分治法补充内容(递归方程的求解)
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a log b < 1 ⇒ cn logb < cn
a
T ( n) ≤ cn
a
a log b
k −1 a k a j k− j k + ∑ a d (b ) = cn + c ∑ b = cn + cb ∑ j =0 j =0 b j =0 b k −1 j
k −1
如果 d (n ) = c = Θ(1) （常数） （1） 若 a > 1 ，则 T (n) = O n
如果 d (n ) = cn = Θ(n) （线性函数） （1） 若 a < b ，则 T (n) = O(n ) （2） 若 a = b ，则 T ( n) = O (n log n ) （3） 若 a > b ，则 T (n) = O n
T (n) = a 2 T (n / b 2 ) + ad (n / b) + d (n)
=⋯
n T (n) = a T (n / b ) + ∑ a j d (n / b j ) ，注意，由 k = log b 得 i = k
i i j =0 i −1
即： T (n) = a T ( n / b ) +
k −1
j
j
a 因为 < 1 ，所以 c ∑ < c′ b j =0 b
从而
T (n) ≤ cn + b k c′ = cn + c′n
T ( n) = O ( n)
6
递归方程的求解6
（4）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a = b 时
T (n) ≤ cn
a log b
+ cb
k
( a b ) − 1 = cnlog ( a b) −1
k
a logb
+ cb
k
( a b) −1 (a b) −1
T (n) ≤ cn
a logb
+ c′′a = cn
)
+ c′′n
a logb
T ( n) ≤ O ( n
源自文库
a logb
8
k k
∑a
j =0
k −1
j
d (n / b j )
3
递归方程的求解3
因为 n = b k ，所以 T (n / b k ) = T (1) = c ，所以上式可以表示为
T (n) = ca + ∑ a d (b / b ) = ca + ∑ a j d (b k − j )
k j k j k j =0 j =0
分治法补充内容
1
递归方程的求解1
我们讨论一类常见的递归方程
c T (n ) = aT (n / b ) + d (n )
n =1 n >1
（1）
其中 a ≥ 1 ， b > 1 ， c ≥ 0 ， T (n) ， d (n) 为非负整函数，判断 T (n) 的阶。 上述递归方程分 5 种情况讨论。
T (n) ≤ cn
a logb
a k −1 − 1 a k −1 − 1 k +c = ca + c a −1 a −1
因为 a > 1 ， k 非负，所以
T ( n) ≤ ca + c′a
k
k −1
，即 T (n) = O (a ) = O n
k
( )
a logb
5
递归方程的求解5
（3）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a < b 时
a logb
= a logb
（3） n
n 对于一般的 n ，取 k = log b （3）式可以表示为
两边同时取对数
a n log b log n = log b log a
T (n) ≤ cn
a logb
+ ∑ a j d (b k − j )
j =0
k −1
log a log n log n = log a 显然相等 log b log b 4
k −1 a k + ∑ a j d (b k − j ) = cn + c∑ b = cn + cb k ∑1 j =0 j =0 b j =0
k −1
k −1
j
n T ( n) ≤ cn + cb k k = cn + cn log b
n T (n) = O ( n log b ) = O ( n log n )
7
递归方程的求解7
（5）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a > b 时
k −1 j =0
T (n) ≤ cn
a log b
+ ∑ a j d (b k − j ) = cn
k
a logb
a k + cb ∑ j =0 b
k
a b
k −1
j
T (n) ≤ cn
a log b
递归方程的求解4
（1） 当 d (n ) = c = Θ(1) ， a = 1 时
n T (n) ≤ cn + ∑ d (b k − j ) = c + kc = c(log b + 1) 0 j =0 k −1
n T (n) = O(logb ) = O(log n)
（2） 当 d (n ) = c = Θ(1) ， a > 1 时
( )
a log b
（2） 若 a = 1 ，则 T (n) = O (log n )
( )
a log b
2
递归方程的求解2
首先设 n = b （ k ）为非负整数，即 k = log b
k
n
T (n) = aT (n / b) + d (n)
T (n) = a[aT (n / b 2 ) + d (n / b)] + d (n)
n 因为 k = log b ，所以（2）式可以变为
k −1
k −1
（2）
T (n) = cn
a logb
+ ∑ a j d (b k / b j ) = cn
j =0
k −1
a logb
+ ∑ a j d (b k − j )
j =0
k −1
说明： a = a
k
n log b
，以下证明
ak = n
a
T ( n) ≤ cn
a
a log b
k −1 a k a j k− j k + ∑ a d (b ) = cn + c ∑ b = cn + cb ∑ j =0 j =0 b j =0 b k −1 j
k −1
如果 d (n ) = c = Θ(1) （常数） （1） 若 a > 1 ，则 T (n) = O n
如果 d (n ) = cn = Θ(n) （线性函数） （1） 若 a < b ，则 T (n) = O(n ) （2） 若 a = b ，则 T ( n) = O (n log n ) （3） 若 a > b ，则 T (n) = O n
T (n) = a 2 T (n / b 2 ) + ad (n / b) + d (n)
=⋯
n T (n) = a T (n / b ) + ∑ a j d (n / b j ) ，注意，由 k = log b 得 i = k
i i j =0 i −1
即： T (n) = a T ( n / b ) +
k −1
j
j
a 因为 < 1 ，所以 c ∑ < c′ b j =0 b
从而
T (n) ≤ cn + b k c′ = cn + c′n
T ( n) = O ( n)
6
递归方程的求解6
（4）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a = b 时
T (n) ≤ cn
a log b
+ cb
k
( a b ) − 1 = cnlog ( a b) −1
k
a logb
+ cb
k
( a b) −1 (a b) −1
T (n) ≤ cn
a logb
+ c′′a = cn
)
+ c′′n
a logb
T ( n) ≤ O ( n
源自文库
a logb
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k k
∑a
j =0
k −1
j
d (n / b j )
3
递归方程的求解3
因为 n = b k ，所以 T (n / b k ) = T (1) = c ，所以上式可以表示为
T (n) = ca + ∑ a d (b / b ) = ca + ∑ a j d (b k − j )
k j k j k j =0 j =0
分治法补充内容
1
递归方程的求解1
我们讨论一类常见的递归方程
c T (n ) = aT (n / b ) + d (n )
n =1 n >1
（1）
其中 a ≥ 1 ， b > 1 ， c ≥ 0 ， T (n) ， d (n) 为非负整函数，判断 T (n) 的阶。 上述递归方程分 5 种情况讨论。
T (n) ≤ cn
a logb
a k −1 − 1 a k −1 − 1 k +c = ca + c a −1 a −1
因为 a > 1 ， k 非负，所以
T ( n) ≤ ca + c′a
k
k −1
，即 T (n) = O (a ) = O n
k
( )
a logb
5
递归方程的求解5
（3）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a < b 时
a logb
= a logb
（3） n
n 对于一般的 n ，取 k = log b （3）式可以表示为
两边同时取对数
a n log b log n = log b log a
T (n) ≤ cn
a logb
+ ∑ a j d (b k − j )
j =0
k −1
log a log n log n = log a 显然相等 log b log b 4
k −1 a k + ∑ a j d (b k − j ) = cn + c∑ b = cn + cb k ∑1 j =0 j =0 b j =0
k −1
k −1
j
n T ( n) ≤ cn + cb k k = cn + cn log b
n T (n) = O ( n log b ) = O ( n log n )
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递归方程的求解7
（5）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a > b 时
k −1 j =0
T (n) ≤ cn
a log b
+ ∑ a j d (b k − j ) = cn
k
a logb
a k + cb ∑ j =0 b
k
a b
k −1
j
T (n) ≤ cn
a log b
递归方程的求解4
（1） 当 d (n ) = c = Θ(1) ， a = 1 时
n T (n) ≤ cn + ∑ d (b k − j ) = c + kc = c(log b + 1) 0 j =0 k −1
n T (n) = O(logb ) = O(log n)
（2） 当 d (n ) = c = Θ(1) ， a > 1 时
( )
a log b
（2） 若 a = 1 ，则 T (n) = O (log n )
( )
a log b
2
递归方程的求解2
首先设 n = b （ k ）为非负整数，即 k = log b
k
n
T (n) = aT (n / b) + d (n)
T (n) = a[aT (n / b 2 ) + d (n / b)] + d (n)
n 因为 k = log b ，所以（2）式可以变为
k −1
k −1
（2）
T (n) = cn
a logb
+ ∑ a j d (b k / b j ) = cn
j =0
k −1
a logb
+ ∑ a j d (b k − j )
j =0
k −1
说明： a = a
k
n log b
，以下证明
ak = n