弹性力学板弯曲

利用板下面的边界条件
z z t 0 ，
2
2
f(x,y)=0
Et 3 1 z z 4 z - 1 w 6(1 v 2 ) 2 t t
特点：
z沿板厚度方向呈三次方变化
最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。

薄板的平衡微分方程

薄膜：
抗弯的能力很低，可认为抗弯刚度为零 横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担

厚板：
内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以简化，应按三维问题处理

薄板
可以引进基本假定，使问题简化。

薄板基本假定
（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
保持垂直；
（2）中面法线变形后既不伸长也不缩短；

薄板问题求解
D4w=q ＋ 侧边边界条件
• 侧边边界条件由圣维南原理满足
• 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力
x
C z A y B

分布剪力和分布扭矩合成
M y x
M yx M yx dx x
( M ) y x B
B
A M ( ) A y x d x d x
• 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替 • 可用2个大小相等为 M yx
2w y z 2 y y u y
xy
x=Kxz
y＝Kyz
xy＝2Kxyz
z = yz = zx ＝0
e a
z
b
c
y
2w Kx 2 x
2w Ky 2 y
d
K xy
2w xy

薄板的应力分量
( x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出
( z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出
应力分量（z、zx、zy）相对面内应力分量（x、y、xy）很小
它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计
但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。

面内应力分量（x、y、xy）
Ez 2 w 2w 2 2 x 1 2 x y
考虑薄板上、下板面的边界条件
zy y xy z y x
zy z t
解得横向剪应力
0
2
zx z t 0
2
E 2 t2 2 z zx w 2 4 x 21
E 2 t2 2 z zy w 2 4 y 21
x
z
My Mxy Myx Qy Qx Mx
y

内力由挠度表示
2w 2w M x D( 2 v 2 ) x y
2w 2w M y D( 2 v 2 ) y x
M xy M yx
2w D 1 xy
Qx D
2 w x
2 w y
uy z w f 2 x, y y
假定（3）
f1(x,y)=0， f2(x,y)=0
w ux z x
O A B A' B' u z
w uy z y
K w K' x

薄板的应变
u x 2w x z 2 x x
u x 2w 2 z x y xy u y
16q M y 40
m 1, 3, 5... n 1, 3, 5...


m2 n2 2 2 ny mx a b sin sin a b m2 n2 2 mn( 2 2 ) a b

M xy
161 q 0 4 ab
m 1, 3, 5... n 1, 3, 5...
2w 0 xy xa, y b
w 0 x x0
即：
例7-1：受均匀分布荷载四边简支板的Navier解 解：设挠度为三角级数形式 ny mx w Amn sin sin a b 它能满足所有的边界条件，即
(w) x=0=0
薄板弯曲
• 板分成以下三种类型：
薄板：（1/801/100）<t/b<（1/51/8）； 薄膜：t/b<（1/801/100）； 厚板：t/b>（1/51/8）。
x
t / 2
t / 2

板所承受的荷载：
作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题
垂直于中面的横向荷载。板产生弯曲，中面弯曲将成为一个曲面， 垂直于中面的位移称挠度w。小挠度弯曲问题
Ez 2 w 2w 2 2 y 2 1 y x
Ez 2 w xy 1 xy
特点： 均沿厚度呈线性分布，在中面处为零， 在板的上、下板面达到最大。

面外应力分量
使用平衡条件求出
zx x yx z x y
z z t 0
2
z z －t q
2
z E t2 2 2 z w 2 z 2(1 v ) 4
Et 3 t 2 z3 4 z z w f ( x, y ) 2 3 2(1 v ) 4
Qy D

应力与内力的关系
x 12 z Mx 3 t y 12 z My 3 t xy 12 z M xy 3 t
yz
6 t ( z 2 )Q y 3 t 4
2
6 t2 zx 3 ( z 2 )Qx t 4
1 z z z 2q ( ) 2 (1 ) 2 t t
特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布， 在板的上、下板面为零，在板中面最大
利用z方向的平衡条件求z
xz yz z Fz z x y
将z方向所有力作用等效移置到板面上，
q Tz

z
t 2
t Fz dt
－ 2
t 2
板上、下表面的边界条件变成
ny 4 a b mx q sin sin dxdy 0 0 ab a b
cmn
代入方程22w=q
Amn
4
a
0
ny mx sin dxdy 0 a b m2 n2 2 4 abD( 2 2 ) a b
b
q sin
q0 ab (1 cos m)(1 cos n) 2 mn
RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)B
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
w (w) y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有 0， x y 0
2w x 2 0 y 0
简支边的边界条件可写成
(w) y=0=0
2w y 2 0 y 0
（3）固定边 在x＝0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成 (w) x=0=0 （4）角点条件 板边分布扭矩代换为分布剪力后，在角点出现一个集中力，这个集中 力就是支座对板角点的集中反力。 对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则 RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，
利用板下面的边界条件 z z t q ，得：
2
Et 3 4 wq 2 12(1 )
Et 3 D＝ 12(1 v 2 )
D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比， 与梁的弯曲刚度类似
D4 w q

薄板的柱面弯曲
矩形板一个方向（比如y方向）足够长，
分布荷载沿y方向不变化，只沿x方向变化，即q=q(x)时，则 w=w(x) 板弯曲成柱面，取单位宽度的窄条（梁）分析。平衡方程退化为
d 4w 2 q ( x) 1 EI dx 4
与梁的平衡微分方程相比，多了一项（12）。 其原因是：板单位宽度的窄条是处于平面应变状态（y=0）



薄板横截面上的内力
M x z x dz M xy
t 2
t 2 t 2 t 2 t 2
x
z xy dz
xz x z xy yx y
ny mx sin sin 16q 0 a b w 6 D m 1,3,5... n 1,3,5... m2 n2 2 mn( 2 2 ) a b

16q Mx 6 0 D
m 1, 3, 5... n 1, 3, 5...




m2 n2 2 ny mx a2 b sin sin a b m2 n2 2 mn( 2 2 ) a b

侧边边界条件
自由边、简支边、固定边、角点 用挠度表示
O C
x
b
A y
a
B
（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此，
在x=a上， Mx=0，Vx＝0， 在y=b上，My=0，Vy＝0，
2w 2w x 2 y 2 ＝0 x a
3w 3w x 3 (2 ) xy 2 ＝0 x a
t 2
Qx t zx dz
2
yz y
My
t 2
t z y dz 2
M yx
t 2
z yx dz
Qy
t 2
t zy 2
dz
• 剪应力互等定理 xy = yx，
Mxy=Myx
• 正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正 • 内力是作用在每单位宽度上的力，例如： 弯矩和扭矩的量纲应是［力］，而不是通常的［力］［长度］。
2w 2w y 2 x 2 ＝0 y b
3w 3w y 3 (2 v) x 2y ＝0 y b
（2）简支边 在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零
2w 2w (w) y=0=0， (My) y=0＝ y 2 x 2 0 y 0
（x，y，xy）～qb2/t2
（xz，xz y）～qb/t
z～q

由内力表示的平衡微分方程
Qx Q y q0 x y M x M yx Qx 0 x y M xy x M y y Qy 0
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 2 2 x xy y
（3）中面各点没有平行于中面的位移。

假定的推论
假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）
z=0
z w 0 z
w=w(x,y)
假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似） zx=zy=0，
w u y ＋ ＝0 y z
w ux z f1 x, y x
w u x ＋ ＝0 x z
M yx dx ，方向相反，相距dx的垂直力代替 x
Vy Qy
此外，还有两端未抵消的集中剪力
M yx x
RA＝(Myx)A， RB＝(Myx)B
Vx Qx
M xy y
及两端的集中力
RB＝(Mxy)B，RC＝(Mxy)C
O RB A y RA z B RC C x
最终角点B出现未抵消的的集中力应是
(w) x=a=0
(
w ) 0 2 x 0 x
2
(w) y=0=0 (w) y=b=0
2w ( 2 ) y 0 0 y
2w ( 2 ) y b 0 y
2w ( 2 ) xa 0 x
利用三角级数的正交性，求得
ny mx q cmn sin sin a b


cos
ny mx cos a b m2 n2 2 ( 2 2) a b
在板的中心x=a/2，y=b/2处，挠度最大，弯矩Mx和My最大， 而Mxy为零；在板边Mx和My为零，而Mxy最大。