特征方程求解递归方程
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述递归方程是数学中常见的一种表示方式，它描述了一个数列或函数之间的递推关系。
递归方程求解方法是指寻找递归方程的解析解或近似解的过程。
在许多应用领域，递归方程都是非常重要的，例如在计算机科学、自然科学及经济学等各个领域。
本文将从递归方程的求解方法综述入手，介绍常见的求解方法，包括代入法、特征根法、母函数法等，并举例说明其应用。
一、代入法代入法是求解递归方程的常见方法之一、它的基本思想是通过猜测法求得递归方程的解的形式，然后通过代入递归方程验证该猜测解是否成立。
如果成立，我们就可以得到递归方程的解析解；如果不成立，我们需要修改猜测解的形式，重复上述过程直到找到正确的解。
例如，考虑递推关系式$f(n) = 2f(n-1) + 3$，其中$f(0)=1$。
我们首先猜测$f(n) = a\cdot 2^n + b$，代入递推关系式可得：$a\cdot 2^n + b = 2(a\cdot 2^{n-1} + b) + 3$。
整理得$a\cdot 2^n + b = 2a\cdot 2^{n-1} + 2b + 3$。
化简可得$a\cdot 2^{n-1} = 2b + 3$。
由此可知，$b = \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}$。
将$b$的值代入原方程得到$a\cdot 2^n + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2} = 2(a\cdot2^{n-1} + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}) + 3$。
进一步化简可得$a = 6$。
因此，递归方程的解析解为$f(n) =6\cdot 2^n + \frac{3}{2}(2^n - 1)$。
二、特征根法特征根法是求解线性递归方程的常用方法。
这种方法基于线性递归方程的特征方程和特征根的性质，通过求解特征方程的根来得到递归方程的解析解。
考虑递归关系式$f(n) = af(n-1) + b$，其中$f(0)=c$。
数列求通项的十种方法
数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。
下面将介绍十种求解数列通项的方法。
1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。
2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。
3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。
4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。
5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。
6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。
7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。
8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。
9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。
10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。
以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。
对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。
算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。
阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。
这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。
关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数0引言寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。
在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。
一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。
因此研究递归方程的解法意义重大。
下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。
1递归方程的解法递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的规模要小。
对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。
根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。
下面就分别来分析其求解过程。
1.1递推法当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。
下面举例说明： t(1)=0t(n)=2t(n/2)+n2(n≥2)t(n)=2t(n/2)+n2=2(2t(n/22)+(n/2)2)+n2=22t(n/2)2+2n2/22+n2=22(2t(n/23)+(n/22)2)+2n2/22+n2=23(2t(n/23)+22n2/(22)2)+2n2/(22)1+n2…=2kt(n/2k)+∑k-1i=02in2(22)i递推到这里我们就可以发现递归规律，找到递归出口， t(1)=0，令n=2k 则可以得到如下结果：t(n) =2kt(1) +∑k-1i=0n2(1/2)i)=n2(1-(1/2)k1-1/2)=2n2-2n 上面得到方程的解，我们来分析其对应算法复杂性的渐进阶，根据渐进阶定理有：设有函数f(n)，g(n）均是规模n的函数，则o(f(n))+o(g(n))=o(max(f(n), g(n)))。
算法常用数学工具_递归方程求解
k 1 k 1 n n
3
f (n) 2 f (n 1) 1 f (1) 1
3.2 用递推方法求汉诺塔问题的 复杂度
20 * f (n) 20 * 2 f (n 1) 20 *1 1 1 1 2 * f ( n 1 ) 2 * 2 f ( n 2 ) 2 *1 ...... 2 n 3 * f (3) 2 n 3 * 2 f (2) 2 n 3 *1 n2 n2 n2 2 * f ( 2 ) 2 * 2 f ( 1 ) 2 *1
n n
待定系数的线性方程组的解是：c1=5/9, c2=-1/3, c3=4/9
c1 c3 1 2c1 2c2 - c3 0 4c 8c c 0 2 3 1
通解：
5 n 1 n 4 n f (n) 2 - n2 - 1 9 3 9
2.5 k阶常系数线性非齐次递归方程
第2章 常用数学工具
1. 用生成函数求解递归方程 2. 用特征方程求解递归方程
3. 用递推方法求解递归方程
1. 用生成函数求解递归方程
1.1 什么是生成函数 1.2 生成函数的性质
1.3 用生成函数求解汉诺塔问题
1.4 用生成函数求解Fabanacci数 列通项
1.1 什么是生成函数
对于实数序列：
f (n) a1 f (n 1) a2 f (n 2) ... ak f (n k ) g (n) 初始条件 通解为： f (n) f (n) f * (n) 即齐次通解+特解
确定特解的任务就成为关键。根据齐次特征方程 根的情况，特解可以分为两种情况： 没有等于1的特征根：特解的多项式次数与g(n) 相同； 含有等于1的特征根：特解的多项式次数比g(n) 大1，但不含常数项。
特征方程求解递归方程
特征方程求解递归方程
在计算机科学和算法设计中，递归方程是非常常见的数学模型。
通常情况下，它们被用来描述某些重复性的过程或者算法的运行时间。
例如，计算斐波那契数列、快速排序算法等都可以用递归方程来描述。
解决递归方程的一种常见方法是使用特征方程。
特征方程是一个与原方程形式相似的代数方程，通过求解它的根可以得到递归方程的通项公式。
特征方程的求解需要一些数学知识，包括线性代数和微积分等。
但是，对于一些简单的递归方程，我们可以使用一些基本的技巧来求解它们的特征方程。
例如，对于斐波那契数列的递归方程f(n) = f(n-1) + f(n-2)，我们可以将它转化为特征方程x^2 = x + 1，然后求解它的根为φ和1-φ（φ是黄金比例，约为1.618），从而得到斐波那契数列的通项
公式f(n) = (φ^n - (1-φ)^n) / √5。
特征方程可以帮助我们更加系统地理解递归方程，从而更好地设计和分析算法。
因此，学习特征方程的求解方法是非常有价值的。
- 1 -。
求解递归方程的方法
代入初值 H(1) = 1
得 A=1 解为 H(n) = 2n –1
f(n)为指数函数 n，特解也为指数形式 若不是特征根，则特解为H*(n) = Pn 若是e重特征根，则特解为Pnen
例13 H(n) +5H(n-1) +6H(n-2) = 424n 令 H*(n) = P 4n , 代入得
令 H*(k) = P1k2k +P2 , 解得 P1=P2=1, H*(k) = k2k +1
通解 H(k)=C 2k + k2k +1, 代入初值，得
C= -1 H(k) = - 2k + k2k +1 T(n) = n log n – n +1
n = 2k
3．叠代归纳法 例13 H(n) = (4n-6) H(n-1) H(1) =1
f0 1, f1 1
解：x2-x-1 =0 的根为 1 5 , 1 5
2
2
，
递推方程的通解为
fn
C1
1
2
5
n
C2
1
2
5 n
带入初值 得
C1 C2 1
C1
1
2
5
C2
1
2
5
1
解得
C1
1 1 5 ,
52
C2
1 1 52
5
fn
1 5
1 2
5
n1
1 1 5 n1 5 2
H (n) C1q1n C2q2n ... Ck qk n C1,C2 ,...,Ck 待 定 常 数
递归方程求解
解递归方程下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容。
1、 递推法例：Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：()2(1) 1 2(1)1T n T n n T =-+≥⎧⎨=⎩递推求解如下：232122122()2(1)12(2(2)1)12(2)212(3)221......2(1)2 (221)22 (221)21n n n n n T n T n T n T n T n T ----=-+=-++=-++=-++++=+++++=+++++=-所以，Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性为：()(2)n T n O =例：分治法实例。
设n 表示问题的尺寸，n/b 表示将问题分成a 个子问题后的每个子问题的尺寸，其中a,b 为常数。
d(n)表示在分解或合成子问题而得到整个问题解决时的时间耗费。
则整个问题的时间耗费由下面的递归方程给出： ()(/)() 2(1)1T n aT n b d n n T =+≥⎧⎨=⎩递推求解如下：222232332210()((/)(/))()(/)(/)()((/)(/))(/)()(/)(/)(/)() ......(/)(/)k k ki i i T n a aT n b d n b d n a T n b ad n b d n a aT n b d n b ad n b d n a T n b a d n b ad n b d n a T n b a d n b -==++=++=+++=+++=+∑设：kn b =，则log b k n =，有： 10()(1)(/)k ki i i T n a T a d n b -==+∑ 当()d n 为常数时，有：log 10()() 1()(log ) 1 b a k k k ii b O a O n a T n a c a O n a -=⎧=≠=+=⎨=⎩∑ 当(),d n cn c =为常数时，有：111000(/)(/)(/)k k k i i i ii i i i a d n b a cn b cn a b ---=====∑∑∑若：a b <，则：10(/)()k i i cn a b O n -==∑log ()()()b a T n n O n O n =+=若：a b =，则：10(/)log k i b i cn a b cnk cn n -===∑log ()log (log )b a b b T n n cn n O n n =+=若：a b >，则：1log log 0(/)1(/)()()()/1/1b b k k kk n a ik i a b a b cn a b cn c O a O a O n a b a b -=--=====--∑ log log log ()()()b b b a a a T n n O n O n =+=综上所述：log () ()(log ) () b n O n a b T n O n n a b O na b ⎧<⎪==⎨⎪>⎩2、公式解法K 阶常系数齐次递推方程：12()(1)(2)...()0k T n a T n a T n a T n k -------= 0,,,1,...,k i a n k a i k ≠≥=是常数则对应的特征方程为：1212...0k k k k x a x a x a ------=特征方程有k 个根：12,,...,k q q q ，称为齐次方程的特征根。
算法-求解递归方程的方法
1第二章 常用的数学工具2.2 用生成函数求解递归方程 2.2.1 生成函数及其性质一、生成函数的定义定义2.1 令 ,,,210a a a 是一个实数序列，构造如下的函数：k k kz az a z a a z G ∑∞==+++=02210)( （2.2.1）则函数)(z G 称为序列 ,,,210a a a 的生成函数。
例：函数nn n n n n n x C x C x C C x ++++=+ 2210)1(则函数n x )1(+便是序列nn n n n C C C C ,,,,210 的生成函数。
二、生成函数的性质1. 加法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G βα+k k kkk kz bz az H z G ∑∑∞=∞=+=+0)()(βαβα2k k k kz b a)(0∑∞=+=βα（2.2.2）是序列 ,,,221100b a b a b a βαβαβα+++的生成函数。
2．移位 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，则)(z G z mkmk m k mzaz G z ∑∞=-=)( （2.2.3）是序列 ,,,,0,,0210a a a 的生成函数。
3．乘法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G)()()()(22102210 ++++++=z b z b b z a z a a z H z G++++++=2021120011000)()(z b a b a b a z b a b a b ak k k z c ∑∞==0（2.2.4）是序列 ,,,210c c c 的生成函数，其中，k n nk k n b a c -=∑=04. z 变换 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，则3)(z c G++++=332210)()()()(z c a z c a z c a a z c G++++=33322210z a c z a c z a c a（2.2.5）是序列 ,,,2210a c a c a 的生成函数。
特征方程法求递推数列的通项公式
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
算法设计与分析-1-特征方程求解递归方程-15
令非齐次递归方程的特解为：
2 f *(n) An A2n A3 1
代入原递归方程得：
{ A1n 2 A2 n A3 } 7{ A1 (n 1) 2 A2 (n 1) A3} 10{ A1 (n 2) 2 A2 (n 2) A3 } 4n 2
得到： c1=0, c2=-1, c3=1 因此，递归方程的解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n 3n n
作业1
解下列递归方程： 1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5 2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2 3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1 4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3
得到： c1=-41/3, c2=43/24
最后，非齐次递归方程通解为：
41 n 43 n 13 103 2 f ( n) 2 5 n n 3 24 2 8
g(n)是n的指数函数
g(n)形如：
g (n) (b1nm b2nm1 ... bmn bm1 )an
f (n) 7 f (n 1) 10 f (n 2) 4n 2 f (0) 1 f (1) 2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +10= 0
因式分解： (x － 2)(x － 5)=0
特征根：q1=2，q2=5
对应齐次方程通解： f (n) c1 2n c2 5n
f (n) c q c2q2 ... ck qk
n 1 1 n
n
特征方程的k个根有重根：
求数列递归公式常用的八种方法
求数列递归公式常用的八种方法本文将介绍数列递归公式的常用方法，帮助读者更好地理解和应用数列递归公式。
1. 递推法递推法是一种基本的求递归公式的方法。
通过观察数列的规律，我们可以找到数列当前项与前几项之间的关系，并利用该关系式来递归求解数列。
2. 直接法直接法是一种直接求得递归公式的方法。
通过分析数列的特点和性质，我们可以直接得出数列的递归公式。
3. 特征根法特征根法适用于特定类型的数列，特别是线性递推数列。
通过求解数列的特征根，我们可以得到数列的通项公式。
4. 变项系数法变项系数法适用于一些复杂的数列，特别是递推系数为多项式的数列。
通过假设数列的通项公式为一个多项式，并依次确定多项式的系数，我们可以获得数列的递归公式。
5. 矩阵法矩阵法适用于一些特殊的数列，特别是线性递推数列。
通过将数列转化为矩阵形式，并求解特征矩阵，我们可以得到数列的递归公式。
6. 生成函数法生成函数法是一种基于形式幂级数的方法，适用于一些特殊的数列。
通过定义一个形式幂级数，并进行运算和求导，我们可以得到数列的递归公式。
7. 常系数法常系数法适用于一些特殊的数列，特别是线性递推数列。
通过解线性递推方程组，我们可以得到数列的递归公式。
8. 差分方程法差分方程法适用于一些连续函数的递推数列。
通过建立递推数列的差分方程，并求解差分方程，我们可以获得数列的递归公式。
这些方法是当前数学领域常用的求解数列递归公式的方法，对于数学研究和实际问题的求解有很大的帮助。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用这些方法。
求解递归方程的方法
求解递归方程的方法递归方程是一种用于描述数列、函数或其他对象的数学方程。
它通常通过将问题分解成更小的子问题来定义。
解递归方程的方法可以包括：递归直接求解、递归树、主定理、特征根法等。
首先，我们来介绍递归直接求解的方法。
递归直接求解是指通过不断展开递归式，直到出现边界条件，从而得到一系列的函数值，最终可以得到递归式的解。
这种方法通常适用于递归方程比较简单的情况。
举个例子来说明递归直接求解的方法。
假设我们要解递归方程f(n)=f(n-1)+2n，其中f(1)=1、我们可以展开递归式，得到f(n)=f(n-1)+2n=[f(n-2)+2(n-1)]+2n=...=f(1)+2(2)+...+2n=1+2+4+...+2n。
这个等式可以通过求和公式得到解为f(n)=2^(n+1)-2递归树是一种用于解递归方程的图形化工具，它将递归式展开为一个树形结构。
每个结点代表一个递归表达式的计算步骤，而边表示从一个结点到另一个结点的计算关系。
通过分析递归树的结构和计算路径，可以得到递归方程的解。
接下来我们以斐波那契数列的求解为例来介绍递归树的方法。
斐波那契数列的递归方程为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、我们可以通过递归树来展示每一步的计算过程。
```f(5)/\f(4)f(3)/\/\f(3)f(2)f(2)f(1)/\f(2)f(1)```从递归树中可以看出，计算f(5)需要计算f(4)和f(3)，而计算f(4)需要计算f(3)和f(2)，以此类推。
在递归树中，每个结点的计算次数总是与其所对应的递归次数一致。
因此，通过递归树可以推导出递归方程的求解。
主定理是解递归方程的一种重要的数学工具，它适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程的求解。
其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个任意函数。
主定理给出了递归方程求解的一般公式。
主定理有三种形式：第一种形式适用于f(n) = O(n^c)，其中c<log_b(a)；第二种形式适用于f(n) = Θ(n^c log^k(n))，其中k≥0，c=log_b(a)；第三种形式适用于f(n) = Ω(n^c)，其中c>log_b(a)。
算法-求解递归方程的方法
第二章 常用的数学工具2.2 用生成函数求解递归方程 2.2.1 生成函数及其性质一、生成函数的定义定义2.1 令Λ,,,210a a a 是一个实数序列，构造如下的函数：k k kz az a z a a z G ∑∞==+++=02210)(Λ （2.2.1）则函数)(z G 称为序列Λ,,,210a a a 的生成函数。
例：函数nn n n n n n x C x C x C C x ++++=+Λ2210)1(则函数n x )1(+便是序列nn n n n C C C C ,,,,210Λ的生成函数。
二、生成函数的性质1. 加法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列Λ,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G βα+k k kkk kz bz az H z G ∑∑∞=∞=+=+0)()(βαβαk k k kz b a)(0∑∞=+=βα（2.2.2）是序列Λ,,,221100b a b a b a βαβαβα+++的生成函数。
2．移位 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，则)(z G z mkmk m k mzaz G z ∑∞=-=)( （2.2.3）是序列ΛΛ,,,,0,,0210a a a 的生成函数。
3．乘法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列Λ,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G)()()()(22102210ΛΛ++++++=z b z b b z a z a a z H z GΛ++++++=2021120011000)()(z b a b a b a z b a b a b ak k k z c ∑∞==0（2.2.4）是序列Λ,,,210c c c 的生成函数，其中，k n nk k n b a c -=∑=04. z 变换 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，则。
用特征方程求斐波那契数列的递归算法
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递归方程特征值法
递归方程特征值法
递归方程是一类在计算机科学、数学等领域中广泛应用的数学模型。
在求解递归方程时，特征值法是一种常用的解法之一。
特征值法是利用递归方程的特征根（即特征值）来求解递归方程。
特征值是使得递归方程成为齐次线性递推方程的根。
通过求出递归方程的特征值，可以得到递归方程的通解，从而求解递归方程。
特征值法的基本思路是将递归方程表示为矩阵形式，然后求解该矩阵的特征值和特征向量。
特征向量是满足矩阵乘法的关系式的非零向量，而特征值则是特征向量所对应的标量。
通过求解特征值和特征向量，可以得到矩阵的对角化形式，进而求出递归方程的通解。
特征值法在求解递归方程时具有一定的优势，主要体现在以下几个方面：
1. 可以求得递归方程的通解，方便进一步计算。
2. 对于具有线性性质的递归方程，特征值法的计算效率较高。
3. 可以将递归方程的求解转化为矩阵运算的形式，便于理解和计算。
总之，特征值法是一种常用的求解递归方程的方法，它在实际应用中具有广泛的适用性和优势。
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递归式 特征方程
递归式特征方程
递归式特征方程是一种用于解决递归式的数学工具。
它通过将递归式转化为一个特征方程，然后通过求解该方程来得到递归式的通用解。
递归式特征方程的求解需要一定的数学知识，包括线性代数和微积分等。
递归式特征方程的基本思想是将递归式中的子问题和递归步骤
分离出来，然后通过线性组合得到一个特征方程。
该特征方程的解就是递归式的通用解。
具体地，假设递归式为f(n)=af(n-1)+b(n)，其中a和b为常数，那么我们可以将递归式变为f(n)-af(n-1)=b(n)，然后定义一个新的函数g(n)=f(n)-af(n-1)，这样我们就得到了一个新的递归式g(n)=b(n)。
此时，我们可以通过求解特征方程g(n)=0
来得到递归式的通用解。
递归式特征方程在算法分析中经常使用。
例如，在求解递归算法的时间复杂度时，我们通常需要先得到递归式的通用解，然后再对其进行分析。
递归式特征方程也可以用于解决其他数学问题，例如求解微分方程等。
总之，递归式特征方程是一种重要的数学工具，它可以帮助我们解决递归式相关的数学问题。
对于算法分析和其他数学领域的研究人员来说，掌握递归式特征方程的求解方法是非常有用的。
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三阶递推特征根求解递推方程
三阶递推特征根求解递推方程三阶递推方程的特征根求解是一种数学方法，用于解决递推方程中出现的特征根问题。
特征根是指递推方程的解中常数项的系数，它可以决定递推方程的稳定性和长期趋势。
在解决递推方程的特征根问题时，我们需要利用特征根的性质和求解方法进行分析和计算。
三阶递推方程可以表示为以下形式：a[n]=c1*a[n-1]+c2*a[n-2]+c3*a[n-3]其中a[n]表示第n个项，c1,c2,c3表示待定的常数系数。
为了求解递推方程的特征根，我们首先假设存在一个形如λ^n的解，其中λ是待定的复数常数，n为项数。
将该形式的解带入递推方程中，我们可以得到一个特征方程。
特征方程的形式为：λ^n-c1*λ^(n-1)-c2*λ^(n-2)-c3=0我们可以通过求解特征方程的根来得到递推方程的特征根。
解特征方程的根可以采用多种方法，包括代入法、因式分解法、牛顿法、高阶方程求根法等等。
下面我将以一个具体的例子来说明如何求解三阶递推方程的特征根。
例1：求解递推方程a[n]=2·a[n-1]-3·a[n-2]+2·a[n-3]的特征根。
解：根据上述方法，我们可以设特征方程为λ^3-2·λ^2+3·λ-2=0。
为了求解特征方程的根，我们可以使用代入法。
假设λ的一个解为x，我们可以将特征方程表示为(x-λ1)(x-λ2)(x-λ3)=0，其中λ1,λ2,λ3是特征根。
在本例中，特征方程为x^3-2·x^2+3·x-2=0。
通过分解因式可以得到(x-1)(x-1)(x-2)=0。
因此，特征方程有两个重复的解1和一个解2、这意味着递推方程的通解可以表示为a[n]=c1·1^n+c2·n·1^n+c3·2^n。
其中c1,c2,c3是待定的常数。
当n=0时，a[0]=c1·1^0+c2·0·1^0+c3·2^0=c1+c3当n=1时，a[1]=c1·1^1+c2·1·1^1+c3·2^1=c1+c2+2c3将上述结果带入递推方程可以得到c1=0，c2=1/2，c3=1/2因此，递推方程的通解可以表示为a[n]=(n/2+1/2)·1^n+(1/2)·2^n。
三阶递推特征根求解递推方程
三阶递推特征根求解递推方程一个三阶实数递推方程（或离散时间系统）可以写成以下形式：$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+c_3a_{n-3}$。
其中$c_1,c_2,c_3$是实数常数。
对于这个方程，我们可以假设有一个通解：$a_n = \alpha_1 r_1^n + \alpha_2 r_2^n + \alpha_3 r_3^n$。
其中 $r_1, r_2, r_3$ 是三个特征根，$\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3$ 是对应的常数。
我们可以通过求解这三个特征根来得到通解。
三阶递推方程的特征方程是由递推方程系数的代数表达式推导而来的。
具体而言，我们将递推方程写成通项公式的形式：$a_n-c_1a_{n-1}-c_2a_{n-2}-c_3a_{n-3}=0$。
然后我们假设通项公式为$a_n=r^n$，代入上式得到：$r^n-c_1r^{n-1}-c_2r^{n-2}-c_3r^{n-3}=0$。
我们可以将上式拆分成以下形式：$r^3-c_1r^2-c_2r-c_3=0$。
这就是三阶递推方程的特征方程。
我们可以使用代数方法求解它。
一般情况下，特征方程的三个特征根可能是不同的实数，相同的实数，或成对的共轭复数。
我们需要分别考虑这三种情况。
如果三个根是不同的实数$r_1,r_2,r_3$，那么通解为：$a_n = \alpha_1 r_1^n + \alpha_2 r_2^n + \alpha_3 r_3^n$。
其中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是常数，可以使用递推方程的初始值来确定。
如果有一个重根$r_1$和两个不同的实根$r_2$和$r_3$，通解为：$a_n = \alpha_1 r_1^n + \alpha_2 r_2^n + \alpha_3 r_3^n n r_1^n$。
如果三个根成对的共轭复数 $r = \alpha \pm \beta i$，通解为：$a_n = (\alpha_1 + \alpha_2 n) \alpha^n \cos(\beta n) + (\alpha_3 + \alpha_4 n) \alpha^n \sin(\beta n)$。
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得到： c1=0, c2=-1, c3=1 因此，递归方程的解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n 3n n
作业1
解下列递归方程： 1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5 2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2 3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1 4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3
由初始条件得：
f (0) c1 c2 c3 0 f (1) c1 2c2 3c3 2 f (2) c 4c 9c 10 1 2 3
得到： c1=0, c2=-2, c3=2
因此，递归方程的解为：
f (n) 2(3n 2n )
化简后得到：
2 A1n 2 A2 10 A1 4n
由此得到联立方程：
2 A1 4 2 A2 10 A1 0
解得：A1=2, A2=10 非齐次递归方程的通解为：
f (n) c13 c2 4 (2n 10)2
n n
n
初始条件代入有：
f (1) 3c1 4c2 24 2
n 1 1 n i 1 i 1 k
r 1
n i
... ck q
前面2种情况下的c1,c2,…,ck均为待定系数；
将初始条件代入，建立联立方程，确定各个系数具体值，得到 通解f(n) 例1. 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f (n) 6 f (n 1) 11 f (n 2) 6 f (n 3) f (0) 0 f (1) 2 f (2) 10
其中，a和bi为常数。 1）如果a不是特征方程的重根，特解f*(n) 形如：
f * (n) ( A1nm A2nm1 ... Amn Am1 )an
各个系数Ai待定
2）如果a是特征方程的r重特征根，特解f*(n) 形如：
f (n) ( An A2n 1
* m
m1
... Amn Am1 )n a
g(n)是n的m次的多项式
g(n)形如：
g (n) b1nm b2nm1 ... bmn bm1
其中，bi为常数。 此时，特解f*(n)也是n的m次多项式，形如：
m m1 f * (n) An A n ... Amn Am1 1 2
各个系数Ai待定
例3 。 2阶常系数线性非齐次递归方程如下
得到： c1=-41/3, c2=43/24
最后，非齐次递归方程通解为：
41 n 43 n 13 103 2 f ( n) 2 5 n n 3 24 2 8
g(n)是n的指数函数
g(n)形如：
g (n) (b1nm b2nm1 ... bmn bm1 )an
... ak 0
解题原理：
1） 求解上述特征方程的根，得到递归方程的通解 2）利用递归方程初始条件，确定通解中待定系数，得到递归方 程的解
考虑2种情况：
1）特征方程的k个根不相同 2）特征方程有相重的根
特征方程的k个根不相同：
假设：q1, q2, …, qk是k个不同的根，则递归方程的 通解为
其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。
在上式中，用xn取代f(n), 有：
xn a1xn1 a2 xn2 ... ak xnk
两边分别除以xn-k，得：
x a1x
k
k 1
a2 x
k 2
... ak
特征方程如下：
x a1x
k
k 1
a2 x
k 2
例2 。 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f (n) 5 f (n 1) 7 f (n 2) 3 f ( n 3) f (0) 0 f (1) 2 f (2) 7
解： 特征方程为 x3 － 5x2 + 7x － 3= 0
改写为： x3 － 5x2 + 6x + x－ 3 = 0
解得：A1=1, A2=13/2, A3=103/8
非齐次递归方程的通解为：
n n
2 8 f (n) c1 2 c2 5 n n 13 103
2
8 f (0) c1 c2 1 103 初始条件代入有： f (1) 2c 5c 163 2 1 2 8
解： 特征方程为 x3 － 6x2 + 11x － 6 = 0
改写方程为：
x3 3x2 3x2 9 x 2 x 6 0
因式分解： (x-1)(x-2)(x-3)=0 得到特征根： q1=1, q2=2, q3=3
n n n f ( n ) c q c q c q 1 1 2 2 3 3 递归方程的通解为： n n c1 c2 2 c3 3
f (n) c q c2q2 ... ck qk
n 1 1 n
n
特征方程的k个根有重根：
假设：r个重根qi, qi+1, …, qi+r-1，则递归方程的通解 为
f (n) c q ... c q (ci ci 1n ... ci r 1n )q
二、K阶常系数线性非齐次递归方程
K阶常系数线性非齐次递归方程形如：
f (n) a1 f (n 1) a2 f (n 2) ... ak f (n k ) g (n) f (i) bi 0 i k 1 其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。
因式分解： (x-3)(x2 － 2x+1)=0 (x-3)(x-1)(x-1)=0
得到特征根： q1=1, q2=1, q3=3 递归方程的通解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n c1 c2 n c3 3n
代入初始条件：
f (0) c1 c3 1 f (1) c1 c2 3c3 2 f (2) c 2c 9c 7 1 2 3
r
n
各个系数Ai待定
例4 。 2阶常系数线性非齐次递归方程如下
f (n) 7 f (n 1) 12 f ( n 2) n2 n f (0) 1 f (1) 2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +12= 0
因式分解： (x － 3)(x － 4)=0
令非齐次递归方程的特解为：
2 f *(n) An A2n A3 1
代入原递归方程得：
{ A1n 2 A2 n A3 } 7{ A1 (n 1) 2 A2 (n 1) A3} 10{ A1 (n 2) 2 A2 (n 2) A3 } 4n 2
化简后得到：
4 A1n (26 A1 4 A2 )n (33 A1 13 A2 4 A3 )
2
4n 4n 0* n 0
2 2
!!!!!!由此得到联立方程：
4 A1 4 26 A1 4 A2 0 33 A1 13 A2 4 A3 0
特征根：q1=3，q2=4
对应齐次方程通解： f (n) c13n c2 4n
a=2不是特征方程的重根，故令非齐次递归方程的特解为：
f *(n) ( A1n A2 )2
代入原递归方程得：
n
( A1n 2 A2 )2n 7{ A1 (n 1) A2 }2n 1 12{ A1 (n 2) A2 }2n 2 n 2n
f (0) c1 c2 10 1
得到： c1= -14, c2=5
最后，非齐次递归方程通解为：
f (n) 14 3n 5 4n (2n 10)2 n 14 3n 5 4n ( n 5)2n 1
作业2
解下列递归方程： 1. f(n)=f(n-1) + n2, f(0)=0 2. f(n)=2f(n-1) +n, f(0)=1 3. f(n)=3f(n-1) + 2n, f(0)=3 4. f(n)= — 2f(n-1) + 2n —n2, f(0)=1
它的通解形式为： 其中， 1）
f (n) f (n) f * (n)
f (n) 为对应齐次递归方程的通解f*(n)
解题原理：
1. 一般没有寻找特解的有效方法 2. 先根据g(n)具体形式，确定特解；再将特解代入递归方程，用 待定系数法，求解特解的系数 3. g(n)分为以下几种情况: g(n)是n的m次的多项式 g(n)是n的指数函数
求解递归方程
算法复杂性经常描述为递归方程，解递归方程得到算法复 杂性的具体表示
用特征方程解递归方程 用生成函数解递归方程
用递推方法解递归方程
用特征方程解递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程 K阶常系数线性非齐次递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程形如：
f (n) a1 f (n 1) a2 f (n 2) ... ak f (n k ) 0 i k 1 f (i) bi
f (n) 7 f (n 1) 10 f (n 2) 4n 2 f (0) 1 f (1) 2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +10= 0
因式分解： (x － 2)(x － 5)=0
特征根：q1=2，q2=5
对应齐次方程通解： f (n) c1 2n c2 5n