偏微分方程(椭圆型)数值解2.1-2.3

ui +1 − 2ui + ui −1 Lh ui = − + qi ui = f i 2 h u0 = α u N = β
（1.8） （1.9）
其解ui是u(x)在x=xi的近似解，即ui≈u(xi)，则(1.8),(1.9)为逼近 (1.1),(1.1)的差分方程或差分格式。 方程(1.8)的阶数是内网点的x1,x2,,xN-1个数，即为N-1阶方 程组。但是(1.8)的系数矩阵是三对角（稀疏）的。
椭圆型方程的有限差分法 （1）一维情形—常微分方程两点边值问题：
d ⎛ d u ( x) ⎞ d u ( x) − + q ( x) u ( x) = f ( x) ⎜ p ( x) ⎟ + r ( x) dx⎝ dx ⎠ dx
a< x<b
u (a ) = α
u (b) = β
（2）二维情形—二阶椭圆型方程边值问题：
现将区间[a,b]离散化为N等份，分点为xi=a+ih,i=0,1,…,N
h称为步长。 再将方程（1.1）在节点xi处离散化。 为此，对于充分光滑的解u(x)在x=xi处进行Taylor展开，得
1 1 1 u′′( xi )h 2 + u′′′( xi )h3 + u ( 4 ) ( xi )h 4 + O h5 2! 3! 4! 1 1 1 ′( xi )h + u′′( xi )h 2 − u′′′( xi )h3 + u ( 4 ) ( xi )h 4 + O h5 u ( xi −1 ) = u ( xi ) − u 2! 3! 4! 两式相加得 1 ′′( xi )h 2 + u ( 4 ) (xi )h 4 + O h5 u (xi +1 ) + u ( xi −1 ) = 2u ( xi ) + u 12 从而 1 ( 4) u (xi +1 ) − 2u (xi ) + u ( xi −1 ) = u′′(xi ) + u ( xi )h 2 + O (h 3 ) （1.3） 12 h2 进一步
∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎜p − ⎜ ∂ x ⎟ + ∂ y ⎜ p ∂ y ⎟ + qu = f ⎟ ⎜ ⎟ ∂x⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(x, y ) ∈ Ω
u ( x, y ) = ϕ ( x, y )
(x, y ) ∈ Γ
差分格式构造的基本问题： （1）对求解区域作网格剖分（连续区域离散化） 一维情形：分割成等距或不等距小区间（单元）； 二维情形：分割成均匀或不均匀矩形、三角形等； （2）构造逼近微分方程定解问题的差分格式（连续 算子的离散化）； 一般采用： ① 直接差分化；② 积分插值法； ③ 变分—差分法
2 + q3 2 h 1 − 2 h
1 1 ⎛ 2 ⎞ 注意，当i=1时，由（1.8）， − 2 u2 + ⎜ 2 + q1 ⎟u1 − − 2 u0 = f1 h h ⎝h ⎠ 1 1 ⎛ 2 ⎞ 当i=N-1时，有 − 2 u N + ⎜ 2 + qN −1 ⎟ u N −1 − − 2 u N − 2 = f N −1 h h ⎝h ⎠
第4章 椭圆型方程的差分法
偏微分方程的差分法 本章我们介绍偏微分方程定解问题的数值方法。 由于偏微分方程定解问题是表述自然与工程技术领域中各种现 象最重要的数学工具之一，应用十分广泛，因此，偏微分方程定解 问题的数值求解的讨论就构成了微分方程数值方法的主要内容。 我们主要讨论三类典型方程定解问题的差分法。 内容主要是围绕以下几个方面的问题： 1.差分格式的构造（差分逼近问题）； 2.相容性、稳定性及收敛性问题； 3.差分格式的求解问题。
当h充分小时，Ri(u) →O(h2)。
( )
若舍去Ri(u)，可得逼近微分方程（1.1）的差分方程
ui +1 − 2ui + ui −1 Lh ui = − + qi ui = f i 2 h
利用算子Lh，可将(1.4)写成，Lhu(xi)=f(xi)+Ri(u) 而在节点xi处，（1.1）为, [Lu]i=f(xi)
如当N=5时，有方程组Au=F，其中系数矩阵为：
⎛ 2 ⎜ h 2 + q1 ⎜ ⎜ − 1 ⎜ h2 A=⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝ − 1 h2 − 0 1 h2 ⎞ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 1 ⎟ − 2 h ⎟ ⎟ 2 + q4 ⎟ 2 h ⎠ 0
2 + q2 2 h 1 − 2 h 0
d ⎛ du ⎞ du Lu = − + qu = f ⎜p ⎟+r d x ⎝ dx ⎠ dx
a< x<b
（2.1） （2.2）
u (a ) = α
u (b) = β
假定p∈C1[a,b],p(x)≥pmin,r,q,f∈C0[a,b],a,b为给定常数。 2.1 直接差分化（非均匀分割） 首先取N+1个节点，a = x0 < x1 <…< xN = b，将I=[a,b]分成N 个小区间，Ii: xi-1≤x≤xi，i=1,2,…,N。则I就是一个网格剖分。 记 hi=xi- xi-1, h = max hi ;
称差分解uh收敛到边值问题的解u，若当h充分小时，(1.8),(1.9) 的解uh存在，且按某一范数||·||有
h →0
lim uh − u = 0
(1.15)
u可看成Ih上的网函数. 将(1.4)写成，Lhu(xi)= fi +Ri(u),与(1.8)相减，得
Lh (u ( xi ) − ui ) = Ri (u )
uh
c
= max ui
1≤i ≤ N −1
(1.10)
uh
2 2
2 0
= ∑ h ui2
i =1
2
N −1
(1.11) (1.12) (1.13)
uh
其中
2 1
= uh 0 + uh 1
N −1
uh 1
2
⎛ ui − ui −1 ⎞ = ∑h⎜ ⎟ h ⎠ ⎝ i =1
以后我们用||·||表示上述任一种确定的范数。 定义1.1 设U 是某一充分光滑的函数类，Rh(u)是由截断误差 (1.7)定义的网格函数，若对任何u∈U 恒有
u = (u1 , L , u1 )
T
α β ⎞ ⎛ , F = ⎜ f1 + 2 , f 2 , L , f N − 2 , f N −1 + 2 ⎟ , h h ⎠ ⎝
T
可用消元法（追赶法）或迭代法求解。 但对于(1.8),(1.9)，我们要关心的是： （1）其是否有唯一解； （2）当h→0时，是否ui→u(xi)，这就是说，在网格无限加密 ，差分解是否收敛于真解。包括在何种意义下收敛，收敛速度? 为此我们引进若干记号 Ih—网格内点x1,x2,…,xN-1的集合; 引进范数（关于Ih上的网函数） uh(xi)=ui是定义在 I h (I h )上的函数--网函数。
（1.6）
其中qi=q(xi),fi=f(xi)，Ri(u)为差分方程(1.6)的截断误差。
两式相减得
Ri ( u ) = Lhu ( xi ) − [ Lu ]i
（1.7）
故Ri(u)是差分算子Lh代替微分算子L所引起的截断误差,它关于h 的阶为O(h2)。 差分方程(1.6)当i=0,1,2,…,N-1时成立，再加上边值条件 u0=a,uN=b就得到关于ui的线性代数方程组:
§1 差分逼近的基本概念 考虑二常微分方程两点边值问题：
d 2 u ( x) Lu = − + q ( x)u ( x) = f ( x) 2 dx
a< x<b
（1.1） （1.2）
u (a ) = α
u (b) = β
其中f(x),q(x)≥0为区间[a,b]上的连续函数,a,b为给定常数。
h= b−a 。从而得到关于I=[a,b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点， N
作成I=[a,b]的一个网格剖分，称为对偶剖分。
x1
a = x0
×
x1
2
×
x2
×
xi −1
xi − 1
xi + 1
×
2
×
xi
2
xN − 1
×
xi +1
×
xN −1
2
xN = b
用差商代替微商将（2.1)在内点xi离散化，即对充分光滑的u， 由Taylor展开式：
hi2+1 + O h3 u (xi +1 ) = u (xi ) + u′( xi ) hi +1 + u ′′( xi ) 2 hi2+1 u ( xi −1 ) = u ( xi ) − u ′ ( xi ) hi +1 + u ′′ ( xi ) + O ( h3 ) 2
引进误差，ei=u(xi)-ui 则误差函数eh(xi)=ei满足下列差分方程
Lh ei = Ri ( u )
i = 1, 2, L, N − 1 = 0
e0 = eN = 0
(1.16)
于是收敛性及收敛速度的估计问题就归结到通过有端Ri(u)
（截断误差）估计误差函数eh的问题。这与差分方程的稳定性有关。
eh ≤ M Rh ( u )
R
,
0 < h < h0
(1.18)
若u充分光滑，Lh关于||·||R满足相容条件，则当h→0时， ||eh||→0，从而差分解收敛到边值问题的微分解，且有
⎛ eh R ⎞ ⎜ ⎟ 和截断误差相同的收敛阶 ⎜ R (u ) ≤ M ⎟。 R ⎝ h ⎠