探索与规律基本方法

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北师大版初一上册3.5《探索与表达规律》

北师大版初一上册3教材分析:探究规律是北师大版七年级数学上册第三章第五节，探究规律本身是数学课中比较抽象的一部分内容，学生需要积存一定的体会和差不多的探究方法才能够找到题目的规律，本章学习的整式及其加减正好用来表示这种规律，因此表达规律是整式应用专门好的范例，教材在本章安排了几种简单的规律探究问题，其目的要紧是让学生把握解决这类问题的差不多方法即：探究分析——归纳表示——验证结论，体会解决问题的差不多思想即：从专门到一样的思想。

教学目标：1.知识目标：会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探究的规律。

2.能力目标：培养学生的观看能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高其分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标：让学生体会数学就在周围，激发学生的探究热情，体验数学活动的探干脆及制造性，培养学生实事求是的科学态度。

教学重难点：【教学重点】探究实际问题中蕴涵的关系和规律。

【教学难点】用字母、运算符号表示一样规律。

课前预备：见PPT教学过程：一、问题引入这是2021年3 月的日历，你能填空吗？【设计意图】通过简单的问题，学生快速回答从而获得对数字规律的直观体验，为用字母表示规律埋下伏笔。

二、合作探究1.学生探究活动项目单：（1）说一说日历中的数字排列有什么规律？（同一排或同一列）（2）若用一个方框任意框出九个数，这九个数字之间有什么数量关系？（3）用字母表示这种数量关系。

（4）这九个数的和与中间数有什么关系？（5）尝试使用较为简练的语言和同桌说一说你发觉的规律。

学生摸索、猜想、交流，个别学生展现。

应鼓舞学生大胆探究，积极发言。

(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = __9a____可得到：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数。

进一步挑战：给出几个图形，如“十”字形、“H”形，“W”形，让学生以小组为单位对相应图形中数的规律进行探究，并用代数式表示验证规律，并分小组展现。

探索与表达规律

5 探索与表达规律1．规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果．【例1】观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为__________，第n 行(n 为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________．解析：通过观察、分析、比较可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3，第3行与第3列的交叉点上的数是5，第4行与第4列的交叉点上的数是7，…，所以可猜想第6行与第6列的交叉点上的数是11，第n 行(n 为正整数)与第n 列的交叉点上的数应为2n －1.答案：11 2n －12．探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：①②(2)新运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算．新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序．(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例2－1】符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，… (2)§⎝⎛⎭⎫12＝2，§⎝⎛⎭⎫13＝3，§⎝⎛⎭⎫14＝4，§⎝⎛⎭⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)．分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1，所以§(2 012)＝2011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以§⎝⎛⎭⎫12 013＝2 013.解：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2.【例2－2】观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )．A ．(2n ＋1)2B ．(2n －1)2C ．(n ＋2)2D ．n 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝(2n ＋1)2.故选A.答案：A3．探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律．(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索． ①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.④日历中的3×3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．若将中间数设为a ，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a －8)＋(a －7)＋(a －6)＋(a －1)＋a ＋(a ＋1)＋(a ＋6)＋(a ＋7)＋(a ＋8)＝9a ，正好是中间数a 的9倍．(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n 次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n .层数：2,4,8,16,32，…，2n .平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，…，2n －1.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________【例3－1】 2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月__________日，除夕：2月__________日．解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即24－14＝10，春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日．答案：10 9【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律．解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而90÷18＝5，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍．(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律．(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a －12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形．解析：根据折叠中的规律：对折7次，即当n＝7时，平行折痕数为2n－1＝27－1＝127(条),1条折痕能把长方形分成2个小长方形，2条能分成3个，…，127条折痕则分成128个小长方形．答案：127 128。

北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减探索与表达规律

学习重难点：
运用代数式表示问题中的数量规律
日一二三四五六
123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
日历中每横行相邻的三个日期数有什么规
律？
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
日历中竖列相
（2）这个关系对其它这样的方框成立吗？如果用a表示中间的数请你按前面找出的关系填出框中另外的8个数。你能用代数式表示这个关系吗？
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
活动六：思维延伸，发散拓展
在日历中,从其它区域上考察还能发现哪些规律？星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六如: 十字型区1 域,2H型3区域4。 5
亲爱的同学们！
祝愿你们步入一个新的学习起点！你们越来越走近数学！走近数学—— 你们会发现生活中处处都有她的身影会发现许多令人
惊喜的东西。你们还会感到自己越来越聪明，越来越有本领。相信自己，我能学好数学！
今天你要学习什么呢？
学习目标：
1、经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程，拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验。 2、会用代数式表示简单问题中的数量关系，培养学生面对挑战勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功体验，激发学生的学习热情
27 28 29 30 31
ab
c d 规律8：田字型a+d=b+c
将连续的奇数1,3,5,7，9….排成如下数表,
1 3 5 7 9 11

探索与表达规律教案

探索与表达规律一、教学目标：1、知识与技能经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用。

能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。

能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。

2、情感与价值观在小组合作，共同学习的课堂环境中，锻炼学生积极思考，勇于探索的科学实践精神。

并培养学生主动与人交流、合作的意识情感。

二、教学重点：能够发现具体情境中的数学规律并用适当的代数式表达发现的数学规律。

三、教学难点：能够用适当的代数式表达发现的数学规律。

四、教学资源：多媒体、PPt课件五、教学方法：教师指导下的小组互助学习六、教学过程：同学们，通过对代数式的学习，我们已经能够利用代数式表达具体的量之间的关系，以及利用代入法求出代数式的值。

在开始今天的新课之前，请同学们完成学案中的课前练习。

1、课前练习：观察规律并完成表格学生自主完成，举手回答。

教师引导验证规律学生小组内交流解题思路，然后举手回答。

教师作适当点评2、通过课前练习，我们发现：代数式可以反映生活中蕴含的数学规律。

大家都熟悉日历吧，你知道它蕴含有哪些数学规律吗？让我们一起来探寻吧例题:（1）请同学们观察2004年10月的日历，找出日历中每个横排，每个纵列之间相邻两数有什么特点？（2）若用黄色横排框出3个数字，你能借助发现的规律，用代数式表示这3个数字吗？想想，有几种表示方法。

（在课件中横排框出3个数，用字母表示出其中任意一个，学生回答另外两个）请分别用写出的代数式，求出横排3个数的和（学生举手回答结果）同学们求出的和有什么特点：（教师引导学生得出和是3的倍数）我们用字母表示哪一位置上的数，求和最简单（学生比较不同情况，得出结论。

）（3）若用黄色纵列框出3个数字，你能借助发现的规律，用代数式表示这3个数字吗？想想，有几种表示方法。

请分别用写出的代数式，求出纵列3个数的和同学们求出的和有什么特点：我们用字母表示哪一位置上的数，求和最简单（4）如果将方框变为蓝色区域的9个数，①用字母表示其中一个位置上的数，有多少种方法？②你怎样又快有准的求出它们的和。

北师大版数学七年级上册第三章第五节探索与表达规律

第三章第五节探索与表达规律一、基本知识点1.探究规律；2.计算二、基本方法数字探究；图形探究三、知识讲练【例1】图形题用棋子摆出下列一组图形：（1）（2）（3）图形编号 1 2 3 4 5 6图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？〖针对练习1〗1.用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.…第1个图第2个图第3个图2. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数______________________；3. 下列每个图是由若干盆花组成的形如正方形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数__________4. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；5. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；6. 下图中所有正方体的边长都是1. 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。

依此规律。

则第（6）个图形的表面积个平方单位。

【例2】数字题1. 有若干个数，第1个数记为1a，第二个数记为2a，第三个数记为3a……，第n个记为na，若211-=a，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数。

”（1）试计算__________,__________________,432===aaa（2）根据以上结果，请你写出___________1999=a，_______2001=a。

探索与表达规律2

十位数字和个位数字，那么这个两位
数可以表示为
，10则a+可b 得：
5（2a+3）+b=10a+b+15
规律：结果为原两位数与15的和.
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ห้องสมุดไป่ตู้
二、探索新知
1.任意写出一个两位数； 2.交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数； 3.求这两个数的和 .
这些和有什么规律？你们组能发现并验证这个规律吗？
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三、探索新知
要求： 1.请解决本节课最初的游戏问题； 2.以小组为单位，设计类似的数字游戏并解释其中的道理 .
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四、归纳提炼
1.基本方法：
分析
表示
验证
2.基本思想：
特殊一般
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五、扩展延伸
一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除，这是为什么？四位数能否被3整除是否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？
二、探索新知
小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的新数加上个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数. 小亮：怎么知道的呢？
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二、探索新知要求：同桌两人分工进行.
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二、探索新知
如果用a、b分别表示一个两位数的
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随堂练习与问题解决
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谢谢各位，再见！
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感谢您的观看！
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探索规律的方法

探索规律的方法有很多，以下是一些常见的方法：1. **观察法**：观察是思维的眼晴，是探索规律的重要方法。

通过观察数字、图形、变化过程等的变化，找出其中的规律。

2. **归纳法**：通过对一系列特殊事例的研究，归纳出一般性结论，是一种从特殊到一般的推理方法。

3. **类比法**：类比是将相似的事物进行比较，找出它们的共同点，从而推断出它们之间可能存在的其他关系。

类比可以用于不同事物之间的比较，也可以用于同一事物不同方面的比较。

4. **总结法**：通过对已经掌握的数据、信息、知识进行总结，归纳出其中的规律和趋势。

5. **实验法**：通过实验来验证规律的存在，例如通过数学实验来探索某些数学问题的规律。

6. **数形结合法**：通过数字和图形的结合来探索规律，数字和图形可以相互补充，帮助我们更好地理解规律。

在具体操作时，可以根据问题的特点选择合适的方法。

例如，如果问题是寻找一个数字序列的规律，那么观察法、归纳法和总结法可能比较适合。

如果问题是解决一个数学问题，需要运用数形结合的思想，那么数形结合法可能更有效。

同时，还可以结合使用多种方法，以提高解决问题的效率和质量。

此外，在探索规律的过程中，还需要注意一些问题：1. **准确性和严谨性**：在探索规律时，要确保数据的准确性和推理的严谨性，避免因为错误的数据或推理导致结论的错误。

2. **全面性和系统性**：要全面考虑问题，系统地分析数据和信息，不要遗漏任何可能的规律。

3. **耐心和毅力**：探索规律可能需要花费较长时间和精力，需要有足够的耐心和毅力。

4. **交流和协作**：在探索规律的过程中，需要与他人交流和协作，共享资源和信息，共同解决问题。

5. **不断试错和修正**：在探索规律的过程中，可能会遇到很多困难和挫折，需要不断试错和修正，不要轻易放弃。

总之，探索规律需要综合运用多种方法和技能，需要耐心、细致、全面地分析数据和信息，不断试错和修正，才能找到问题的答案。

探索规律问题题型及解题方法探究

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来． n 1 (n 1) 1
n2 n2
１３、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼 41 接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_________。
14、根据下列图形的排列规律，第2008个图形是（３）(填序号即可). (①；②；③；④.)
4、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为（ A
）
A、2+6n ,B、8+6n , C、4+4n , D、8n
二、填空题
1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 50 ． 2、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15，
从第二项开始每一项与前一项之比的常数为 , q a1q n1 用含a1 , q, n的代数式表示),如果这个则an _______(
2、学习投影后，小明、小慧利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小慧（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m。（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置 G； G （2）求路灯灯泡的垂直高度GH；解：（2）由题意得： △ABC∽GHC
序号周长 ① 6 ② 10 ③ 16 ④ 26
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿ 466 ＿＿＿。
7、如图6，∠AOB=450，过OA到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，----的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1、S2、S3、S4--观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 76 S10=__________

探索图形规律的方法总结

探索图形规律的方法总结一、规律探索型问题的分类1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。

猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。

它是发现和认识规律的重要手段。

平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律。

2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。

解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。

图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。

二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。

所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。

所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。

如：一组按规律排列的式子：，，，，…()，其中第7个式子是，第个式子是(为正整数)。

分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。

2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多。

对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

第12讲探索与表达规律(基础)知识讲解

探索规律（基础）知识讲解【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】类型一、数式规律1．按某种规律在横线上填上适当的数：（1）1，3，5，7，9，11，，………；（2）3，6，12，24，48，96，，………；（3）1，4，9，16，25，36，，………；（4）0，3，8，15，24，35，，………；（5）2，-2，2，-2，2，-2，，……….【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.【解析】+=；解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：11213⨯=；（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：962192(3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：2=；749+=；(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：351348（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2．【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n -1）.（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q （q ≠0），则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数×1n q-.(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n 个数为：2n 或3n . （4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n 个数为21n -. （5）此数列中的第n 个数可表示为1(1)2n +-⨯.举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数： (1) －5，－2，1，4，； (2) 2，5，10，17，，37； (3) 1，8，27，64，，216 ．【答案】（1） 7 （2）， 26 （3） 125【变式2】（德州）一组数1，1，2，x ，5，y …满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（） A ．8 B ．9 C ．13D ．15【答案】A ．解：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ∴x =1+2=3， ∴y =x +5=3+5=8，即这组数中y 表示的数为8．2.（丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【答案】﹣．【解析】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，… ．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+ … +（n-1）+n+（n-l）+ … +2+1=．【答案】n2类型二、图表规律3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】解：（1）三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数 3 5 7 9 11 （2）搭n个这样的三角形需要2n+1 根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．n【答案】314．（泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A.135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是【答案】（5,6）5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503♣．【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．所以共有503个♣．【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．举一反三：【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…【答案】五角星提示：6个一循环．。

探索与表达规律-教案

探索与表达规律•教学目标：一、知识与技能目标：1•探索数量关系，应用符号表示规律，通过验算证明规律。

2•数的变化规律。

二、过程与方法目标：1.通过探索数疑关系，运用符号表示规律，运算验证规律的过程，使学生进一步理解掌握探索规律的步骤。

2•会用代数式表示简单问题中的数量关系•在探究知识的过程中培养学生的创新能力。

三、情感态度与价值观目标：通过活动，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主地发现知识，创造性地解决问题。

•重点：学会探索数量关系，运用符号表示规律。

•难点学会从不同角度探索数量关系表示规律。

•教学流程：一、情景导入观察下面的日历，回答问题。

（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗?（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的英他关系吗？用代数式表示。

解：(1)9 个数的和为中间数的9 倍：(2)任意框9个数，设中间的数为a,则左右两边数为a-1, a+1,上行邻数为(a-7),下行邻数为( a+7 ) , 左右上角邻数为(a-8 ) , ( a-6 )，左右下角邻数为(aW ) , ( a+8 ),之和为a+a-1+a+l+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a :(3)这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律.(4)| a■“ a-7 | |a~l a I I设方框正中间的数为n,苴余各数为n—8, n —7, n~6, n—l, n+| | a+7〔a+8 |1, n+6, n+7. n+8.第二行3 个数的和=(n-1) +n+ (n+1) =3n.第二列3 个数的和=(n-7) +n+ (n+7) =3n.对角线上3 个数的和分别为(n-6) +n+ (n+6) =3n, (n—8) +n+ (n+8) =3n.由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍.想一想(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为“H”形框呢？(2)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？(1)'‘十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍。

数学的规律探索方法

数学的规律探索方法数学作为一门科学，有其独特的规律和方法。

在数学的探索过程中，我们需要运用一些方法来揭示数学规律。

本文将介绍几种常见的数学规律探索方法。

一、归纳法归纳法是一种重要的数学规律探索方法。

它通过观察一系列数学例子，总结出其中的规律，然后推广到更一般的情况。

归纳法的基本思路是从已知的具体例子中推测出普遍性规律。

例如，我们可以通过归纳法来验证等差数列的通项公式。

首先列举出一些已知的等差数列，观察它们的规律，然后猜测出通项公式，并通过归纳法证明这个猜测是正确的。

二、对偶性对偶性是数学中常用的一种规律探索方法。

它通过将一个数学问题转化为另一个与之对偶的问题来揭示规律。

对偶性可以从不同的角度重新观察问题，从而发现一些新的规律。

例如，在几何学中，通过对角线的对称性，我们可以得出一个多边形内角和公式的对偶式，即外角和等于360度减去内角和。

这种对偶思维能够帮助我们发现数学规律。

三、反证法反证法是一种常用的数学规律探索方法。

它通过对假设的条件进行推理，得出一个与已知事实矛盾的结论，从而推翻这个假设。

反证法常用于证明某个命题的否定形式。

例如，欧几里德的《几何原本》中就广泛使用了反证法。

通过构造反证，我们可以发现一些数学规律的特殊性质。

四、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学规律的常用方法。

它基于数学归纳原理，即证明当n取某个特定值时命题成立，并证明当n=k时命题成立时，能推导出n=k+1时命题也成立。

通过数学归纳法，我们可以证明一些数学定理，如等差数列的通项公式、1+2+3+...+n的和公式等。

五、反射思考法反射思考法是一种探索数学规律的重要方法。

它通过思考和分析已知的数学问题，将这些问题与已掌握的数学知识联系起来，进而从不同的角度理解问题，解决问题。

通过反射思考法，我们能够培养出发现规律、解决问题的能力，提高数学思维的灵活性。

总结起来，数学的规律探索方法包括归纳法、对偶性、反证法、数学归纳法和反射思考法等。

六年级数学上册《探索规律》教案、教学设计

3.归纳能力较弱：学生在面对大量数学现象时，可能难以从中抽象出一般性规律，需要教师指导。
针对以上学情，教师在教学过程中应关注以下几个方面：
1.创设有趣的生活情境，引导学生主动观察、发现规律，培养学生的观察能力。
2.采用多样化的教学手段，引导学生打破思维定势，培养创新意识。
3.通过实例分析，引导学生学会归纳总结，提高归纳能力。
要求：小组成员共同分析问题，探讨解决方法，形成解题报告。
5.思考总结题：请学生撰写一篇关于本章节学习心得的短文，内容包括：
a.你在本章节学习中掌握了哪些新知识？
b.你认为探索规律的方法和技巧有哪些？
c.你在解决规律问题时遇到的困难有哪些？是如何克服的？
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，激发学生的学习兴趣，帮助他们在探索规律的过程中不断提高自己的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：培养学生观察、分析、归纳数学规律的能力，以及运用规律解决实际问题的能力。
2.难点：
（1）引导学生从生活情境中抽象出数学规律，培养学生的数学建模能力。
2.实践应用题：结合生活实际，让学生找出生活中的一个规律现象，并用文字描述该规律，说明其应用场景。
例如：星期天的公交车发车间隔时间为10分钟，描述这一规律及其对乘客的影响。
3.提高拓展题：请学生完成教材第35页的拓展题1、2，引导学生运用所学规律解决稍复杂的问题，培养创新意识和逻辑思维能力。
4.小组合作题：以小组为单位，选择一道具有挑战性的规律问题进行探讨，并在下节课上进行展示和分享。
接着，教师可以通过一个简单的数学例子，如“1, 2, 4, 8, 16, ...”，让学生观察并猜测下一个数字是什么，从而自然地引出本节课的主题——“探索规律”。

整式规律探索的技巧

整式规律探索的技巧1. 观察和总结：整式规律探索的第一步是观察整式的形式和性质，并总结它们之间的规律。

例如，观察二次整式的形式a^2 + 2ab + b^2，我们可以总结出它是两个一次整式（a+b）的平方。

通过观察和总结，我们能够发现整式之间的隐藏规律和性质。

2.数字替换法：对于复杂的整式，我们可以通过替换其中的数字来寻找规律。

选择不同的数值替代变量，并计算整式的值，观察这些值之间是否存在其中一种规律。

例如，观察整式2n^3-3n^2+n-1，我们可以分别取n=0,1,2,3等数值，计算出对应的整式值，然后观察这些值之间是否有其中一种规律性的变化。

3. 代数方法：除了数字替换法，我们还可以通过代数方法来探索整式规律。

使用代数性质和运算规则，对整式进行变换和化简，从而寻找其中的规律。

例如，观察整式(a+b)^3 - a^3 - b^3，可以使用二项式定理展开整式，并进行化简，得到3ab(a+b)。

通过代数方法，我们能够发现整式之间的等式和关系。

4.形式化证明：在探索整式规律的过程中，我们往往会发现一些规律和性质。

为了验证这些规律的正确性，我们可以使用形式化证明的方法。

通过数学推导和逻辑论证，对整式的性质进行证明。

利用代数计算、数学归纳法、数学定理等数学工具，来证明整式规律的正确性。

5.求助工具：在探索整式规律的过程中，我们可以利用一些数学工具来帮助我们更好地理解和分析整式。

例如，利用图形绘制软件绘制整式的图像，观察图像的形状和特点，并与整式的表达式进行对比。

另外，数学软件和计算器可以用于计算和验证整式的值，加快整式规律的探索过程。

总之，整式规律探索是数学中的重要部分，它可以锻炼我们的观察力和基于观察进行推理的能力。

通过观察、总结、数字替换法、代数方法、形式化证明和求助工具等技巧的运用，我们能够更好地理解整式的规律和性质，提高数学解决问题的能力。

北师大版数学七年级上册3.5探索与表达规律教学设计

4.能够将发现的规律应用于解决实际问题，培养学以致用的能力，提高数学思维品质。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等学习形式，培养学生主动探索规律的合作精神与交流能力。
2.引导学生通过具体实例，经历观察、分析、归纳、猜想等数学思维过程，掌握科学探究的一般方法。
3.通过对规律的探索，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程，培养他们的逻辑思维和抽象思维能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过生活实例或数学故事引入本节课的主题，激发学生的好奇心和求知欲。
（2）探索：组织学生进行观察、实验、猜想、归纳等探索活动，引导学生发现规律，并尝试用数学语言表达。
（3）交流：组织学生进行小组内或全班性的交流讨论，让学生分享探索过程和发现，提高他们的表达能力和沟通能力。
（4）应用：设计具有挑战性的练习题和应用题，让学生运用所发现的规律解决问题，巩固所学知识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：探索和发现事物的规律，学会用数学语言表达规律。
难点：从具体实例中抽象出一般性规律，并能运用规律解决实际问题。
2.重点：培养学生观察、实验、猜想、归纳等数学思维方法。
难点：引导学生运用这些方法探索规律，并能够将规律应用于不同情境。
3.重点：提高学生的合作意识和交流能力。
（五）总结归纳
在总结归纳阶段，教师组织学生回顾本节课所学的规律和探索方法，让学生谈一谈自己的收获和感受。
教师强调探索规律的重要性，并指出探索规律的方法和技巧。同时，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，发现更多的数学规律。
五、作业布置
为了巩固学生对探索与表达规律的理解和应用，本节课的作业布置将注重基础知识的巩固和能力的提升，同时兼顾学生的个性化需求。

探索与表达规律知识点

探索与表达规律知识点
规律是我们在日常生活中非常常见的一种现象，它是指在一定条件下，事物或现象的发生规律性的变化或重复。

规律的探索与表达是指通过观察、分析、总结等方式，发现事物或现象的规律，并用适当的形式表达出来。

规律探索的方法：
1. 观察法：通过观察同一对象或现象在不同条件下的变化和规律，总结出规律。

2. 实验法：通过实验对同一对象或现象在不同条件下的变化和规律进行验证和探索，总结出规律。

3. 综合法：结合观察和实验的结果，进行综合分析和总结，发现规律。

规律表达的形式：
1. 数字形式：用数字表达规律，如等差数列、等比数列等。

2. 图表形式：用图表表达规律，如折线图、柱状图等。

3. 文字描述形式：用文字描述规律，如“A的二次方等于B”等。

4. 符号表示形式：用符号表示规律，如“±”、“≤”等。

规律知识点在学习数学、物理、化学等学科时都有重要应用。

通过探索规律，可以提高分析问题和解决问题的能力，为以后的学习和工作打下基础。

《探索与表达规律》

跨学科综合应用
复杂系统研究
探索与表达规律在复杂系统研究中具有广泛应用，如生态系统、气候变化等领域的跨学科研究。
科技创新
科学家们通过探索自然规律和社会规律，不断推动科技创新，为人类社会发展提供动力。
政策制定
政府和企业通过研究和应用经济规律、社会规律等，制定更加科学合理的政策和战略。
教育实践
背景
随着科学技术的不断发展和数据量的急剧增加，探索与表达规律在各个领域的应用越来越广泛，成为解决复杂问题的重要手段。
探索与表达规律的重要性
提高决策效率
促进知识发现
通过探索数据中的规律和趋势，可以帮助决策者更快地做出准确、科学的决策。
探索与表达规律是知识发现的重要手段，可以帮助人们从海量数据中挖掘出有价值的信息和知识。
归纳与演绎法
01
02
03
归纳法
从个别到一般的推理过程，通过观察和实验收集材料，找出共性，形成一般性规律。
演绎法
从一般到个别的推理过程，根据已知的一般性规律来推断个别事物的性质或发展趋势。
归纳与演绎的结合
在探索规律时，归纳和演绎往往交替使用，相互补充，以形成更全面、更准确的规律性认识。
《探索与表达规律》PPT大纲
目录
• 引言 • 探索规律的基本方法 • 表达规律的主要方式 • 探索与表达规律在科学研究中的应用 • 探索与表达规律在教育中的意义 • 探索与表达规律的未来发展趋势
01 引言
目的和背景
目的
介绍探索与表达规律的基本概念、方法和应用，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
定了基础。
社会科学领域的应用
1 2
经济学中的规律探索

第10讲探索与表达规律(解析版)新七年级数学暑假精品课(北师大版)

第10讲探索与表达规律1.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；2.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；3.掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。

分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识知识点1：规律类：数字变化型一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令n=1，在通过加减来凑第一个数。

例如：上面的第（3）列数，相差3，则先得到3n，而第1项是4，当n=1时，3n=3，3+1=4，所有第n项表示为3n+1.拓展延申：知识点2：规律型：图形变化类1.基本思想：图形规律数字规律2.基本方法：（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;考点1：数字变化类例1.（2023•红河州二模）按一定规律排列的单项式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13个单项式为（）A．27a26B．﹣27a26C．25a26D．﹣25a25【答案】A【解答】解：观察这列单项式，可以发现系数的绝对值是从3开始的奇数，可表示为：（﹣1）n+1•（2n+1），字母a的指数为连续的偶数，可表示为：a2n，因此第n个单项式为：（﹣1）n+1•（2n+1）a2n，∴第13个单项式为：27a26，故选：A．【变式1】（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n个单项式是（）A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）x nC．（4n﹣3）x n D．（4n﹣3）（﹣x）n【答案】D【解答】解：第n个单项式为：（4n﹣3）（﹣x）n．故选：D．例2.（2023•安徽模拟）观察以下等式：第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×（30+4）+4×26＝6×29+100；（2）写出你猜想的第n个等式：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2（用含n的代数式表示），并证明．【答案】（1）5（30+4）+4×26＝629+100；（2）n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明见解答．【解答】解：（1）根据已给四个等式，可得第5个等式为：5（30+4）+4×26＝629+100；（2）等式左边由两部分组成，第一部分是序号与比序号大1的数的积再加上4的和的序号倍，第二部分为序号的平方加1的和的4倍，可表示为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]，等式右边也有两部分组成，第一部分为比序号大1的数乘以序号的平方与4的和，第二部分为序号平方的4倍，可表示为：（n+1）（n2+4）+4n2，因此猜想第n个等式为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明：左边＝n[n2+n+4]+4n2+4＝n3+n2+4n+4n2+4＝n3+5n2+4n+4，右边＝n3+4n+n2+4+4n2＝n3+5n2+4n+4，∵左边＝右边，∴n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2．【变式2-1】（2023•霍邱县一模）观察以下等式：第1个等式：22﹣12＝2×1+1，第2个等式：32﹣22＝2×2+1，第3个等式：42﹣32＝2×3+1，第4个等式：52﹣42＝2×4+1，按照以上规律，解决下列问题：..．（1）写出第6个等式：72﹣62＝2×6+1．（2）写出你猜想的第n个等式：（n+1）2﹣n2＝2n+1（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）72﹣62＝2×6+1；（2）（n+1）2﹣n2＝2n+1．【解答】解：（1）第6个等式是72﹣62＝2×6+1，故答案为：72﹣62＝2×6+1；（2）猜想：第n个等式是（n+1）2﹣n2＝2n+1，证明：∵（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∴（n+1）2﹣n2＝2n+1成立．故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【变式2-2】（2023•无为市三模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……解决下列问题：（1）按照以上规律，写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明；（3）利用上述规律，直接写出结果：＝4850．【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）4850．【解答】解：（1）第6个等式为，故答案为：；（2）第n个等式为，证明：左边＝，右边＝，∴左边＝右边，∴等式成立；故答案为：；（3）＝﹣×97＝2++3++4++…+98+﹣×97＝2+3+4+…+98＝4850；故答案为：4850．例3.（2023•涡阳县二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解答】解：（1）由题意可得，第5个等式为．故答案为：．（2）．证明：左边＝＝＝，右边＝，∵左边＝右边，∴等式成立．【变式3】（2023•明光市一模）观察下列等式：①；②；③；④；…（1）写出第n个等式，并证明你的结论；（2）运用（1）中的结论计算．【答案】（1），证明见解析过程；（2）．【解答】解：（1）∵①；②；③；④；…∴第n个等式为，理由：左边＝＝＝＝，右边＝，∴左边＝右边，∴；（2）＝＝＝＝．例4.（2023春•邳州市期中）给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4；52﹣32＝16＝8×2，……（1）用含n的式子（n为正整数）表示上述规律并用所学的知识验证这个规律的正确性．（2）借助你发现的规律填空：1412﹣1392＝560．（3）利用（1）中发现的规律计算：8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝1012﹣1（或10200）．【答案】（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证见解析；（2）141；139；（3）1012﹣1（或10200）．【解答】解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证：∵左边＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，右边＝8n，∴左边＝右边，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）由（1）可知，∵8n＝560，∴n＝70，2×70+1＝141，2×70﹣1＝139，故答案为：141；139；（3）由（1）可知：当n＝49时，2×49+1＝99，2×49﹣1＝97，n＝50，2×50+1＝101，2×50﹣1＝99，∴8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝（32﹣12）+（52﹣32）+（72﹣52）+⋯+（992﹣972）+（1012﹣992）＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+992﹣972+1012﹣992＝1012﹣1．故答案为：1012﹣1（或10200）．【变式4】（2023•长丰县模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：第1个等式：12+22+32＝3×22+2．第2个等式：22+32+42＝3×32+2第3个等式：32+42+52＝3×42+2．第4个等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）请你写出第5个等式：52+62+72＝3×62+2．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）52+62+72＝3×62+2；（2）第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：52+62+72＝3×62+2．故答案为：52+62+72＝3×62+2；（2）猜想的第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，证明：左边＝n2+n2+2n+1+n2+4n+4＝3n2+6n+5，右边＝3（n2+2n+1）+2＝3n2+6n+5，∴左边＝右边，∴猜想成立．考点2：图形变化类例5.（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．【观察思考】当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．【规律总结】（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加6块；（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为（6n+3）块；（用含n的代数式表示）【问题解决】（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？【答案】（1）6；（2）（6n+3）；（3）黑色瓷砖有337块．【解答】解：（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，∴瓷砖的总数增加1+5＝6（块），故答案为：6；（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；∴一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝（6n+3）块；故答案为：（6n+3）；（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，∴黑色瓷砖有337块．【变式5-1】（2023•全椒县二模）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．（1）2节链条的总长度为 4.6cm；3节链条的总长度为 6.4cm；4节链条的总长度为8.2cm；（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．【答案】（1）4.6；6.4；8.2；（2）（1.8n+1）cm；（3）能，由40节组成．【解答】解：（1）由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]＝4.6cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]＝6.4cm，4节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×3]＝8.2cm，故答案为：4.6；6.4；8.2；（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+（2.8﹣1）（n﹣1）＝（1.8n+1）cm；（3）一根链条的总长度可以为73cm，设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1＝73，解得x＝40，∴总长度为73cm的链条由40节组成．【变式5-2】（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．（1）第4个图案L（4）有白色地砖15块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块（3n+3）地砖（用含n的代数式表示）；（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．【答案】（1）15，（3n+3）；（2）3036．【解答】解：（1）∵第1个图案L（1）的白色地砖块数为：6，第2个图案L（2）的白色地砖块数为：6+3＝6+3×1，第3个图案L（3）的白色地砖块数为：6+3+3＝6+3×2，第4个图案L（4）的白色地砖块数为：6+3×3＝15，…，第n个图案L（n）的白色地砖块数为：6+3（n﹣1）＝3n+3，故答案为：15，（3n+3）；（2）∵L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，∴L（n）的长度为：（2n+1）米，∴当2n+1＝2023时，解得：n＝1011，∴L（1011）中白色地砖的块数为：3n+3＝3×1011+3＝3036．【变式5-3】（2023•安徽模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形⊙按一定规律所组成的，其中：第1个图案中基本图形的个数：1+2×2＝5，第2个图案中基本图形的个数：2+2×3＝8，第3个图案中基本图形的个数：3+2×4＝11，第4个图案中基本图形的个数：4+2×5＝14，…．按此规律排列，解决下列问题：（1）写出第5个图案中基本图形的个数：17；（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．【答案】（1）17；（2）n＝674．【解答】解：（1）由题意得：第5个图案中基本图形的个数：5+2×6＝17，故答案为：17；（2）由题意得：第n个图形中基本图形的个数为：n+2（n+1）＝3n+2，∵第n个图案中有2024个基本图形，∴3n+2＝2024，解得：n＝674．【变式5-4】（2023•金寨县一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．[观察思考]第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形有12盆花；（2）第n个图形中有（2n+2）盆花（用含n的代数式表示）；[问题解决]（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？【答案】（1）12；（2）（2n+2）；（3）1010．【解答】解：第1个图形有（1+1）×2＝4盆花，第2个图形有（2+1）×2＝6盆花，第3个图形有（3+1）×2＝8盆花，第4个图形有（4+1）×2＝10盆花，第5个图形有（5+1）×2＝12盆花，……第n个图形有（n+1）×2＝（2n+2）盆花，（1）第5个图形有12盆花，故答案为：12；（2）第n个图形有（2n+2）盆花，故答案：（2n+2）；（3）2n+2≤2023，解得：n≤1010.5，当n＝1010时，2n+2＝2022，2023﹣2022＝1，所以2023盆花，要求剩余花盆数最少，则可摆出第1010个图形．例6.（2022秋•黔江区期末）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+⋯+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+⋯+8＝×（1+8）×9＝36．用此方法，可求得1+2+3+⋯+20＝210（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+⋯+49＝625；②1+3+5+⋯+（2n+1）＝（n+1）2．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．【答案】（1）210；（2）625；（n+1）2；（3）1﹣．【解答】解：（1）1+2+3+…+20＝（1+20）×20＝21×10＝210；故答案为：210；（2）由点阵图可知：一个数时和为1＝12，2个数时和为4＝22，3个数时和为9＝32，…，n个数时和为n2．①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49＝252＝625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有（n+1）个数，∴1+3+5…+（2n+1）＝（n+1）2．故答案为：625，（n+1）2；（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，由图可知＝1﹣．【变式6-1】（2023•五华县校级开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，…．（1）试利用图形揭示规律，计算：＝，并使用代数方法说明你的结论正确；（2）请你再设计一个能求出的值的几何图形．【答案】（1）；（2）见解答．【解答】解：（1）由图可知，+…＝1﹣＝；证明如下：+…＝+++...+＝＝＝＝＝；（2）如下图：【变式6-2】（2022秋•双牌县期末）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210解：设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+ (211)由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1【运用】仿照此法计算：（1）1+3+32+33+34+ (350)（2）1++++…+．（3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．完成下列问题：①小正方形S2022的面积等于；②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．【答案】（1）；（2）2﹣；（3）①；②．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+350①，①×3，得：3S＝3+32+33+34+35+…+351②，②﹣①，得：2S＝351﹣1，则S＝，即1+3+32+33+34+…+350＝；（2）设S＝1++++…+①，①×，得：S＝++++…+②，②﹣①，得：﹣S＝﹣1，∴S＝2（1﹣）＝2﹣，即1++++…+＝2﹣；（3）∵S1＝（）2＝，S2＝S1＝，S3＝S2＝，…，∴S2022＝，故答案为：；②设S＝S1+S2+S3+…+S2022＝+++…+①，①×，得：S＝+++…+②，①﹣②，得：S＝﹣，∴S＝（﹣）＝，即S1+S2+S3+…+S2022＝．例7.（2022秋•达川区期末）五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：（1）计算：1+3+5+…+99＝2500；（2）拓展应用：求101+103+105+…+999的值．【答案】（1）2500；（2）247500．【解答】解：（1）根据题意可得，1+3+5+…+99＝502＝2500，故答案为：2500；（2）1+3+5+…+101+103+105+…+999＝5002＝250000，1+3+5+…+99＝502＝2500，101+103+105+…+999＝1+3+5+…+101+103+105+…+999﹣（1+3+5+…+99）＝250000﹣2500＝247500，∴101+103+105+…+999的值为247500．【变式7-1】（2023•定远县一模）图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是173．【答案】（1）78个；（2）173．【解答】解：（1）图1中所有圆圈的个数为：（个），当n＝12时，（个），答：摆放到第12层时，求共用了78个圆圈；（2）图3中，第18层最右边的数字是：＝171（个），则图3中第19层从左边数第二个圆圈中的数字是是：171+2＝173（个），故答案为：173．【变式7-2】（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为1+2+3+4+5＝；（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．【答案】（1）1+2+3+4+5＝；（2）10．【解答】解：（1）由题意得：第4个图形对应的等式为：1+2+3+4+5＝，故答案为：1+2+3+4+5＝；（2）由题意得：第n个图形对应的等式为：1+2+3+…+（n+1）＝，∴，解得：n＝10．1．（2023•安徽）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：（1）第n个图案中“◎”的个数为3n；（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为．【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．【答案】（1）3n；（2）；（3）11．【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，…，∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，故答案为：3n；（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；故答案为：；（3）由题意得：＝2×3n，解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．2．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）72；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）见解答．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．3．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25；……（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．【答案】（1）3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由见解答过程；（3）5．【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，故答案为：3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3）由题知，﹣100a＝2525，即100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得a＝5或﹣5（舍去），∴a的值为5．4．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明过程见解答．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．5．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．1．（2023•安徽二模）观察下列等式：第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×6+5＝35；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且为整数），并证明．【答案】（1）5×6+5＝35；（2）n（n+1）+n＝n（n+2）．证明见解析．【解答】解：（1）∵第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；∴第5个等式：5×6+5＝35；故答案为：5×6+5＝35；（2）根据（1）猜想第n个等式：n（n+1）+n＝n（n+2）．证明：∵等式左边＝n2+n+n＝n2+2n，等式右边＝n2+2n，∴左边＝右边，∴n（n+1）+n＝n（n+2）．2．（2022秋•南票区期中）观察下列等式．第一个等式：1﹣＝×；第二个等式：1﹣＝×；第三个等式：1﹣＝×；……按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第四个等式：1﹣＝×；（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【答案】（1）1﹣＝×；（2）．【解答】解：（1）1﹣＝×，故答案为：1﹣＝×；（2）（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝××××…××××＝．3．（2022秋•大连月考）观察下列三行数：第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…（1）第一行数的第9个数为512，第二行数的第9个数为514，第三行数的第9个数为256；（2）第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；（3）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．【答案】（1）512，514，256；（2）第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在．【解答】解：（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…，∴第一行的第n个数是（﹣1）n+1•2n，∴第9个数是29＝512，第二行的每一个数是第一行的对应数加2，∴第二行的第n个数是（﹣1）n+1•2n+2，∴第二行的第9个数是514，第三行的每一个数是第二行的对应数的，∴第三行的第n个数是（﹣1）n+1•2n﹣1，∴第三行的第9个数是256，故答案为：512，514，256；（2）由（1）可得第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384，理由如下：设三个连续的数是（﹣1）n•2n﹣1，（﹣1）n+1•2n，（﹣1）n+2•2n+1，∴（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n+1•2n+（﹣1）n+2•2n+1＝﹣384，∴3×（﹣1）n•2n﹣1＝﹣384，∴n﹣1＝7，∴n＝8，∵n是奇数，∴不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384．4．（2023•合肥模拟）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：请根据上述规律解答下面的问题：（1）第6行有11个数；第n行有（2n﹣1）个数（用含n的式子表示）；（2）若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6．①求（11，20）表示的数；②求表示2023的有序数对．【答案】（1）11，2n﹣1；（2）①120；②（45，87）．【解答】解：（1）第6行有：2×6﹣1＝11个数；第n行有（2n﹣1）个数，故答案为：11，2n﹣1；（2）①∵第11行有2×11﹣1＝21个数，且最末尾的数是112＝121，而（11，20）表示第11行的第20个数，∴（11，20）表示的数是121﹣1＝120；②∵442＝1936，452＝2025，∴442＜2023＜452，∴2023位于第45行，∵第45行有45×2﹣1＝89个数，而2023与2025相差2个数，∴2023位于第45行的第87个数，∴表示2023的有序数对是（45，87）．5．（2023•蜀山区校级模拟）从2开始，连续的偶数相加，观察下列各式：2＝12+1．2+4＝22+2．2+4+6＝32+3．2+4+6+8＝42+4．…根据规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①写出第n个等式：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；（用n表示）②计算：102+104+106+…+198+200．【答案】（1）2+4+6+8+10＝52+5；（2）①2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②7550．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：2+4+6+8+10＝52+5，故答案为：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①由题意得：第n个等式为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n，故答案为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②102+104+106+…+198+200＝2+4+6+...+198+200﹣（2+4+6+ (100)＝1002+100﹣（502+50）＝10000+100﹣2500﹣50＝7550．6．（2023春•邗江区月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22019的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1即S＝22020﹣1∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1仿照此法计算：（1）计算：1+3+32+33+34+ (32023)（2）计算：1++++…++＝2﹣（直接写答案）．【答案】（1）＝；（2）2﹣．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32023①，则3S＝3+32+33+34+…+32023+32024②，②﹣①，得：3S﹣S＝32024﹣1，即S＝，∴1+3+32+33+34+…+32023＝；（2）设S＝1++++…++①，则S＝+++…+++②，①﹣②，得：S﹣S＝1﹣，即S＝2﹣，∴+++…++＝2﹣．故答案为：2﹣．7．（2023•安徽模拟）【数学阅读】计算：1+2+3+ (100)解：设S＝1+2+3+6+…+100，①则S＝100+99+98+…+1，②①+②（即左右两边分别相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，所以1+2+3+…+100＝5050．【问题解决】利用上面的方法解答下面的问题：（1）猜想：1+2+3+…+n＝（用含n的式子表示）；（2）利用（1）中的结论，计算：1001+1002+ (2000)【答案】（1）；（2）1500500．【解答】解；（1）设S＝1+2+3+⋯+n，①则S＝n+⋯+3+2+1，②①+②得2S＝n+1+⋯+n+1+n+1，所以，故答案为：；（2）由（1）可知．8．（2023•瑶海区校级模拟）观察下列等式的规律，并解决问题：第1个等式：1+．第2个等式：2+．第3个等式：3+．……（1）请写出第4个等式：4+＝52×；（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．【答案】（1）4+＝52×；（2）规律：n+，见解答过程．【解答】解：（1）第4个等式为：4+＝52×．故答案为：4+＝52×；（2）规律：n+，证明：左边＝＝＝＝（n+1）2×＝右边，故规律成立．9．（2022秋•西山区期末）观察下列等式：a1＝+＝；a2＝+＝；a3＝+＝；…（1）猜想并写出第6个等式a6＝．；（2）猜想并写出第n个等式a n＝；（3）证明（2）中你猜想的正确性．【答案】（1）；（2）；（3）见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第6个等式a6＝．故答案为：；（2）由题意得：第n个等式a n＝．故答案为：；（3）（2）中的等式左边＝＝＝＝＝右边．故猜想成立．10．（2023•来安县二模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为16块；（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为块；（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．【答案】（1）16；（2）；（3）这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．【解答】解：（1）图1，红色正方形地砖为1＝12块，白色地砖为4＝（1×4）块；图2，红色正方形地砖为4＝22块，白色地砖为8＝（2×4）块；图3，红色正方形地砖为9＝32块，白色地砖为12＝（3×4）块；…图n，红色正方形地砖为n2块，白色地砖为4n块；∵n2＝16，∴n＝4（负值不符合题意，已舍去），∴白色地砖为4×4＝16；（2）第x个图中白色正方形地砖为n，根据（1）的规律，得，∴红色地砖为；（3）设用红色地砖的块数为x2，则用白色地砖的块数为4x，根据的规律得：x2﹣4x＝140，解得x＝14，x＝﹣10（不合题意，舍去），∴x2＝142＝196，4x＝4×14＝56，答：这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．11．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉41盆；（2）第n个图案需要花卉[n2+（n+1）2]盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．【答案】（1）41；（2）[n2+（n+1）2]；（3）2601．【解答】解：（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，第4个图案需要花卉的盆数为：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，故答案为：41；（2）由（1）可得：第n个图案需要花卉的盆数为：n2+（n+1）2；故答案为：[n2+（n+1）2]；（3）设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，由题意得：（m+1）2﹣m2＝101，解得：m＝50，512＝2601，答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．12．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为3n+3；（用含n 的式子表示）（3）当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．【答案】（1）15，21；（2），3n+3；（3）8．【解答】解：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；故答案为：15，21；（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第n个图案中白棋子的个数为3n+3，黑棋子的变化为：n＝1时，0个；n＝2时，0+1＝1个；n＝3时，0+1+2＝3个；n＝4时，0+1+2+3＝6个；故第n个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n﹣1）＝•（n﹣1）＝；故答案为：，3n+3；（3）＝3n+3，n2﹣7n﹣6＝0，解得：n＝，n＝（不符题意，舍去），∴＞3n+3，n＞，∵n取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n＝8．当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．故答案为：8．13．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形ABCD，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，…依次划分下去．（1）根据题意，第四次划分共得到17个菱形，第n次划分共得到（1+4n）个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？【答案】（1）17；（1+4n）；（2）不能，见解答过程．【解答】解：（1）∵第一次划分所得到的菱形的个数为：5＝1+4，第二次划分所得到的菱形的个数为：9＝1+4+4＝1+4×2，第三次划分所得到的菱形的个数为：13＝1+4+4+4＝1+4×3，∴第四次划分所得到的菱形的个数为：1+4×4＝17（个），第n次划分所得到的菱形的个数为：（1+4n）个，故答案为：17；（1+4n）；（2）不能，理由如下：1+4n＝2023，解得：n＝505.5，故不能得到2023个菱形．14．（2023•蜀山区校级模拟）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）图5有多少颗黑色棋子？（2）若第（n+2）个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．【答案】（1）19；（2）1008．【解答】解：（1）图1中有1个黑色棋子；图2中有（1+2）+1＝4个黑色棋子，比图1多3个；图3中有（1+2+3）+2＝8个黑色棋子，比图2多4个；图4中有（1+2+3+4）+3＝13个黑色棋子，比图3多5；图5中有（1+2+3+4+5）+4＝19个黑色棋子，比图4多6个；∴图5有多少颗黑色棋子19个；（2）由（1）得：第（n+2）个图形比第n个图形中多（n+3）+（n+2）＝（2n+5）颗棋子，∴2n+5＝2021，解得：n＝1008，所以n是值为：1008．15．（2023春•莱芜区月考）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖25块，用白色正方形瓷砖14块；（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖（4n+1）块，用白色正方形瓷砖（2n+2）块（用含n的代数式表示）；（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？【答案】（1）25，14（2）2n+2块．（3）16．【解答】解：（1）第1个图形中有1+4＝5个黑色正方形瓷砖，有2+2＝4个白色瓷砖；第2个图形中有1+4×2＝9个黑色正方形瓷砖，有2+2×2＝6个白色瓷砖；第3个图形中有1+4×3＝13个黑色正方形瓷砖，有2+2×3＝8个白色瓷砖；……，第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖；4n∴第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；故答案为：19，14；（2）由（1）知：第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故答案为：（1+4n），（2+2n）；（3）第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故第n个图形中有（1+4n）+（2n+2）＝（6n+3）个正方形瓷砖；∴（6n+3）×0.25＝24.75，解得：n＝16．16．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．（1）第6个图中有21棋子；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；（3）第多少个图中有505颗棋子？【答案】（1）21个；（2）4a﹣3；（3）第127个图中有505棋子．【解答】解：（1）第6个图中有1+4×（6﹣1）＝21（个），故答案为：21；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数为1+4（a﹣1）＝4a﹣3；（3）由（2）可知，4a﹣3＝505，解得a＝127，答：第127个图中有505棋子．17．（2022秋•长春期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．【方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．【解答】解：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．18．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．。