三角函数复习教案整理
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理第一章：三角函数的基本概念1.1 角的概念复习角度的定义和分类：锐角、直角、钝角、周角。
介绍弧度和度的转换关系。
1.2 正弦函数、余弦函数和正切函数复习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
解释正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
1.3 特殊角的三角函数值复习30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
第二章：三角函数的图像和性质2.1 正弦函数的图像和性质复习正弦函数的图像和性质：周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。
2.2 余弦函数的图像和性质复习余弦函数的图像和性质：周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。
2.3 正切函数的图像和性质复习正切函数的图像和性质：周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。
第三章：三角函数的运算3.1 三角函数的加减法复习三角函数的加减法运算规则。
3.2 三角函数的乘除法复习三角函数的乘除法运算规则。
3.3 三角函数的复合复习三角函数的复合运算规则，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的复合。
第四章：三角函数的应用4.1 三角函数在直角三角形中的应用复习三角函数在直角三角形中的应用，包括正弦定理、余弦定理。
4.2 三角函数在三角形测量中的应用复习三角函数在三角形测量中的应用，包括角度测量、距离测量。
4.3 三角函数在物理学中的应用复习三角函数在物理学中的应用，包括振动、波动、声音等。
第五章：三角函数的进一步研究5.1 三角函数的导数复习三角函数的导数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的导数。
5.2 三角函数的积分复习三角函数的积分，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的积分。
5.3 三角函数的限制条件和极端值复习三角函数的限制条件和极端值，包括最大值、最小值、临界点。
第六章：三角恒等式6.1 三角恒等式的基本形式复习基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
6.2 三角恒等式的证明学习并证明一些基本的三角恒等式，如正弦定理、余弦定理等。
三角函数教案(高三数学教案)
三角函数教案三角函数教案（精选4篇）三角函数教案篇11、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式:即:一角的正弦大于另一个角的余弦。
2、若 ,则 ,3、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。
4、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。
5、及的图象的对称中心为 ( )。
6、常用三角公式:有理公式: ;降次公式: , ;万能公式: , , (其中 )。
7、辅助角公式: ,其中。
辅助角的位置由坐标决定,即角的终边过点。
8、时, 。
9、。
其中为内切圆半径, 为外接圆半径。
特别地:直角中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径。
10、的图象的图象( 时,向左平移个单位, 时,向右平移个单位)。
11、解题时,条件中若有出现,则可设 ,则。
12、等腰三角形中,若且 ,则。
13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为。
14、 ;三角函数教案篇2二、复习要求1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导1、角的概念的推广。
从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。
这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。
为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。
在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
三角函数教案优秀3篇
三角函数教案优秀3篇角函数教学设计篇一教材分析：本章包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念)，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学#39;相似三角形#39;#39;勾股定理#39;等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
重难点：1.重点：理解认识正弦(sinA)概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。
2.难点与关键：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
《三角函数复习》教学案
《三角函数》复习课教学案一、教学目标：1．进一步巩固三角函数的图象、性质和三角变换；2．应用三角函数解决实际问题； 3．渗透数形结合与转化思想．教学目标（修改）1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最 值。
3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。
体 现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。
二、教学过程： （一）知识点回顾：（略） （二）基础练习：1． 的值等于 ．2．下列函数 中，既是以π为周期的奇函数，又是(0,)2π上的增函数的是 ．3．若方程1cos sin 322cos +=-k x x x 有解，则k4．已知函数sin()yA x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象 如下图所示，则函数的解析式 ．（三）例题选讲：例1．已知113cos ,cos()7142πααββα=-=<<且0< （1）求tan 2α的值（2）求β的值例２．已知函数（1）求函数f(x)的最小正周期.（2）用五点法作出此函数在一个周期内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心．（3）如何将此函数的图象变换到 的图象？tan ,cos2,sin 2,sin y x y x y x y x ====2x 3f(x)=sin2x 2y =3sin2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦πx ∈0,2f(x)-k >000cos75cos15（4）若 时， 恒成立，求实数k 的取值范围．10090ABCD ATPS P TS BC CD PQCR 思考题：如图是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形小山，是弧上一点，其余都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场．求长方形停车场的最大面积和最小面积．（四）巩固练习：1．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x = ．2．①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数；③83π-=x 是函数)432s i n(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)c o s (s i n x y =的值域为]1c os ,0[．其中正确命题的序号是 ．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f (1)a ≤，则a 的所有可能值为 ．DABPRQSCT4．已知函数a R a a x x x x f ,(2cos 62sin 62sin )(∈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ为常数）． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，f(x)的最小值为-2，求a 的值．。
三角函数复习教案_整理
三角函数复习教案_整理三角函数是高中数学中的重要内容，也是后续学习高等数学、物理等学科的基础。
为了帮助学生复习和巩固三角函数的相关知识，特别整理了以下的教案。
一、知识概述1.三角函数的定义及性质：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
2.三角函数的周期性及相关计算公式。
3.三角函数的图像与性质。
4.三角函数的运算：和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
二、教学目标1.熟练掌握三角函数的定义及性质。
2.能够准确绘制三角函数的图像。
3.能够灵活运用三角函数的运算公式。
三、教学重点1.熟练掌握三角函数的图像与性质。
2.掌握三角函数的运算公式及其应用。
四、教学难点能够灵活运用三角函数的运算公式，解决实际问题。
五、教学方法1.板书法：结合图表将三角函数的定义、性质及运算公式进行清晰明了的呈现。
2.演示法：通过具体的例子和解题步骤，引导学生掌握运算的方法和技巧。
3.练习法：通过大量的练习，让学生熟练运用所学的知识和方法。
六、教学内容1.三角函数的定义及性质：（1）正弦函数的定义及性质。
（2）余弦函数的定义及性质。
（3）正切函数的定义及性质。
（4）余切函数的定义及性质。
2.三角函数的周期性及相关计算公式：（1）正弦函数的周期及其计算公式。
（2）余弦函数的周期及其计算公式。
（3）正切函数的周期及其计算公式。
3.三角函数的图像与性质：（1）正弦函数的图像及性质。
（2）余弦函数的图像及性质。
（3）正切函数的图像及性质。
4.三角函数的运算：（1）和差化积公式的推导与应用。
（2）积化和差公式的推导与应用。
（3）倍角公式的推导与应用。
（4）半角公式的推导与应用。
七、教学步骤1.引入新知识，复习前置知识。
2.讲解三角函数的定义及性质。
3.探讨三角函数的周期性及计算公式。
4.分析讨论三角函数的图像及性质。
5.结合具体例子，讲解三角函数的运算公式的推导与应用。
6.练习三角函数的计算与运用。
7.总结与复习。
八、教学辅助资料1.板书及教学用具：教师应准备白板、黑板、彩笔、粉笔等教学用具，及时记录关键公式和重点内容。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案第一章：引言1.1 三角函数的概念复习三角函数的定义和基本概念，如正弦、余弦、正切等。
引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。
1.2 三角函数的图像复习三角函数的图像特点，如正弦函数的波浪形状、余弦函数的波动形状等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
第二章：正弦函数的图像与性质2.1 正弦函数的图像复习正弦函数的图像特点，如周期性、振幅等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
2.2 正弦函数的性质复习正弦函数的性质，如单调性、奇偶性等。
引导学生理解函数的极值和拐点。
第三章：余弦函数的图像与性质3.1 余弦函数的图像复习余弦函数的图像特点，如周期性、振幅等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
3.2 余弦函数的性质复习余弦函数的性质，如单调性、奇偶性等。
引导学生理解函数的极值和拐点。
第四章：正切函数的图像与性质4.1 正切函数的图像复习正切函数的图像特点，如周期性、振幅等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
4.2 正切函数的性质复习正切函数的性质，如单调性、奇偶性等。
引导学生理解函数的极值和拐点。
第五章：三角函数的图像与性质的综合应用5.1 三角函数的图像与性质的综合应用引导学生理解三角函数图像与性质之间的关系，如周期性、奇偶性等。
举例讲解如何利用三角函数的图像与性质解决实际问题。
第六章：三角函数图像的变换6.1 图像的平移讲解如何通过平移变换得到不同三角函数的图像。
引导学生理解平移的方向和距离对图像的影响。
6.2 图像的伸缩讲解如何通过伸缩变换得到不同三角函数的图像。
引导学生理解伸缩的比例和对称性对图像的影响。
第七章：三角函数的周期性和对称性7.1 周期性复习三角函数的周期性，包括基本周期和周期函数的性质。
引导学生理解周期性在图像上的表现。
7.2 对称性复习三角函数的对称性，包括奇偶性和对称轴。
引导学生理解对称性在图像上的表现。
第八章：三角函数的极值和拐点8.1 极值讲解如何确定三角函数的极大值和极小值。
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）通过例题解析，提高学生解决实际问题的能力；（3）培养学生运用三角函数解决几何问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的学习兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）鼓励学生勇于探索，提高自主学习能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数在各象限的符号（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。
3. 三角函数公式（1）和角公式；（2）差角公式；（3）积化和差公式；（4）和差化积公式；（5）二倍角公式；（6）半角公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义及性质；（2）三角函数在各象限的符号；（3）三角函数公式的运用。
2. 教学难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决复杂三角函数问题。
四、教学方法1. 采用讲解法，系统讲解三角函数的基本概念、性质和公式；2. 利用例题解析，让学生掌握三角函数公式的运用；3. 运用分组讨论法，引导学生合作探究，解决实际问题；4. 采用问答法，激发学生的思维，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。
2. 讲解三角函数的定义及性质：通过PPT展示，讲解三角函数的基本概念，让学生理解并掌握三角函数的性质。
3. 讲解三角函数在各象限的符号：引导学生通过绘制函数图像，观察并总结三角函数在各象限的符号。
高三数学三角函数复习教案
高三数学三角函数复习教案函数的知识是高中里面比较重要的知识，教师需要好的教案来教诲学生，今天作者在这里整理了一些高三数学三角函数复习教案，我们一起来看看吧!高三数学三角函数复习教案1“函数的单调性”教案【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面知道函数单调性的概念，学会利用函数图像知道和研究函数的性质，初步掌控利用函数图象和单调性定义判定、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生视察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究进程培养学生仔细视察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特别到一样，从感性到理性的认知进程.【教学重点】函数单调性的概念、判定及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际运用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判定或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判定或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用以下(1)函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
(2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准肯定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标：1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和运用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 三角函数的周期性及其图像。
3. 三角函数的奇偶性及其图像。
4. 三角函数的单调性及其图像。
5. 三角函数的极值及其图像。
三、教学重点与难点：1. 三角函数的周期性及其图像。
2. 三角函数的奇偶性及其图像。
3. 三角函数的单调性及其图像。
4. 三角函数的极值及其图像。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 采用案例分析法，分析三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的图像特点。
3. 采用练习法，让学生通过练习题目的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习三角函数的图像与性质的基本概念和公式，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数的周期性及其图像，引导学生理解周期性的含义和周期函数的图像特点。
3. 分析：分析三角函数的奇偶性及其图像，引导学生理解奇偶性的含义和奇偶函数的图像特点。
4. 讲解：讲解三角函数的单调性及其图像，引导学生理解单调性的含义和单调函数的图像特点。
5. 分析：分析三角函数的极值及其图像，引导学生理解极值的含义和极值函数的图像特点。
6. 练习：布置练习题目，让学生通过练习的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像与性质的重要性。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握三角函数的图像与性质的基本概念和公式，提高他们对三角函数图像与性质的理解和运用能力。
要关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，帮助他们解决学习中的问题。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对三角函数图像与性质的基本概念和公式的掌握程度。
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。
2. 提高学生解决实际问题中涉及三角函数的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质特殊角的三角函数值2. 三角函数的图象与性质三角函数的图象特点三角函数的周期性、奇偶性、单调性3. 三角函数公式和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式正弦定理、余弦定理4. 三角函数的应用三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的基本概念、性质、公式及应用。
2. 难点：三角函数的图象与性质的理解和应用，以及解决实际问题中的三角函数应用。
四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示三角函数的图象和性质。
3. 引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：回顾三角函数的定义与性质，引导学生思考三角函数在实际问题中的应用。
2. 新课：讲解三角函数的图象与性质，通过示例让学生理解并掌握。
3. 练习：让学生通过练习题，巩固所学内容，提高解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生思考三角函数在其他领域的应用，如物理、工程等。
5. 小结：总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
6. 作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对三角函数概念、性质和公式的理解程度，以及他们能否熟练运用相关知识解决问题。
2. 练习题：通过学生完成练习题的情况，评估他们对于三角函数图象与性质、公式的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在合作交流中的参与程度，以及他们解决问题的能力。
七、教学反思1. 针对课堂讲解，反思教学方法是否适合学生的学习需求，是否需要调整讲解方式和节奏。
2. 针对练习题，反思习题难度是否适中，是否需要增加或调整习题类型。
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念、公式和性质；（2）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（2）培养学生勇于探索、积极向上的精神风貌。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性、奇偶性、单调性。
2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。
3. 三角函数在实际问题中的应用（1）角度与弧度的互化；（2）三角函数在工程、物理等领域的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：（1）三角函数的定义与性质；（2）三角函数公式的运用；（3）三角函数在实际问题中的应用。
2. 难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决实际问题时，三角函数的转化与运用。
四、教学措施1. 采用讲解、例题、练习、讨论等方式进行教学；2. 利用多媒体课件，直观展示三角函数的图象和性质；3. 注重引导学生发现规律，培养学生的逻辑思维能力；4. 针对不同层次的学生，给予适当的辅导和指导。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生作业、测验等的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力；4. 课后反馈：收集学生对教学内容的反馈意见，为下一步教学提供参考。
六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生复习三角函数的基本概念和性质。
2. 新课内容：讲解三角函数的公式，并通过例题展示其在实际问题中的应用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固知识点。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养学生的合作能力。
新人教版九年级数学三角函数教案5篇
新人教版九年级数学三角函数教案5篇新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。
2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。
2，难点：正弦的概念。
3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么斜边是什么这个直角三角形可用什么记号来表示二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢(引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A的.对边与斜边的比值仍是一个固定值。
初二数学复习教案三角函数的运算
初二数学复习教案三角函数的运算初二数学复习教案三角函数的运算一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 掌握三角函数的加减乘除运算方法；2. 理解三角函数运算的基本规律；3. 熟练运用三角函数运算解决实际问题。
二、教学内容1. 三角函数的加减运算；2. 三角函数的乘除运算；3. 三角函数运算的基本公式；4. 应用题训练。
三、教学步骤步骤一：复习引入（5分钟）1. 复习上一节课所学的基本三角函数知识，如正弦、余弦、正切等；2. 提问学生，三角函数的运算有哪些？学生回答：加减乘除运算；3. 引入本节课的教学内容：“今天我们将学习三角函数的运算方法，包括加减乘除以及应用题的解答。
”步骤二：三角函数的加减运算（15分钟）1. 提示学生回顾三角函数的定义，正弦函数记作sin，余弦函数记作cos，正切函数记作tan；2. 介绍三角函数的加减运算法则：- 正弦函数的加减运算：sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB；- 余弦函数的加减运算：cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB；- 正切函数的加减运算：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓tanA*tanB)；3. 通过例题演示，让学生掌握三角函数加减运算的具体步骤；4. 学生进行练习，提供足够的练习题，巩固加减运算的方法。
步骤三：三角函数的乘除运算（20分钟）1. 引导学生思考，三角函数的乘除运算规则是什么？提示学生先回忆乘法公式和除法公式；2. 介绍三角函数的乘法公式：- 正弦函数的乘法：sin(A)*sin(B) = (1/2)*(cos(A-B) - cos(A+B))；- 余弦函数的乘法：cos(A)*cos(B) = (1/2)*(cos(A-B) + cos(A+B))；- 正切函数的乘法：tan(A)*tan(B) = (1 - tanA*tanB) / (1 +tanA*tanB)；3. 介绍三角函数的除法公式：- 正弦函数的除法：sin(A) / sin(B) = (2*cos((A-B)/2)) / sin(B)；- 余弦函数的除法：cos(A) / cos(B) = (2*cos((A+B)/2)) / cos(B)；- 正切函数的除法：tan(A) / tan(B) = tan(A-B) / (1 - tanA*tanB)；4. 通过示例演练，让学生理解和掌握三角函数的乘除运算方法。
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。
2. 提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义周期性、奇偶性、单调性图像与性质2. 三角函数的公式和差公式、倍角公式、半角公式积化和差与和差化积公式正弦定理与余弦定理3. 三角函数的应用角度与弧度的互化三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方式，引导学生主动探究三角函数的性质和公式。
2. 利用多媒体课件辅助教学，展示三角函数的图像和实际应用场景。
3. 组织小组讨论，鼓励学生分享自己的解题思路和心得。
四、教学步骤1. 复习三角函数的基本概念，引导学生回顾正弦函数、余弦函数、正切函数的定义。
2. 分析三角函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性，并通过示例讲解如何应用这些性质解决问题。
3. 讲解三角函数的公式，包括和差公式、倍角公式、半角公式等，并通过例题展示公式的应用。
4. 结合实际应用场景，讲解三角函数在几何和物理中的应用，巩固学生对三角函数的理解。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理三角函数的基本概念、性质和公式。
2. 完成课后练习题，巩固和应用三角函数的知识。
3. 准备下一节课的预习内容，了解三角函数图像的特点和绘制方法。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况和理解程度，评估学生对三角函数基本概念、性质和公式的掌握情况。
2. 课后作业：检查学生完成的课后练习题，评估学生对课堂所学知识的应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力和思维深度。
七、教学资源1. 多媒体课件：制作三角函数的图像、公式和实际应用场景的演示文稿。
2. 练习题库：准备一系列的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固和检测学生的学习效果。
三角函数复习教案-整理
《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课 三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π=；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec rxα=，csc r y α=.2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角.方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。
三角函数复习教案
三角函数复习教案一、教学目标1. 知识点：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。
2. 能力目标：（1）提高学生的逻辑思维能力；（2）培养学生的数学表达能力；（3）提升学生的数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的性质和公式；2. 利用多媒体课件，直观展示三角函数的图像和实际应用问题；3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识；4. 进行适量练习，巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入新课，回顾三角函数的定义及性质；2. 讲解三角函数公式，并通过例题演示公式的应用；3. 开展小组讨论，让学生自主探究三角函数的性质和公式；4. 利用多媒体课件，展示三角函数在实际问题中的应用；5. 进行课堂练习，巩固所学知识。
五、课后作业1. 复习三角函数的定义及性质；2. 熟练掌握三角函数公式，并进行相关计算；3. 思考实际问题中三角函数的应用。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
关注学生的学习兴趣，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。
六、教学评价1. 评价内容：（1）三角函数定义及性质的理解；（2）三角函数公式的掌握及运用；（3）实际问题中三角函数的应用。
2. 评价方法：（1）课堂问答；（2）课后作业；（3）小组讨论；（4）测试卷。
七、教学拓展1. 深入了解三角函数在科学、工程、医学等领域的应用；2. 探究三角函数与其他数学学科的联系；3. 研究三角函数的历史发展。
八、教学资源1. 教材；2. 多媒体课件；3. 练习题；4. 相关论文及资料。
专题复习：三角函数教案
专题复习:专题：三角函数一、深入理解三角函数的定义：明确定义：设角α 是任意角，在角α的终边（除原点外）任取一点P （x ，y ），点P到原点O的距离||r OP ==，则sin y r α= ，cos x r α= ，tan yxα= （0x ≠ ）例1 已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x = 上，则cos2θ 的值为（ ）（A ） 45- （B ）35- （C ）35 （D ）45二、三角函数的求值：三角函数的化简与求值是以三角函数的基本公式为基础，通过恒等变形及数值运算等方法使得三角函数式得以化简或求出具体的数值。
思路：观察分析已知角和未知角，沟通它们之间的联系，从而灵活选择公式。
理解：诱导公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式。
1、诱导公式（公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限）：sin cos()2παα=-+、cos sin()2παα=+ sin cos()2παα=-、cos sin()2παα=-2、同角三角函数基本关系式：22sin cos 1αα+= ，sin tan cos ααα=注意公式的变形形式，用于实现同一个角的正弦、余弦、正切的转化。
3、倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-变形：2221cos 2cos 212sin 2sin 1cos 2sin 2αααααα-=-⇒=-⇒=2221cos 2cos 22cos 12cos 1cos 2cos 2αααααα+=-⇒=+⇒=4、技巧：2()()ααβαβ=++-、()44ππαα=+-、22αα=⋅等。
例1、已知7cos 2,252πθθπ=<<，求：（1）tan θ的值；（2）22cos sin 2)4θθπθ-+的值。
分析：利用倍角公式是解本题的关键。
需要注意的是余弦的二倍角公式有不同的变形形式，在实际解题中要合理地进行选择。
三角函数复习教案整理
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号变化；（3）掌握三角函数的图像和几何意义；（4）学会运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）借助图像，理解三角函数的性质；（3）运用数形结合的方法，解决三角函数问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）提高学生对数学美的感知；（3）激发学生学习三角函数的兴趣。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数在各象限的符号变化（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。
3. 三角函数的图像与几何意义（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数在直角坐标系中的几何意义；（3）三角函数图像的变换。
4. 三角函数的应用（1）已知三角函数值，求角度；（2）已知角度，求三角函数值；（3）运用三角函数解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的定义、性质、图像及应用。
2. 难点：三角函数在各象限的符号变化，三角函数图像的变换。
四、教学方法与手段1. 教学方法：讲解法、演示法、练习法、小组讨论法。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、三角板、教具。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引出本节课的主题——三角函数复习。
2. 知识梳理：讲解三角函数的定义、性质、图像及应用。
3. 课堂演示：利用多媒体课件，展示三角函数的图像，引导学生理解三角函数的性质。
4. 实例分析：分析实际问题，运用三角函数解决，巩固所学知识。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检查学习效果。
三角函数复习教案
三角函数复习教案教案标题：三角函数复习教案教学目标：1. 复习三角函数的基本概念和性质。
2. 掌握三角函数的图像、周期性、正弦定理和余弦定理。
3. 运用三角函数解决实际问题。
教学重点：1. 三角函数的基本概念和性质。
2. 三角函数的图像和周期性。
3. 正弦定理和余弦定理的应用。
教学难点：1. 运用三角函数解决实际问题。
2. 正弦定理和余弦定理的应用。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、复习教材、白板、彩色粉笔、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：引入复习（5分钟）教师通过提问和简要复习，引导学生回忆三角函数的基本概念和性质，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
Step 2：讲解三角函数的图像和周期性（15分钟）教师使用教学课件或白板，展示三角函数的图像，并解释图像的特点和周期性。
强调正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
Step 3：讲解正弦定理和余弦定理（15分钟）教师讲解正弦定理和余弦定理的概念和公式，并通过示例演示如何运用这些定理解决实际问题。
Step 4：练习与巩固（20分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并解答学生的疑问。
教师可提供不同难度的题目，以适应不同水平的学生。
Step 5：拓展应用（15分钟）教师提供一些实际问题，要求学生利用所学的三角函数知识解决问题。
教师鼓励学生积极思考和讨论，培养学生的应用能力。
Step 6：总结与反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾所学知识。
鼓励学生提出问题和反思，以便进一步巩固所学内容。
教学延伸：1. 学生可利用计算器或在线工具绘制三角函数的图像，进一步加深对图像和周期性的理解。
2. 学生可自主查找相关实际问题，运用三角函数解决，并进行展示和分享。
教学评估：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况，检查他们对三角函数的理解和应用能力。
2. 问题解答：通过对学生提出的问题的解答情况，评估他们对三角函数的掌握程度。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和应用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 三角函数的图像与性质的基本概念。
2. 三角函数图像的绘制方法。
3. 三角函数性质的推导和应用。
三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的图像与性质的基本概念和应用。
2. 难点：三角函数性质的推导和应用。
四、教学方法与手段1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入：通过复习已学过的三角函数图像与性质的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数图像与性质的基本概念，结合实际例子进行解释和演示。
3. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学的知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和思路。
六、教学评估1. 课堂练习：及时给予学生反馈，指出其错误，帮助学生纠正。
2. 课后作业：布置相关的作业，巩固所学知识，并及时批改，给予评价和建议。
3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解其对知识的理解和应用能力。
七、教学拓展1. 邀请相关领域的专家或企业人士进行讲座或实践操作，让学生了解三角函数在实际生活中的应用。
2. 组织学生进行实地考察，如测量物体的高度等，运用三角函数解决实际问题。
3. 开展三角函数主题的研究性学习，培养学生的独立思考和探究能力。
八、教学反思1. 在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
2. 反思教学内容，确保涵盖了三角函数图像与性质的重点和难点。
3. 思考如何激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。
九、教学计划与进度安排1. 制定详细的教学计划，明确每个阶段的教学目标和内容。
2. 根据学生的学习情况，合理调整教学进度，确保教学效果。
3. 定期进行教学评价，了解学生的学习进展，为后续教学提供参考。
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《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．4．tan(－3)cot5cos8的符号为．5．若cosθtanθ＞0，则θ是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ= 2 4m ，求cos θ与tan θ的值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．解 由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m 3＋m 2． 又∵sin θ= 2 4m ， ∴ m 3＋m 2= 2 4 m ． ∴m=0，m=± 5 ． 当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ； 当m= 5 时，cos θ= － 6 4， tan θ= － 15 3； 当m= － 5 时，cos θ= －6 4，tan θ=15 3 ． 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π2＜θ＜2π}， ∴E ∩F=｛θ｜π2＜θ＜π}． 例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ2是哪个象限的角? 解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+π2＜θ＜2k π+3π2 ，k ∈Z ． ∴k π+ π4＜θ2＜k π+ 3π4，k ∈Z ． ∴θ2是第一象限或第三象限角． ① 又∵｜sin θ2|= －sin θ2 ， ∴sin θ2＜0. ∴ θ2是第三、第四象限的角． ② 由①、②知， θ2是第三象限角． 点评 已知θ所在的象限，求θ2或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错．【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式． 【训练反馈】1． 已知α是钝角，那么α2是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一与第二象限角D ．不小于直角的正角2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）A ． 3 5B ． 45C ．－ 35D ．－ 453．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( ) A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4) B ．( π4， π2)∪(π， 5π4) C ．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4 ，π) 4．若sinx= － 35，cosx =45，则角2x 的终边位置在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π3终边相同，则α= ． 6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ．8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)·sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1， sin α cos α=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ．【知识在线】1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( )A ． 14B ． 34C ． 114D ． 942．已知sin(π+α)=－35，则 ( ) A ．cos α= 45 B ．tan α= 34 C ．cos α= －45 D ．sin(π－α)= 353．已tan α=3， 4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值为 ． 4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 59，那么sin2θ等于 ( ) A ． 2 2 3 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 23【讲练平台】例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)． 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α)= sin α·cos α sin α cos α=1 ． 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值． 分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，须将cos θ－sin θ进行平方．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 3 2． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －3 2 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子．解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ= 25 ． 点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．【知能集成】1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子．4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ．【训练反馈】1．sin600°的值是 （ ）A ．12B ．－ 12C ． 3 2D ．－ 3 22． sin(π4+α)sin （π4－α）的化简结果为 （ ）A ．cos2αB ．12cos2αC ．sin2αD ． 12sin2α 3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ） A ．－34 B ．－ 43 C ．±43 D ．－34或－434．已知tan α=－13，则1 2sin αcos α+cos 2α= ． 5． 1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170° 的值为 ．6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α 1－tan α．7．已知2sin θ+cos θ sin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．第3课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．【知识在线】1．cos105°的值为 （ ）A ． 6 ＋ 2 4B ． 6 － 2 4C ． 2 － 6 4D ． － 6 － 2 42．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin βC ．sin(α+β)=sin α+sin βD ．要以α、β的具体值而定3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ） A ． a+1 B ．－ a+1 C ． a 2+1 D ．±a 2+14．已知tan α=13，tan β=13，则cot(α+2β)= ． 5．已知tanx=12，则cos2x= ． 【讲练平台】例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值 ． 分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cosβ的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12， ② ①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)=1336． ∴cos(α－β)= 7259． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2 求 2cos10°-sin20° cos20°的值 ． 分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20° cos20°= 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30° cos20°= 3 ． 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α．若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ） A ．0 B ．0或2425 C ． 2425 D ．0或－24252． sin7°+cos15°sin8° cos7°－sin15°sin8°的值等于 （ ） A ．2+ 3 B ． 2+ 3 2 C ．2－ 3 D ． 2－ 3 23． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 （ ）A ． π6B ． 5π6C ． π6或5π6D ． π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)= 13，则cos α的值是 ． 5．cos π7cos 2π7cos 3π7= ． 6．已知tan θ=12，tan φ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．第4课 两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．【知识在线】求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．2．12（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ． 【讲练平台】例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2． (1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ．（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒︒-︒24cos 212sin 312cos 3=︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 21)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3 =.3448sin )6012sin(34-=︒︒-︒ 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ 1-tan 2θ． 分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ =2tan θ 1-tan 2θ，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．证略点评 注意倍角公式cos2α=2cos 2α－1，cos2α=1－2sin 2α的变形公式：①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin 2α，②降幂公式sin 2α= 1-cos2α2 ，cos 2α= 1＋cos2α2的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．例3 已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx 1-tanx的值． 解 原式= sin2x （1＋tanx ） 1-tanx =sin2x ×tan π4＋tanx 1-tan π4tanx =sin2xtan （π4+x ） = －cos ［2(x+π4)］tan(x+π4)= －［2cos 2(x+ )－1］tan （π4+x ） ∵17π12＜x ＜ 7π4， ∴ 5π3＜x+π4＜2π． ∴sin(π4+x) = －45 ，∴tan （π4+x ）=－ 43． ∴原式 = － 2875． 点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan π4等；（3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+ π4．【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］； asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用．【训练反馈】1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）A ．6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 2 2．a= 2 2（sin17°+cos17°），b=2cos 213°－1，c= 2 2，则 （ ） A ．c ＜a ＜b B ． b ＜c ＜a C ． a ＜b ＜c D ． b ＜a ＜c3．化简1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ= ． 4．化简sin(2α+β)－2sin αcos(α+β)= ．5．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2+tan C 2+ 3 tan A 2tan C 2的值为 ． 6．化简sin 2A+sin 2B+2sinAsinBcos(A+B)．7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5课 三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．【知识在线】 1．若 3 +2cosx ＜0，则x 的范围是 ．2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 （ ）A ．[π2，π]B ． ［0，π4］C ． ［－π，0］D ． [π4，π2] 3．下列函数中，周期为π2的偶函数是 （ ） A ．y=sin4x B ． y=cos 22x －sin 22x C ． y=tan2x D ． y=cos2x4．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x 2cos2x 是 函数；（2）y=｜sin2x ｜－xcotx 是 函数；（3）y=sin(7π2+3x)是 函数． 5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ．【讲练平台】例1 （1）函数y=x x sin 21)tan 1lg(--的定义域为(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足 （C ）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π2分析 （1）函数的定义域为⎩⎨⎧>>0.2sinx -10,tanx -1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为π，y=sinx 的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx 的图象先求出(－π2， 3π2)上满足（*）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域为{x ｜2k π－π2＜x ＜2k π+π6 ，或2k π+ 5π6＜ x ＜2k π+5π4，k ∈Z} ． 分析（2）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos β转化成sin(π2－β)，运用y=sinx 在［0，π2］的单调性，便知答案为C ． 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．例2 判断下列函数的奇偶性：(1)y= x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1xx x x +--+ 分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x) ．解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos 2 x 2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．（2）定义域不关于原点对称（如x=－π2，但x ≠π2），故不是奇函数，也不是偶函数． 点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．例3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π3) ；(2)y= .)32cos(2cos )32sin(2sin ππ++++x x x x 分析 对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．解 （1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π2－π6)= 12sin(4x －π3)， 所以最小正周期为2π4 = π2． （2）y=23)2(sin 21)2(cos 2cos 23)2(cos 21)2(sin 2sin ⨯-⨯+⨯+⨯+x x x x x x =x x x x 2sin 232cos 232cos 232sin 23-+ =).62tan(2tan 331332tan 2tan 312tan 3π+=-+=-+x x x x x ∴是小正周期为π2． 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k 或y=Acos(ωx+φ) ＋k 或y=Atan(ωx+φ) ＋k 的形式（其中A 、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+235 (x ∈R) ． (1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．分析 函数表达式较复杂，需先化简．解 f(x)= 52sin2x －53×1+cos2x 2＋235 =5sin(2x －π3)． （1）由2k π－π2≤2x －π3≤2k π+π2，得［k π－π12 ，k π+5π12］（k ∈Z ）为f(x)的单调增区间．（2）令2x － π3=k π+π2，得x= k 2π+5π12 （k ∈Z ），则x= k 2π+5π12（k ∈Z ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x －π3 =k π，得x=k 2π+π6（k ∈Z ），∴ y=f(x)图象的对称中心为点（k 2π+π6，0）（k ∈Z ）． 点评 研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t ，从而归结为讨论y=Asint 的单调性．【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．【训练反馈】1．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ）A ．{x ｜－π3＜x ＜π3}B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝ C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z} D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z} 2．如果α、β∈（π2，π），且tan α＜cot β，那么必有 （ ） A ．α＜β B ． β＜α C ． α+β＜3π2 D ． α+β＞3π23．若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）A ．sinxB ． cosxC ． sin2xD ． cos2x4．下列命题中正确的是 （ ）A ．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sin α＞sin βB ．函数y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k π－π2，2k π+π2），k ∈Z C ．函数y=1－cos2x sin2x的最小正周期是2π D ．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y 轴对称，则φ=k π2＋π4，k ∈Z 5．函数y=sin x 2+cos x 2在（－2π，2π）内的递增区间是 ． 6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为 ．7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos 2θ，sin 2θ，tan 2θ（π4＜θ＜π2）．8．设f(x)=sin(k 5x+π3) (k ≠0) ． (1)写出f(x)的最大值M ，最小值m ，以及最小正周期T ；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M 与m ．第6课 三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．【知识在线】1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ）A ．y=cosx+1B ．y=cosx －1C ．y=－cosx+1D ．y=－cosx －12．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ ）A ． (12k π，0)， k ∈ZB ．（13k π，0）， k ∈Z C ．（14k π，0）， k ∈Z D ．（k π，0），k ∈Z 3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ ）A ．x=－－π2B ．x=－ π4C ．x= π8D ．x=π 4．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ ） A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变． 5．要得到y=sin(2x － π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ． 向右平移π6个单位 【讲练平台】例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式． 分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π6）． 解略点评 y=Asin(ωx+φ)中的A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π3 =4π．∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的． ∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)． (2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）． 点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例3 已知函数y=12cos 2x+ 3 2sinxcosx+1 (x ∈R)． (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 3 2·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 54． 当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 74． (2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 54个单位即可．思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述．点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．【知能集成】已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．【训练反馈】1．函数y= 12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ ） A ．θ=2k π+π2 B ．θ=k π+π2C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z) 2．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）A ．y=sin(－2x+π3 )B ．y=sin(－2x －π3) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π3)3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)4．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （ ）5．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 ．6．将y=sin(3x － π6)的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+π3）的图像． 7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式．8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b ．（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．-B A C D第7课 三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数y=sinx 和y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．【知识在线】1．已知（1）cos 2x=1.5 ；(2)sinx －cosx=2．5 ；(3)tanx+1tanx =2 ；(4)sin 3x =－ π4．上述四个等式成立的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+π12)的最大值为 ，最小值为 ，当x ∈〔－5π24， π24〕时函数y 的最大值为 ，最小值为 . 3．函数y=sinx － 3 cosx 的最大值为 ，最小值为 ．4．函数y=cos 2x+sinx+1的值域为 ．【讲练平台】例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2 当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max = 2 +2 ．点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值． 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］ =－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98． ∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］． ∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ． 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］， ∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12． 【训练反馈】1．函数y =12+sinx+cosx 的最大值是 （ ） A ． 2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ． 1－ 2 2 D ． －1－ 2 22．若2α+β=π，则y=cos β－6sin α的最大值和最小值分别为 （ ）A ．7，5B ． 7，－112 C ． 5，－112D ． 7，－5 3．当0≤x ≤π2时，函数f(x)= sinx+1 cosx+1的 （ ） A ．最大值为2，最小值为12 B ．最大值为2，最小值为0 C ．最大值为2，最小值不存在 D ．最大值不存在，最小值为04．已知关于x 的方程cos 2x －sinx+a=0，若0＜x ＜π2时方程有解，则a 的取值范围是（ ） A ．［－1，1］ B ．（－1，1） C ．［－1，0］ D ．（－∞，－54）5．要使sin α－ 3 cos α= 4m －6 4－m有意义，则m 的取值范围是 ． 6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为 2 ，则ω= ．三、解答题7．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值．8．已知函数f(x)=－sin 2x －asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a ＞0，求a ，b的值．9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．第8课 解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．【知识在线】1．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为 ．2．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．3．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为 （ ）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 （ ）A ．10 6 kmB ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10（ 6 ＋ 2 ）km【讲练平台】例1 在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×12 3 = 3 2， ∴∠C=60°，或∠C=120°． ∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·（b 2+c 2—a 22bc ）=b ·（a 2+c 2—b 22ac ），∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ．∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ．∴a 2－b 2=0，或c 2－a 2－b 2=0．∴a=b ，或c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或2A=π－2B ．∴A=B ，或A+B=π2． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．例3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程．解 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ． ∵A+C=180°， ∴sinA=sinC ．故S=12（2×4+6×4）sinA=16sinA ． 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ．∴20－16cosA=52－48cosC ．∵cosC=－cosA ， ∴64cosA=－32，cosA=－ 12． 又∵0°＜A ＜180°，∴A=120°． 故S=16sin120°=8 3 ． 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用． 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b · A B CD O下端距水平视线a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB 的目标函数．由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解 设观察者距墙壁x 米的P 处观察，PC ⊥AB ，AC=b ，BC=a(0＜a ＜b)，则∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xa xb x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x ≤b —a 2ab ， 当且仅当x= ab x, 即x=ab 时，y 最大． 由θ∈（0，π2）且y=tan θ在（0，π2）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大． 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．【知能集成】运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用． 【训练反馈】1．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 3 4，则该三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或直角三角形2．在△ABC 中，已知（b+c ）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．90°3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．5．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 ．6．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．7．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小．8．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，问点在什么位置时，四边形OACB 大面积．【单元检测】单元练习（三角函数）（总分100分，测试时间100分钟）一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α满足sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若f(x)sinx 是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 （ ） A ．sin2x B ． cosx C ． sinx D ． cox2x3．若sinx=m －3m+5，cosx=4－2 m m+5，且x ∈［π2，π］，则m 的取值范围为 （ ）A ．3＜m ＜9B ． m=8C ． m=0D ． m=0或m=8 4．函数f(x)=log 13(sin2x+cos2x)的单调递减区间是 （ ）A ．（k π－π4，k π+π8）(k ∈Z)B ．（k π－π8，k π+π8）(k ∈Z)C ．（k π+π8，k π+3π8）(k ∈Z)D ．（k π+π8，k π+ 5π8）(k ∈Z)5．在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 （ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 6．△ABC 中，∠A=60°，b=1，其面积为 3 ，则a+b+csinA+sinB+sinC 等于 （ ）A ．3 3B ．239 3C ．26 3 3D ．3927．已知函数y= 2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜π2）在一个周期内的函数图象如图，则 （ ）A ．T=6π5，φ= π4B ．T=3π2，φ=π4C ．T=3π，φ=－ π4D ．T=3π，φ= π48．将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f(x)可以是（ ） A ．cosx B ．2cosx C ．sinx D ．2sinx9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a ，b ］上是增函数，且f(a)=－M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a ，b ］上 （ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M10．在△ABC 中，∠C ＞90°，则tanA ·tanB 与1的关系适合 （ ）A ．tanA ·tanB ＞1 B ．anA ·tanB ＜1C ．tanA ·tanB=1D ．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有 （ A ）A ．cot θ2＜tan θ2B ．tan θ2＜cot θ2C ．sin θ2＞cos θ2D ．sin θ2＜cos θ212．若sin α＞tan α＞cot α(－π2＜α＜π2}，则α∈ （ ）A ．（－π2，－ π4 ）B ．（－π4，0）C ．（0，π4）D ．（π4，π2）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上．13．sin390°+cos120°+sin225°的值是 ． 14．sin39°－sin21°cos39°－cos21°= ．15．已知sin θ+cos θ= 15，θ∈（０，π），cot θ的值是 ．16．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4·cos(2x －π6)；(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点（－π6，0）对称； （4）y=f(x)的图象关于直线x=－π6对称． 其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P （－1，2），求sin(2α+2π3)的值．18．（本小题8分）已知sin 22α+sin2αcos α－cos2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．19．(本小题9分)设f(x)=sin 2x －asin 2x2，求f(x)的最大值m ．20．(本小题9分)已知α、β∈（0，π4），且3sin β=sin(2α+β)，4tan α2 =1－tan 2α2，求α+β的值．21．（本小题9分）某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：。