第五章 材 料 力 学

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◆六、轴向拉压杆的变形 虎克定律 (一)轴向拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸时,轴向伸长,横向缩短,见图5−8;而在轴向压缩时, 轴向缩短,横向伸长。
第三节 剪 切 和 挤 压
◆一、剪切的实用计算 (一)剪切的概念 力学模型如图5−9 所示。 (1)受力特征。构件上受到一对大小相等、方向相反, 作用线相距很近,且与构件轴线垂直的力作用。 (2)变形特征。构件沿两力的分界面有发生相对错动的 趋势。 (3)剪切面。构件将发生相对错动的面。
图5−9 剪切的力学模型
(4)剪力Q。剪切面上的内力,其作用线与剪切面平行。
(二)剪切实用计算 (1)名义剪应力。假定剪应力沿剪切面是均匀分布的, 若AQ为剪切面面积,Q 为剪力,则
(2)许用剪应力。按实际构件的受力方式,用试验的方法求得名义剪切极
限应力η0,再除以安全系数n。 (3)剪切强度条件。剪切面上的工作剪应力不得超过材料的许用剪应力 (二)挤压实用计算 (1)名义挤压应力。假设挤压力在名义挤压面上均匀分布,即 式中 Abs——名义挤压面面积。 当挤压面为平面时,名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积;当挤压 面为曲面时,则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投 影面积。 (2)许用挤压应力。根据直接试验结果,按照名义挤压应力公式计算名义 极限挤压应力,再除以安全系数。 (3)挤压强度条件。挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应 力,即
式中 P ——传递功率,kW; n ——转速,r/min。
◆ 二、扭矩和扭矩图 (1)扭矩。受扭杆件横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶,其力偶矩称为扭
矩,用T 表示,见图5−12,其值用截面法求得。
(2)扭矩符号。扭矩T 的正负号规定,以右手法则表示扭矩矢量,若矢量的指向与截
面外向法线的指向一致时扭矩为正,反之为负。图5−12 中所示扭矩均为正号。
图5−10 纯剪切单元体
η=−η'
(5−22)
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时,剪应力η 与剪应变γ 成正比,即
η=Gγ 式中 G——材料的剪切弹性模量。 对各向同性材料,E、G、μ 间只有两个独立常数,即 (5−23)
第四节 扭 转
◆一、扭转的概念
(一)扭转的力学模型
扭转的力学模型,如图5−11 所示。
◆三、圆杆扭转时的剪应力与强度条件
(一)横截面上的剪应力
(1)剪应力分布规律。横截面上任一点的剪应力,其方向垂直于该点所在的半径,其
值与该点到圆心的距离成正比,见图5−13
图5−12 扭矩及其正负号规定
图5−13 圆杆扭转时横截面上的剪应力
◆四、圆杆扭转时的变形 刚度条件
第五节 截面图形的几何性质
(一)内力
由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作 用力。
(二)截面法 截面法是求内力的一般方法,用截面法求内力的步骤 如下。 (1)截开。在需求内力的截面处,假想地沿该截
面将构件截分为二。
(2)代替。任取一部分为研究对象,称为脱离体。 用内力代替弃去部分对脱离体的作用。 (3)平衡。对脱离体列写平衡条件,求解未知内 力。截面法的示意图如图5−4 所示。 (三)轴力 轴向拉压杆横截面上的内力,其作用线必定与杆轴线相重合,称为轴力,以N 表示。轴力N 规定以拉力为正,压力为负。
和Iyc、惯性积为Iyczc,则该图形对于与zc轴平行且相距为a 的z 轴及与yc轴平行且相距为
b 的y 轴的惯性矩和惯性积分别为
显然,在图形对所有互相平行的轴的惯性矩中,以形心轴的惯性矩为最小。
◆四、主惯性轴和主惯性矩、形心主(惯性)轴和形心主(惯性)矩
若截面图形对通过某点的某一对正交坐标轴的惯性积为零,则称这对 坐标轴为图形在该点的主惯性轴,简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩 称为主惯性矩。显然,当任意一对正交坐标轴中之一轴为图形的对称轴
最大剪应力发生在α=±45°的斜截面上,最小剪应力发生在α=0°的横截
面和α=90°的纵截面上,其值分别为 ◆五、强度条件 (一)许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 脆性材料 式中 ζS ——屈服极限;
ζb ——抗拉强度;
nS、nb ——安全系数。
(二)强度条件 构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为
◆一、静矩与形心
显然,若z 轴过形心,yc=0,则有Sz=0,反之亦然;若y 轴过形心,zc=0,则有Sy=0,反之亦然。
◆二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积
图5−15 截面图形
(5−40)
◆三、平行移轴公式
若已知任一截面图形(图5−16)形心为c,面积为A,对形心轴zc和yc的惯性矩为Izc
是衡量塑性材料强度的一个重要指标。对于无明显屈服阶段的其他塑性材料,
工程上将产生0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限,并用ζ0.2表示。
3. 强化阶段(ce 段) 在该段,应力又随应变增大而增大,故称强化。该段中的最高点e 所对应的应 力乃材料所能承受的最大应力ζb,称为强度极限,它是衡量材料强度(特别
(1)受力特征。杆两端受到一对力偶矩相等,转向相反, 作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。 (2)变形特征。杆件表面纵向线变成螺旋线,即杆件任 意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。 (3)扭转角ϕ。杆件任意两横截面间相对转动的角度。 (二)外力偶矩的计算 图5−11 扭转力学模型
轴所传递的功率、转速与外力偶矩(kN· m)间有如下关系
(二)分析问题和解决问题 分析问题和解决问题思路如下:
◆二、杆的四种基本变形
杆的四种基本变形如表5−1 所列。 表5−1
杆的四种基本变形
◆三、材料的力学性质 在表5−1 所列的强度条件中,为确保构件不致因强度不足而破坏,应使 其最大工作应力ζmax不超过材料的某个限值。显然,该限值应小于材料的极 限应力ζu,可规定为极限应 力ζu的若干分之一,并称之为材料的许用应力,以[ζ]或[η]表示,即
式中n 是一个大于1 的系数,称为安全 系数,其数值通常由设计规范规定;而极限 应力ζu则要通过材料的力学性能试验才能确 定。这里主要介绍典型的塑料性材料低碳钢 和典型的脆性材料铸铁在常温、静载下的力 学性能。 (一)低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质 低碳钢(通常将含碳量在0.3%以下的钢称为低 碳钢,也叫软钢)材料拉伸和压缩时的ζ—ε 曲 线如图5−1 所示。
从图5−1 中拉伸时的ζ—ε 曲线可看出,整个拉伸过程可分为以下四个阶段。 1. 弹性阶段(Ob 段)
在该段中的直线段(Oa)称线弹性段,其斜率即为弹性模量E,对应的最高应
力值ζP为比例极限。在该段应力范围内,即ζ≤ζP,虎克定律ζ=Eε 成立。而 ab 段,即为非线性弹性段,在该段内所产生的应变仍是弹性的,但它与应力 已不成正比。b 点相对应的应力ζe称为弹性极限。 2. 屈服阶段(bc 段) 该段内应力基本上不变,但应变却在迅速增长,而且在该段内所产生的应 变成分,除弹性应变外,还包含了明显的塑性变形,该段的应力最低点ζS称为 屈服极限。这时,试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成45°的滑移线,这 是由于试件材料在45°的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。对于塑性材料 来说,由于屈服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作,故ζS
(2)平面弯曲。荷载作用面(外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面)与弯曲平
面(即梁轴线弯曲后所在平面)相平行或重合的弯曲。 产生平面弯曲的条件: 1)梁具有纵对称面时,只要外力(横向力或外力偶)都作用在此纵对称面内。
时,图形对该两轴的惯性积必为零,故这对轴必为主轴。
过截面形心的主惯性轴,称为形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称 为形心主矩。杆件的轴线与横截面形心主轴所组成的平面,称为形心主 惯性平面。 图5−15 截面图形
第六节 弯曲梁的内力、应力和变形
◆一、平面弯曲的概念
弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。 (1)弯曲变形特征。任意两横截面绕垂直杆轴线的轴做相对转动,同时杆的轴线也弯 成曲线。
来自百度文库
式中 α ——由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角,以逆时针转动为正; Aα ——斜截面mm 的截面积; ζ0 ——横截面上的正应力。 ζα拉应力为正,压应力为负。ηα以其对截面内一点产生顺时针力矩时为正,反之为负。 轴向拉压杆中最大正应力发生在α=0°的横截面上,最小正应力发生在α=90°的纵截面上, 其值分别为
是脆性材料)的另一重要指标。在强化阶段中,绝大部分的变形是塑性变形,
并发生“冷作硬化”的现象。 4. 局部变形阶段(ef 段)
在应力到达e 点之前,试件标距内的变形是均匀的;但当到达e 点后,试件的
变形就开始集中于某一较弱的局部范围内进行,该处截面纵向急剧伸长,横 向显著收缩,形成“颈缩”;最后至f 点试件被拉断。 试件拉断后,可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。 (1)延伸率
◆三、剪应力互等定理与剪切虎克定律
(一)纯剪切 若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力,称为纯剪切。 纯剪切引起剪应变γ,即相互垂直的两线段间角度的改变。 (二)剪应力互等定理
在互相垂直的两个平面上,垂直于两平面交线的剪应力,总
是大小相等,且共同指向或背离这一交线(见图5−10),即 (三)剪切虎克定律
图5−5 例5−1图 (a)外力图;(b)轴力图
◆三、轴向拉压杆横截面上的应力 分布规律:轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面,为正应力, 且正应力在整个横截面上均匀分布,如图5−6 所示。 正应力公式
式中 N ——轴力,N; A ——横截面面积,m2。 应力单位为N/m2,即Pa,也常用1MPa=106Pa=1N/mm2。 ◆四、轴向拉压杆斜截面上的应力 斜截面上的应力均匀分布,如图5−7 所示,其总应力及应力分量如下。 总应力
图5−2 铸铁拉伸、压缩的力学性质
从铸铁拉伸时的ζ—ε 曲线中可以看出,它没有明显的直线部分。因 其拉断前的应变很小,因此工程上通常取其ζ—ε 曲线的一条割线的斜率,
作为其弹性模量。它没有屈服阶段,也没有颈缩现象(故衡量铸铁拉伸
强度的唯一指标就是它被拉断时的最大应力ζb),在较小的拉应力作用 下即被拉断,且其延伸率很小,故铸铁是一种典型的脆性材料。 铸铁压缩时的ζ—ε曲线与拉伸相比,可看出这类材料的抗压能力要比 抗拉能力强得多,其塑性变形也较为明显。破坏断口为斜断面,这表明 试件是因ηmax的作用而剪坏的。 综上所述,对于塑性材料制成的杆,通常取屈服极限ζS(或名义屈 服极限 ζ0.2)作为极限应力ζu的值;而对脆性材料制成的杆,应该取强度 极限ζb作为极限应力ζu的值。
图5−4 截面法的示意图
(四)轴力图 轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变 化规律的图线。
例5−1 试作图5−5(a)所示等直杆的轴
力图。 解:先考虑外力平衡,求出支反R=10kN
显然NAB=10kN,NBC=50kN,NCD=−5kN,
NDE=20kN 由图5−5(b)可见,某截面上外力的大小 等于该截面两侧内力的变化。
式中 l0——试件原长; l1——拉断后的长度。 工程上规定δ≥5%的材料称为塑性材料,δ<5%的称为脆性材料。 (2)截面收缩率
式中 A0——变形前的试件横截面面积;
A1——试件拉断后的最小截面积。 低碳钢压缩时的ζ—ε 曲线与拉伸时
对比可知,低碳钢压缩时的弹性模量E、
比例极限ζP和屈服极限ζS与拉伸时大 致相同。 (二)铸铁拉伸与压缩时的力学性质 铸铁拉伸与压缩时的ζ—ε 曲线如图5−2 所示。
第二节 轴向拉伸与压缩
◆一、轴向拉伸与压缩的概念 (一)力学模型 轴向拉压杆的力学模型如图5−3 所示。 (二)受力特征 作用于杆两端外力的合力,大小相等、方向相反, 并 沿杆件轴线作用。 (三)变形特征 杆件主要产生轴线方向的均匀伸长(缩短)。
图5−3 轴向拉压杆的力学模型 P—轴向拉力或压力
◆二、轴向拉伸(压缩)杆横截面上的内力
第五章 材 料 力 学
主讲:钱民刚
第一节 概 论
材料力学是研究各种类型构件(主要是 杆)的强度、刚度和稳定性的学科,它提 供了有关的基本理论、计算方法和试验技 术,使我们能合理地确定构件的材料、尺
寸和形状,以达到安全与经济的设计要求。
◆一、材料力学的基本思路
(一)理论公式的建立
理论公式的建立思路如下:
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