数理方程重点总结共53页

方程全部知识点总结

方程全部知识点总结一、方程的定义在数学上，方程是指由未知数和已知数，通过运算符号以及等号组成的数学式，常用于描述两个数量在某种关系上相等的情况。

通常来说，方程可以表示为：F(x) = G(x)，其中F(x)和G(x)是两个关于未知数x的表达，它们的值相等。

例如：x + 2 = 5就是一个简单的方程，表示未知数x加上2的结果等于5。

二、方程的基本概念1. 未知数和已知数：在方程中，未知数是指需要求解的数，常用x、y、z等字母来代表；已知数是指已知值或者变量，可以是数字、常数或者其他未知数。

2. 等式：方程的基本构成要素之一就是等式，表示两个数或两个式子相等。

等号左边和等号右边的值相等，才能构成一个方程。

3. 解：求解方程意味着找到使得方程成立的未知数的值。

解可以有一个或者多个，也可能没有解。

解方程的过程就是找到使得等式成立的未知数的值。

4. 方程的次数：方程中未知数的最高次数称为方程的次数。

比如一次方程、二次方程等。

5. 线性方程和非线性方程：根据未知数的次数，方程可以分为线性方程和非线性方程。

一次方程是线性方程的典型例子，非线性方程则包括二次方程、三次方程等。

6. 系数：方程中未知数前面的数字或者参数称为系数，它们可以是实数、复数、甚至函数。

7. 参数方程：在一些特殊的问题中，方程中还会出现参数（通常用t表示），这时方程称为参数方程。

三、方程的解法1. 方程的解法就是求解未知数的值，常用的解法包括代数法、几何法、图像法、方法学法等。

最常用的代数法有以下几种：（1）唯一解的求法：对于只有一个解的方程，可以通过代数运算，利用等式的性质逐步消解未知数的系数，得到最终的解。

（2）一元二次方程的求解：一元二次方程通常是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其解法包括因式分解、配方法、公式法等。

（3）二元一次方程组的求解：当方程中含有两个未知数时，就构成了二元一次方程组，常用的求解方法包括代数消元法、矩阵法、图解法等。

方程主要知识点总结

方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。

方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。

方程的解即是使等式成立的未知数的值。

二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。

2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。

3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。

4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。

5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。

数理方程概念汇总

1、什么是泛定方程？以及解的稳定性物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。

正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。

而物理的联系总是取的值之间的关系式。

这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。

物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。

数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。

在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程2、什么是定解条件？答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。

如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。

表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。

3、什么是定解问题？答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。

根据不同定解条件，定解问题分为三类：1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题；2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。

3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）4、什么是定解问题的解？答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。

5、什么是解的稳定性？答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。

6、什么是定解问题的适应性？如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。

数学物理方程复习资料

∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参变量的常微分方程。
（1）固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2）（3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程；描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；

高二数学方程知识点归纳总结

高二数学方程知识点归纳总结方程是数学中重要的概念之一，也是数学建模和问题求解的基础。

高二数学中，方程的学习变得更加深入和复杂。

本文将对高二数学中的方程知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、一元一次方程一元一次方程形如ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的方法有两种：试探法和化简法。

试探法即将可能的解代入方程进行验证，化简法则通过运用运算性质和运算法则来求解方程。

二、一元一次方程组一元一次方程组是由两个或多个一元一次方程组成的方程组。

解一元一次方程组的方法有三种：消元法、代入法和加减消法。

消元法通过运用加减消法，将含有相同未知数的两个方程相减或相加，消去这个未知数的系数，最终求得解；代入法则是将其中一个方程中某个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程中，从而降低未知数的个数，最终求得解；加减消法是将多个方程相加或相减，消去某些未知数，最终求得解。

三、二元二次方程二元二次方程形如ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数。

解二元二次方程的方法有因式分解法和配方法。

因式分解法适用于方程能够很容易进行因式分解的情况，通过因式分解得到方程的解；配方法则适用于方程难以因式分解的情况，通过完成平方得到方程解。

四、高次方程高次方程包括二次方程、三次方程和四次方程等。

解高次方程的方法有因式分解法、配方法、万能公式等。

因式分解法和配方法在前文已经提到，万能公式即利用二次方程的求根公式，适用于解二次方程的情况。

五、分式方程分式方程是方程中含有分式的方程。

解分式方程的方法是通分、化简、整理方程，最终求得方程的解。

六、绝对值方程绝对值方程是方程中含有绝对值的方程。

解绝对值方程的方法是考虑绝对值的两种情况，即当绝对值内的值为正数和负数时，分别求解方程，并根据实际情况判断解的可行性。

七、参数方程参数方程是用参数表示的方程。

解参数方程的方法是将参数代入方程中，化简方程，最终求得方程的解。

数学物理方程公式总结

无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解:()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()22222222200,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩无界三维空间自由振动的泊松公式21()1()(,)44M M atrS S M M u M t dS dS a tra rϕψππ''∂=+∂⎰⎰⎰⎰, r at =.()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t rππϕθθψθθθθππ∂++++=+∂--⎰⎰⎰⎰三个Green 公式 Gauss 公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：VSV SP Q R FdV F dSdV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂∇=⇔++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：()014M Mv M r π=-000011111()44M M M M M M S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：Laplace 方程混合边值问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S S S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ Poisson 方程的混合边值问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足: (1) 在VS 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆=称u 为V 上的调和函数. 2、调和函数的性质。

数理方程重点总结

X (0) A 0 B 1 0
断言: B 0，于是有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又由边界条件u
0，得
x xl
sin l 0
于是，得到空间变量问题的本征值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将（5）、（7）代入（4）式，即得特解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可以由两个边界条件唯一地被确定。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x

数理方程总结复习及练习要点报告

➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
4
数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理量研究初始时的状况，即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数最高的求导次数－偏微分方程的齐次与非齐次不含有研究函数的非零项－偏微分方程的线性与非线性
12
数理方程基本知识
➢ Gauss定理
v
v
v
v
对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
vv

数理方程总结

热传导
初条件：u(r ,0) (r )
r VLeabharlann 初位移初速度0 xl
系统中各点的温度物体所占空间
边条件
描述系统任意时刻，边界状态的定解条件
1. 第一类边条件：直接给出边界上未知函数u的
数值或随时间的变化规律
一般形式：u (r , t ) r 边界点 M f ( M , t )
f x 1 f1 x f x 0 f x 0 2 1 2 f l 0 f l 0
x为连续点 x为间断点 x=±l
奇偶函数的傅立叶展开 1、奇周期函数：
k f x bk sin l x k 1 b 2 l f x sin k xdx k l 0 l
首先将f (x) 在 [-l , 0] 上作偶延拓。
然后将其延拓为2l为周期的周期函数G(x)
复数形式的傅立叶级数
在以2l为周期的函数空间里，还可以选择另外一套函数系作为基底。 i k x k 0. 1. 2 e l 任何一个以2l为周期的函数f(x)，且在x∈[-l,l]上分段
3.一维空间非齐次边条件的定解问题
4. 多维空间的定解问题
齐次方程、齐次边条件的初值—边值问题
一、两端固定弦的自由横振动
utt a 2uxx 0 0 x l , t 0 u (l , t ) 0 u (0, t ) 0, ① （1）列出定解问题 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x)
1.求解过程：
(2) 分离变量得到和
设形式解: u( x, t ) ( x)T (t )

数理方程总结完整版

该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数，即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t

a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

l

方程所有知识点总结

方程所有知识点总结解方程是代数学中非常重要的一部分，它有很多应用，比如在物理学、工程学、经济学等各个领域都有广泛的应用。

因此，掌握好方程的知识对于学习和工作都是非常重要的。

在代数学中，方程可以分为一元方程和多元方程两种。

一元方程是指只含有一个变量的方程，例如：2x+3=7。

多元方程是指含有多个变量的方程，例如：2x+3y=7。

解一元方程和多元方程的方法也有所不同，下面我们就来具体探讨一下。

一、一元一次方程一元一次方程是代数中最基本的一种方程，它的一般形式可以表示为ax+b=0，其中a和b是已知的实数，x是未知数。

解一元一次方程的一般步骤是先用变形把方程化为x=的形式，然后根据方程的性质将方程化简为x=的形式，最后得到方程的解。

解一元一次方程的方法有几种，包括使用逆运算法则、加减相消法则、等面积法则、等比例法则和等比例方程。

这些方法各有不同的特点和适用范围，有时候需要根据具体的题目情况选择合适的方法进行解题。

在解一元一次方程的过程中，我们还需要注意一些常见的错误和易错点，比如忽略了一些必要的操作步骤、漏写解的范围、未对方程进行验证等。

二、一元二次方程一元二次方程是一元方程中的另一种比较重要的形式，它的一般形式可以表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。

求解一元二次方程的一般步骤是先利用配方法将方程化为(ax+b)²=D的形式，然后利用开方法将方程化简为x=的形式，最后求得方程的解。

解一元二次方程的方法有几种，包括使用公式法、图解法、配方法和代数几何法。

不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的题目选择合适的方法进行求解。

在解一元二次方程的过程中，要注意一些常见的错误和易错点，比如未正确使用公式法、未正确运用图解法等。

三、多元方程组多元方程组是含有多个未知数的方程组。

解多元方程组的一般步骤是利用消元法将方程组化为最简形式，然后逐步求解方程组的未知数的值，最后验证方程组的解。

方程有关知识点总结

方程有关知识点总结一、方程的概念方程是数学中的一个重要概念。

在数学中，方程是用来描述数学关系的一种数学陈述，通常用符号表示。

一个方程包含一个或多个未知数，它表示了这些未知数之间的相等关系。

方程的一般形式是：F(x) = G(x)其中，F(x)和G(x)是包含未知数x的表达式，方程的解就是满足这个等式的未知数的值。

在数学中，方程可以分为线性方程、二次方程、多项式方程、三角函数方程、指数方程和对数方程等类型。

这些方程在不同领域有着广泛的应用，比如在几何学中，方程可以用来描述几何图形之间的关系；在物理学中，方程可以用来描述物体的运动规律；在经济学中，方程可以用来描述不同经济变量之间的关系等。

二、方程的基本类型1. 线性方程线性方程是数学中最简单的一类方程，它表示为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数。

线性方程的解可以通过简单的代数运算得到，比如通过移项、合并同类项等方法求解。

2. 二次方程二次方程是数学中最常见的一类方程，它表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的常数且a≠0。

二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求解。

3. 多项式方程多项式方程是一种包含了一个或多个未知数以及它们的幂的方程。

多项式方程的求解方法可以通过因式分解、降次、代换等方法求解。

4. 三角函数方程三角函数方程包含了三角函数的表达式，它可以通过周期性、性质等方法求解。

5. 指数方程和对数方程指数方程和对数方程是一类特殊的方程，可以通过对数换底、幂函数性质等方法求解。

这些是数学中常见的方程类型，每种类型的方程都有着自己的特点和求解方法。

三、方程的解的方法解方程是数学中的一个基本问题，通常通过一些代数方法或者数值方法来求解。

下面是常见的解方程的方法：1. 代入法：将一个式子代入到方程中去，然后通过代入的式子来解出方程中的未知数。

2. 因式分解：将方程进行因式分解，然后找出每个因式为零时的解。

3. 完全平方公式：将一个二次方程化为一个完全平方的形式，然后求解。

完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结

完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结知识点1：一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的次数为1，系数不等于0的整式方程。

其标准形式为ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0），最简形式为ax=b（a≠0）。

不定方程是含有两个或两个以上未知数的代数方程，一般有无穷多解。

等式是用符号“=”表示相等关系的式子，左、右两边分别为等式的左边和右边。

方程的根是只含有一个未知数的方程的解。

解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1.矛盾方程是一个方程，不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值。

知识点2：二元一次方程是有两个未知数，未知项的次数为1的方程。

二元一次方程组是含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组。

解二元一次方程组的两种方法为代入消元法和加减消元法。

代入消元法的步骤为：将方程组中的一个未知数化成另一个未知数的代数式，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。

加减消元法的步骤为：将一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等，将所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。

知识点3：一元一次不等式（组）一元一次不等式是指只含有一个未知数，未知数次数为1，系数不为0的不等式，可以用不等号（＞、≥、＜、≤或≠等等）表示。

由多个一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组。

不等式有以下基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，不等号方向不变；（2）不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.如果乘数和除数是负数，需要改变不等号方向。

数理方程总结(球函数)

球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。

得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。

P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0）证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。

整理数与方程知识点

整理数与方程知识点一、知识概述《数与方程知识点》①基本定义：- 数：数就是用来表示数量多少或者顺序的东西。

像1、2、3这种自然数，就是我们最早接触的数，用来数数，比如说有3个苹果。

还有分数，像1/2，就是把一个东西平均分成两份，其中的一份。

小数呢，比如，也可以表示一部分，和分数有联系。

实数是包含有理数（像整数、分数）和无理数（像根号2这种开方开不尽的数）的集合。

- 方程：方程就是含有未知数的等式。

比如说x + 3 = 5，这里的x 就是未知数，这个等式就是方程，意思就是某个数加上3等于5，我们得把这个数找出来。

②重要程度：- 在数学学科里那可是相当重要啊。

数是数学的基础，就好像盖房子的砖头一样。

方程呢，是一种很强大的工具，可以用来解决好多实际问题。

不管是在代数里计算数值，还是在解决物理、化学里的问题，很多时候都要用到方程。

③前置知识：- 要先会基本的算术运算，像加、减、乘、除。

要是这些都不会，数都算不好，方程就更搞不定了。

还要对数字和数量的关系有一定的理解，知道几个几是多少之类的。

④应用价值：- 在生活里可有用了。

比如说去买东西算钱的时候，如果知道买几个东西总共花多少钱，又知道单价，就能设未知数列出方程，算出买了多少个。

在工程问题里，知道工作总量、工作效率和工作时间的关系，也可以列方程解决问题。

就像盖房子这个活，知道几个人多长时间能盖好，如果想知道增加或者减少人数的时候多长时间盖完，方程一设，答案就有了。

二、知识体系①知识图谱：- 在数学学科里，数是基础。

方程建立在数的基础上，它就像搭建在数这个地基上的大楼。

从简单的一元一次方程到多元方程，逐步进阶。

②关联知识：- 和函数有关系。

方程有时候可以化为函数的形式，函数图像的交点可能就是方程的解呢。

还有不等式，不等式和方程一些概念有点相似，但是规则不一样，不过在有些解题的时候可以互相借鉴思路。

③重难点分析：- 对于数来说，无理数的理解稍微难一点，因为它是无限不循环的，不像有理数那么直观。

数理方程

1. 基本概念偏微分方程：含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数；方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的；方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。

2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程；二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。

六年级方程知识点总结打印

六年级方程知识点总结打印六年级方程知识点总结方程是数学中的一种基本工具，广泛应用于各个领域。

对于六年级学生来说，掌握方程的基本概念和解方程的方法是非常重要的。

本文将对六年级方程的知识点进行总结，以方便同学们学习和复习。

一、方程的概念和符号表示1.1 方程的定义方程是一个等式，其中包含一个或多个变量，并且存在未知数需要求解。

1.2 方程的表示形式方程可以用字母表示未知数，例如：x + 3 = 7。

方程也可以用图形表示，例如：x + 3 = 7可以表示为一根平行于y轴的直线与y = 7相交的点的横坐标。

1.3 方程的解方程的解是能够使得方程成立的未知数的值或数值。

例如，对于方程x + 3 = 7，解为x = 4，因为4 + 3等于7。

二、一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，a不等于0。

2.1 解一元一次方程的基本步骤（1）将方程中的系数移到等式的一侧，常数项移到等式的另一侧，使得方程变为ax = b的形式；（2）将方程两侧同时乘以a的倒数，消去未知数前的系数；（3）计算等式两侧的结果，求得未知数的值。

2.2 解一元一次方程的实例例如，解方程2x + 3 = 9。

（1）将方程化简为2x = 6；（2）将方程两侧同时乘以2的倒数，得到x = 3；（3）解得方程的解为x = 3。

三、一元一次方程的应用一元一次方程在实际应用中具有广泛的应用，可以用来解决各种问题。

3.1 长方形的周长和面积设长方形的长为x，宽为y，周长为20。

根据周长的定义，2x + 2y = 20。

我们可以通过解方程来求得长方形的长和宽。

3.2 箱子里的苹果设箱子里有x个苹果，小明拿走3个苹果后，箱子里的苹果还剩10个。

根据题意可得方程x - 3 = 10，解方程可以求得箱子里原来有几个苹果。

四、二次方程二次方程是指未知数的最高次数为2的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是已知数且a不等于0。

数理方程笔记

数理方程笔记
数学方程是一种表达式，用来描述两个或多个变量之间的关系。

它可以用来描述物理现象，也可以用来描述经济现象。

数学方程的研究是数学的一个重要分支，它可以帮助我们更好
地理解和掌握客观事物的规律。

数学方程的研究可以分为两大类：一类是常微分方程，另一类是积分方程。

常微分方程是
指求解变量的导数，而积分方程是指求解变量的积分。

常微分方程的研究可以帮助我们更
好地理解物理现象，而积分方程的研究可以帮助我们更好地理解经济现象。

数学方程的研究也可以分为几个小类，比如一元方程、二元方程、三元方程、高阶方程等。

一元方程是指只有一个变量的方程，二元方程是指有两个变量的方程，三元方程是指有三
个变量的方程，高阶方程是指有多个变量的方程。

数学方程的研究是一项极具挑战性的工作，它需要我们深入研究变量之间的关系，并利用
数学方法来求解方程。

只有深入研究，才能更好地理解客观事物的规律，从而更好地应用
数学方程。