弹性力学复习思考题

教材与主要参考书
教材：《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 科学出版社 同济大学出版社
参考书： 《弹性理论》 铁木辛柯
《弹性理论》 王龙甫 编 《弹性力学》 吴家龙 编
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
（6-19）
（4）温度应力问题按位移求解的基本方程与一般弹性力学问题按位 移求解基本方程的关系，这种关系对方程求解及温度应力的实 验测定有何意义？ T T 体力的替代： X (1 ) , Y (1 )
x
y
面力的替代：
X l (1 )T ,
Y m(1 )T
O x
q(x)
r
y

r

x
r 2 f ( )
q
a a
O
y
r 3 f ( )
x
r

y
叠加法的应用
课堂练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸 时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 y x, 与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为 狭长矩形，板厚为一个单位。
2u 1 2 x 2 2v 1 2 y 2
2u 1 2 v T (1 ) 0 2 y 2 xy x 2 v 8）
u v 1 u v l (1 )T l m x y s 2 y x s v u 1 v u m(1 )T m l y x s 2 x y s

（2） z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边 界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光 滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应 力和位移分量。
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为t，两端 受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半 径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力 如何？最大应力发生在何处？
非轴对称问题的求解方法——半逆解法
1. 圆孔的孔边应力集中问题
原问题的转换：
轴对称问题
问题1 a 问题2 a
非轴对称问题

b

q r 2
b
f (r ) cos 2
q r sin 2 2 q r cos 2 2
1 4 2 Ar Br C D 2 cos 2 r
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 r
2
f (r )
f (r ) sin
f (r ) cos
4. 半平面问题
P
O
y
M y
O
r
rf ( )
O

x
r

x
q
( )
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 绪 论 平面问题的基本理论
第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
（7）圆弧形曲梁问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？
（如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数 的形式？） （8）楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数 、应 力分量、位移分量的确定？
（9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ （11）叠加法的应用。
（4） 已知圆环在r=a的内边界上被固定，在r=b的圆 周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定 圆环内的应力与位移。
第六章 温度应力的平面问题
（1）了解温度应力产生的原因：为温度的变化量，而不是温度值。 （2）了解温度应力问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程。 了解它与一般弹性力学基本方程的区别。 （仅为物理方程的不同） （3）温度应力问题按位移求解的基本方程：
（6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主 方向？ （7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何 由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？ （8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？
（9）边界条件有哪两类？如何列写？
（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？ 如何利用圣维南原理列写边界条件？ （11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。 （12）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？ （13）弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条 件是什么？ （14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条 件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解 为什么不需要满足变形协调方程？ （15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题 的正确解？为什么？ （16）常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？ （17）何为逆解法？何为半逆解法？ （18）Airy应力函数 在边界上值的物理意义是什么？应力函数 的
第七章 平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想；
（2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数 的差分方程；
（3）了解应力函数差分解求解弹性力学问题的基本方法步骤；
第八章 空间问题的基本理论
（1）空间一点的应力状态及其表示；如何由一点应力状态的六个分量 求任意斜截面上的应力、主应力、主应力方向、最大最小正应 力，最大最小剪应力及其所在作用面方向；
（9）按应力求解空间问题的基本方程：
（a）平衡微分方程； （b）相容方程（9-31）、 （贝尔特拉密方程）（9-32） ；
（2）何为应力不变量？各个应力不变量的物理意义及其计算？
（3）空间一点的应变状态及其表示；如何由一点应变状态的六个分量 求任意方向线应变、主应变、主应变方向；
（4）何为应变不变量？各个应变不变量的物理意义及其计算？
（5）能否证明三个主应力方向一定互相垂直；三个主应变方向 一定互相垂直？ （6）何为张量？一点应力状态的张量表示；一点应变状态的张量表 示；一点位移分量的张量表示； （7）应变张量分量与工程应变分量之间有何关系？ （8）空间问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；基本方 程的张量表示；
（5）在无体力的情况下，若弹性体存在位移势函数，则该位移势函 数 应满足什么方程？该方程的物理意义如何？
（该位移势函数 应为调和函数；该方程表明各点体积应变 e =0）
（6）拉甫位移函数的概念；拉甫位移函数与轴对称位移分量间的关系 如何？拉甫位移函数与应满足何条件？拉甫位移函数应为什么性 质的函数？拉甫位移函数法主要用来解决什么样的弹性力学问题？ （7）伽辽金位移函数的概念；伽辽金位移函数与位移分量间的关系如 何？伽辽金位移函数与应满足何条件？伽辽金位移函数应为什么 性质的函数？ （8）半空间体在边界上受法向集中力作用问题的求解？空间一点的沉 陷的计算公式（9-19）？与半无限平面问题中一点的沉陷公式 （4-30）有何区别？
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 （6）位移势函数 的概念；位移势函数 与位移分量的关系；温 度应力问题中，位移势函数 满足的方程；应力分量的位移势 函数 的表示。
（15）空间问题的边界条件列写；
第九章 空间问题的解答
（1）按位移求解空间问题的基本方程： （a）用位移平衡微分方程； （b）应力边界条件；位移边界条件。 （2）按位移求解空间轴对称问题的基本方程；按位移求解球对称问题 的基本方程。 （3）按位移直接求解空间问题： （a）半无限大弹性体，受重力及在边界上受均布压力作用； （b）空心球体受均布内压或外压作用。 （4）什么是位移势函数？位移势函数与位移分量的关系如何？位移函数与应 力分量的关系如何？
y 0
O x y
b l

x
y f ( y )
y xf ( y )
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等） （2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？ （平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程） （3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？ （用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等） （4）极坐标下应力分量与应力函数 间关系？ （5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？ （6）极坐标下轴对称问题应力函数 、应力分量、位移分量的特点？
（9）空间问题物理方程的各种表达形式： （a）用应力表示应变，式（8-17）； （b）用应变表示应力，式（8-19）； （c）用体积应力表示体积应变，式（8-18）； （10）线弹性状态下，材料的拉压弹性模量E、剪切弹性模量G、体积 弹性模量K、材料的泊松比 间存在什么关系？ （11）对极端各向异性体，存在多少个独立材料常数？正交各向异性体 存在多少个独立材料常数？横观各相同性体有多少个独立材料常 数？各向同性弹性体具有多少个独立的材料常数？ （12）对极端各向异性体，存在多少个独立材料常数？正交各向异性体 存在多少个独立材料常数？横观各相同性体有多少个独立材料常 数？各向同性弹性体具有多少个独立的材料常数？ （13）空间轴对称问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程； （14）空间球对称问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；