征值是可对角化矩阵相似的不变量,存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量,等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价,而反之不成立。相似与合同不可互推,需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似,不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵

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