24等比数列2课件人教A版必修5
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人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
人教版数学必修五：2.4《等比数列 》ppt课件
－1
.
第二章 2.4 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
.
第二章 2.4 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
高中数学等比数列(二)名师课件人教版必修五
比数列，那么an bn也是等比数列．
证明：设数列an的公比为p，bn 的公比为
q，那么数列an bn 的第n项与第n+1项分
别与为a1ba11(ppnq1)n．b1qn1 与
a
pn
1
b1q
n
，即
a b1 1(pq)n1
因为
a b n1 n1 a b1 1(pq)n pq,
则a m a n a p aq
2、an
.an1
...a2
.a1仍为
等
比
数
列
其公比为1 q
3、a1.an a2 .an1 a3 .an2 ...
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
1.定义
2.公比(差)
等比数列
an1 q an
q不可以是0,
等差数列
例题讲解
分析：可由等比数列的知识求解
例2．一个等比数列的第３项和第４项
分别是１２和１８，求它的第１项和第 ２项．
(分析：要求第１项和第２项，必 先求公比q. 可利用方程的思想进行求解。)
2n 3n 6n
是
( 1）n 2
( 1)n 3
(1)n 6
是
结论：如果
a
n
b n 是项数相同的等
3、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式：
an a1qn1
（n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
＿a＿n=＿2 n－＿1 ＿＿
上式还可以写成
an
1 2n 2
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那 么 别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍 是 等 比 数 列，且 公 比 分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》
解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
2.4等比数列 课件 (人教A版必修5)
A．等差数列 B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．不能确定是什么数列
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项， 后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与 其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比 数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数 列{an}是( )
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项， 后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与 其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比 数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数 列{an}是( )
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
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6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
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三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
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新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.4等比数列
1
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的 1 ;
10
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十七分。
练习:
教材P.53练习第3、4题．
第三十页，编辑于星期日：十三点 十七分。
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
第十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
am ·an＝ap ·aq.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
(1) 5, 15, 45,; (2) 1.2, 2.4, 4.8,; (3) 2 , 1 , 3 ,;
328 (4) 2, 1, 2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么 是等比中项吗？
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时, {an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的增减性:
1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列; 2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,
最新人教数学必修五课件24等比数列二
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的
产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开
始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)
解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….
答 (1)定义法：aan＋n1＝q(常数)； (2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；
开 关
(3)通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？
答 如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续
的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际 含义．
本 讲 栏
的三项不成等比数列即可，即存在 an0 ，an0+1 ，an0+2 ，且
a2 n0 1
≠an0 ·a n0+2 .
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
问题 1 若数列{an}为等差数列，公差为 d，bn＝can (c>0 且 c≠1)，
试问数列{bn}是什么数列？并证明比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
探究点三 等比数列的判断方法
探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？
本 讲 栏 目
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
抛砖引玉
在等比数列{an}中，若a3·a5=9， 求a2·a6和a4。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d
等比数列
an1 q an
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d
an= a1+(n-1)d
A ab 2
an=an-1 q an=a1qn-1
G ab
性质一 性质二
等差数列
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.4 等比数列》示范课课件_29
2、研究等比数 列与指数型函 数的关系.
教学流程
课前复习，导入新课 实例探究，得出概念 累加法——推导等比数列的通项公式 数形结合——研究数列与函数的关系 课后总结——总结知识，体会思想方法
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一、类比思想，突破教学重难点. 二、合作探究，体验知识的形成过程. 三、白板教学，打造高效课堂.
1.探究概念； 2.引领证明； 3.对比研究.
（三）情感态度与价值 观目标：
1.类比等差数列来 学习等比数列；
2.合作探究，分享 成果；
3.画图操作，体验 函数关系.
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教学重难点
教学重点
教学难点
1、理解等比数 列和等比中项 的概念；
2、掌握等比数 列的通项公式.
1、推导等比数 列的通项公式；
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谢 谢！Biblioteka 新课标人教版A版 高中数学必修五
《等比数列的概念与通项公式》教学陈述
单击添加署名或公司信息
学习目标
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1
2
3
(一)知识与技能目标： （二）过程与方法目标：
1.通过实例，得出 等比数列的概念；
2.通过实例，得出 等比中项的概念；
3.利用累乘法推导 等比数列的通项公式；
4.观察等比数列与 指数型函数的关系.
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一、类比思想，突破教学重难点. 二、合作探究，体验知识的形成过程. 三、白板教学，打造高效课堂.
1.探究概念； 2.引领证明； 3.对比研究.
（三）情感态度与价值 观目标：
1.类比等差数列来 学习等比数列；
2.合作探究，分享 成果；
3.画图操作，体验 函数关系.
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教学重难点
教学重点
教学难点
1、理解等比数 列和等比中项 的概念；
2、掌握等比数 列的通项公式.
1、推导等比数 列的通项公式；
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1
2
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(一)知识与技能目标： （二）过程与方法目标：
1.通过实例，得出 等比数列的概念；
2.通过实例，得出 等比中项的概念；
3.利用累乘法推导 等比数列的通项公式；
4.观察等比数列与 指数型函数的关系.
(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》ppt课件 公开课精品课件
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝＝146 或aa73＝＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成 等差数列，则这四个数为________．
[答案] 3,6,12,24
[解析] 设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3，则 a－1， aq－1，aq2－4，aq3－13 成等差数列， ∴22aaqq－ 2－14＝＝aa－q－11＋＋aqa2－ q3－413 ， 整理得aaqqq－－112＝2＝36 ，解得 q＝2，a＝3. 因此所求四个数为 3,6,12,24.
A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1 或 a1<0，q>1 D．q>1 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对 值来决定．由 an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得 a1>0,0<q<1，或 a1<0，
q>1.
3．等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a， aq. (2)若四个数成等比数列，可设 a，aq，aq2，aq3；若四个数 均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk， ∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1nlgk]＝12lgq－nn1＋1lgk. 要使数列{bn}为等差数列，只需 k＝1， 故存在实数 k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．
人教版高中数学必修5《等比数列》课件2
等比数列
一.复习回顾：
1．前n项和的最大值和最小值问题
(1) 利用Байду номын сангаасn， 由 Sn =
d 2
n2
+
(a1 -
d )n， 2
利用二次函数配方法求得最值．（注意：n为正整数）
(2)利用an，
当 a1 >0，d<0，前n项和有最大值．可由
aann1
0
，求得n的值． 0
当a1 <0，d>0，前n项和有最大值．可由
．
二、讲解新课：
Ⅰ.课题导入
(1)细胞分裂问题 ， ①1，2，4，8，16，…
(2②)“一1，尺之12棰，，日14 取，其18 半，，11万6 世，不…竭”从 项第 与它二前项一起项，之每比一
(3)计算机病毒感染问题
等于同一常数.
③1，20，202，203 ，204 ，…
(4)银行复利计算问题
④100001.0198
问题2：G2 a b a,Ｇ,b成等比数列．
问题３： G b aG
是a,Ｇ,b成等比数列．
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项．且 G ab (a，b同号)
注意： 若a，b异号则无等比中项；若a，b同 号则有两个等比中项．
练习：
3、（1）求45与80的等比中项
等差数列通项公式推导: 等比数列通项公式推导:
设公差为 d 的
等差数列{ a n }，则有:
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d
叠加法
a 4 －a 3 = d
n－1个
……
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
叠乘法 a2 _q__
一.复习回顾：
1．前n项和的最大值和最小值问题
(1) 利用Байду номын сангаасn， 由 Sn =
d 2
n2
+
(a1 -
d )n， 2
利用二次函数配方法求得最值．（注意：n为正整数）
(2)利用an，
当 a1 >0，d<0，前n项和有最大值．可由
aann1
0
，求得n的值． 0
当a1 <0，d>0，前n项和有最大值．可由
．
二、讲解新课：
Ⅰ.课题导入
(1)细胞分裂问题 ， ①1，2，4，8，16，…
(2②)“一1，尺之12棰，，日14 取，其18 半，，11万6 世，不…竭”从 项第 与它二前项一起项，之每比一
(3)计算机病毒感染问题
等于同一常数.
③1，20，202，203 ，204 ，…
(4)银行复利计算问题
④100001.0198
问题2：G2 a b a,Ｇ,b成等比数列．
问题３： G b aG
是a,Ｇ,b成等比数列．
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项．且 G ab (a，b同号)
注意： 若a，b异号则无等比中项；若a，b同 号则有两个等比中项．
练习：
3、（1）求45与80的等比中项
等差数列通项公式推导: 等比数列通项公式推导:
设公差为 d 的
等差数列{ a n }，则有:
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d
叠加法
a 4 －a 3 = d
n－1个
……
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
叠乘法 a2 _q__
高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5
1 1 ∴{bn}是首项为 a－4，公比为2的等比数列．
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中， 已知 a1 ＝1，且 a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q； (2)是否存在常数 a， b 使得对一切正整数 n， 都有 an＝logabn ＋b 成立？若存在，求出 a 和 b；若不存在，说明理由．
1 bn＋1 2n 1d 1 ∴ ＝ ＝ ， bn 1 2 2nd
＋
∴数列{bn}是等比数列．
[辨析]
①在解方程变形过程中，不可在方程两边同时约
去含未知量的因式， 错解中， 由 d2＝a1d 约去 d 得出 d＝a1 是错 bn＋1 误的， ②在判定{bn}是等比数列， 做除法 b 时， 应先说明 bn≠0. n
等比数列的综合应用
1 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 ＝ a≠ 4 ， 且 an ＋ 1 ＝
n为偶数 . n为奇数
1 记 bn＝a2n－1－4，n＝1,2,3，„„. (1)求 a2、a3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
[解析]
1 1 1 1 1 (1)a2＝a1＋4＝a＋4，a3＝2a2＝2a＋8.
(8){an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相 等，且等于首末两项之积．即：a1an＝a2 an－1 ＝a3 an－2 ＝„＝ ak an－k＋1 .
(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列，则 数列{lg an}是公差为 lgq 的等差数列．
重点难点展示
重点：等比数列的性质． 难点：灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题．
[正解]
∵lga1，lga2，lga4 成等差数列，
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时教案新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时教案新人教A版必修5一、教学目标：知识与技能1. 了解等比数列更多的性质；2. 能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中；3. 能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题过程与方法1. 继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2. 对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程；3. 当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1. 通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2. 通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程:复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下•师对各组的汇报给予评价•师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列｛a n｝中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a i为首项、q m%一公比的等比数列.◊本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法•第4题解答：(1) 设｛a n｝的公比是q , 则2, 4 2 2 8a s =( a i q ) =a i qh 2 6 2 8而a s • a7=a i q • a i q =a i q ,所以a s =a s • a7. 同理,a s =a i • a o.(2) 用上面的方法不难证明a2=a n-i • a n+i( n> i).由此得出,a n是a n-i和a n+i的等比中项，同理可证a n2=a n-k • a n+k( n>k > 0). a是a n-k和a n+k的等比中项(n> k学生回答；生由学习小组汇报探究结果.第3题解答：⑴将数列，｛a n｝的前k项去掉，剩余的数列为a k+i ,a k+2,….令b i =a<+i ,i=i,2,…，则数列a k+i, a k+2,…，可视为b i, b?，….因为b i i a k i i q (i >i),b i a k i所以，｛b n｝是等比数列，即a k+i, a k+2,…是等比数列.(2)｛a n｝中每隔I0项取出一项组成的数列是a i, a ii ,a 2i，…, 则a ii a2i a i0k ii... ...qa i a ii a i0k 9(k >i). 所以数列a i,aii, a2i,…是以a i为首项，q i0为公比的等比数列.由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
相关主题
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(3)如果数列
a?
? ?
n
???是等比数列，
c
是不等于
0
的常
数，那么数列
c?
? ?
·a ? n??
仍是等比数列．
(4) 在等比数列
a?
? ?
n
? ? ?
中的任何两项可以互相表示
为： an＝amqn－m.
(5)
在等比数列
a?
? ?
n
???中，当
p＋q＝r＋s＝2k(q，p，
r，s，k∈N*)时，则 ap·aq＝ar·as＝ak2.
定义(一 通项公式结构相 字之差 ) 似，性质类似
等差
差
和
数列
等比
商
积
数列
不同点
联系
项没有限制 项必须非零
1.正项等比 ? 为等差 a>0且a≠1. 2.{an}等差? 等比b>0且 b≠1
典例剖析
题型一 等比数列的性质的应用
【例 1】
在等比数列
a?
? ?
n
???中，若
a2＝ 2， a6＝ 162，求
???a1＋a5?2＝342 ????a5－a1?2＝302，
即???
??
a12＋2a1a5＋a52＝342， a12－2a1a5＋a52＝302，
两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64，
又 a5＞a1，故 a3＝8.
答案：A
2．在等比数列???an???中，a8 是 a4 与________的等比中项
ca (c ?
?
? ?
n
? ?
为不等于
0
的常数 )
是 ________ 数列．
答案：等比
自主探究
1．如果等比数列
a?
? ?
n
???中，m＋
n＝
2k(m，n，k∈
N*)
，
那么 am·an＝ak2 是否成立？反之呢？
答案：如果等比数列的三项的序号成等差数列， 那么对应的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1) ＝在a等12·比qm数＋n列－2???＝an???a中12(，qk若－1)2a＝m·aank＝2. ap·aq＝ak2，不一 定有 m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．
a b ?
? ?
n
n
? ? ?
是
________
数列．
答案：等比
3．在公比为
q
的等比数列???an
中， ?
? ?
am＝an×
________.
答案：qm－n
4．在等比数列
a?
? ?
n
???中，am
是与它“距离”相等的两项
的 ________ 中项．
答案：等比
5．若数列
a?
? ?
n
???是等比数列，则
(6)
若 a?
? ?
n
? ? ?
， b?
? ?
n
???均为等比数列，公比分别为
q1，q2.
则①???an·bn???仍为等比数列，且公比为 q1·q2；
②???bann
?
?仍为等比数列，且公比为
?
qq12.
2．等差数列与等比数列 等比数列与等差数列是非常重要的两类数列，它 们在一定的条件下，可以相互转化，等比数列与等差 数列相结合的题型是考查的重点.
()
A．a9
B．a10
C．a11
D．a12
答案：D
3．在等比数列
a?
? ?
n
???中，a5
·a7＝
6，a2＋
a10＝
5，则aa1180
等
于 ________ ．
解析 ：因等比数列
a 中， ?
?
n ?
?
?
?
a5 ·a7＝ 6＝ a2·a10 ，又
a2＋
a10 ＝ 5，求得
a2 ＝ 2，a10＝ 3 或
方法点评：上述四种解法中，前三种解法是利用 等比数列的性质来解的，使问题变得简单，明了．因 此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的 问题时，要注意等比数列性质的灵活应用．
1．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等
比数列，则插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设插 入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2＝ (a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.
2．既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
答案：存在．例如：an＝1，既是公差为0的等差 数列，又是公比为1的等比数列．
预习测评
1．在等比数列
a 中，若 ? ?
n ? ?
??
a1＋a5＝34，a5－a1＝30，
则 a3＝
()
A．8
B．－8
C．±8
D．16
解析：
由题意得
2.4 等比数列（二）
进一步巩固等比数列的定义和通项公式，掌握等 比数列的性质，会用性质灵活解决问题．
自学导引
1．在等比数列
a?
? ?
n
???中，若对于正整数
m、n、k、t，
满足 m＋n＝k＋t，则 aman 与 akat的关系是 ________ ．
答案：相等
2．若
a? ?
n ? ?
??
、
???bn???是等比数列，则
a10.
解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列． ∴a62＝a2a10，∴a10＝aa622＝13 122.
解法三： 由公式 apaq＝ ap＋ kaq－k，
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上 的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数 列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以 上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比 数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2， a5，a8，a11 ，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11 …各自仍构 成等比数列．
a2＝
3，a
10
＝
2，则
a a
18 10
＝
a 10 a2
＝
3 2
或
2 3.
答案：23或32
4．在等比数列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，则前 20项的积等于__________．
解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510. 答案：1510
得
a
2
a10
＝
a
2＋
4
a10
－
4＝
a
2 6
，
∴ a10＝ 162 2×12＝ 13 122. 解法四： 设首项为 a1，公比为 q，
则
?ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1q＝ 2
?
??a
1q5＝
162
，解得
?? ?
a
1＝
2 3
，
?? q＝ 3，
或
?? ?
a
1＝－
2 3
，
?? q＝－ 3.
∴ a10＝ a1q9＝ 23× 39＝ 13 122 或 a10＝ a1q9 ＝－ 23·(－ 3)9＝ 13 122.