计算机算法设计与分析..求解递归方程的方法
算法设计与分析知到章节答案智慧树2023年天津大学
算法设计与分析知到章节测试答案智慧树2023年最新天津大学第一章测试1.下列关于效率的说法正确的是（）。
参考答案:提高程序效率的根本途径在于选择良好的设计方法，数据结构与算法;效率主要指处理机时间和存储器容量两个方面;效率是一个性能要求，其目标应该在需求分析时给出2.算法的时间复杂度取决于（）。
参考答案:问题的规模;待处理数据的初态3.计算机算法指的是（）。
参考答案:解决问题的有限运算序列4.归并排序法的时间复杂度和空间复杂度分别是（）。
参考答案:O(nlog2n);O(n)5.将长度分别为m,n的两个单链表合并为一个单链表的时间复杂度为O(m+n)。
（）参考答案:错6.用渐进表示法分析算法复杂度的增长趋势。
（）参考答案:对7.算法分析的两个主要方面是时间复杂度和空间复杂度的分析。
（）参考答案:对8.某算法所需时间由以下方程表示，求出该算法时间复杂度（）。
参考答案:O(nlog2n)9.下列代码的时间复杂度是（）。
参考答案:O(log2N)10.下列算法为在数组A[0,...,n-1]中找出最大值和最小值的元素，其平均比较次数为（）。
参考答案:3n/2-3/2第二章测试1.可用Master方法求解的递归方程的形式为（）。
参考答案:T(n)=aT(n/b)+f(n) , a≥1, b＞1, 为整数, f(n)＞0.2.参考答案:对3.假定，, 递归方程的解是. ( )参考答案:对4.假设数组A包含n个不同的元素，需要从数组A中找出n/2个元素，要求所找的n/2个元素的中点元素也是数组A的中点元素。
针对该问题的任何算法需要的时间复杂度的下限必为。
( )参考答案:错5.使用Master方法求解递归方程的解为（）.参考答案:6.考虑包含n个二维坐标点的集合S，其中n为偶数，且所有坐标点中的均不相同。
一条竖直的直线若能把S集合分成左右两部分坐标点个数相同的子集合，则称直线L为集合S的一条分界线。
若给定集合S，则可在时间内找到这条分界线L。
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述递归方程是数学中常见的一种表示方式，它描述了一个数列或函数之间的递推关系。
递归方程求解方法是指寻找递归方程的解析解或近似解的过程。
在许多应用领域，递归方程都是非常重要的，例如在计算机科学、自然科学及经济学等各个领域。
本文将从递归方程的求解方法综述入手，介绍常见的求解方法，包括代入法、特征根法、母函数法等，并举例说明其应用。
一、代入法代入法是求解递归方程的常见方法之一、它的基本思想是通过猜测法求得递归方程的解的形式，然后通过代入递归方程验证该猜测解是否成立。
如果成立，我们就可以得到递归方程的解析解；如果不成立，我们需要修改猜测解的形式，重复上述过程直到找到正确的解。
例如，考虑递推关系式$f(n) = 2f(n-1) + 3$，其中$f(0)=1$。
我们首先猜测$f(n) = a\cdot 2^n + b$，代入递推关系式可得：$a\cdot 2^n + b = 2(a\cdot 2^{n-1} + b) + 3$。
整理得$a\cdot 2^n + b = 2a\cdot 2^{n-1} + 2b + 3$。
化简可得$a\cdot 2^{n-1} = 2b + 3$。
由此可知，$b = \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}$。
将$b$的值代入原方程得到$a\cdot 2^n + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2} = 2(a\cdot2^{n-1} + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}) + 3$。
进一步化简可得$a = 6$。
因此，递归方程的解析解为$f(n) =6\cdot 2^n + \frac{3}{2}(2^n - 1)$。
二、特征根法特征根法是求解线性递归方程的常用方法。
这种方法基于线性递归方程的特征方程和特征根的性质，通过求解特征方程的根来得到递归方程的解析解。
考虑递归关系式$f(n) = af(n-1) + b$，其中$f(0)=c$。
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。
在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。
本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。
一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。
它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。
通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。
例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。
我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。
将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。
接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。
继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。
当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。
利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。
因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。
二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。
它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。
其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。
主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。
主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。
1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章
![计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章](https://img.taocdn.com/s3/m/6ef58047f7ec4afe04a1df38.png)
2.1 递归的概念
例5 整数划分问题 前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因 而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关 系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个 数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
1 q ( n, n ) q ( n, m ) 1 q (n, n 1) q ( n, m 1) q (n m, m)
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
n 1, m 1 nm nm n m 1
2.1 递归的概念
例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中 任一塔座上。
【算法复习】求解递归式的方法
【算法复习】求解递归式的⽅法求解递归式的⽅法【代⼊法】代⼊法求解分为两步：猜测解的形式⽤数学归纳法求出解的常数C，并证明正确性，关键步骤是⽤猜测的解代⼊到递归式中。
做出好的猜测（没有⼀般⽅法，只能凭经验）与见过的解类似，则猜测之。
先证较宽松的上、下界，减⼩猜测范围。
我们可以从下界Ω(n)开始，上界O(n^2)，然后逐渐收敛⾄(nlog2n)细节修正有时猜测解是正确的，但数学归纳法却不能直接证明其细节，这是因为数学归纳法不是强⼤到⾜以证明其细节。
这时可从猜测解中减去⼀个低阶项以使数学归纳法得以满⾜避免陷阱与求和式的数学归纳法类似，证明时渐近记号的使⽤易产⽣错误。
如：证明O(n)时必须严格证明≤cn，不能讲其换做cn+n变量变换有时改动变量能使未知递归式变为熟悉的式⼦。
例如：【代⼊法例题】【递归树法】递归树最适合⽤来⽣成好的猜想，然后可⽤代⼊法来验证猜测是否正确需要关注：达到边界条件所需的迭代次数迭代过程中的和式。
若在迭代过程中已估计出解的形式，亦可⽤代⼊法【递归树法例题】【Master原理】Master定理也叫主定理。
它提供了⼀种通过渐近符号表⽰递推关系式的⽅法。
应⽤Master定理可以很简便的求解递归⽅程。
定理4.1（主定理）令a≥1和b>1是常数，f(n)是⼀个函数，T(n)是定义在⾮负整数上的递归式： T(n) = aT(n/b) + f(n)其中我们将n/b解释为。
那么T(n)有如下渐近界：主定理的三种情况，经过分析，可以发现都是把f(n)与⽐较。
第⼀种情况是更⼤，第⼆种情况是与f(n)相等，第三种情况是f(n)更⼤。
【主定理例题】。
递归方程求解方法综述
递归方程求解方法综述摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。
算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。
阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。
这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。
关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数0引言寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。
在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。
一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。
因此研究递归方程的解法意义重大。
下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。
1递归方程的解法递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的规模要小。
对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。
根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。
下面就分别来分析其求解过程。
1.1递推法当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。
下面举例说明： t(1)=0t(n)=2t(n/2)+n2(n≥2)t(n)=2t(n/2)+n2=2(2t(n/22)+(n/2)2)+n2=22t(n/2)2+2n2/22+n2=22(2t(n/23)+(n/22)2)+2n2/22+n2=23(2t(n/23)+22n2/(22)2)+2n2/(22)1+n2…=2kt(n/2k)+∑k-1i=02in2(22)i递推到这里我们就可以发现递归规律，找到递归出口， t(1)=0，令n=2k 则可以得到如下结果：t(n) =2kt(1) +∑k-1i=0n2(1/2)i)=n2(1-(1/2)k1-1/2)=2n2-2n 上面得到方程的解，我们来分析其对应算法复杂性的渐进阶，根据渐进阶定理有：设有函数f(n)，g(n）均是规模n的函数，则o(f(n))+o(g(n))=o(max(f(n), g(n)))。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
递归式的三种求解方式
递归式的三种求解⽅式求解递归式对于分冶算法的重要性不⾔⽽喻以下介绍了三种求解递归式的⽅法1，代换法：缺点：代换法主要的缺点在于，对于任何递归式，我们先得去猜其解，对于猜错了同学，如果不幸猜出的结果和正确结果相差太⼤，虽然可以推导，但是意义不⼤；优点：代换法相较于递归树法更为严谨，相较于主定理应⽤范围更⼴，主定理只能求解类似于T(n) = aT(n/b)+n/c这种形式的递归式；下⾯给出⼀个递归表达式T(n) = 2T(n/2)+n，求其解；⾸先猜⼀下其解为O(nlgn);那么我们只需要证明T(n)<cnlgn即可先假设T(n)<cnlgn对于n/2也成⽴，那么T(n/2)<=c(n/2)lg(n/2)也成⽴那么必然的T(n)<=2(c(n/2)(lgn/2))+n-=cnlgn-cnlg2+n<=cnlgn-cn+n以上表达式，在c>=1时永远成⽴，得证递归式T(n) = 2T(n/2)+n的解为O(nlgn)其他递归式的求解⽅式和上⾯的⼤体相似；2,递归树法递归树⽅法利⽤了将递归式分解为⼀棵递归树的形式来更加直观的求解递归式；缺点：递归树⽅法求解递归式因为丢弃了很多低阶项，所以不够严谨；优点：递归树⽅法求解递归式从视觉上更为直观，简单。
⼀般可以先运⽤递归树求解，然后利⽤代换法更加严谨得证明⽤递归树求解的解的数学上的正确性；下⾯求T(n) = 2T(n/2)+n的解⾸先将上述递归表达式⽤递归树表达出来，不会画图，⽐较丑。
以上递归式的深度为lgn,每层的代价为n,⾃然推导出T(n) = T(n/2)的解为O(nlgn)以上递归式的求解⽐较简单更为复杂的求解参考算法导论；3,主定理主定理是最为简单求解递归式的解的⽅法，也是我最为喜欢的⼀种分析⽅法主定理给出如下的如下形式的通⽤的递归式:T(n) = aT(n/b)+f(n)主定理套公式分为以下三种情况符号打得⼼累直接截图：以上为三种递归式的求解⽅法。
算法时间复杂度分析中递归方程求解方法综述
计算 机算 法分析 中所需 要的 资源数量 ，经 常以和 的形式 或递归 公式 的形 式表示 。绝大 部 分算法 的执行 ，都表现 为按某 种条件 ，重复 地 执 行一些 循环 ，而这些循 环 ，又经常 可以用递 归关系来 表达 这就使得 递 归方程的 求解 ，对 算 法 分析 来 说 ，变 得 非 常 重 要
Ｆ（） ｘ ＝ｆ（ ｘ （） ＋ｆ ３ｘ ＋… １ ＋ｆ ２ｘ ） （）
＝
ｌ ＋ 口，＂ ｋ ＋ （） …＋ ＾ （一 ） ｇｎ 【（ ＝ ｔ （ｓ ＜ ） ，ｆ ６ ０ ｉｋ ）
的方程称为 ｋ阶常系数线性非齐次递归方程
∑ ｆｋｘ （ ）
Ｘ
２ 一
一 —
一
其通解 形式为：
子 。第 一个 月有一 只小兔子 ，求 ｎ个 月后有 多 少 只兔子？ 令 ｔｎ ，Ｔ（ ） （） ｎ 分别表 示第 ｎ个 月小兔子
厂” ＝ ＋ １ …＋ 々： （ ｑ ） Ｃｌ ｑ＋ ｑ
②特征方程的 ｋ 个根中有 ｒ 个重根 ｑ … ， ，ｑ ． ｉ ，ｑ １ 时，其通解为：
大 予 数目 ｆ ） 第ｎ 兔 总 。 免 的 ， （ 为 个月 子的 数目 ｎ
则 有 如 下关 系式 ： Ｔｎ （）一 Ｔ ｎ ）＋ ｔ —１ （ １ （ ） ｎ ｔ（ ） Ｔ ｎ ） ｎ ＝ （－１ ｆ （ ｎ Ｔ ｎ ） （ ）十 ｔ ） （ ｎ 由上述 三式 可 以 得到 如 下递 归方 程
引言
在 计算机 科学 中 ，递 归概念 经常用 于递 归 调用方 面 ，即函数或过 程 自己调用 自己。用 递 归调用 的算法就 是递 归算 法 ，递 归调 用会产 生 无终止 运算的 可能性 ，因此 必须在适 当的情 况
下终止递 归调 用。
算法设计与分析-递归法
b)
cn k
n1 n1
O (nlog b a ) T (n) O(nk log b n) O(nk )
a bk a bk a bk
但是并非所有的递推式都可以用公式法求解。 例T(n)=2T(n/2)+nlogn 由于a=2, b=2, f(n)=nlogn和nlogba=n。看起来似乎属于 主定理情况（3），但事实上f(n)只是渐近大于n，但并不 是多项式大于n。f(n)与的nlogba比值是log n，对于任何 正数，log n渐近小于n，所以，此例不能运用定理。
1 替换方法
替换方法要求首先猜测递推式的解，然后用归纳法证明。
例2.2 T(n) 2T(n / 2) n
需要注意在上述证明过程中，没有考虑初始条件，而初始条 件是归纳法成立的基础。上例归纳证明的初始条件是是 T(1)≤c，只要选择足够大的c≥1即成立。
2.迭代方法
迭代方法的思想是扩展递推式，将递推式先转换成 一个和式，然后计算该和式，得到渐近复杂度。 例2.4 使用迭代方法分析 T (n) 2T (n / 2) n2
本章要点
• 递归算法特性
• 递推关系 • 递归算法的应用
章节内容
2.1 递归算法 2.1.1 递归算法特性 2.1.2 递归算法的执行过程 2.1.3 递推关系
2.2 递归法应用举例
2.3 典型问题的C++程序
2.4 小结
2.1 递归法
2.1.1 递归算法的特性
若一个算法直接的或间接的调用自己本身，则称这个算 法是递归算法。递归本质上也是一种循环的算法结构，它把较 复杂的计算逐次归结为较简单的情形的计算，直到归结到最简 单情形的计算，并最终得到计算结果为止。
《算法设计与分析》教案
《算法设计与分析》教案算法设计与分析是计算机科学与技术专业的一门核心课程，旨在培养学生具备算法设计、分析和优化的能力。
本课程通常包括算法基础、算法设计方法、高级数据结构以及算法分析等内容。
本教案主要介绍了《算法设计与分析》课程的教学目标、教学内容、教学方法和评价方法等方面。
一、教学目标本课程的教学目标主要包括以下几个方面：1.掌握算法设计的基本思想和方法。
2.熟悉常见的算法设计模式和技巧。
3.理解高级数据结构的原理和应用。
4.能够进行算法的时间复杂度和空间复杂度分析。
5.能够使用常见的工具和软件进行算法设计和分析。
二、教学内容本课程的主要教学内容包括以下几个方面：1.算法基础：算法的定义、性质和分类，时间复杂度和空间复杂度的概念和分析方法。
2.算法设计方法：贪心算法、分治算法、动态规划算法、回溯算法等算法设计思想和方法。
3.高级数据结构：堆、树、图等高级数据结构的原理、实现和应用。
4.算法分析：渐进分析法、均摊分析法、递归方程求解等算法分析方法。
5. 算法设计与分析工具：常见的算法设计和分析工具，如C++、Java、Python和MATLAB等。
三、教学方法本课程采用多种教学方法结合的方式，包括讲授、实践和讨论等。
1.讲授：通过教师讲解理论知识，引导学生掌握算法的基本思想和方法。
2.实践：通过课堂上的编程实验和课后作业，培养学生动手实践的能力。
3.讨论：通过小组讨论和学生报告，促进学生之间的交流和合作，提高学习效果。
四、评价方法为了全面评价学生的学习情况，本课程采用多种评价方法，包括考试、作业和实验报告等。
1.考试：通过期中考试和期末考试，检验学生对算法设计和分析的理解和掌握程度。
2.作业：通过课后作业，检验学生对算法设计和分析的实践能力。
3.实验报告：通过编程实验和实验报告，检验学生对算法设计和分析工具的应用能力。
五、教学资源为了支持教学工作，我们为学生准备了如下教学资源：1.课件：编写了详细的教学课件，包括理论知识的讲解和案例分析。
主定理求解递归方程
主定理求解递归方程在计算机科学和算法设计中，递归是一种常见的问题解决方法。
递归方程是描述递归算法执行时间复杂度的重要工具。
然而，解决递归方程并确定算法的时间复杂度并不总是容易的。
这时，主定理（Master Theorem）就发挥了重要的作用，它提供了一种快速计算递归方程时间复杂度的方法。
主定理是由计算机科学家Jon Bentley和Robert Sedgewick在1976年提出的，它给出了一种通用的递归方程求解方法，适用于一类形式化的递归方程。
具体来说，主定理适用于具有以下形式的递归方程：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n)表示问题规模为n时的时间复杂度，a是递归调用的子问题个数，n/b是子问题的规模，f(n)表示分解和合并子问题所需的额外工作量。
主定理的关键是通过比较f(n)和n^log_b(a)的大小关系，将递归方程划分为三个不同的情况，分别对应着递归算法的时间复杂度。
第一种情况是当f(n) = O(n^log_b(a-ε))，其中ε>0，存在一个常数c<1，使得af(n/b) ≤ cf(n)对于足够大的n成立。
这时，主定理给出的时间复杂度为T(n) = Θ(n^log_b(a))。
第二种情况是当f(n) = Θ(n^log_b(a))，即f(n)与n^log_b(a)同阶。
这时，主定理给出的时间复杂度为T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n)。
第三种情况是当f(n) = Ω(n^log_b(a+ε))，其中ε>0，存在一个常数c>1，使得af(n/b) ≥ cf(n)对于足够大的n成立，并且存在一个常数d<1，使得对于足够大的n，af(n/b) ≤ df(n)。
这时，主定理给出的时间复杂度为T(n) = Θ(f(n))。
通过应用主定理，我们可以快速得到递归方程的时间复杂度，而无需详细展开递归式并进行复杂的推导。
这为算法设计和分析提供了便利，使得我们能够更快速地估计算法的运行时间。
递归方程求解
解递归方程下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容。
1、 递推法例：Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：()2(1) 1 2(1)1T n T n n T =-+≥⎧⎨=⎩递推求解如下：232122122()2(1)12(2(2)1)12(2)212(3)221......2(1)2 (221)22 (221)21n n n n n T n T n T n T n T n T ----=-+=-++=-++=-++++=+++++=+++++=-所以，Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性为：()(2)n T n O =例：分治法实例。
设n 表示问题的尺寸，n/b 表示将问题分成a 个子问题后的每个子问题的尺寸，其中a,b 为常数。
d(n)表示在分解或合成子问题而得到整个问题解决时的时间耗费。
则整个问题的时间耗费由下面的递归方程给出： ()(/)() 2(1)1T n aT n b d n n T =+≥⎧⎨=⎩递推求解如下：222232332210()((/)(/))()(/)(/)()((/)(/))(/)()(/)(/)(/)() ......(/)(/)k k ki i i T n a aT n b d n b d n a T n b ad n b d n a aT n b d n b ad n b d n a T n b a d n b ad n b d n a T n b a d n b -==++=++=+++=+++=+∑设：kn b =，则log b k n =，有： 10()(1)(/)k ki i i T n a T a d n b -==+∑ 当()d n 为常数时，有：log 10()() 1()(log ) 1 b a k k k ii b O a O n a T n a c a O n a -=⎧=≠=+=⎨=⎩∑ 当(),d n cn c =为常数时，有：111000(/)(/)(/)k k k i i i ii i i i a d n b a cn b cn a b ---=====∑∑∑若：a b <，则：10(/)()k i i cn a b O n -==∑log ()()()b a T n n O n O n =+=若：a b =，则：10(/)log k i b i cn a b cnk cn n -===∑log ()log (log )b a b b T n n cn n O n n =+=若：a b >，则：1log log 0(/)1(/)()()()/1/1b b k k kk n a ik i a b a b cn a b cn c O a O a O n a b a b -=--=====--∑ log log log ()()()b b b a a a T n n O n O n =+=综上所述：log () ()(log ) () b n O n a b T n O n n a b O na b ⎧<⎪==⎨⎪>⎩2、公式解法K 阶常系数齐次递推方程：12()(1)(2)...()0k T n a T n a T n a T n k -------= 0,,,1,...,k i a n k a i k ≠≥=是常数则对应的特征方程为：1212...0k k k k x a x a x a ------=特征方程有k 个根：12,,...,k q q q ，称为齐次方程的特征根。
算法设计与分析-1-特征方程求解递归方程-15
令非齐次递归方程的特解为：
2 f *(n) An A2n A3 1
代入原递归方程得：
{ A1n 2 A2 n A3 } 7{ A1 (n 1) 2 A2 (n 1) A3} 10{ A1 (n 2) 2 A2 (n 2) A3 } 4n 2
得到： c1=0, c2=-1, c3=1 因此，递归方程的解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n 3n n
作业1
解下列递归方程： 1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5 2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2 3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1 4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3
得到： c1=-41/3, c2=43/24
最后，非齐次递归方程通解为：
41 n 43 n 13 103 2 f ( n) 2 5 n n 3 24 2 8
g(n)是n的指数函数
g(n)形如：
g (n) (b1nm b2nm1 ... bmn bm1 )an
f (n) 7 f (n 1) 10 f (n 2) 4n 2 f (0) 1 f (1) 2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +10= 0
因式分解： (x － 2)(x － 5)=0
特征根：q1=2，q2=5
对应齐次方程通解： f (n) c1 2n c2 5n
f (n) c q c2q2 ... ck qk
n 1 1 n
n
特征方程的k个根有重根：
求解递归方程的方法
求解递归方程的方法递归方程是一种用于描述数列、函数或其他对象的数学方程。
它通常通过将问题分解成更小的子问题来定义。
解递归方程的方法可以包括：递归直接求解、递归树、主定理、特征根法等。
首先，我们来介绍递归直接求解的方法。
递归直接求解是指通过不断展开递归式，直到出现边界条件，从而得到一系列的函数值，最终可以得到递归式的解。
这种方法通常适用于递归方程比较简单的情况。
举个例子来说明递归直接求解的方法。
假设我们要解递归方程f(n)=f(n-1)+2n，其中f(1)=1、我们可以展开递归式，得到f(n)=f(n-1)+2n=[f(n-2)+2(n-1)]+2n=...=f(1)+2(2)+...+2n=1+2+4+...+2n。
这个等式可以通过求和公式得到解为f(n)=2^(n+1)-2递归树是一种用于解递归方程的图形化工具，它将递归式展开为一个树形结构。
每个结点代表一个递归表达式的计算步骤，而边表示从一个结点到另一个结点的计算关系。
通过分析递归树的结构和计算路径，可以得到递归方程的解。
接下来我们以斐波那契数列的求解为例来介绍递归树的方法。
斐波那契数列的递归方程为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、我们可以通过递归树来展示每一步的计算过程。
```f(5)/\f(4)f(3)/\/\f(3)f(2)f(2)f(1)/\f(2)f(1)```从递归树中可以看出，计算f(5)需要计算f(4)和f(3)，而计算f(4)需要计算f(3)和f(2)，以此类推。
在递归树中，每个结点的计算次数总是与其所对应的递归次数一致。
因此，通过递归树可以推导出递归方程的求解。
主定理是解递归方程的一种重要的数学工具，它适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程的求解。
其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个任意函数。
主定理给出了递归方程求解的一般公式。
主定理有三种形式：第一种形式适用于f(n) = O(n^c)，其中c<log_b(a)；第二种形式适用于f(n) = Θ(n^c log^k(n))，其中k≥0，c=log_b(a)；第三种形式适用于f(n) = Ω(n^c)，其中c>log_b(a)。
采用主方法求解以下递归方程
采用主方法求解以下递归方程要求解递归方程，我们可以使用主方法（master theorem），一种用于估计递归算法时间复杂度的方法。
主方法适用于满足以下形式的递归方程：T(n)=aT(n/b)+f(n)其中T(n)是算法的时间复杂度，a是递归步骤的数量，n/b是每个递归步骤的输入规模（其中b是一个大于1的常数），f(n)是除了递归步骤之外的其他工作的时间复杂度。
根据主方法，我们将方程分为三种情况来求解。
第一种情况：当f(n) = O(n^c) 且 c < log_b(a)时，时间复杂度为O(n^log_b(a))。
第二种情况：当f(n) = Θ(n^c * log^k(n))，且c = log_b(a)时，时间复杂度为O(n^c * log^(k+1)(n))。
第三种情况：当f(n) = Ω(n^c) 且 c > log_b(a)时，时间复杂度为O(f(n))。
现在让我们来应用这些原则来解决一个具体的递归方程。
例子1：T(n)=2T(n/2)+n我们可以看到a=2，b=2，f(n)=n。
我们可以观察到f(n) = O(n^c) 且 c = 1、因为c = 1 < log_b(a) = log_2(2) = 1，我们处于第一种情况。
根据主方法，时间复杂度为O(n^log_b(a)) = O(n^log_2(2)) =O(n)。
例子2：T(n)=2T(n/4)+√n我们可以看到a=2，b=4，f(n)=√n。
我们可以观察到f(n) = Θ(n^c * log^k(n))，且c = log_b(a) =log_4(2) = 0.5，k = 0。
因此，我们处于第二种情况。
根据主方法，时间复杂度为O(n^c * log^(k+1)(n)) = O(n^0.5 *log^1(n)) = O(√n * log(n))。
例子3：T(n)=2T(n/2)+n^2我们可以看到a=2，b=2，f(n)=n^2我们可以观察到f(n) = Ω(n^c) 且 c = log_b(a) = log_2(2) = 1、因此，我们处于第三种情况。
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归是一种问题解决方法，它基于将问题分解为更小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归式是一种表示一些问题与其子问题之间关系的方程式。
求解递归式的方法包括数学归纳法、递归树、主方法和代换法等。
一、数学归纳法数学归纳法是求解递归式的一种常用方法，它基于递推式的思想。
首先，我们需要证明基础情况的正确性，即递归式是否在一些起始点成立。
然后，我们需要假设递归式在一般情况下成立，即假设递归式对n=k成立，然后证明递归式在n=k+1时也成立。
通过推理和证明，可以得到递归式的解。
二、递归树递归树是一种图形化的表示方法，用于描述递归式的求解过程。
它将问题划分为不同的子问题，并将其表示为树的结构。
递归树的深度表示递归的层数，每个节点表示一个子问题，叶子节点表示基本情况。
通过计算每个节点的代价，可以得到递归式的解。
三、主方法主方法是求解递归式的一种常用方法，它适用于形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式，其中a≥1，b>1、主方法的基本原理是通过比较a、b和f(n)的关系，判断递归式的求解复杂度。
主方法分为三种情况：若f(n) = O(n<sup>c</sup>)，其中c<log<sub>b</sub>a，则T(n) =Θ(n<sup>log<sub>b</sub>a</sup>)；若f(n) = Θ(n<sup>c</sup>)，其中c=log<sub>b</sub>a，则T(n) = Θ(n<sup>c</sup> logn)；若f(n)= Ω(n<sup>c</sup>)，如果af(n/b)≤kf(n)，其中k<1，且存在d≥0使得af(n/b)≥df(n)，则T(n) = Θ(f(n))。
算法_求解递归方程的方法
.专业整理..学习帮手.第二章 常用的数学工具2.2 用生成函数求解递归方程 2.2.1 生成函数及其性质一、生成函数的定义定义2.1 令Λ,,,210a a a 是一个实数序列，构造如下的函数：k k kz az a z a a z G ∑∞==+++=02210)(Λ （2.2.1）则函数)(z G 称为序列Λ,,,210a a a 的生成函数。
例：函数nn n n n n n x C x C x C C x ++++=+Λ2210)1(则函数n x )1(+便是序列nn n n n C C C C ,,,,210Λ的生成函数。
二、生成函数的性质1. 加法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列Λ,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G βα+k k kkk kz bz az H z G ∑∑∞=∞=+=+0)()(βαβαk k k kz b a)(0∑∞=+=βα（2.2.2）.专业整理..学习帮手.是序列Λ,,,221100b a b a b a βαβαβα+++的生成函数。
2．移位 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，则)(z G z mkmk m k mzaz G z ∑∞=-=)( （2.2.3）是序列ΛΛ,,,,0,,0210a a a 的生成函数。
3．乘法 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，k k kz bz H ∑∞==)(是序列Λ,,,210b b b 的生成函数，则)()(z H z G)()()()(22102210ΛΛ++++++=z b z b b z a z a a z H z GΛ++++++=2021120011000)()(z b a b a b a z b a b a b ak k k z c ∑∞==0（2.2.4）是序列Λ,,,210c c c 的生成函数，其中，k n nk k n b a c -=∑=04. z 变换 设k k k z a z G ∑∞==0)(是序列Λ,,,210a a a 的生成函数，则)(z c GΛ++++=332210)()()()(z c a z c a z c a a z c GΛ++++=33322210z a c z a c z a c a （2.2.5）.专业整理..学习帮手.是序列Λ,,,2210a c a c a 的生成函数。
算法设计与分析—递归算法.ppt
//递归调用
return n * y;
}
}
9
为说明该递归算法的执行过程，设计调用过程如下：
void main(void) {
long int fn; fn = Fact(3); }
上述代码用实参n = 3调用了递归算法Fact(3)，而 Fact(3)要通过调用Fact(2)、Fact(2)要通过调用Fact(1)、 Fact(1)要通过调用Fact(0)来得出计算结果。Fact(3)的递 归调用过程如下图所示，其中，黑色实线箭头表示函数调 用，绿色虚线箭头表示函数返回，此函数在返回时函数名 将带回返回值。
由于堆栈的后进先出特性正好与递归函数调用和返回的过
程吻合，因此，高级程序设计语言利用堆栈保存递归函数调
用的信息，系统用于保存递归函数调用信息的堆栈称为运行
时栈。
栈顶
局部变量m 返回地址m 参 数m
……
……
……
局部变量2 返回地址2 参 数2
局部变量1 返回地址1 参 数1 栈底
运行时栈示意图
29
递归函数被调用时，在每进入下一层递归调用时，系统 就建立一个新的工作记录，并把这个工作记录进栈成为运 行时栈新的栈顶；每返回一层递归调用，就退栈一个工作 记录。
设计：按照阶乘函数的递推定义式计算阶乘函数的递归算
法如下：
long int Fact(int n)
{ int x;
long int y;
if(n < 0)
//n < 0时阶乘无定义
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else { y = Fact(n - 1);
求解递归方程的方法
递推方程定义
给定数列f(0),f(1),…,f(n), 一个把f(n)和某些f(i)，
0i<n，联系起来的等式称为递推方程
给定关于f(n)的递推方程和初值，求f(n)称为解递推方程
求解方法
公式法
换元法
迭代归纳法
差消法
Master定理
1. 常系数线性齐次递推方程的求解（公式法）
标准形式：k阶
用归纳法验证
4．差消法----化简递推方程 例14 求解递推方程
T (n)
2 n
n1
T(i) n
i 1
1,
T(1) 0
n2
n1
nT (n) 2 T (i) n2 n
i 1
n2
(n 1)T (n 1) 2 T (i) (n 1)2 (n 1)
i 1
相减并化简得
nT (n) (n 1)T (n 1) 2n 2
T (n)为 非 负 整 数
1. f (n) O(nlogb a ), 0,
那 么T (n) (nlogb a ) 2. f (n) (nlogb a ),
那 么T (n) (nlogb a log n)
3. f (n) (nlogb a ), 0,
且 对 于 某 个 常 数c 1和 所 有 的 充 分 大 的n有 af (n / b) cf (n),
H(0) = 1, H(1) = 0, H(2) = 1, H(3) = 2
特征方程 x4+x3-3x2-5x-2 = 0 , 特征根-1，-1，-1，2
，
通解为 解得
H (n) (C1 C2n C3n2 )(1)n C4 2n
C1 C4 1 C1 C2 C3 2C4 0 C1 2C2 4C3 4C4 1 C1 3C2 9C3 8C4 2