特征方程求解递归方程

它的通解形式为： 其中， 1）
f (n) f (n) f * (n)
f (n) 为对应齐次递归方程的通解
为原非齐次递归方程的特解
2） f*(n)
解题原理：
1. 一般没有寻找特解的有效方法 2. 先根据g(n)具体形式，确定特解；再将特解代入递归方程，用 待定系数法，求解特解的系数 3. g(n)分为以下几种情况: g(n)是n的m次的多项式 g(n)是n的指数函数
解： 特征方程为 x3 － 6x2 + 11x － 6 = 0
改写方程为：
x3 3x2 3x2 9 x 2 x 6 0
因式分解： (x-1)(x-2)(x-3)=0 得到特征根： q1=1, q2=2, q3=3
n n n f ( n ) c q c q c q 1 1 2 2 3 3 递归方程的通解为： n n c1 c2 2 c3 3
r
n
各个系数Ai待定
例4 。 2阶常系数线性非齐次递归方程如下
f (n) 7 f (n 1) 12 f ( n 2) n2 n f (0) 1 f (1) 2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +12= 0
因式分解： (x － 3)(x － 4)=0
由初始条件得：
f (0) c1 c2 c3 0 f (1) c1 2c2 3c3 2 f (2) c 4c 9c 10 1 2 3
得到： c1=0, c2=-2, c3=2
因此，递归方程的解为：
f (n) 2(3n 2n )
解得：A1=1, A2=13/2, A3=103/8
非齐次递归方程的通解为：
n n
2 8 f (n) c1 2 c2 5 n n 13 103
2
8 f (0) c1 c2 1 103 初始条件代入有： f (1) 2c 5c 163 2 1 2 8
得到： c1=-41/3, c2=43/24
最后，非齐次递归方程通解为：
41 n 43 n 13 103 2 f ( n) 2 5 n n 3 24 2 8
g(n)是n的指数函数
g(n)形如：
g (n) (b1nm b2nm1 ... bmn bm1 )an
令非齐次递归方程的特解为：
2 f *(n) An A2n A3 1
代入原递归方程得：
{ A1n 2 A2 n A3 } 7{ A1 (n 1) 2 A2 (n 1) A3} 10{ A1 (n 2) 2 A2 (n 2) A3 } 4n 2
f (n) 7 f (n 1) 10 f (n 2) 4n 2 f (0) 1 f (1) 2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +10= 0
因式分解： (x － 2)(x － 5)=0
特征根：q1=2，q2=5
对应齐次方程通解： f (n) c1 2n c2 5n
... ak 0
解题原理：
1） 求解上述特征方程的根，得到递归方程的通解 2）利用递归方程初始条件，确定通解中待定系数，得到递归方 程的解
考虑2种情况：
1）特征方程的k个根不相同 2）特征方程有相重的根
特征方程的k个根不相同：
假设：q1, q2, …, qk是k个不同的根，则递归方程的 通解为
f (0) c1 c2 10 1
得到： c1= -14, c2=5
最后，非齐次递归方程通解为：
f (n) 14 3n 5 4n (2n 10)2 n 14 3n 5 4n ( n 5)2n 1
作业2
解下列递归方程： 1. f(n)=f(n-1) + n2, f(0)=0 2. f(n)=2f(n-1) +n, f(0)=1 3. f(n)=3f(n-1) + 2n, f(0)=3 4. f(n)= — 2f(n-1) + 2n —n2, f(0)=1
求解递归方程
算法复杂性经常描述为递归方程，解递归方程得到算法复 杂性的具体表示

用特征方程解递归方程 用生成函数解递归方程
用递推方法解递归方程
用特征方程解递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程 K阶常系数线性非齐次递归方程

K阶常系数线性齐次递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程形如：
f (n) a1 f (n 1) a2 f (n 2) ... ak f (n k ) 0 i k 1 f (i) bi
二、K阶常系数线性非齐次递归方程
K阶常系数线性非齐次递归方程形如：
f (n) a1 f (n 1) a2 f (n 2) ... ak f (n k ) g (n) f (i) bi 0 i k 1 其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。
得到： c1=0, c2=-1, c3=1 因此，递归方程的解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n 3n n
作业1
解下列递归方程： 1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5 2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2 3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1 4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3
g(n)是n的m次的多项式
g(n)形如：
g (n) b1nm b2nm1 ... bmn bm1
其中，bi为常数。 此时，特解f*(n)也是n的m次多项式，形如：
m m1 f * (n) An A n ... Amn Am1 1 2
各个系数Ai待定
例3 。 2阶常系数线性非齐次递归方程如下
特征根：q1=3，q2=4
对应齐次方程通解： f (n) c13n c2 4n
a=2不是特征方程的重根，故令非齐次递归方程的特解为：
f *(n) ( A1n A2 )2
代入原递归方程得：
n
( A1n 2 A2 )2n 7{ A1 (n 1) A2 }2n 1 12{ A1 (n 2) A2 }2n 2 n 2n
例2 。 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f (n) 5 f (n 1) 7 f (n 2) 3 f ( n 3) f (0) 0 f (1) 2 f (2) 7
解： 特征方程为 x3 － 5x2 + 7x － 3= 0
改写为： x3 － 5x2 + 6x + x－ 3 = 0
其中，a和bi为常数。 1）如果a不是特征方程的重根，特解f*(n) 形如：
f * (n) ( A1nm A2nm1 ... Amn Am1 )an
各个系数Ai待定
2）如果a是特征方程的r重特征根，特解f*(n) 形如：
f (n) ( An A2n 1
* m
m1
... Amn Am1 )n a
因式分解： (x-3)(x2 － 2x+1)=0 (x-3)(x-1)(x-1)=0
得到特征根： q1=1, q2=1, q3=3 递归方程的通解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n c1 c2 n c3 3n
代入初始条件：
f (0) c1 c3 1 f (1) c1 c2 3c3 2 f (2) c 2c 9c 7 1 2 3
化简后得到：
2 A1n 2 A2 10 A1 4n
由此得到联立方程：
2 A1 4 2 A2 10 A1 0
解得：A1=2, A2=10 非齐次递归方程的通解为：
f (n) c13 c2 4 (2n 10)2
n n
n
初始条件代入有：
f (1) 3c1 4c2 24 2
f (n) c q c2q2 ... ck qk
n 1 1 n
n
特征方程的k个根有重根：
假设：r个重根qi, qi+1, …, qi+r-1，则递归方程的通解 为
f (n) c q ... c q (ci ci 1n ... ci r 1n )q
n 1 1 n i 1 i 1 k
r 1
n i
... ck q
前面2种情况下的c1,c2,…,ck均为待定系数；
将初始条件代入，建立联立方程，确定各个系数具体值，得到 通解f(n) 例1. 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f (n) 6 f (n 1) 11 f (n 2) 6 f (n 3) f (0) 0 f (1) 2 f (2) 10
其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。
在上式中，用xn取代f(n), 有：
xn a1xn1 a2 xn2 ... ak xnk
两边分别除以xn-k，得：
x a1x
k
k 1
a2 x
k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
... ak
特征方程如下：
x a1x
k
k 1
a2 x
k 2
化简后得到：
4 A1n (26 A1 4 A2 )n (33 A1 13 A2 4 A3 )
2
4n 4n 0* n 0
2 2
!!!!!!由此得到联立方程：
4 A1 4 26 A1 4 A2 0 33 A1 13 A2 4 A3 0