2018—2020年江苏省数学中考试题分类(13)——圆(含解析)

2018—2020年江苏省数学中考试题分类（13）——圆
一．选择题（共16小题） 1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )
A ．10︒
B ．14︒
C ．16︒
D ．26︒ 2．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，则这个几何体的侧面积为( )
A ．2
48cm π B ．224cm π C ．212cm π D ．29cm π 3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )
A ．
213 B ．313 C ．23 D ．3
2
4．（2020•徐州）如图，AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )
A ．75︒
B ．70︒
C ．65︒
D ．60︒ 5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( )
A ．(9,2)
B ．(9,3)
C ．(10,2)
D ．(10,3) 6．（2020•淮安）如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( )
A ．54︒
B ．27︒
C ．36︒
D ．108︒
7．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )
A ．10π
B ．9π
C ．8π
D ．6π 8．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、
E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )
A ．AED ∆
B ．ABD ∆
C ．BC
D ∆ D ．ACD ∆
9．（2020•苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1π-
B ．
12
π
- C ．12π-
D ．122π- 10．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )
A ．63π-
B ．632π-
C ．63π+
D ．632π+ 11．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )
A ．54︒
B ．36︒
C ．32︒
D ．27︒ 12．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为
E ，ME 与BC 的交点为
F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为
G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③
6PC MP =；④2
BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
13．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( )
A．5
8B．
7
8
C．
7
10
D．
4
5
14．（2018•常州）如图，AB是O的直径，MN是O的切线，切点为N，如果52
MNB
∠=︒，则NOA
∠
的度数为()
A．76︒B．56︒C．54︒D．52︒
15．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若40
BOC
∠=︒，则D
∠的度数为()
A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒
16．（2018•盐城）如图，AB为O的直径，CD是O的弦，35
ADC
∠=︒，则CAB
∠的度数为()
A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒
二．填空题（共17小题）
17．（2020•镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．
18．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．
19．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若18
ADB
∠=︒，则这个正多边形的边数为．
20．（2020•徐州）如图，在Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，4
AC=，3
BC=．若以AC所在直线为轴，把ABC
∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．
21．（2020•徐州）在ABC ∆中，若6AB =，45ACB ∠=︒．则ABC ∆的面积的最大值为 ． 22．（2020•盐城）如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= ︒．
23．（2020•南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 2cm ．
24．（2020•连云港）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= ︒．
25．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 ︒．
26．（2019•无锡）如图，AB为O的直径，点C、D在O上，若70
∠的度数是．
CBA
∠=︒，则D
27．（2019•常州）如图，半径为3的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan OCB
∠=．
28．（2019•泰州）如图，O的半径为5，点P在O上，点A在O内，且3
AP=，过点A作AP的垂线
=，则y与x的函数表达式为．
交O于点B、C．设PB x
=，PC y
29．（2019•连云港）如图，点A、B、C在O上，6
∠=︒，则O的半径为．
BC=，30
BAC
30．（2019•扬州）如图，AC是O的内接正六边形的一边，点B在AC上，且BC是O的内接正十边形的一边，若AB是O的内接正n边形的一边，则n=．
31．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．
32．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．
a<，点C是以OA为直径的B上一动点，点A关于点C 33．（2018•无锡）如图，点A的坐标是(a，0)(0)
的对称点为P．当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线
1
1
3
y x
=--有且只有一个公共
点，则a的值等于．
三．解答题（共12小题）
34．（2020•宿迁）如图，在ABC
∆中，D是边BC上一点，以BD为直径的O经过点A，且CAD ABC
∠=∠．（1）请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；
（2）若2
CD=，4
CA=，求弦AB的长．
35．（2020•镇江）如图，ABCD中，ABC
∠的平分线BO交边AD于点O，4
OD=，以点O为圆心，OD 长为半径作O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交O于点G，G为MN的中点．（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知
1
cos
3
ABC
∠=，连接AE，当AE与O相切时，求AB的长．
36．（2020•盐城）如图，O是ABC
∆的外接圆，AB是O的直径，DCA B
∠=∠．
（1）求证：CD是O的切线；
（2）若DE AB
⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF
∆是等腰三角形．
37．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、
C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”
)，O 关于直线m 的“特征数”为 ；
②若直线n 的函数表达式为34y x =+．求O 关于直线n 的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作F ．若F 与直线l 相离，点(1,0)N -是F 关于直线l 的
“远点”．且F 关于直线l 的
“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．
38．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ； （2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；
（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）； （4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC
∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．
39．（2020•扬州）如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =． （1）试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若6AC =，求阴影部分的面积．
40．（2020•南京）如图，在ABC ∆中，AC BC =，D 是AB 上一点，O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交O 于点F ． 求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形； （2）AF EF =．
41．（2020•苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；
（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．
42．（2019•镇江）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)O ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” )，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】
观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥． （1）求POB ∠的度数；
（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即
O 上AB 的长．(π取3.1)
43．（2019•镇江）在三角形纸片ABC （如图1)中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)． （1）ABC ∠= ︒；
（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．
参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．
44．（2019•常州）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： ；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(1,0)B ，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．
①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心M 在过点(0,2)且与y 轴垂直的直线上．对于M 上任意点C ，都有58d ，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．
45．（2019•扬州）如图，AB是O的弦，过点O作OC OA
=．
⊥，OC交AB于P，CP BC （1）求证：BC是O的切线；
（2）已知25
∠=︒，点Q是AmB上的一点．
BAO
∠的度数；
①求AQB
②若18
OA=，求AmB的长．
2018—2020年江苏省数学中考试题分类（13）——圆
一．选择题（共16小题）
1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )
A ．10︒
B ．14︒
C ．16︒
D ．26︒
【解答】解：连接BD ，如图，
AB 是半圆的直径，
90ADB ∴∠=︒，
1069016BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
16CAB BDC ∴∠=∠=︒．
故选：C ．
2．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，则这个几何体的侧面积为( )
A ．248cm π
B ．224cm π
C ．212cm π
D ．29cm π
【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积216824()2
cm ππ=⨯⨯⨯=． 故选：B ．
3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )
A 213
B 313
C ．23
D ．32
【解答】解：如图，连接AC 、BC ．
ADC ∠和ABC ∠所对的弧长都是AC ，
∴根据圆周角定理知，ADC ABC ∠=∠．
在Rt ACB ∆中，根据锐角三角函数的定义知， sin AC ABC AB
∠=， 2AC =，3BC =，
2213AB AC BC ∴=+=，
213sin 13
ABC ∴∠==， 213sin ADC ∴∠=． 故选：A ．
4．（2020•徐州）如图，AB 是O 的弦，
点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )
A ．75︒
B ．70︒
C ．65︒
D ．60︒ 【解答】解：OC OA ⊥，
90AOC ∴∠=︒，
70APO BPC ∠=∠=︒，
907020A ∴∠=︒-︒=︒，
OA OB =，
20OBA A ∴∠=∠=︒，
BC 为O 的切线，
OB BC ∴⊥，
90OBC ∴∠=︒，
902070ABC ∴∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( )
A ．(9,2)
B ．(9,3)
C ．(10,2)
D ．(10,3)
【解答】解：设O 与x 、y 轴相切的切点分别是F 、E 点，连接PE 、PF 、PD ，延长EP 与CD 交于点G ，
则PE y ⊥轴，PF x ⊥轴，
90EOF ∠=︒，
∴四边形PEOF 是矩形，
PE PF =，//PE OF ，
∴四边形PEOF 为正方形，
5OE PF PE OF ∴====， (0,8)A ，
8OA ∴=，
853AE ∴=-=，
四边形OACB 为矩形，
8BC OA ∴==，//BC OA ，//AC OB ，
//EG AC ∴，
∴四边形AEGC 为平行四边形，四边形OEGB 为平行四边形，
3CG AE ∴==，EG OB =，
PE AO ⊥，//AO CB ，
PG CD ∴⊥，
26CD CG ∴==，
862DB BC CD ∴=-=-=，
5PD =，3DG CG ==，
4PG ∴=，
549OB EG ∴==+=，
(9,2)D ∴．
故选：A ．
6．（2020•淮安）如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( )
A ．54︒
B ．27︒
C ．36︒
D ．108︒
【解答】解：54ACB ∠=︒，
∴圆心角2108AOB ACB ∠=∠=︒，
OB OA =，
1(180)362
ABO BAO AOB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒， 故选：C ． 7．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )
A ．10π
B ．9π
C ．8π
D ．6π
【解答】解：连接OC ，
90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥，
∴四边形CDOE 是矩形，
//CD OE ∴，
36DEO CDE ∴∠=∠=︒，
由矩形CDOE 易得到DOE CEO ∆≅∆，
36COB DEO ∴∠=∠=︒
∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，
2
361010360
OBC S ππ⋅⨯==扇形 ∴图中阴影部分的面积10π=，
故选：A ．
8．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、
O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )
A ．AED ∆
B ．ABD ∆
C ．BC
D ∆ D ．ACD ∆
【解答】解：从O 点出发，确定点O 分别到A ，B ，C ，D ，E 的距离，只有OA OC OD ==， 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O 是ACD ∆的外心，
故选：D ．
9．（2020•苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1π-
B ．12
π
- C ．12π- D ．122
π- 【解答】解：CD OA ⊥，CE OB ⊥，
90CDO CEO AOB ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形CDOE 是矩形，
连接OC ， 点C 是AB 的中点，
AOC BOC ∴∠=∠，
OC OC =，
()COD COE AAS ∴∆≅∆，
OD OE ∴=，
∴矩形CDOE 是正方形，
2OC OA ==，
1OE ∴=，
∴图中阴影部分的面积9021113602
ππ⨯=-⨯=-， 故选：B ．
10．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的
外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )
A ．63π-
B ．632π-
C ．63π+
D ．632π+
【解答】解：6个月牙形的面积之和213(2623)632
πππ=--⨯⨯⨯=-， 故选：A ．
11．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )
A ．54︒
B ．36︒
C ．32︒
D ．27︒
【解答】解：AB 为O 的切线，
90OAB ∴∠=︒，
36ABO ∠=︒，
9054AOB ABO ∴∠=︒-∠=︒，
OA OD =，
ADC OAD ∴∠=∠，
AOB ADC OAD ∠=∠+∠，
1272
ADC AOB ∴∠=∠=︒； 故选：D ．
12．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③
6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【解答】解：沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，
DMC EMC ∴∠=∠，
再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，
AMP EMP ∴∠=∠，
180AMD ∠=︒，
1180902
PME CME ∴∠+∠=
⨯︒=︒， CMP ∴∆是直角三角形；故①正确；
沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，
90D MEC ∴∠=∠=︒，
再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，
90MEG A ∴∠=∠=︒，
180GEC ∴∠=︒，
∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；
2AD
=，
∴设AB x =，则
AD =，
将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；
12DM
AD ∴==， CM ∴=，
90PMC ∠=︒，MN PC
⊥，
2CM CN CP
∴=，
2
CP ∴=，
2
PN CP CN
x ∴=-=， PM ∴==
，
∴
PC PM == PC ∴=，故③错误；
2
PC =，
PB
x ∴==，
∴AB PB = PB AB ∴=，故④正确， CD CE =，EG AB =，AB CD =，
CE EG ∴=，
90CEM G ∠=∠=︒，
//FE PG ∴，
CF PF ∴=，
90PMC ∠=︒，
CF PF MF ∴==，
∴点F 是CMP ∆外接圆的圆心，故⑤正确；
故选：B ．
13．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，
画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( )
A ．58
B ．78
C ．710
D ．45
【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D ，连接AD ．
OD 是直径，
90OAD ∴∠=︒，
90AOB AOD ∠+∠=︒，90AOD ADO ∠+∠=︒，
AOB ADO ∴∠=∠，
由刻度尺可知，0.8OA =，
84sin sin 105
AOB ADO ∴∠=∠==， 故选：D ．
14．（2018•常州）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为N ，如果52MNB ∠=︒，则NOA ∠的度数为( )
A ．76︒
B ．56︒
C ．54︒
D ．52︒
【解答】解：MN 是O 的切线，
ON NM ∴⊥，
90ONM ∴∠=︒，
90905238ONB MNB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
ON OB =，
38B ONB ∴∠=∠=︒，
276NOA B ∴∠=∠=︒．
故选：A ． 15．（2018•苏州）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若40BOC ∠=︒，
则D ∠的度数为( )
A ．100︒
B ．110︒
C ．120︒
D ．130︒
【解答】解：40BOC ∠=︒，
18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒，
1(360140)1102
D ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：B ．
16．（2018•盐城）如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，35ADC ∠=︒，则CAB ∠的度数为( )
A ．35︒
B ．45︒
C ．55︒
D ．65︒
【解答】解：由圆周角定理得，35ABC ADC ∠=∠=︒，
AB 为O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
9055CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，
故选：C ．
二．填空题（共17小题）
17．（2020•镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 30π ．
【解答】解：圆锥侧面积1256302
ππ=⨯⨯⨯=． 故答案为30π．
18．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r ，
根据题意得9042180
r ππ=， 解得1r =，
所以这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为1．
19．（2020•徐州）如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为 10 ．
【解答】解：连接OA ，OB ，
A 、
B 、
C 、
D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，
∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，
18ADB ∠=︒，
236AOB ADB ∴∠=∠=︒，
∴这个正多边形的边数3601036︒
==︒
，
故答案为：10．
20．（2020•徐州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．若以AC 所在直线为轴，把ABC ∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．
【解答】解：由已知得，母线长5l =，底面圆的半径r 为3， ∴圆锥的侧面积是5315s lr πππ==⨯⨯=． 故答案为：15π． 21．（2020•徐州）在ABC ∆中，若6AB =，45ACB ∠=︒．则ABC ∆的面积的最大值为 929+ ． 【解答】解：作ABC ∆的外接圆O ，过C 作CM AB ⊥于M ，
弦AB 已确定，
∴要使ABC ∆的面积最大，只要CM 取最大值即可， 如图所示，当CM 过圆心O 时，CM 最大， CM AB ⊥，CM 过O ，
AM BM ∴=（垂径定理）
， AC BC ∴=，
224590AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，
11
6322
OM AM AB ∴===⨯=，
2232OA OM AM ∴=+=， 323CM OC OM ∴=+=+，
11
6(323)92922
ABC S AB CM ∆∴==⨯⨯+=+．
故答案为：929+． 22．（2020•盐城）如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= 130 ︒．
【解答】解：如图，在优弧BC 上取一点D ，且异于B ，C ，连接BD ，CD ， 则四边形ABDC 是O 的内接四边形， 180D BAC ∴∠+∠=︒． 100BOC ∠=︒， 50D ∴∠=︒，
18050130BAC ∴∠=︒-︒=︒， 故答案为：130．
23．（2020•南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 23 2cm ．
【解答】解：连接BF ，BE ，过点A 作AT BF ⊥于T
ABCDEF
是正六边形， //CB EF ∴，AB AF =，120BAF ∠=︒， PEF BEF S S ∆∆∴=，
AT BF ⊥，AB AF =，
BT FT ∴=，60BAT FAT ∠=∠=︒， sin 603BT FT AB ∴==︒=
223BF BT ∴==，
120AFE ∠=︒，30AFB ABF ∠=∠=︒， 90BFE ∴∠=︒，
11
2232322
PEF BEF S S EF BF ∆∆∴===⨯⨯=，
故答案为23． 24．（2020•连云港）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l
经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= 48 ︒．
【解答】解：设l 交12A A 于E 、交43A A 于D ，如图所示：
六边形123456A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和(62)180720=-⨯︒=︒，
1232347201206
A A A A A A ︒
∴∠=∠==︒，
五边形12345B B B B B 是正五边形，五边形的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，
2345401085
B B B ︒
∴∠==︒，
4318010872B B D ∴∠=︒-︒=︒， 3434//A A B B ，
34372EDA B B D ∴∠=∠=︒，
212323433603601201207248A ED A A A A A A EDA α∴=∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒， 故答案为：48．
25．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 25 ︒．
【解答】解：AC 是
O 的切线， OA AC ∴⊥， 90OAC ∴∠=︒，
90904050AOC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OB OD =，
OBD ODB ∴∠=∠，
而AOC OBD ODB ∠=∠+∠，
1
252
OBD AOC ∴∠=∠=︒，
即ABD ∠的度数为25︒， 故答案为：25． 26．（2019•无锡）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，若70CBA ∠=︒，则D ∠的度数是 20︒ ．
【解答】解：AB 为O 的直径， 90ACB ∴∠=︒， 70CBA ∠=︒， 20A ∴∠=︒，
20D A ∴∠=∠=︒． 故答案为20︒． 27．（2019•常州）如图，半径为3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，
则tan OCB ∠= 3
．
【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，
O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，
1
302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=︒，
tan OD
OBC BD ∴∠=， 3
3tan 303
OD BD ∴===︒，
835CD BC BD ∴=-=-=，
3
tan OD OCB CD ∴∠==
3
．
28．（2019•泰州）如图，O 的半径为5，点P 在O 上，点A 在O 内，且3AP =，过点A 作AP 的垂线
交O 于点B 、C ．设PB x =，PC y =，则y 与x 的函数表达式为 30
y x
= ．
【解答】解：连接PO 并延长交O 于D ，连接BD ， 则C D ∠=∠，90PBD ∠=︒， PA BC ⊥， 90PAC ∴∠=︒， PAC PBD ∴∠=∠， PAC PBD ∴∆∆∽， ∴PB PD PA PC
=， O 的半径为5，3AP =，PB x =，PC y =， ∴10
3x y =， 30xy ∴=，
30y x
∴=， 故答案为：30
y x
=．
29．（2019•连云港）如图，点A 、B 、C 在O 上，6BC =，30BAC ∠=︒，则O 的半径为 6 ．
【解答】解：260BOC BAC ∠=∠=︒，又OB OC =， BOC ∴∆是等边三角形 6OB BC ∴==， 故答案为6．
30．（2019•扬州）如图，AC 是O 的内接正六边形的一边，点B 在AC 上，且BC 是O 的内接正十边形的一边，若AB 是O 的内接正n 边形的一边，则n = 15 ．
【解答】解：连接BO ，
AC 是O 内接正六边形的一边， 360660AOC ∴∠=︒÷=︒，
BC 是O 内接正十边形的一边， 3601036BOC ∴∠=︒÷=︒，
603624AOB AOC BOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 3602415n ∴=︒÷︒=； 故答案为：15．
31．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为 6π ．
【解答】解：该圆锥的侧面积1
22362
ππ=⨯⨯⨯=．
故答案为6π． 32．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 2 ．
【解答】解：直角三角形的斜边2251213=+=，
所以它的内切圆半径51213
22
+-==．
故答案为2． 33．（2018•无锡）如图，点A 的坐标是(a ，0)(0)a <，点C 是以OA 为直径的B 上一动点，点A 关于点C
的对称点为P ．当点C 在B 上运动时，所有这样的点P 组成的图形与直线1
13
y x =--有且只有一个公共
点，则a 的值等于 310
10
- ．
【解答】解：如图，连接BC ，OD ，设直线1
13
y x =--交x 轴于点(3,0)E -，交y 轴于点(0,1)F -，
AC CD =，AB OB =， 2OD BC a ∴==-，
∴点D 的运动轨迹是以O 为圆心a -为半径的圆，当
O 与直线1
13
y x =--相切时，点P 组成的图形与直线
1
13
y x =--有且只有一个公共点，设切点为G ，连接OG ．
在Rt EOF ∆中，OG EF ⊥，221310EF =+=，11
22
OE OF EF OG =，
310
OG ∴=， 310
a ∴=-， 故答案为：310
-．
三．解答题（共12小题） 34．（2020•宿迁）如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，以BD 为直径的O 经过点A ，且CAD ABC ∠=∠． （1）请判断直线AC 是否是O 的切线，并说明理由； （2）若2CD =，4CA =，求弦AB 的长．
【解答】解：（1）直线AC 是O 的切线， 理由如下：如图，连接OA ，
BD 为O 的直径，
90BAD OAB OAD ∴∠=︒=∠+∠， OA OB =，
OAB ABC ∴∠=∠， 又CAD ABC ∠=∠，
OAB CAD ABC ∴∠=∠=∠，
90OAD CAD OAC ∴∠+∠=︒=∠， AC OA ∴⊥， 又OA 是半径，
∴直线AC 是O 的切线；
（2）过点A 作AE BD ⊥于E ， 222OC AC AO =+， 22(2)16OA OA ∴+=+， 3OA ∴=，
5OC ∴=，8BC =，
11
22OAC S OA AC OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯，
3412
55
AE ⨯∴==，
221449
9255
OE AO AE ∴=-=-=，
245
BE BO OE ∴=+=， 22576144125
2525AB BE AE ∴=+=+=
． 35．（2020•镇江）如图，ABCD 中，ABC ∠的平分线BO 交边AD 于点O ，4OD =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交O 于点G ，G 为MN 的中点． （1）求证：四边形ABEO 为菱形；
（2）已知1
cos 3
ABC ∠=，连接AE ，当AE 与O 相切时，求AB 的长．
【解答】解：（1）证明：G 为MN 的中点， MOG MDN ∴∠=∠．
四边形ABCD 是平行四边形． //AO BE ∴，180MDN A ∠+∠=︒， 180MOG A ∴∠+∠=︒， //AB OE ∴，
∴四边形ABEO 是平行四边形． BO 平分ABE ∠， ABO OBE ∴∠=∠， 又OBE AOB ∠=∠， ABO AOB ∴∠=∠， AB AO ∴=，
∴四边形ABEO 为菱形；
（2）如图，过点O 作OP BA ⊥，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ BC ⊥于点Q ，设AE 交OB 于点F ，
则PAO ABC ∠=∠，
设AB AO OE x ===，则
1
cos 3ABC ∠=，
1
cos 3
PAO ∴∠=，
∴13
PA AO =， 1
3
PA x ∴=，
22
OP OQ x ∴==
当AE 与O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，
∴在Rt OBQ ∆中，由勾股定理得：22
2422()()833
x x +=，
解得：26x =（舍负）． AB ∴的长为26． 36．（2020•盐城）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，DCA B ∠=∠． （1）求证：CD 是O 的切线；
（2）若DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ，求证：DCF ∆是等腰三角形．
【解答】证明：（1）连接OC ， OC OA =， OCA A ∴∠=∠，
AB 是O 的直径， 90BCA ∴∠=︒， 90A B ∴∠+∠=︒， DCA B ∠=∠，
90OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=︒， OC CD ∴⊥，
CD ∴是O 的切线；
（2）90OCA DCA ∠+∠=︒，OCA A ∠=∠， 90A DCA ∴∠+∠=︒， DE AB ⊥，
90A EFA ∴∠+∠=︒， DCA EFA ∴∠=∠，
EFA DFC
∠=∠，
∴∠=∠，
DCA DFC
∴∆是等腰三角形．
DCF
37．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、
C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O关于直线m的“特征数”为；
②若直线n的函数表达式为34
y x
=+．求O关于直线n的“特征数”；
M，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(1,4)
N-是F关于直线l的“远点”．且F关于直线l的“特征数”是45，作F．若F与直线l相离，点(1,0)
求直线l的函数表达式．
【解答】解：（1）①由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数2510
==⨯=，
DB DE
故答案为：D，10．
②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交O于Q，P．
设直线34
y x
=+交x轴于
43
(F-，0)，交y轴于(0,4)
E，4
OE
∴=，
43
OF=
3
tan
OF
FEO
OE
∴∠==，
30
FEO
∴∠=︒，
1
2
2
OH OE
∴==，
3
PH OH OP
∴=+=，
O
∴关于直线n的“特征数”236
PQ PH
==⨯=．
（2）如图2中，设直线l的解析式为y kx b
=+．
当0
k>时，过点F作FH⊥直线l于H，交F于E，N．由题意，22
EN=45
EN NH=
10
NH
∴=，
(1,0)
N-，(1,4)
M，
22
2425
MN
∴+=
22201010
HM MN NH
∴--=
MNH
∴∆是等腰直角三角形，
MN的中点(0,2)
K，
5
KN HK KM
∴==
(2,3)
H
∴-，
把(2,3)
H-，(1,4)
M代入y kx b
=+，则有
4
23
k b
k b
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得
1
3
11
3
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线l的解析式为
111
33
y x
=+，
当0k <时，同法可知直线l '经过(2,1)H '，可得直线l '的解析式为37y x =-+．
综上所述，满足条件的直线l 的解析式为111
33
y x =+或37y x =-+．
38．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += 12 ； （2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；
（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）； （4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC
∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．
【解答】解：（1）如图1中，
过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ． 四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，
∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，
2BE PN CF ∴===，1
62
PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，PCN PCF S S ∆∆=，
ABD BCD S S ∆∆=，
AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==， 1212S S ∴+=，
故答案为12．
（2）如图2中，连接PA ，PC ，
在APB ∆中，点E 是AB 的中点，
∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，
AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 121
2
ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形， 1121121()()PBD
ABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．
（3）如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形， 2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形， ()()1212111
22222
ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形， 1211
()()2
PBD
ABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．
（4）如图41-中，结论：2134S S S S -=+．
理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ．
由题意：1413S x S S y S ++=++， 34x y S S ∴-=-，
12142()S S x y S x S +++=++， 214342S S x y S S S ∴-=-+=+．
同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．
39．（2020•扬州）如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =． （1）试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若6AC =，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，
CD为O的直径，
90
DAC
∴∠=︒，
又60
ADC B
∠=∠=︒，
30
ACE
∴∠=︒，
又AE AC
=，OA OD
=，
ADO
∴∆为等边三角形，
30
AEC
∴∠=︒，60
ADO DAO
∠=∠=︒，
30
EAD
∴∠=︒，
90
EAD DAO
∴∠+∠=︒，
90
EAO
∴∠=︒，即OA AE
⊥，
AE
∴为O的切线；
（2）解：由（1）可知AEO
∆为直角三角形，且30
E
∠=︒，23
OA
∴=，6
AE=，
∴阴影部分的面积为
2
160(23)
623632
2
π
π
⨯
⨯⨯-=-．
故阴影部分的面积为632π
-．
40．（2020•南京）如图，在ABC
∆中，AC BC
=，D是AB上一点，O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作//
DF BC，交O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF EF
=．
【解答】证明：（1）AC BC
=，
BAC B
∴∠=∠，
//
DF BC，
ADF B
∴∠=∠，
BAC CFD ∠=∠， ADF CFD ∴∠=∠， //BD CF ∴， //DF BC ，
∴四边形DBCF 是平行四边形；
（2）连接AE ， ADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠， AEF B ∴∠=∠，
四边形AECF 是O 的内接四边形， 180ECF EAF ∴∠+∠=︒， //BD CF ，
180ECF B ∴∠+∠=︒， EAF B ∴∠=∠， AEF EAF ∴∠=∠， AF EF ∴=． 41．（2020•苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；
（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，8OP t =-，OQ t =， 88()OP OQ t t cm ∴+=-+=．
（2）当4t =时，线段OB 的长度最大．
如图，过点B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ．
OT 平分MON ∠，
45BOD OBD ∴∠=∠=︒， BD OD ∴=，2OB BD =．
设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，22OB BD x ==，8PD t x =--， //BD OQ ， ∴PD BD OP OQ =， ∴88t x x t t
--=-，
2
88
t t
x -∴=． 2282
24)228t t OB t -∴==-+
二次项系数小于0．
∴当4t =时，线段OB 的长度最大，最大为22cm ． （3）90POQ ∠=︒， PQ ∴是圆的直径． 90PCQ ∴∠=︒．
45PQC POC ∠=∠=︒， PCQ ∴∆是等腰直角三角形．
211221224
PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆∴=
=⨯=． 在Rt POQ ∆中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．
∴四边形OPCQ 的面积211
24
POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=+，
2211
(8)[(8)]24
t t t t =-+-+， 2211
41641622
t t t t =-++-=．
∴四边形OPCQ 的面积为2
16cm ． 42．（2019•镇江）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)O ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” )，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】
观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥． （1）求POB ∠的度数；
（2）已知6400
OP km
=，求这两个观测点之间的距离即O上AB的长．(π取3.1)
【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD BC
⊥于D，CH BH
⊥交BC于点C，如图所示：
则67
DHC
∠=︒，
90
HBD BHD BHD DHC
∠+∠=∠+∠=︒，
67
HBD DHC
∴∠=∠=︒，
//
ON BH，
67
BEO HBD
∴∠=∠=︒，
906723
BOE
∴∠=︒-︒=︒，
PQ ON
⊥，
90
POE
∴∠=︒，
902367
POB
∴∠=︒-︒=︒；
（2）同（1）可证31
POA
∠=︒，
673136
AOB POB POA
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴
366400
3968()
180
AB km
π
⨯⨯
==．
43．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1)中，78
BAC
∠=︒，10
AC=．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)．
（1）ABC ∠= 30 ︒；
（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．
参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．
【解答】解：（1）五边形ABDEF 是正五边形，
(52)1801085
BAF -⨯︒
∴∠==︒，
30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒， 故答案为：30；
（2）作CQ AB ⊥于Q ，
在Rt AQC ∆中，sin QC
QAC AC
∠=，
sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=， 在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒， 219.6BC QC ∴==， 9.6GC BC BG ∴=-=．
44．（2019•常州）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： 2 ；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(1,0)B ，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．
①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心M 在过点(0,2)且与y 轴垂直的直线上．对于M 上任意点C ，都有58d ，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．。