递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述递归方程是数学中常见的一种表示方式，它描述了一个数列或函数之间的递推关系。
递归方程求解方法是指寻找递归方程的解析解或近似解的过程。
在许多应用领域，递归方程都是非常重要的，例如在计算机科学、自然科学及经济学等各个领域。
本文将从递归方程的求解方法综述入手，介绍常见的求解方法，包括代入法、特征根法、母函数法等，并举例说明其应用。
一、代入法代入法是求解递归方程的常见方法之一、它的基本思想是通过猜测法求得递归方程的解的形式，然后通过代入递归方程验证该猜测解是否成立。
如果成立，我们就可以得到递归方程的解析解；如果不成立，我们需要修改猜测解的形式，重复上述过程直到找到正确的解。
例如，考虑递推关系式$f(n) = 2f(n-1) + 3$，其中$f(0)=1$。
我们首先猜测$f(n) = a\cdot 2^n + b$，代入递推关系式可得：$a\cdot 2^n + b = 2(a\cdot 2^{n-1} + b) + 3$。
整理得$a\cdot 2^n + b = 2a\cdot 2^{n-1} + 2b + 3$。
化简可得$a\cdot 2^{n-1} = 2b + 3$。
由此可知，$b = \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}$。
将$b$的值代入原方程得到$a\cdot 2^n + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2} = 2(a\cdot2^{n-1} + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}) + 3$。
进一步化简可得$a = 6$。
因此，递归方程的解析解为$f(n) =6\cdot 2^n + \frac{3}{2}(2^n - 1)$。
二、特征根法特征根法是求解线性递归方程的常用方法。
这种方法基于线性递归方程的特征方程和特征根的性质，通过求解特征方程的根来得到递归方程的解析解。
考虑递归关系式$f(n) = af(n-1) + b$，其中$f(0)=c$。
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。
在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。
本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。
一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。
它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。
通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。
例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。
我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。
将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。
接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。
继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。
当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。
利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。
因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。
二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。
它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。
其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。
主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。
主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。
1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
递归数列通项公式的求法
递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。
求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识定义：对于任意的*N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。
若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=；(2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m n q a a -=； (3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n nn 。
二．迭代法迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ；迭乘恒等式： 112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ；类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ；三．待定系数法类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。
算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。
阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。
这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。
关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数0引言寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。
在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。
一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。
因此研究递归方程的解法意义重大。
下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。
1递归方程的解法递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的规模要小。
对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。
根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。
下面就分别来分析其求解过程。
1.1递推法当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。
下面举例说明： t(1)=0t(n)=2t(n/2)+n2(n≥2)t(n)=2t(n/2)+n2=2(2t(n/22)+(n/2)2)+n2=22t(n/2)2+2n2/22+n2=22(2t(n/23)+(n/22)2)+2n2/22+n2=23(2t(n/23)+22n2/(22)2)+2n2/(22)1+n2…=2kt(n/2k)+∑k-1i=02in2(22)i递推到这里我们就可以发现递归规律，找到递归出口， t(1)=0，令n=2k 则可以得到如下结果：t(n) =2kt(1) +∑k-1i=0n2(1/2)i)=n2(1-(1/2)k1-1/2)=2n2-2n 上面得到方程的解，我们来分析其对应算法复杂性的渐进阶，根据渐进阶定理有：设有函数f(n)，g(n）均是规模n的函数，则o(f(n))+o(g(n))=o(max(f(n), g(n)))。
递归算法步骤
递归算法步骤
递归算法是一种通过自身调用来解决问题的算法。
其步骤可以简述为以下几点：
1. 定义递归函数：首先需要定义一个递归函数，该函数负责解决具体的问题。
函数的参数通常包括输入数据和递归所需的其他参数。
2. 设定递归终止条件：在递归函数中，需要设定一个终止条件，当满足这个条件时，递归将停止并返回结果。
这是确保递归不会无限循环的重要部分。
3. 处理基本情况：在递归函数中，需要考虑到一些基本情况，这些情况通常可以直接求解，而不需要继续进行递归。
在这些情况下，可以直接返回结果，从而减少递归的次数。
4. 缩小问题规模：在递归函数中，需要将原始问题划分成更小的子问题。
通过缩小问题规模，可以将原始问题转化为更简单的形式，并且递归地解决这些子问题。
5. 调用递归函数：在递归函数中，需要调用自身来解决子问题。
通过递归调用，可以反复地将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件为止。
6. 整合子问题的解：在递归函数中，需要将子问题的解整合起来，得到原始问题的解。
这通常涉及到对子问题的解进行合并、计算或其他操作。
7. 返回结果：最后，递归函数需要返回结果。
这个结果可
以是最终的解，也可以是在每次递归调用中得到的中间结果。
需要注意的是，在使用递归算法时，要确保递归能够正确地终止，并且要注意避免出现无限递归的情况。
另外，递归算法的效率通常较低，因此在设计算法时要考虑到时间和空间复杂度的问题。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。
求数列递归表达式常用的八种方法
求数列递归表达式常用的八种方法数列递归是数学中常见且重要的概念之一。
它通过每一项都依赖于前一项的方式进行定义。
本文将介绍八种常用的方法来求解数列递归表达式。
1. 迭代法：迭代法是一种基本且直观的求解数列递归的方法。
它通过循环的方式逐步计算每一项的值，并存储在一个数组或列表中。
迭代法的时间复杂度通常为O(n)，其中n为数列的项数。
迭代法：迭代法是一种基本且直观的求解数列递归的方法。
它通过循环的方式逐步计算每一项的值，并存储在一个数组或列表中。
迭代法的时间复杂度通常为O(n)，其中n为数列的项数。
2. 通项公式法：通项公式法是一种利用数列特点来求解数列递归的方法。
通过观察数列的规律和特点，可以推导出一个通项公式，从而直接计算任意项的值。
通项公式法的优势在于可以快速计算出数列的任意项，但前提是需要发现数列的规律。
通项公式法：通项公式法是一种利用数列特点来求解数列递归的方法。
通过观察数列的规律和特点，可以推导出一个通项公式，从而直接计算任意项的值。
通项公式法的优势在于可以快速计算出数列的任意项，但前提是需要发现数列的规律。
3. 递推关系法：递推关系法通过定义递推关系式来求解数列递归。
递推关系式是指数列的每一项与前一项之间的关系式。
通过逐项求解递推关系式，可以计算出数列的每一项的值。
递推关系法：递推关系法通过定义递推关系式来求解数列递归。
递推关系式是指数列的每一项与前一项之间的关系式。
通过逐项求解递推关系式，可以计算出数列的每一项的值。
4. 求和法：有些数列的递归关系可以通过求和公式来求解。
求和法通过将数列的每一项进行求和，从而得到数列的递归表达式。
这种方法常用于等差数列或等比数列。
求和法：有些数列的递归关系可以通过求和公式来求解。
求和法通过将数列的每一项进行求和，从而得到数列的递归表达式。
这种方法常用于等差数列或等比数列。
5. 向前递推法：向前递推法是通过已知数列的第一项和递推关系式来逐项计算数列的值。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
递归算法及经典例题详解
递归算法及经典例题详解大部分人在学习编程时接触的第一个算法应该就是递归了，递归的思想其实很好理解，就是将一个问题拆分为若干个与本身相似的子问题，通过不断调用自身来求解。
但很多新手在实际操作中却很难正确使用到递归，有时面对问题还会有种无从下手的感觉，在此，我总结了一些解决递归问题的方法和思路，希望对你能有所帮助。
1.什么是递归递归简单来说就是在运行过程中不断调用自己，直到碰到终止条件，返回结果的过程。
递归可以看作两个过程，分别是递和归。
递就是原问题把要计算的结果传给子问题；归则是子问题求出结果后，把结果层层返回原问题的过程。
下面设一个需要经过三次递归的问题，为大家详细看一下递归的过程：当然，现实中我们遇到递归问题是不会按照图中一样一步一步想下来，主要还是要掌握递归的思想，找到每个问题中的规律。
2.什么时候使用递归递归算法无外乎就是以下三点：1.大问题可以拆分为若干小问题2.原问题与子问题除数据规模不同，求解思路完全相同3.存在递归终止条件而在实际面对递归问题时，我们还需要考虑第四点：当不满足终止条件时，要如何缩小函数值并让其进入下一层循环中3.递归的实际运用（阶层计算）了解了大概的思路，现在就要开始实战了。
下面我们来看一道经典例题：求N的阶层。
首先按照思路分析是否可以使用递归算法：1.N！可以拆分为（N-1）！*N2.（N-1）！与N！只有数字规模不同，求解思路相同3.当N=1时，结果为1，递归终止满足条件，可以递归：public static int Factorial(int num){if(num==1){return num;}return num*Factorial(num-1);}而最后的return，便是第四步，缩小参数num的值，让递归进入下一层。
一般来说，第四步往往是最难的，需要弄清该如何缩小范围，如何操作返回的数值，这一步只能通过不断地练习提高了（当然如果你知道问题的数学规律也是可以试出来的）。
求数列递归式常用的八种方法
求数列递归式常用的八种方法通过递归式可以描述数列的生成规律，它是数学中一个重要的概念。
在数学以及计算机科学领域，存在着多种方法来求数列的递归式。
本文将介绍其中常用的八种方法。
1. 直接递推法直接递推法是最常见的求解数列递归式的方法之一。
该方法基于数列中每个项与前若干项之间的关系，从而得出递推式。
通过对数列具体项的分析，可以确定出递推式的形式，进而求得数列的递归式。
2. 求导法求导法是一种基于微积分原理的求数列递归式的方法。
通过对数列的每一项取导数，可以找到数列递归式中所包含的函数的导数形式。
然后通过对导数形式的变化模式进行分析，可以推导出数列的递归式。
3. 求和法求和法是一种通过对数列的每一项求和的方法来求解数列递归式的方法。
通过对数列进行求和，并观察数列求和结果的变化模式，可以得出数列的递归式。
4. 差分法差分法是一种通过对数列的相邻项进行差分操作来求解数列递归式的方法。
通过对数列的每一项做差分运算，并观察差分结果的变化规律，可以推导出数列的递归式。
5. 递归求解法递归求解法是一种通过构建递归函数来求解数列递归式的方法。
递归函数通过定义数列的初始项和递推公式，不断调用自身来生成数列。
递归求解法常用于涉及复杂递归关系的数列。
6. 直接计算法直接计算法是一种通过数列的项数和递推关系来直接计算数列的递归式的方法。
通过给定数列的初始项和递推公式，可以直接计算出数列的递归式。
7. 近似拟合法近似拟合法是一种通过将数列数据进行拟合，分析拟合函数的形式，从而得出数列的递归式的方法。
通过选择适当的拟合函数，并通过拟合函数与数列数据之间的残差进行分析，可以推导出数列的递归式。
8. 生成函数法生成函数法是一种通过引入数列的生成函数来求解数列递归式的方法。
生成函数可以将数列的每一项映射为一个多项式，并通过多项式的运算来求解数列的递归式。
通过对生成函数进行分析，可以得出数列的递归式。
以上八种方法都可以有效地求解数列递归式，具体使用哪种方法取决于数列的特性和问题的要求。
递归式的三种求解方式
递归式的三种求解⽅式求解递归式对于分冶算法的重要性不⾔⽽喻以下介绍了三种求解递归式的⽅法1，代换法：缺点：代换法主要的缺点在于，对于任何递归式，我们先得去猜其解，对于猜错了同学，如果不幸猜出的结果和正确结果相差太⼤，虽然可以推导，但是意义不⼤；优点：代换法相较于递归树法更为严谨，相较于主定理应⽤范围更⼴，主定理只能求解类似于T(n) = aT(n/b)+n/c这种形式的递归式；下⾯给出⼀个递归表达式T(n) = 2T(n/2)+n，求其解；⾸先猜⼀下其解为O(nlgn);那么我们只需要证明T(n)<cnlgn即可先假设T(n)<cnlgn对于n/2也成⽴，那么T(n/2)<=c(n/2)lg(n/2)也成⽴那么必然的T(n)<=2(c(n/2)(lgn/2))+n-=cnlgn-cnlg2+n<=cnlgn-cn+n以上表达式，在c>=1时永远成⽴，得证递归式T(n) = 2T(n/2)+n的解为O(nlgn)其他递归式的求解⽅式和上⾯的⼤体相似；2,递归树法递归树⽅法利⽤了将递归式分解为⼀棵递归树的形式来更加直观的求解递归式；缺点：递归树⽅法求解递归式因为丢弃了很多低阶项，所以不够严谨；优点：递归树⽅法求解递归式从视觉上更为直观，简单。
⼀般可以先运⽤递归树求解，然后利⽤代换法更加严谨得证明⽤递归树求解的解的数学上的正确性；下⾯求T(n) = 2T(n/2)+n的解⾸先将上述递归表达式⽤递归树表达出来，不会画图，⽐较丑。
以上递归式的深度为lgn,每层的代价为n,⾃然推导出T(n) = T(n/2)的解为O(nlgn)以上递归式的求解⽐较简单更为复杂的求解参考算法导论；3,主定理主定理是最为简单求解递归式的解的⽅法，也是我最为喜欢的⼀种分析⽅法主定理给出如下的如下形式的通⽤的递归式:T(n) = aT(n/b)+f(n)主定理套公式分为以下三种情况符号打得⼼累直接截图：以上为三种递归式的求解⽅法。
算法时间复杂度分析中递归方程求解方法综述
计算 机算 法分析 中所需 要的 资源数量 ，经 常以和 的形式 或递归 公式 的形 式表示 。绝大 部 分算法 的执行 ，都表现 为按某 种条件 ，重复 地 执 行一些 循环 ，而这些循 环 ，又经常 可以用递 归关系来 表达 这就使得 递 归方程的 求解 ，对 算 法 分析 来 说 ，变 得 非 常 重 要
Ｆ（） ｘ ＝ｆ（ ｘ （） ＋ｆ ３ｘ ＋… １ ＋ｆ ２ｘ ） （）
＝
ｌ ＋ 口，＂ ｋ ＋ （） …＋ ＾ （一 ） ｇｎ 【（ ＝ ｔ （ｓ ＜ ） ，ｆ ６ ０ ｉｋ ）
的方程称为 ｋ阶常系数线性非齐次递归方程
∑ ｆｋｘ （ ）
Ｘ
２ 一
一 —
一
其通解 形式为：
子 。第 一个 月有一 只小兔子 ，求 ｎ个 月后有 多 少 只兔子？ 令 ｔｎ ，Ｔ（ ） （） ｎ 分别表 示第 ｎ个 月小兔子
厂” ＝ ＋ １ …＋ 々： （ ｑ ） Ｃｌ ｑ＋ ｑ
②特征方程的 ｋ 个根中有 ｒ 个重根 ｑ … ， ，ｑ ． ｉ ，ｑ １ 时，其通解为：
大 予 数目 ｆ ） 第ｎ 兔 总 。 免 的 ， （ 为 个月 子的 数目 ｎ
则 有 如 下关 系式 ： Ｔｎ （）一 Ｔ ｎ ）＋ ｔ —１ （ １ （ ） ｎ ｔ（ ） Ｔ ｎ ） ｎ ＝ （－１ ｆ （ ｎ Ｔ ｎ ） （ ）十 ｔ ） （ ｎ 由上述 三式 可 以 得到 如 下递 归方 程
引言
在 计算机 科学 中 ，递 归概念 经常用 于递 归 调用方 面 ，即函数或过 程 自己调用 自己。用 递 归调用 的算法就 是递 归算 法 ，递 归调 用会产 生 无终止 运算的 可能性 ，因此 必须在适 当的情 况
下终止递 归调 用。
求数列递归公式常用的八种方法
求数列递归公式常用的八种方法本文将介绍数列递归公式的常用方法，帮助读者更好地理解和应用数列递归公式。
1. 递推法递推法是一种基本的求递归公式的方法。
通过观察数列的规律，我们可以找到数列当前项与前几项之间的关系，并利用该关系式来递归求解数列。
2. 直接法直接法是一种直接求得递归公式的方法。
通过分析数列的特点和性质，我们可以直接得出数列的递归公式。
3. 特征根法特征根法适用于特定类型的数列，特别是线性递推数列。
通过求解数列的特征根，我们可以得到数列的通项公式。
4. 变项系数法变项系数法适用于一些复杂的数列，特别是递推系数为多项式的数列。
通过假设数列的通项公式为一个多项式，并依次确定多项式的系数，我们可以获得数列的递归公式。
5. 矩阵法矩阵法适用于一些特殊的数列，特别是线性递推数列。
通过将数列转化为矩阵形式，并求解特征矩阵，我们可以得到数列的递归公式。
6. 生成函数法生成函数法是一种基于形式幂级数的方法，适用于一些特殊的数列。
通过定义一个形式幂级数，并进行运算和求导，我们可以得到数列的递归公式。
7. 常系数法常系数法适用于一些特殊的数列，特别是线性递推数列。
通过解线性递推方程组，我们可以得到数列的递归公式。
8. 差分方程法差分方程法适用于一些连续函数的递推数列。
通过建立递推数列的差分方程，并求解差分方程，我们可以获得数列的递归公式。
这些方法是当前数学领域常用的求解数列递归公式的方法，对于数学研究和实际问题的求解有很大的帮助。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用这些方法。
求数列递归关系常用的八种方法
求数列递归关系常用的八种方法简介数列递归关系是数学中常见的一种关系，它描述了数列中每一项与前几项的关系。
在解决数列问题时，了解常用的八种求数列递归关系的方法能够帮助我们更快地找到规律和解决问题。
1. 数列的通项公式法数列的通项公式法是通过观察数列的项之间的规律，推导出数列的通项公式。
通常可以先找出数列的前几项，然后试图找到一种关系式，将自然数或项数带入得到通项公式。
2. 数列的差分法数列的差分法是通过求数列相邻项之间的差，找到一个新的数列，直到找到一个与常数k成等差关系的数列。
进而可以通过逆向求差将等差数列转化为原数列的通项。
3. 数列的逐项求和法数列的逐项求和法是通过对数列的每一项进行求和，得到一个新的数列。
然后观察求和后的数列是否满足某种特定规律，进而得到原数列的递推关系。
4. 数列的倍项逐项求和法数列的倍项逐项求和法是通过对数列的倍项进行求和，得到一个新的数列。
再次观察求和后的数列是否满足某种特定规律，得到原数列的递推关系。
5. 数列的特征根法数列的特征根法是通过求解数列递推关系的特征方程的根来确定数列的通项公式。
特征方程是通过将数列的递推关系转化为多项式等式得到的。
6. 数列的生成函数法数列的生成函数法是通过特定的函数表达式将数列的每一项映射为函数值，然后利用函数的运算性质和求导等操作求解数列的递推关系。
7. 数列的递归法数列的递归法是通过定义数列的前几项和递推关系式来求解数列的通项公式。
递归法通常通过观察数列中每一项与前几项之间的关系来找到递推关系式。
8. 数列的变量替换法数列的变量替换法是通过对数列的递推关系进行变量替换，将原数列的递推关系化简为新数列的递推关系，进而得到新数列的通项公式。
以上八种方法是求解数列递归关系常用的方法，对于不同的数列问题，可以根据具体情况选择合适的方法来解决。
熟练掌握这些方法，能够提高数学问题的解决效率，并加深对数学的理解。
参考文献- {参考文献1}- {参考文献2}- {参考文献3}。
求解递归方程的方法
求解递归方程的方法递归方程是一种用于描述数列、函数或其他对象的数学方程。
它通常通过将问题分解成更小的子问题来定义。
解递归方程的方法可以包括：递归直接求解、递归树、主定理、特征根法等。
首先，我们来介绍递归直接求解的方法。
递归直接求解是指通过不断展开递归式，直到出现边界条件，从而得到一系列的函数值，最终可以得到递归式的解。
这种方法通常适用于递归方程比较简单的情况。
举个例子来说明递归直接求解的方法。
假设我们要解递归方程f(n)=f(n-1)+2n，其中f(1)=1、我们可以展开递归式，得到f(n)=f(n-1)+2n=[f(n-2)+2(n-1)]+2n=...=f(1)+2(2)+...+2n=1+2+4+...+2n。
这个等式可以通过求和公式得到解为f(n)=2^(n+1)-2递归树是一种用于解递归方程的图形化工具，它将递归式展开为一个树形结构。
每个结点代表一个递归表达式的计算步骤，而边表示从一个结点到另一个结点的计算关系。
通过分析递归树的结构和计算路径，可以得到递归方程的解。
接下来我们以斐波那契数列的求解为例来介绍递归树的方法。
斐波那契数列的递归方程为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、我们可以通过递归树来展示每一步的计算过程。
```f(5)/\f(4)f(3)/\/\f(3)f(2)f(2)f(1)/\f(2)f(1)```从递归树中可以看出，计算f(5)需要计算f(4)和f(3)，而计算f(4)需要计算f(3)和f(2)，以此类推。
在递归树中，每个结点的计算次数总是与其所对应的递归次数一致。
因此，通过递归树可以推导出递归方程的求解。
主定理是解递归方程的一种重要的数学工具，它适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程的求解。
其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个任意函数。
主定理给出了递归方程求解的一般公式。
主定理有三种形式：第一种形式适用于f(n) = O(n^c)，其中c<log_b(a)；第二种形式适用于f(n) = Θ(n^c log^k(n))，其中k≥0，c=log_b(a)；第三种形式适用于f(n) = Ω(n^c)，其中c>log_b(a)。
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归是一种问题解决方法，它基于将问题分解为更小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归式是一种表示一些问题与其子问题之间关系的方程式。
求解递归式的方法包括数学归纳法、递归树、主方法和代换法等。
一、数学归纳法数学归纳法是求解递归式的一种常用方法，它基于递推式的思想。
首先，我们需要证明基础情况的正确性，即递归式是否在一些起始点成立。
然后，我们需要假设递归式在一般情况下成立，即假设递归式对n=k成立，然后证明递归式在n=k+1时也成立。
通过推理和证明，可以得到递归式的解。
二、递归树递归树是一种图形化的表示方法，用于描述递归式的求解过程。
它将问题划分为不同的子问题，并将其表示为树的结构。
递归树的深度表示递归的层数，每个节点表示一个子问题，叶子节点表示基本情况。
通过计算每个节点的代价，可以得到递归式的解。
三、主方法主方法是求解递归式的一种常用方法，它适用于形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式，其中a≥1，b>1、主方法的基本原理是通过比较a、b和f(n)的关系，判断递归式的求解复杂度。
主方法分为三种情况：若f(n) = O(n<sup>c</sup>)，其中c<log<sub>b</sub>a，则T(n) =Θ(n<sup>log<sub>b</sub>a</sup>)；若f(n) = Θ(n<sup>c</sup>)，其中c=log<sub>b</sub>a，则T(n) = Θ(n<sup>c</sup> logn)；若f(n)= Ω(n<sup>c</sup>)，如果af(n/b)≤kf(n)，其中k<1，且存在d≥0使得af(n/b)≥df(n)，则T(n) = Θ(f(n))。
【算法复习】求解递归式的方法
【算法复习】求解递归式的⽅法求解递归式的⽅法【代⼊法】代⼊法求解分为两步：猜测解的形式⽤数学归纳法求出解的常数C，并证明正确性，关键步骤是⽤猜测的解代⼊到递归式中。
做出好的猜测（没有⼀般⽅法，只能凭经验）与见过的解类似，则猜测之。
先证较宽松的上、下界，减⼩猜测范围。
我们可以从下界Ω(n)开始，上界O(n^2)，然后逐渐收敛⾄(nlog2n)细节修正有时猜测解是正确的，但数学归纳法却不能直接证明其细节，这是因为数学归纳法不是强⼤到⾜以证明其细节。
这时可从猜测解中减去⼀个低阶项以使数学归纳法得以满⾜避免陷阱与求和式的数学归纳法类似，证明时渐近记号的使⽤易产⽣错误。
如：证明O(n)时必须严格证明≤cn，不能讲其换做cn+n变量变换有时改动变量能使未知递归式变为熟悉的式⼦。
例如：【代⼊法例题】【递归树法】递归树最适合⽤来⽣成好的猜想，然后可⽤代⼊法来验证猜测是否正确需要关注：达到边界条件所需的迭代次数迭代过程中的和式。
若在迭代过程中已估计出解的形式，亦可⽤代⼊法【递归树法例题】【Master原理】Master定理也叫主定理。
它提供了⼀种通过渐近符号表⽰递推关系式的⽅法。
应⽤Master定理可以很简便的求解递归⽅程。
定理4.1（主定理）令a≥1和b>1是常数，f(n)是⼀个函数，T(n)是定义在⾮负整数上的递归式： T(n) = aT(n/b) + f(n)其中我们将n/b解释为。
那么T(n)有如下渐近界：主定理的三种情况，经过分析，可以发现都是把f(n)与⽐较。
第⼀种情况是更⼤，第⼆种情况是与f(n)相等，第三种情况是f(n)更⼤。
【主定理例题】。
算法-求解递归方程的方法
1第二章 常用的数学工具2.2 用生成函数求解递归方程 2.2.1 生成函数及其性质一、生成函数的定义定义2.1 令 ,,,210a a a 是一个实数序列，构造如下的函数：k k kz az a z a a z G ∑∞==+++=02210)( （2.2.1）则函数)(z G 称为序列 ,,,210a a a 的生成函数。
例：函数nn n n n n n x C x C x C C x ++++=+ 2210)1(则函数n x )1(+便是序列nn n n n C C C C ,,,,210 的生成函数。
二、生成函数的性质1. 加法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G βα+k k kkk kz bz az H z G ∑∑∞=∞=+=+0)()(βαβα2k k k kz b a)(0∑∞=+=βα（2.2.2）是序列 ,,,221100b a b a b a βαβαβα+++的生成函数。
2．移位 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，则)(z G z mkmk m k mzaz G z ∑∞=-=)( （2.2.3）是序列 ,,,,0,,0210a a a 的生成函数。
3．乘法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G)()()()(22102210 ++++++=z b z b b z a z a a z H z G++++++=2021120011000)()(z b a b a b a z b a b a b ak k k z c ∑∞==0（2.2.4）是序列 ,,,210c c c 的生成函数，其中，k n nk k n b a c -=∑=04. z 变换 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列 ,,,210a a a 的生成函数，则3)(z c G++++=332210)()()()(z c a z c a z c a a z c G++++=33322210z a c z a c z a c a（2.2.5）是序列 ,,,2210a c a c a 的生成函数。
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递归方程求解方法综述
摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。
算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。
阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。
这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。
关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数
0引言
寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。
在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。
一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。
因此研究递归方程的解法意义重大。
下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。
1递归方程的解法
递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的
规模要小。
对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。
根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。
下面就分别来分析其求解过程。
1.1递推法
当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。
下面举例说明： t(1)=0
t(n)=2t(n/2)+n2(n≥2)
t(n)=2t(n/2)+n2=2(2t(n/22)+(n/2)2)+n2
=22t(n/2)2+2n2/22+n2
=22(2t(n/23)+(n/22)2)+2n2/22+n2
=23(2t(n/23)+22n2/(22)2)+2n2/(22)1+n2…
=2kt(n/2k)+∑k-1i=02in2(22)i递推到这里我们就可以发现递
归规律，找到递归出口， t(1)=0，令n=2k 则可以得到如下结果：t(n) =2kt(1) +∑k-1i=0n2(1/2)i)=
n2(1-(1/2)k1-1/2)=2n2-2n 上面得到方程的解，我们来分析其对应算法复杂性的渐进阶，根据渐进阶定理有：设有函数f(n)，g(n）均是规模n的函数，则o(f(n))+o(g(n))=o(max(f(n), g(n)))。
故有t(n)=o(n2)。
1.2公式法
对所需求解的递归方程进行观察，如果它是符合以下形式的常系数齐次线性方程，可用公式法求解。
f(0)=b0;
f(1)=b1;……
f(k-1)=bk-1;
f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+akf(n-k) 在此，常系数是指a1 、a2、……ak是常数，线性指所有的f均为一次幂，齐次指无常数项。
解这类方程，可由f(n)项得出：f (n)-a1f(n-1)-a2f(n-2)-…
-akf(n-k) =0;寻找形如f(n)= xn的解。
令xn-a1xn-1-a2xn-2-…-akxn-k=0；xn-k(xk-a1xk-1-…-ak) =0；即xk-a1xk-1-…-ak =0；
由此，我们得到了这类递归方程的特征方程，它有n个特征根，设为x1,x2,…,xk；其线性组合是f(n)的通解。
即c1x1n+c2x2n+…+ckxkn=f(n)；其中c1,c2,…,ck可由k个初始条件得到的线性方程组解出。
例如，常系数齐次线性方程组f(0)=0;
f(1)=1;
f(n)=4f(n-2);(n＞1) 令f(n)=xn；则xn =4xn-2；
xn - 4xn-2=0 ；
x2-4=0；（特征方程）
x1=2；x2=-2；（特征根）
设有c1,c2使f (n) =c1x1n+c2x2n；
由初始条件 f(0)
=c1x10+c2x20=c1+c2=0;f(1)=c1x11+c2x21=2c1-2c2=1；即
c1+c2=0;
2c1-2c2=1解得c1=1/4；c2=-1/4；
∴f(n)=2n/4-(-2)n/4即为以上递归方程的解。
1.3生成函数法
第三种方法是利用生成函数的方法，即已知一个数列
a0,a1,a2,…,an,定义它的生成函数为一个形式幂级数：
f(x)=a0+a1x1+a2x2+…+anxn+…
我们寻找an的代数式。
有了生成函数f(x),无需知道
a0,a1,a2,…,an 的各项就可以设法找出它的生成函数的解析式，再将其展开成一个幂级数，则xn项的系数即为要求得的an。
以汉诺(hanoi)塔问题的递归方程为例：t(1)=1;
t(n)=2t(n-1)+1;(n≥2) 该序列的生成函数为：
t(x)=t(1)x+t(2)x2+t(3)x3+…+t(n)xn+…(1)下面求t(n)的解析式。
由递归方程可得：t(2)-2t(1) =1;
t(3)-2t(2)=1;
t(4)-2t(3)=1;
……
t(n+1)-2t(n)=1将(1)式×2x得：2xt(x)=2t(1)x2+2t(2)x3+ 2t(3)x4+…+2t(n)xn+1+…(2)(1)式-(2)式得，t(x) -2xt(x)= t(1)x+x2+x3+…+xn+…(1-2x)t(x)= x+x2+x3+…+xn+…
t(x)= = x1-x1-2x=x(1-x)(1-2x)设
t(x)=a1-x+b1-2x=a(1-2x)+b(1-x)(1-x)(1-2x)=(a+b)-(2a+b)x(1 -x)(1-2x)
应有x=(a+b) - (2a+b)x
则a+b=0;
2a+b=-1解得a=-1；b=1
即t(x)=-11-x+11-2x
用幂级数展开，得：t(x) = (1+2x+22x2+23x3+...
+2nxn+...) - (1+x+x2+…+xn+…)
= (2-1) x+ (22-1) x2+ (23-1) x3+
…+ (2n-1) xn+…∴解出an=2n-1；
在设定生成函数后，在求解解析式的过程中，需要消去中间的多余项，这就需要观察递归方程，上例中是采取了乘以一个系数相减的方法，在遇到具体问题时，可采取不同的方法，比如移位、乘法、甚至求导，以求出要找的解析式。
2结束语
在算法设计中，很多问题可以采用递归解决。
递归的引入往往使某些函数的定义和算法的描述更加清晰、明了。
而且，递归对于一些用非递归无法完全描述的复杂函数和过程也能清楚地进行表达。
根据递归方程的解的形式可以评价一个算法的时间复杂度，从而可以直接判断算法的优劣，因此递归方程求解在算法设计中至关重要。
本文给出了3种求解递归方程的方法，采用这些方法就可解决
一般的递归方程，对于递归方程的学习有十分重要的指导意义。
参考文献：
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[3]武继刚.关于递归方程t（n）=a[1].t（n／c）＋d（n）的一般解[j].兰州大学学报(自然科学版),1989（4）.
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