递归方程的时间复杂度
第2章 递归与分治_作业答案讲解
具体执行过程：求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度：
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1：给定数组a[0:n-1]， 1. 试设计一个分治法算法，找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值； 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式； 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式：
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
《算法分析与设计》期末试题及参考答案
《算法分析与设计》期末试题及参考答案一、简要回答下列问题：1.算法重要特性是什么？2.算法分析的目的是什么？3.算法的时间复杂性与问题的什么因素相关？4.算法的渐进时间复杂性的含义？5.最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？6.简述二分检索（折半查找）算法的基本过程。
7.背包问题的目标函数和贪心算法最优化量度相同吗？8.采用回溯法求解的问题，其解如何表示？有什么规定？9.回溯法的搜索特点是什么？10.n皇后问题回溯算法的判别函数place的基本流程是什么？11.为什么用分治法设计的算法一般有递归调用？12.为什么要分析最坏情况下的算法时间复杂性？13.简述渐进时间复杂性上界的定义。
14.二分检索算法最多的比较次数？15.快速排序算法最坏情况下需要多少次比较运算？16.贪心算法的基本思想？17.回溯法的解（x1,x2,……x n）的隐约束一般指什么？18.阐述归并排序的分治思路。
19.快速排序的基本思想是什么。
20.什么是直接递归和间接递归？消除递归一般要用到什么数据结构？21.什么是哈密顿环问题？22.用回溯法求解哈密顿环，如何定义判定函数？23.请写出prim算法的基本思想。
二、复杂性分析1、MERGESORT(low，high)if low<high；then mid←(low，high)/2；MERGESORT(low，mid)；MERGESORT(mid+1，high)；MERGE(low，mid，high)；endifend MERGESORT2、procedure S1(P，W，M，X，n)i←1; a←0while i≤ n doif W(i)>M then return endifa←a+ii←i+1 ;repeatend3.procedure PARTITION(m,p)Integer m,p,i;global A(m:p-1)v←A(m);i←mlooploop i←i+1 until A(i) ≥v repeatloop p←p-1 until A(p) ≤v repeatif i<pthen call INTERCHANGE(A(i),A(p))else exitendifrepeatA(m) ←A(p);A(p) ←vEnd PARTITION4.procedure F1(n)if n<2 then return(1)else return(F2(2,n,1,1))endifend F1procedure F2(i,n,x,y)if i≤nthen call F2(i+1,n,y,x+y)endifreturn(y)end F25.procedure MAX(A,n,j)xmax←A(1);j←1for i←2 to n doif A(i)>xmax then xmax←A(i); j←i;endif repeatend MAX6.procedure BINSRCH(A,n,x,j)integer low,high,mid,j,n;low←1;high←nwhile low≤high domid←|_(low+high)/2_|case:x<A(mid):high←mid-1:x>A(mid):low←mid+1:else:j ←mid; returnendcase repeat j ←0 end BINSRCH三、算法理解1、写出多段图最短路经动态规划算法求解下列实例的过程，并求出最优值。
数据结构与算法分析论文(递归的讨论)
数据结构论文——递归算法的讨论所谓递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。
然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。
一个过程(或函数)直接或间接调用自己本身,这种过程(或函数)叫递归过程(或函数)。
递归过程一般通过函数或子过程来实现。
递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。
递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。
在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成栈溢出等。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
下面就让我们结合例子详细讨论一下递归算法。
一、递归算法的原理递归算法简单的说就是在函数中调用函数自身，不断调用，直到满足函数得出计算结果(某个条件)。
因为其需要不断循环的调用自身，所以称为递归调用。
递归的原理,其实就是一个栈(stack), 比如求5的阶乘,要知道5的阶乘,就要知道4的阶乘,4又要是到3的,以此类推,所以递归式就先把5的阶乘表示入栈, 在把4的入栈,直到最后一个,之后呢在从1开始出栈, 看起来很麻烦,确实很麻烦,他的好处就是写起代码来,十分的快,而且代码简洁,其他就没什么好处了,运行效率出奇的慢。
还有一个十分形象的例子：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事……如此循环往复到最终的要求。
递归分为2种，直接递归和间接递归。
直接递归，比如方法A内部调用方法A自身。
间接递归，比如方法A内部调用方法B，方法B内部调用方法C，方法C 内部调用方法A。
算法时间复杂度的计算公式
算法时间复杂度的计算公式
算法时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，它是指算法运行时间随着问题规模的增大而增长的速度。
计算算法时间复杂度需要考虑以下几个因素：
1. 循环结构的次数：算法中循环结构执行的次数是影响时间复杂度的重要因素之一。
2. 嵌套循环结构：如果算法中有多个嵌套循环结构，那么时间复杂度的计算就要考虑这些循环的嵌套次数。
3. 条件判断语句：如果算法中有条件判断语句，那么时间复杂度的计算需要根据条件的判断次数进行计算。
4. 递归调用：如果算法中有递归调用，那么时间复杂度的计算需要根据递归的次数进行计算。
算法时间复杂度的计算公式可以表示为：
T(n) = O(f(n))
其中，T(n)表示算法的时间复杂度，f(n)表示算法执行的时间，O表示算法的渐进时间复杂度。
根据算法的实际情况，可以通过分析算法中循环结构的次数、嵌套次数、条件判断次数、递归次数等因素，来确定算法的时间复杂度。
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如何计算时间复杂度和空间复杂度
如何计算时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要方法，可以通过对算法的代码进行分析和推算来得出。
时间复杂度描述了算法运行时间随输入规模增长而增长的趋势，通常用大O符号表示。
在计算时间复杂度时，我们需要关注算法中的循环、递归、条件分支等关键代码块。
以下是计算时间复杂度的一些常见方法：1.计算常数时间复杂度：如果一个算法的代码只包含固定数量的操作，不随输入规模变化，那么它的时间复杂度为O(1)。
例如，简单的赋值、比较和常量运算等操作。
2.计算线性时间复杂度：如果一个算法的代码中包含一个循环，该循环的迭代次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n)。
例如，遍历一个数组或者链表的操作。
3.计算平方时间复杂度：如果一个算法的代码中包含两个嵌套的循环，外层循环的迭代次数与输入规模n成正比，内层循环的迭代次数也与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n^2)。
例如，二重循环嵌套的矩阵操作。
4.计算指数时间复杂度：如果一个算法的代码中包含递归调用，且递归次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度可能是指数级别的，如O(2^n)。
例如，求解斐波那契数列的递归算法。
计算空间复杂度是用来衡量算法所需的额外存储空间随输入规模增长而增长的趋势。
以下是计算空间复杂度的一些常见方法：1.计算固定空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间不随输入规模变化，那么它的空间复杂度为O(1)。
例如，仅需要几个变量来存储中间计算结果的操作。
2.计算线性空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间随输入规模n成正比，那么它的空间复杂度为O(n)。
例如，需要创建一个数组或链表来存储输入数据的操作。
3.计算递归空间复杂度：如果一个算法中使用了递归调用，那么每个递归调用都需要创建一个新的函数调用栈帧，因此空间复杂度可能是O(n)，其中n是递归的深度。
例如，递归求解二叉树问题的操作。
在进行时间复杂度和空间复杂度的计算时，可以按照以下步骤进行：1.根据算法的代码，找出其中的关键代码块，例如循环、递归等。
斐波那契数列递归空间复杂度
斐波那契数列递归空间复杂度斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是一种经典的数学问题，它的定义是：第一个和第二个数都是1，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和。
即：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...在计算机编程中，斐波那契数列也是一个常见的问题，通过递归方式计算斐波那契数列的第n个数。
递归是一种将问题分解为更小规模的子问题的方法，直到达到基本情况，然后再将子问题的结果合并起来解决原始问题的方法。
然而，递归计算斐波那契数列会导致空间复杂度的增加。
空间复杂度是指算法运行过程中所需的额外存储空间的量度，通常用大O表示法表示。
在递归计算斐波那契数列的过程中，每次递归调用都会创建一个新的函数调用栈，存储函数的局部变量和返回地址等信息。
随着递归深度的增加，函数调用栈的空间消耗也会增加。
为了减少空间复杂度，可以使用迭代的方式计算斐波那契数列。
迭代是一种重复执行相同操作的方法，通过更新变量的值来达到计算结果的目的。
在迭代计算斐波那契数列的过程中，只需要保存前两个数的值，然后通过不断更新这两个变量的值来计算下一个数。
这样就可以避免创建额外的函数调用栈，从而减少空间复杂度。
尽管迭代计算斐波那契数列的空间复杂度更低，但递归方式也有其独特的优势。
递归可以使问题的解决过程更加直观和简单，而且对于某些问题，递归方式更加符合问题的本质。
此外，递归还可以利用函数调用栈保存中间结果，避免重复计算，提高效率。
为了兼顾递归和空间复杂度，可以使用记忆化搜索的方法来计算斐波那契数列。
记忆化搜索是一种将计算结果保存在数组或哈希表中，以便后续使用的方法。
在计算斐波那契数列时，可以使用一个数组来保存已计算的结果，如果需要计算的数已经存在于数组中，则直接返回保存的结果，避免重复计算。
这样既可以利用递归的思想，又可以减少空间复杂度。
除了递归和迭代，还可以使用矩阵乘法的方法来计算斐波那契数列。
矩阵乘法是一种将两个矩阵相乘得到新矩阵的方法，通过不断乘以特定的矩阵，可以得到斐波那契数列的结果。
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
review points参考答案
1、什么是基本运算？什么是算法的时间复杂性（度）？什么是算法的渐近时间复杂性？答：基本运算是解决问题时占支配地位的运算（一般1种，偶尔两种）算法的时间复杂性（度）是指用输入规模的某个函数来表示算法的基本运算量。
算法的渐进时间复杂性是指当输入规模趋向于极限情形时（相当大）的时间复杂性。
2、表示渐进时间复杂性的三个记号的具体定义是什么？答：（1）. T(n)= O(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≣1，使得当n≣n0时，总有T(n)≢c*f(n)。
（给出了算法时间复杂度的上界，不可能比c*f(n)更大）（2）. T(n)=Ω(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≣1，使得当n≣n0时，存在无穷多个n ，使得T(n)≣c*f(n)成立。
（给出了算法时间复杂度的下界，复杂度不可能比c*f(n)更小）（3）.T(n)= Θ(f(n))：若存在c1,c2>0，和正整数n0≣1，使得当n≣n0时，总有T(n)≢c1*f(n)，且有无穷多个n，使得T(n)≣c2*f(n)成立，即：T(n)= O(f(n))与T(n)=Ω(f(n))都成立。
（既给出了算法时间复杂度的上界，也给出了下界）3、什么是最坏情况时间复杂性？什么是平均情况时间复杂性？答：最坏情况时间复杂性是规模为n的所有输入中，基本运算执行次数为最多的时间复杂性。
平均情况时间复杂性是规模为n的所有输入的算法时间复杂度的平均值（一般均假设每种输入情况以等概率出现）。
4、一般认为什么是算法？什么是计算过程？算法研究有哪几个主要步骤？主要从哪几个方面评价算法？答：一般认为，算法是由若干条指令组成的有穷序列，有五个特性 a.确定性（无二义）b.能行性（每条指令能够执行）c.输入 d.输出 e.有穷性（每条指令执行的次数有穷）只满足前4条而不满足第5条的有穷指令序列通常称之为计算过程。
算法研究的主要步骤是1)设计2）表示3）确认，合法输入和不合法输入的处理4）分析5）测试。
递归式 特征方程
递归式特征方程
递归式特征方程是一种用于解决递归式的数学工具。
它通过将递归式转化为一个特征方程，然后通过求解该方程来得到递归式的通用解。
递归式特征方程的求解需要一定的数学知识，包括线性代数和微积分等。
递归式特征方程的基本思想是将递归式中的子问题和递归步骤
分离出来，然后通过线性组合得到一个特征方程。
该特征方程的解就是递归式的通用解。
具体地，假设递归式为f(n)=af(n-1)+b(n)，其中a和b为常数，那么我们可以将递归式变为f(n)-af(n-1)=b(n)，然后定义一个新的函数g(n)=f(n)-af(n-1)，这样我们就得到了一个新的递归式g(n)=b(n)。
此时，我们可以通过求解特征方程g(n)=0
来得到递归式的通用解。
递归式特征方程在算法分析中经常使用。
例如，在求解递归算法的时间复杂度时，我们通常需要先得到递归式的通用解，然后再对其进行分析。
递归式特征方程也可以用于解决其他数学问题，例如求解微分方程等。
总之，递归式特征方程是一种重要的数学工具，它可以帮助我们解决递归式相关的数学问题。
对于算法分析和其他数学领域的研究人员来说，掌握递归式特征方程的求解方法是非常有用的。
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迭代法求时间复杂度的运算
迭代法求时间复杂度的运算迭代法是算法设计中常见的一种方法，它通过反复迭代计算来逐步逼近问题的解，常用于求解数值问题。
在算法分析中，我们需要了解迭代法的时间复杂度，以评估算法的执行效率。
首先，我们来看一下迭代法的基本流程。
迭代法通常需要设定初始值，然后通过更新操作反复迭代计算，直至满足所设定的停止条件。
对于同一个问题而言，迭代法的流程是固定的，因此研究迭代法的时间复杂度可以直接从迭代次数和每次迭代的计算量入手。
在分析迭代法时间复杂度时，有两种常见的方法，分别是迭代次数法和迭代公式法。
迭代次数法适用于迭代次数已知的算法。
其基本思想是，对于每个迭代次数，计算所执行的基本运算次数，然后将各次运算的次数累加起来即可得到总运算次数，进而计算出时间复杂度。
例如，对于求解平方根的牛顿迭代算法，其迭代次数通常为固定值，而每次迭代需要进行若干次求导和求解方程的基本运算。
那么，我们可以通过对这些基本运算次数进行计算，得到该算法的时间复杂度。
而迭代公式法则适用于存在递推公式的算法。
这种方法通常需要把算法的每一步操作都用递推公式表示出来，形成整个算法的递推关系。
然后，根据递推关系，计算出执行每一步操作所需的时间复杂度，最终累加起来即可得到整个算法的时间复杂度。
例如，对于Fibonacci 数列的递归算法，其递归关系可以用F(n) = F(n-1) + F(n-2)表示，那么根据递归公式，我们可以计算出算法运行时每个变量被计算的次数，从而得到此算法的时间复杂度。
总的来说，迭代法是一种常用的求解问题的方法，研究其时间复杂度可以帮助我们更好地评估算法的效率，从而实现优化算法的目的。
对于不同的迭代算法而言，我们可以根据其特点选择不同的时间复杂度计算方法，从而更全面、准确地评估算法的执行效率。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
几种常见算法的介绍及复杂度分析
几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。
时间复杂度为O(n^2)。
2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。
3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。
4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。
5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。
二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。
2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。
3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。
三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。
时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。
时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
算法基础（1）之递归、时间空间复杂度
算法基础（1）之递归、时间空间复杂度参考⽬录：我的笔记：递归（recursion）递归是⼀种很常见的计算编程⽅法，现在通过阶乘案例来学习递归demo1:function factorial(num) {if(num === 1) return num;return num * factorial(num - 1); // 递归求n的阶乘，会递归n次，每次递归内部计算时间是常数，需要保存n个调⽤记录，复杂度 O(n)}const view = factorial(100);console.time(1);console.log(view); // 1: 3.568msconsole.timeEnd(1);递归可能会造成栈溢出，在程序执⾏中，函数通过栈（stack——后进先出）这种数据实现的，每当进⼊⼀个函数调⽤，栈就会增加⼀层栈帧，每次函数返回，栈就会减少⼀层栈帧。
由于栈的⼤⼩不是⽆限的，所以，递归调⽤的次数过多，就会导致栈溢出（stack overflow）。
demo2：尾递归// 如果改为尾递归，只需要保留⼀个调⽤记录，复杂度为O(1)function factorial01(n, tntal) {if(n === 1) return tntalreturn factorial(n - 1, n * tntal) // 把每⼀步的乘积传⼊到递归函数中，每次仅返回递归函数本⾝，total在函数调⽤前就会被计算，不会影响函数调⽤}console.time(2)console.log(factorial01(5, 1)) // 120console.timeEnd(2) // 2: 0.14404296875ms栈帧每⼀个栈帧对应着⼀个未运⾏完的函数，栈帧中保存了该函数的返回地址和局部变量。
栈帧也叫过程活动记录，是编译器⽤来实现过程/函数调⽤的⼀种数据结构。
从逻辑上讲，栈帧就是⼀个函数执⾏的环境：函数参数、函数的局部变量、函数执⾏完后返回到哪⾥等。
二分归并递推方程
二分归并递推方程
二分归并排序是一种分治策略的排序算法，其基本步骤是将待排序的序列不断分成两半，直到每个子序列只有一个元素，然后将这些子序列两两合并，合并时保持顺序不变，最终得到一个有序序列。
二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序序列的长度。
二分归并排序的递推方程可以表示为：
T(n) = 2T(n/2) + n
其中T(n)表示归并排序的时间复杂度，T(n/2)表示归并排序在子序列上的时间复杂度，n表示合并两个有序子序列所需的时间复杂度。
根据递推方程，我们可以使用递归树的方法来求解归并排序的时间复杂度。
具体来说，我们可以将递归树中的每个节点表示为一个子序列，节点的深度表示子序列的长度，节点的左孩子表示将左半部分子序列递归排序，节点的右孩子表示将右半部分子序列递归排序。
根据递推方程，我们可以
计算出每个节点的代价，然后累加得到整个递归树的代价，即归并排序的时间复杂度。
时间复杂度 常用关系式
时间复杂度常用关系式时间复杂度是算法分析中的一个重要概念，用于衡量算法的运行时间随输入规模增加而增长的趋势。
常用的时间复杂度关系式有以下几种：1. 常数时间复杂度（O(1)）常数时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模无关，即无论输入规模多大，算法都能在固定的时间内完成。
这种复杂度一般出现在只有一次操作的情况下，例如访问数组中的某个元素。
2. 对数时间复杂度（O(log n)）对数时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模的对数成正比。
这种复杂度一般出现在二分查找等问题中，每次操作能将问题规模减少一半。
3. 线性时间复杂度（O(n)）线性时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模成线性关系。
这种复杂度一般出现在需要对输入进行遍历的情况下，例如求解一个数组的和。
4. 线性对数时间复杂度（O(n log n)）线性对数时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模的对数和线性的乘积成正比。
这种复杂度一般出现在分治算法中，例如快速排序算法。
5. 平方时间复杂度（O(n^2)）平方时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模的平方成正比。
这种复杂度一般出现在双重循环嵌套的情况下，例如冒泡排序算法。
6. 立方时间复杂度（O(n^3)）立方时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模的立方成正比。
这种复杂度一般出现在三重循环嵌套的情况下，例如求解矩阵乘法。
7. 指数时间复杂度（O(2^n)）指数时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模的指数成正比。
这种复杂度一般出现在穷举所有可能解的情况下，例如求解旅行商问题。
以上是常用的时间复杂度关系式，不同的算法可能会有不同的时间复杂度。
在实际应用中，我们通常选择时间复杂度较低的算法来提高程序的运行效率。
同时，我们还可以通过优化算法、使用合适的数据结构等方法来降低算法的时间复杂度。
总结一下，时间复杂度是衡量算法运行时间随输入规模增加而增长的趋势的一个重要概念。
常用的时间复杂度关系式有常数时间复杂度、对数时间复杂度、线性时间复杂度、线性对数时间复杂度、平方时间复杂度、立方时间复杂度和指数时间复杂度。
递归方程时间复杂度计算
递归方程时间复杂度计算递归方程是一种常见的数学形式，用于描述函数自身的定义。
在计算机科学中，递归方程也常用于分析算法的时间复杂度。
通过理解递归方程的含义和解法，我们可以计算出算法的时间复杂度，从而评估算法的效率。
递归方程通常包含两部分：基本情况(base case)和递归情况(recurrence case)。
基本情况是当问题达到最小规模时，可以直接求解的情况。
递归情况是将问题分解为规模更小的子问题，并使用相同的算法求解。
在计算递归算法的时间复杂度时，我们通常采用递归树(recursion tree)的方法。
递归树是通过绘制递归调用的调用树来描述递归算法的执行过程。
每个节点表示一个递归调用，边表示递归调用之间的依赖关系。
要计算递归算法的时间复杂度，我们需要考虑每个递归调用的时间复杂度和递归调用的次数。
基本情况的时间复杂度通常是常数时间复杂度，而递归情况的时间复杂度通常与递归调用的次数和每次调用的规模有关。
下面以几个常见的递归方程为例，介绍如何计算它们的时间复杂度。
1.线性递归方程线性递归方程是指递归只进行一次的情况，形式为T(n)=a*T(n-b)+f(n)，其中a为递归调用的次数，b为每次递归调用时规模的减少量，f(n)为除了递归调用之外的其他操作的时间复杂度。
例如，计算斐波那契数列的算法可以表示为T(n)=T(n-1)+T(n-2)+O(1)。
其中a=2，b=1，f(n)=O(1)。
通过绘制递归树，我们可以看到每个递归调用需要O(1)的时间复杂度，而递归调用的次数为斐波那契数列的第n项，即O(2^n)。
因此，该算法的时间复杂度为O(2^n)。
2.分治递归方程分治递归方程是指递归将问题分解为规模更小的子问题，并使用同样的算法求解的情况。
形式为T(n)=a*T(n/b)+f(n)，其中a为递归调用的次数，b为每次递归调用时规模的减少比例，f(n)为除了递归调用之外的其他操作的时间复杂度。
例如，归并排序的递归方程可以表示为 T(n) = 2 * T(n/2) + O(n)。
动态规划套路详解
动态规划套路详解读完本⽂，你可以去⼒扣拿下如下题⽬：-----------这篇⽂章是我们号半年前⼀篇 200 多赞赏的成名之作「动态规划详解」的进阶版。
由于账号迁移的原因，旧⽂⽆法被搜索到，所以我润⾊了本⽂，并添加了更多⼲货内容，希望本⽂成为解决动态规划的⼀部「指导⽅针」。
动态规划问题（Dynamic Programming）应该是很多读者头疼的，不过这类问题也是最具有技巧性，最有意思的。
本书使⽤了整整⼀个章节专门来写这个算法，动态规划的重要性也可见⼀斑。
刷题刷多了就会发现，算法技巧就那⼏个套路，我们后续的动态规划系列章节，都在使⽤本⽂的解题框架思维，如果你⼼⾥有数，就会轻松很多。
所以本⽂放在第⼀章，来扒⼀扒动态规划的裤⼦，形成⼀套解决这类问题的思维框架，希望能够成为解决动态规划问题的⼀部指导⽅针。
本⽂就来讲解该算法的基本套路框架，下⾯上⼲货。
⾸先，动态规划问题的⼀般形式就是求最值。
动态规划其实是运筹学的⼀种最优化⽅法，只不过在计算机问题上应⽤⽐较多，⽐如说让你求最长递增⼦序列呀，最⼩编辑距离呀等等。
既然是要求最值，核⼼问题是什么呢？求解动态规划的核⼼问题是穷举。
因为要求最值，肯定要把所有可⾏的答案穷举出来，然后在其中找最值呗。
动态规划这么简单，就是穷举就完事了？我看到的动态规划问题都很难啊！⾸先，动态规划的穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠⼦问题」，如果暴⼒穷举的话效率会极其低下，所以需要「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
⽽且，动态规划问题⼀定会具备「最优⼦结构」，才能通过⼦问题的最值得到原问题的最值。
另外，虽然动态规划的核⼼思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可⾏解其实并不是⼀件容易的事，只有列出正确的「状态转移⽅程」才能正确地穷举。
以上提到的重叠⼦问题、最优⼦结构、状态转移⽅程就是动态规划三要素。
具体什么意思等会会举例详解，但是在实际的算法问题中，写出状态转移⽅程是最困难的，这也就是为什么很多朋友觉得动态规划问题困难的原因，我来提供我研究出来的⼀个思维框架，辅助你思考状态转移⽅程：明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义。
算法分析期末考试集答案（套）
算法分析期末考试集答案（套）《算法分析与设计》⼀、解答题 1. 机器调度问题。
问题描述：现在有n 件任务和⽆限多台的机器，任务可以在机器上得到处理。
每件任务的开始时间为s i ，完成时间为f i ，s i问题实例：若任务占⽤的时间范围是{[1，4]，[2，5]，[4，5]，[2，6]，[4，7]}，则按时完成所有任务最少需要⼏台机器？（提⽰：使⽤贪⼼算法）画出⼯作在对应的机器上的分配情况。
2. 已知⾮齐次递归⽅程：f (n)bf (n 1)g(n)f (0)c =-+??=? ，其中，b 、c 是常数，g(n)是n 的某⼀个函数。
则f(n)的⾮递归表达式为：nnn i i 1f (n)cb b g(i)-==+∑。
现有Hanoi 塔问题的递归⽅程为：h(n)2h(n 1)1h(1)1=-+??=? ，求h(n)的⾮递归表达式。
解：利⽤给出的关系式，此时有：b=2, c=1, g(n)=1, 从n 递推到1，有：n 1n 1n 1i i 1n 1n 22n h(n)cbb g(i)22 (22121)----=--=+=+++++=-∑3. 单源最短路径的求解。
问题的描述：给定带权有向图（如下图所⽰）G =(V,E)，其中每条边的权是⾮负实数。
另外，还给定V 中的⼀个顶点，称为源。
现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。
这⾥路的长度是指路上各边权之和。
这个问题通常称为单源最短路径问题。
解法：现采⽤Dijkstra 算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径。
请将此过程填⼊下表中。
4. 请写出⽤回溯法解装载问题的函数。
装载问题：有⼀批共n 个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i 的重量为wi ，且121nii w c c=≤+∑。
装载问题要求确定是否有⼀个合理的装载⽅案可将这n 个集装箱装上这2艘轮船。
如果有，找出⼀种装载⽅案。
解：void backtrack (int i){// 搜索第i 层结点if (i > n) // 到达叶结点更新最优解bestx,bestw;return; r -= w[i];if (cw + w[i] <= c) {// 搜索左⼦树43 2 1 100 30 maxint10 - {1} 初始 dist[5] dist[4] dist[3] dist[2] u S 迭代x[i] = 1;cw += w[i];backtrack(i + 1);cw -= w[i]; }if (cw + r > bestw) {x[i] = 0; // 搜索右⼦树backtrack(i + 1); }r += w[i];}5. ⽤分⽀限界法解装载问题时，对算法进⾏了⼀些改进，下⾯的程序段给出了改进部分；试说明斜线部分完成什么功能，以及这样做的原因，即采⽤这样的⽅式，算法在执⾏上有什么不同。
时间复杂度的表达形式
时间复杂度的表达形式
时间复杂度的表达形式通常使用大O符号，表示算法执行时间与输入规模的增长率之间的关系。
以下是几种常见的时间复杂度表达形式：
1. O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间恒定，不随输入规模变化而变化，如访问数组中的某个元素。
2. O(log n)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的对数关系。
常
见的算法有二分查找、树的遍历等。
3. O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模成正比。
常见的算法
有线性搜索、插入排序等。
4. O(n log n)：线性对数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模乘以其对
数关系。
常见的算法有快速排序、归并排序等。
5. O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
常
见的算法有冒泡排序、插入排序等。
6. O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的指数关系。
常见
的算法有求解TSP问题的暴力穷举算法等。
这些表达形式中，大O符号用来表示算法的上界，即算法最坏情况下的执行时间；它并不表示实际运行时间，只是用来比较不同算法之间的执行效率。
实际运行时间可能会受到不同硬件环境、编程语言等因素的影响。
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二、递减方式为除法
若~为除法，即n / b，则有： T(n) = aT(n / b) + D(n)
= a(a*T(n / b^2) + D(n / b)) + D(n) = ...
= a^k * T(1) + ∑a^i * D(n / b^i)
= a^k + ∑a^i D(n / b^i)
一般的，分治法的时间复杂性可归结为递归方程：
T(n) = 1 \t\t n = 1
T(n) = aT(n~b) + D(n) \t n＞1
其中，a是子问题的个数，b是递减的步长， ~表示递减方式， D(n)是合成子问题的开销。
通常，递归元的递减方式~有两种：
= a^k + ∑a^i * D(n – i * b)
这里k = n / b。不失一般性令b = 1，则k = n。若设D(n)为常数，则有T(n) = O(a^n)（a>1）。即这种情况下递归算法的时间复杂性为指数函数。
综上所述：
T(n) = O(1) \t n = 1
T(n) = O(a^n) \t n＞1
其中，p = log b a。
3、D(n)为幂函数n^x:
T(n) = O(n^x) \t\t 当a < D(b)时
T(n) = O(n^p * log b n) \t\t 当a = D(b)时
T(n) = O(n^p) \t\t 当a > D(b)时
其中，p = log b a。
1、减法，即n – b，的形式
2、除法，即nห้องสมุดไป่ตู้/ b，的形式
一、递减方式为减法
若~为减法，即n – b，则有： T(n) = aT(n – b) + D(n)
= a(a * T(n – 2b) + D(n – b)) + D(n) = ...
= a^k * T(1) +∑a^i * D(n – i * b)
这个递归方程的首项n^p称为j^i齐次解，第二项称为特解。特解一般很难估计。但是，对于一些特殊的D(n)，可以给出其显式解。
1、D(n)为常数c：
当a>1时
这时，∑a^i D(n / b^i) = c*∑a^i \t a^i = n^j 且j < p。
这是低于p次的多项式，所以T(n) = O(n^p)。
当a=1时
齐次解np为1，特解为c*∑a^i = c*k = c * log b n.
所以T(n) = O(log b n)。
2、D(n)为线形函数cn：
T(n) = O(n) \t\t 当a < b时
T(n) = O(n * log b n) \t\t 当a = b时
T(n) = O(n^p) \t\t 当a > b时
这里bk = n，所以k = log b n。于是：
a^k = a^(log b n) = n^(log b a) = n^p，这里p = log b a。
故若递减方式为n / b，则递归算法的时间复杂性 T(n) = n^p + ∑a^i * D(n / b^i) p = log b a。